资源简介

集合
符号：
属于 ， 子集 ， 真子集
交集 ， 并集 ， 补集
常见数集：实数 ，自然数 ，正整数 ，整数 ，有理数 。
运算
子集个数 ， 真子集个数 ， 非空真子集个数 ，
空集是任何集合的子集。
例： = { |0 < < 2}，B = { |0 ≤ ≤ 2}
求A ∩ B，A ∪ B，CRA。
逻辑用语
符号
任意 ，存在 ，
命题的否定：
: ≥ 0,3 + 5 ≥ 1
:
充分必要条件：
: > 0， : > 1
p是 q的 条件
3
: 2 > 3， : >
2
p是 q的 条件
: < 3， : < 5
p是 q的 条件
复数
复数概念
虚数单位： 2 =
= + 的共轭复数
= + 在复平面内对应的点
= + 的模长
计算
1 = 3 + 2 ， 2 = 1
加法： 1 + 2 = ，
减法： 1 2 = ，
乘法： 1 2 = ，
1
除法： = ，
2
平面向量
零向量： ,
单位向量： ,
平行向量： ,
垂直向量： 。
投影：
在 方向上的投影 ，
在 方向上的投影向量 ，
运算
向量加法：
平行四边形法则： 三角形法则：
减法：
三角形法则：
数量积：
=
= | |
坐标运算：
= ( , )， = ( , )
+ = ， =
= ， | | = ，
= ，
∥ 的条件 ， ⊥ 的条件 ，
不等式
基本不等式
基础形式：
应用条件：
等号成立条件：
重要不等式：
≥ ≥ ≥
三角函数
定义：
sin =
cos =
tan =
象限角的正负：
一 ，二 ，三 ，四 。
的终边经过点( , )
sin =
cos =
tan =
三角函数基本关系：
sin 2 + cos 2 =
tan =
诱导公式：
和角公式：
sin( + ) =
cos( + ) =
tan( + ) =
差角公式：
sin( ) =
cos( ) =
tan( ) =
二倍角：
sin 2 =
cos 2 = = =
tan 2 =
辅助角公式：
( ) = + =
三角函数图像
函数 = = =
图像
对称轴
对称中心
增区间
减区间
图像变换：
左 ，右 ，上 ，下 。

例： = 2 左移
4

= 2 右移
4
= 2 横坐标变为原来的 2倍
= 2 向上平移 2个单位
解三角形
正弦定理：
余弦定理：
面积公式：
三角形三个角之间的互化：
sin( + ) = , cos( + ) = ,
sin( + ) = , cos( + ) = ,
sin( + ) = , cos( + ) = ,
数列
等差数列：
通项： ，求和 ，
等比数列：
通项： ，求和 ，
求通项：
例 1：设 为数列 { } 的前 项和，且
2
= + + 1， ∈
．求数列 { } 的通项
公式；
例 2：已知正项等比数列{ }的前和为 ，且 = 2 2( ∈
)求数列{ }的通项公式
例 3：设数列 { } 中， 1 = 2， +1 = + + 1，求通项
+2
例 4：在数列 { } 中， 1 = 2， +1 = ，求 ．
例 5：数列 { } 中， 1 = 1，且 +1 = 2 + 1，求 { } 的通项公式

例 6：已知数列{ }中满足 1 = 1， +1 = ，求数列的通项 ． 3 +1
求和
例 1：已知数列 { } 的前 项和为 ， =
2．
(1) 求数列 { } 的通项公式；
(2) 设 = 2 + 2
，求数列 { } 的前 项和 ．
例 2：已知数列{ }的前 n 项和 =
2 + 2 + 1
(1) 求数列的通项公式
1 1 1 1
(2) 设2 = 1且 = + + + + ，求 1 2 2 3 3 4 +1
1
例 3：求数列{ × }的前 项和． 3
立体几何
表面积：
圆锥侧面积：
圆柱侧面积：
圆面积：
球的表面积：
圆台侧面积：
体积：
柱体：
椎体：
台体：
球体：
平行垂直：
线面平行
判定 性质
面面平行：
判 定 性质
线面垂直：
判 定 性质
面面垂直：
判 定 性质
空间向量
( 1, 1, 1)， ( 2, 2, 2)
A B =
直线的方向向量：
若直线上任意两点的坐标为 ( 1, 1, 1)， ( 2, 2, 2)
则直线的方向向量为
平面的法向量
①在平面内任取三个点，坐标为 ( 1, 1, 1)， ( 2, 2, 2)， ( 3, 3, 3)
②由上述三个点任意组成两个向量，如 ,
③设平面的法向量为 = ( 0, 0, 0)
④列式{
= 0 解得 即为平面的法向量
= 0
线线成角
若两直线的方向向量为 , ，两直线夹角为
则cos =
线面成角
直线的方向向量为 ，平面的法向量为 ，线面成角为
则 =
二面角
两平面的法向量分别为 ， ，二面角为
则|cos | =
直线与圆
直线方程
⑴点斜式
⑵斜截式
⑶两点式
⑷一般式
直线斜率：
若直线的倾斜角为
则直线斜率 =
若直线上两点坐标为 ( 1, 1)， ( 2, 2)
则直线斜率 =
若两条直线平行，则 ，
若两直线垂直，则 ，
距离公式
两点间距离： ( 1, 1)， ( 2, 2)
| | = ，
点到直线的距离：点 ( 0, 0)，直线 + + = 0
= ，
两平行线间距离：直线 + + 1 = 0， + + 2 = 0
= ，
圆的标准方程：
，
直线与圆的位置关系：（圆心到直线的距离为 ，圆的半径为 ）
相离：
相切：
相交：
圆与圆的位置关系（圆心距为 ，两圆的半径分别为 , ）
相离：
外切：
相交：
内切：
包含：
概率
事件间的关系
①互斥事件
②对立事件
③相互独立事件
例：抛掷一枚骰子
事件 A：第一次抛出 2点
事件 B：第一次抛出 1、3、5点
事件 C：第一次抛出 2、4、6点
事件 D：第二次抛出 3点
A与 B ，B与 C ，A与 D ，
古典概型
若 为所有的基本事件数
为事件 A包含的基本事件数
则 ( ) =
几何概型
构成事件 A的区域长度（面积或体积）
( ) =
实验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）
条件概率
在事件 A确定发生的前提下，事件 B发生的概率 ( | ) = 。
随机变量的分布列
①X的可能值 1, 2, 3, 4 … …
② ( = 1) = 1， ( = 2) = 2 ， ( = 3) = 3 …… ( = ) =
③X的分布列
1 2 3 … …

其中：
① 1 + 2 + 3 + … + = 。
② ( ) =
③ ( ) =
二项分布
在 n次独立重复实验中，每次事件 A发生的概率都为 p，用 X表示事件 A发生的次数，则
X服从二项分布，即 ~ ( , )
( = ) = 。
其中
( ) = ( + ) =
( ) = ( + ) =
正态分布
正态曲线 ~ ( , 2)
其中：
① 为正态曲线的对称轴
②面积表示概率
③ 为标准差， 越大，图像越 ， 越小，图像越 。
④3 原则
统计
抽样方式
①简单随机抽样
②分层抽样（按 比例抽样）
③系统抽样（ 抽样）
④随机数表抽样
频率分布直方图
频率
纵坐标=
组距
频数
频率 =
总数
平均数= ，
中位数= ，
众数= ，
方差= ，
标准差= 。
有具体数据的
1, 2, 3, … …
平均数= ，
中位数= ，
众数= ，
方差= ，
标准差= ，
百分位数= 。
排列组合
组合：无顺序
从 n个元素中选出m个组成一组
=
例：
25 = ，
3
6 = ，
8
10 = 。
性质： =


排列：有顺序
从 n个元素中选出m个排成一队
=
例：
25 = ，
3
6 = ，
8
10 = 。
二项式定理
( + )2 =
共有 项，
所有项系数和= ，
二项式系数和= 。
6
例： 2( 2 + ) 的展开式中

①常数项= ②第 3项=
③所有项系数和= ④二项式系数和=
⑤ 3项系数和=
圆锥曲线
椭圆
焦点在 x 轴上的椭圆
标准方程：
定义：| 1| + | 2| = 2
左顶点：
右顶点：
上顶点：
下顶点：
左焦点：
右焦点：
长轴： ， 短轴： ， 焦距： ，
2 = ， 离心率 =
通径= ，
△ = = = 1 2
焦点在 y 轴上的椭圆
标准方程：
其他类似上一种情况
双曲线
焦点在 x 轴上的双曲线
标准方程：
定义：|| 1| | 2|| = 2
左顶点：
右顶点：
左焦点：
右焦点：
渐近线方程： ，
实轴： ，虚轴： ，焦距：
2 = ， 离心率 =
通径= ，
焦点三角形 = = =
焦点在 y 轴上的双曲线
标准方程：
其他类似于上一种情况
抛物线
开口向右的抛物线
标准方程：
定义：到焦点与到准线的距离相等
准线方程：
焦点坐标：
开口向右的抛物线
标准方程：
其他类似于开口向右的情况
函数
指数运算 对数运算
= + =
( ) = =

=
=

( ) = =
= =
1
= 底数 底数
≈ = 1 =
幂函数
形如 =
图像：
= = 2 = 3
1
= 1 = 2
指数函数
形如 =
图像：
当 > 1时 当0 < < 1时
对数函数
形如： = ( > 0且 ≠ 1)
图像：
当 > 1时 当0 < < 1时
函数性质：
奇函数：
表达式： ， 若 = 0，则 (0) =
图像特征
偶函数：
表达式： ，
图像特征
周期性：（周期为 T）
若 ( ) = ( + )，则 =
1
若 ( ) = ，则 =
( + )
若 ( ) = ( + )，则 =
若 ( + ) = ( )，则 =
导数
求导公式 四则运算
( ) = ′( ) = [ ′( ) + ′( )]′ =
( ) = ′( ) = [ ′( ) ′( )]′ =
( ) = ′( ) = [ ′( ) ′( )]′ =
( )
( ) = ′( ) = [ ] ′ =
( )
( ) = ′( ) =
( ) = ′( ) =
( ) = ′( ) =
( ) = ′( ) =
复合函数求导：
[ln(2 1)]′ = [ 2 1]′ =

[ ( )] ′ =
6
几何意义
( )在 = 0处的切线斜率 = ′( 0)
求切线
1. 已知切点
例：求 ( ) = 3 2 在 = 1处的切线方程
2. 未知切点
例：求 ( ) = 3 2 过(1,1)的切线方程
判断单调性
当 ′( ) > 0时， ( )
当 ′( ) < 0时， ( )
极值
区间 ( 1, 2) = 1 ( 2, 3) = 3 ( 3, 4)
′( ) + 0 0 +
( ) 单调递增 单调递减 单调递增
最值
最值出现在极值和端点值中

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