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人教版七年级数学上册 4.3.3 余角和补角 导学案
【知识清单】
余角和补角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。
性质：等角的补角相等；等角的余角相等。
【典型例题】
考点1：求一个角的余角
例1．若，则它的余角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余角的定义进行解答即可．
【详解】解：的余角的度数是：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了余角的定义，解题的关键是熟练掌握互余的两个角之和为．
考点2：求一个角的补角
例2．已知，则的补角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把原式化为，再计算即可.
【详解】解：∵，
则的补角的度数为，
故选：C
【点睛】本题考查了求一个角的补角，掌握角度的加减运算方法是解题的关键．
考点3：与余角、补角有关的计算
例3．如果一个角的补角等于它的余角的倍，那么这个角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设这个角的度数是，根据互为余角的两个角的和等于表示出它的余角，互为补角的两个角的和等于表示出它的补角，然后列方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数是，
由题意得，，
解得，
答：这个角的度数是.
故选：D．
【点睛】本题考查了余角和补角，熟记概念并列出方程是解题的关键．
考点4：同（等）角的余（补）角相等的应用
例4．下列推理错误的是（ ）
A．因为，所以
B．因为，所以
C．因为，所以
D．因为，所以
【答案】A
【分析】根据余角、补角的性质，利用等量代换思想逐项分析即可得出答案．
【详解】解：与不一定相等，根据，不能推出，故A选项推理错误，符合题意；
，通过等量代换可得，故B选项推理正确，不合题意；
，通过等量代换可得，故C选项推理正确，不合题意；
，根据等角的余角相等可得，故D选项推理正确，不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查余角、补角，掌握等量代换思想是解题的关键．
【巩固提升】
1．如果一个角的补角是，那么这个角的余角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．互余且相等的两个角各是
B．一个角的余角一定小于这个角的补角
C．如果，那么的余角与的余角的和等于的余角
D．如果，那么的余角与的余角的和等于的补角
3．若，则补角的大小是( )
A． B． C． D．
4．下列说法（1）两个数比较．绝对值大的反而小；（2）0乘以任何数都得0；（3）两数相除，同号得正，异号得负；（4）等角的补角相等；（5）如果一个数的绝对值等于这个数本身，那么这个数是正数．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知的补角是它的3倍，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．下列语句中，正确语句的个数是（ ）
①互余的角一定不相等；②多项式中每一项的次数均为正数；③延长线段至点，得到射线；④两点确定一条直线；
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．由，得到的依据是（ ）
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
8．如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（题中所有角均指小于的角）．给出下列结论：①；②；③．其中结论一定正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
9．一个角的补角是它的余角的倍，则这个角余角的度数是 ．
10．已知，则的补角等于 ．
11．已知，若和互补，和互余，则 ．
12．如图，，分别交，于点P，F，过点P作，则图中与互余的角有 个．

三、解答题
13．如图，已知，分别是和的角平分线，．
求：
(1)的余角的度数是多少？
(2)的补角的度数是多少度？
14．若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少，求这个角．
15．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处．（注：）

(1)如图1，若直角三角板的一边落在射线上，则________；
(2)如图2，若恰好平分，求的度数；
(3)如图3，若始终在的内部，猜想和满足怎样的数量关系？并说明理由．
16．如图，.
(1)直接写出图中一组相等的锐角；
(2)设，，求与之间的关系式；
(3)请在备用图中，仅利用三角板画出，使.（不写作法，保留作图痕迹）
17．如图，O是直线上一点，为任一条射线，平分，平分．
(1)写出图中的补角，的补角；
(2)与互余吗？为什么？
18．已知O为直线上一点，作射线，且平分．

(1)如图1，当均在上方时，若，求的度数；
(2)如图2，当在上方，在的下方时，若，求的度数；
(3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，请画出图形，并求的度数．
参考答案
1．B
【分析】首先根据补角的定义求得这个角的度数，然后根据余角的定义即可求出这个角的余角．
【详解】解：根据定义一个角的补角是，
则这个角是，
这个角的余角是．
故选：B．
【点睛】此题主要考查的是补角和余角的定义，属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为；互为补角的两个角的和为．
2．C
【分析】根据如果两个角的和为，称这两个角互为余角；如果两个角的和为，称这两个角互为补角，以此计算即可．
【详解】A. 互余且相等的两个角各是，正确，不符合题意；
B. 设这个为，则它的余角为，它的补角为，
故，正确，不符合题意；
C. 的余角为，的余角为，的余角为，
的余角与的余角的和等于，
错误，符合题意；
D. 的余角为，的余角为，的余角为，
的余角与的余角的和等于，
正确，不符合题意；
故选Ｃ．
【点睛】本题考查了余角，补角的计算，正确理解定义是解题的关键．
3．D
【分析】两个角的和为 则这两个角互为补角，根据补角的含义可得答案．
【详解】解：∵，
∴的补角为
故选D．
【点睛】本题考查的是互补的两个角之间的关系，掌握“两角互补的含义”是解本题的关键．
4．C
【分析】根据有理数的大小比较法则，有理数乘法和除法法则，补角的性质和绝对值的性质逐一判断即可．
【详解】解：（1）两个负数比较．绝对值大的反而小，原说法错误；
（2）0乘以任何数都得0，说法正确；
（3）两数相除，同号得正，异号得负，说法正确；
（4）等角的补角相等，说法正确；
（5）如果一个数的绝对值等于这个数本身，那么这个数是正数或0，原说法错误．
综上，正确的说法有（2）（3）（4），共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，有理数乘法和除法法则，补角的性质和绝对值的的性质等知识，掌握基本定义和性质是解题的关键．
5．B
【分析】先求出的补角为，再根据的补角是它的3倍建立方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了补角、一元一次方程的应用，熟练掌握补角的定义（和为的两个角互为补角）是解题关键．
6．D
【分析】根据余角的定义判断①，多项式的次数判断②线段和射线的定义，判断③，直线的性质判断④．
【详解】解：①互余的角可能相等，如两个角都是，它们的和是，即这两个角互余，故错误；
②多项式中常数项的次数是0，故错误；
③延长线段至点，得到线段，故错误；
④两点确定一条直线，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查余角，多项式的次数，线段和射线以及直线的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
7．A
【分析】根据互余的概念及性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，是根据同角的余角相等，
故选：．
【点睛】本题主要考查余角的性质，掌握互余的概念及性质是解题的关键．
8．A
【分析】由根据等角的余角相等得到，而，即可判断①正确；由，而，即可判断②正确；由，而，即可判断③不正确．
【详解】解：∵，
∴，
而，
∴，所以①正确；
，所以②正确；
，而，所以③不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了余角和补角，角度的计算，余角的性质，准确识图是解题的关键．
9．/30度
【分析】根据补角和余角的定义，“利用一个角的补角是它的余角的度数的3倍”作为相等关系列方程求解即可得出结果．
【详解】解：设这个角的度数是，
则，
解得．
这个角的余角．
则这个角的余角度数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查余角和补角的知识，一元一次方程的应用，设出未知数是解决本题的关键，要掌握解答此类问题的方法．
10．
【分析】利用补角的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的补角等于：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查补角，度分秒的换算，解答的关键是明确互补的两角之和为180°．
11．/10度
【分析】根据互余两角之和为，互补两角之和为，求解即可．
【详解】解：∵，与互补，
∴，
∴，
∵与互余，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键在于掌握互余两角之和为，互补两角之和为．
12．3
【分析】由，得到，，因此，由平行线的性质得到，因此，于是得到图中与互余的角有3个．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，
图中与互余的角有3个．．
故答案为：3
【点睛】本题考查平行线的性质，余角，关键是掌握余角的定义，平行线的性质．
13．(1)
(2)
【分析】（1）由、分别是和的平分线，利用角平分线定义可得，，从而得出，算出再根据余角的定义解答即可；
（2）由（1）得出的度数，根据补角的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴，
∴的余角的度数是：；
（2）由（1）得到，
∴的补角的度数是：．
【点睛】此题考查了余角、补角和角平分线定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
14．这个角为．
【分析】设这个角为x，根据题意列出方程解出即可．
【详解】解：设这个角为x，
根据题意可得：，
解得．
答：这个角为．
【点睛】本题考查的是补角的概念，根据题意设出未知数，列出方程是解决此题的关键．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据图形得出，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出，代入，再利用即可求解；
（3）根据图形得出，，相减即可求出答案．
【详解】（1）解∶∵，，
∴，
故答案为∶；
（2）解：∵平分，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
∵，，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了余角与补角，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键．
16．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据同角的余角相等，即可得到答案；
（2）结合角的特点进行计算即可；
（3）以为直角的一边作，再以为直角的一边作，即为所求作．
【详解】（1）解：，
，，
；
（2）解：设，，则，
，
，
；
（3）解：如图所示，即为所求．
，，
，
．
【点睛】本题考查了角的和差计算，同角的余角相等，作图-复杂作图，熟练掌握知识点是解题的关键．
17．(1)的补角为，的补角为
(2)互余，理由见解析
【分析】（1）由角平分线的定义可得，，再根据和为180度的两个角互为补角进行求解即可；
（2）由角平分线的定义可得，，在根据和为90度的两个角互为余角进行证明即可．
【详解】（1）∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，，
∴的补角为，的补角为；
（2）互余，理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和余角、补角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)图见解析，或
【分析】（1）根据图中角之间位置关系得角之间数量关系，，计算求解．
（2）设，则，，由平角建立方程求解，得，，，于是．
（3）分情况讨论：当在上方，可求；当在下方，可求得，从而．
【详解】（1）解：，
平分，
．
．
答：为；
（2）设，则，，
由题意得：，
解得．
．
，
．
．
答：的度数是；
（3）当在上方，

与互余，
．
．
，
．
当在下方，

，，
．
．
答：是或．
【点睛】本题主要考查角度的计算，根据图形中角之间的位置关系导出角之间的数量关系是解题的关键．
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