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人教版七年级数学上册 4.4 课题学习
设计制作长方体形状的包装纸盒 导学案
【知识清单】
设计各种各样的长(正)方体形状包装盒时，要先绘制长(正)方体的表面展开图，再把它剪出并折叠成长(正)方体，此外，还要用到美术知识、语言知识、生产知识等。
【典型例题】
考点：设计制作长方体形状的包装纸盒
例1．下列三棱柱展开图错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．
【详解】解：A、B、C中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图.D围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有.故D不能围成三棱柱.
故选：D.
【点睛】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．
【巩固提升】
1．如图，若是锐角，则的余角是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，是棱锥展开图的是（ ）
A． B． C． D．
3．观察下列图形，其中不是正方体的表面展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
4．用如图所示的纸片折成一个长方体纸盒，折得的纸盒是( )．
A． B． C． D．
5．如图，是一个正方体的展开图，则展开前与C面相对的面是 （ ）

A．A B．B
C．D D．F
6．下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
7．把下图形折叠成长方体后，与都重合的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
8．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　）
A． B．
C． D．
9．某正方体的平面展开图如下图所示，这个正方体可能是下面四个选项中的（ ）．
A． B． C． D．
10．如图所示的纸板上9个无阴影的正方形，从中选择1个，使其与图中5个有阴影的正方形一起可以折成一个正方体的包装盒，不同的选法有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．6种
二、填空题
11．用一张边长为的正方形纸，制成一个无盖的长方体盒子，需在四个角上都剪去一个同样大小的正方形（如图中虚线所示），当剪去的正方形边长为时，折成的无盖的长方体的容积是 立方厘米；用你喜欢的方式探究，用这张正方形纸可制成的无盖的长方体盒子的最大容积是 立方厘米．

12．如图是一个正方体盒的展开图，若在其中的三个正方形、、内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则填入正方形中，，内的三个数依次为 ， ， ．
13．下列图形中，不能折成正方体的有 （填序号）．
14．如图所示的平面纸能围成正方体盒子，请把与面垂直的面用图中字母表示出来是 ．
15．将图沿线折成一个立方体， 它的共顶点的三个面上的数字之积的最大值是 ．
三、解答题
16．如图，从上往下看A，B，C，D，E，F六个物体，分别能得到a，b，c，d，e，f哪个图形？把上下两行中对应的图形与物体连接起来．
17．说出下列图形的名称．
18．如图，将一个饮料包装盒剪开，铺平，纸样如图所示，包装盒的高为；设包装盒底面的长为．
（1）用表示包装盒底面的宽；
（2）用表示包装盒的表面积，并化简；
（3）若包装盒底面的长为，求包装盒的表面积．
19．如图，这是一个长方体纸盒的平面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数．
（1）填空： a＝　 　，b＝　 　；
（2）先化简，再求值：（ab＋3a2）－2b2－5ab－2（a2－2ab），
20．如图所示是长方体的平面展开图，设，若．
（1）求长方形的周长与长方形的周长(用字母进行表示) ；
（2）若长方形的周长比长方形的周长少8，求原长方体的体积．
21．综合与实践：某“综合与实践”小组开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，他们利用长为，宽为长方形纸板制作出两种不同方案的正方体盒子， 请你动手操作验证并完成任务．(纸板厚度及接缝处忽略不计)
动手操作一：
如图1，若，按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．
问题解决：（1）此时，你发现与之间存在的数量关系为 ．
动手操作二：
如图2，若，现在在纸板的四角剪去两个小正方形和两个小长方形恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒，其大小与（1）中无盖正方体大小一样．
拓展延伸：（2）请你在图2中画出你剪去的两个小正方形和两个小长方形(用阴影表示)，折痕用虚线表示；
（3）此时，你发现与之间存在的数量关系为 ；若，求有盖正方体纸盒的表面积．
参考答案
1．C
【分析】根据题意得出＝90°，进而利用互余的性质得出答案．
【详解】解：∵∠1＋∠2＝180°，
∴＝90°，
∴∠1的余角为：90° ∠1＝ ∠1＝（∠2 ∠1）．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了余角和补角，得出＝90°是解题关键．
2．C
【分析】根据图形结合所学的几何体的形状得出即可．
【详解】解：A、是三棱柱的展开图，故此选项错误；
B、是一个平面图形，故此选项错误；
C、是棱锥的展开图，故此选项正确；
D、是圆柱的展开图，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的展开图的应用，主要考查学生的空间想象能力和观察图形的能力．
3．B
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：A、C、D均是正方体表面展开图；
B、是凹字格，故不是正方体表面展开图．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．
4．C
【分析】分别找出长方体的对面，进而可得答案．
【详解】解：如图所示：
根据题意可知，的对面是，的对面是，的对面是，面阴影的短边与面阴影的一边重合．
故用如图所示的纸片折成一个长方体纸盒，折得的纸盒是C．
故选：C．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，属于常见题型，注意从相对面入手是解题的关键．
5．D
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】解：相对的面的中间要相隔一个面，易得A、D相对；F、C相对，E、B相对．
故选：D．
【点睛】本题考查学生的空间想象能力，关键为：相对的面的中间要相隔一个面．
6．A
【分析】根据四棱柱是由四个大小相同的长方形和两个全等的正方形构成的解答即可.
【详解】四棱柱的侧面是由四个同样大小的长方形围成的，
故选：A.
【点睛】此题考查了简单几何体的侧面展开图，正确掌握几何体的构成是解题的关键.
7．C
【分析】根据长方体的展开图即可得．
【详解】由长方体的展开图可知，矩形、矩形、矩形是长方体的三个相邻面，边相交于一点
则与都重合的点是点
故选：C．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，掌握理解长方体的展开图是解题关键．
8．B
【分析】根据正方形展开图的特征，判断各个面的对面、邻面的特征即可．
【详解】解：由“相间Z端是对面”可知A、D不符合题意，而C折叠后，圆形在前面，正方形在上面，则三角形的面在右面，与原图不符，
只有B折叠后符合，
故选：B．
【点睛】此题考查的是正方体的展开图，掌握利用正方形展开图的特征判断各个面的对面、邻面的特征是解决此题的关键．
9．A
【分析】根据正方体的展开与折叠．可以动手折叠看看，充分发挥空间想象能力解决也可以．
【详解】根据题意及图示只有A经过折叠后符合．
故选：A．
【点睛】此题考查几何体的展开图，解题关键在于空间想象力.
10．C
【分析】结合正方体的表面展开图即可进行选择．
【详解】根据正方体的表面展开图，选四个位置，共4种．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是牢记正方体展开图的11种特征．
11．
【分析】根据边长为的正方形纸剪去边长为的正方形，剩下的边长为：，根据长方形的体积公式，即可；设大正方形的边长为：，小正方形的边长为：，根据长方形的体积公式，当每一个因数和一定的情况下，因数相等时，乘积最大，即可．
【详解】由题意得，长方体的长为：，宽为：，高为：，
∴长方形的容积：，
设大正方形的边长为：，小正方形的边长为：，
∴长方形的容积：，
∵当一定时，原式，该式子中，和为：一定，
∴当时，容积最大，
∴当时，容积最大，
∴，
∴长方形的容积：，
故答案1为：；
故答案2为：．
【点睛】本题考查长方形和正方形的知识，解题的关键是掌握长方形容积最大时的值，掌握长方形的容积公式．
12． 1 0 2
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：由于只有符号不同的两个数互为相反数，由正方体的展开图解题得填入正方形中，，内的三个数依次为1，0，2．
故答案为1，0，2
【点睛】本题主要考查互为相反数的概念，只有符号不同的两个数互为相反数．解题时勿忘记正方体展开图的各种情形．
13．①②④
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题即可得出答案．
【详解】解：③可以折成正方体；
①、②、④折叠后有一个面重合，缺少一个底面，故不能折成正方体．
故答案为：①、②、④．
【点睛】此题考查了展开图折叠成几何体．解题的关键是明确能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．
14．、、、
【分析】根据正方体展开图的特征，属于正方体展开图的“141”结构，将它折成正方体后，A面与D面相对，其余的面都与A面垂直，从而可得答案．
【详解】解：因为正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
面“”与“”是相对面，它们互相平行，剩下的面都与面垂直；
所以：围成正方体盒子，与面垂直的面用图中字母表示出来是：、、、；
故答案为：、、、．
【点睛】本题是考查正方体的展开图，是培养学生的观察能力和空间想象能力．此类题可动手折叠一下，即可解决问题，又锻炼了动手操作能力．
15．90
【分析】由题意可得，共顶点的三个数字的积最大时，为6×3×5，本题得以解决．
【详解】由题意可得，
6×3×5＝90，
故答案为：90．
【点睛】本题考查展开图折叠成几何体、有理数的乘法，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
16．见解析
【分析】俯视图是从物体上面所看到的的图形，可根据各例题图形的特点进行判断．
【详解】
【点睛】本题考查了从物体上方观察立体图形，观察物体的特征是解题的关键．
17．见解析
【分析】根据立体图形的特征分析写出立体图形的名称即可．
【详解】
【点睛】本题考查了立体几何图形的认识，牢记基本柱体和锥体的定义是解题的关键．
18．（1）宽=；（2）；（3）550．
【分析】（1）利用长方形的周长及长求宽即可；
（2）利用长方体的表面积公式求解即可；
（3）利用长方体的表面积公式求解即可．
【详解】解：（1）包装盒底面的宽为：（cm），
（2）包装盒的表面积为：
S=2×[（15-x）×15+15x+（15-x）×x]
=（cm2），
（3）包装盒底面的长为10cm，包装盒的表面积为：
S=2×[（15-10）×15+15×10+（15-10）×10]=550（cm2）．
【点睛】本题主要考查了长方体的表面积及整式的混合运算，解题的关键是熟记长方体的表面积公式．
19．（1）1，-3；（2）a2-2b2，-17．
【分析】（１）根据相反数的概念易求出-1和3的相反数，从而可求出未知数a、b的值；
（２）将整式按照整式加减运算的法则在括号后合并同类项，最后代入a、b的值计算出结果．
【详解】（1）a= 1，b= -3
（2）
∴原式
【点睛】本题考查的知识点有相反数的概念，整式的加减法法则．弄清长方体展开图的相对面是难点，整式加减中正确去括号，防止漏乘是关键．
20．（1）长方形DEFG的周长为6x，长方形ABMN的周长为8x；（2）原长方体的体积为384．
【分析】（1）根据，，再进一步结合图形与长方形周长的公式进行求解即可；
（2）利用长方形的周长比长方形的周长少8建立方程求出x的值，然后进一步根据长方体体积公式进行计算即可.
【详解】（1）∵AB＝x，若AD＝4x，AN＝3x，
∴DG=AD 2AB=2x，AB＝DE=x，
∴长方形DEFG的周长为2（x+2x）＝6x；
长方形ABMN的周长为2（x+3x）＝8x；
（2）依题意，8x﹣6x＝8，解得：x＝4；
∴原长方体的体积=x 2x 3x＝6x3=384，
答：原长方体的体积为384．
【点睛】本题主要考查了几何体的展开图与一元一次方程的综合应用，熟练掌握相关方法是解题关键.
21．（1）；（2）见解析；（3）或或，600cm2
【分析】（1）正方体是特殊的长方体，长宽高三者相等，故回到图形有.
（2）仔细思考，实际上是从大长方形纸中剪出一个正方形展开图，故从11种正方体展开图中选择合适的剪出形状即可.
（3）根据所剪的图形和正方体棱长都相等的性质，有，转化形式即可；将代入前面的等式求得和小正方体的棱长，根据正方体的表面积公式计算即可.
【详解】解：（1） (或)..
（2）所画图形如图所示(图形不唯一，画出一个即可).例如
（3） 据题意得，，
故或或
当时，.
由（1）可知制作的正方体的底面边长，
有盖正方体纸盒的表面积为.
【点睛】本题主要考查了正方体的性质与展开图，熟练掌握并灵活运用相关性质，找到图中边长的数量关系是解答关键.
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