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“宜荆荆恩”2024届高三起点考试
数学试卷
2023.9
本试卷共4页，22题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码
粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.请把正确的选项涂在答题卡相应位置上
1.已知a为实数，若复数：=(a-1)+(a-1i为纯虚数，则，十的值为
A.1
B.0
C.1+i
D.1-i
2.设集合A={xI|x-1I<2},B={x|x=3n-2,n∈Z,则A∩B=
A.{1
B.1,2
C.{-2,1
D.-2,1,4}
3.将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个盒子，则2个小球在同一个盒子的概率为
B方
c
n号
4.在AABC中，AB=AC=3,BC=2,若P为边BC上的动点，则AP.(AB+AC)=
A.0
B.2
C.4
D.8
5.定义在(0，+∞)上的诚函数f(x)满足条件：对廿x,y∈(0，+∞），总有
f八xy)=f(x)+f(y)-1,则不等式f(log2x-1)>1的解集是
A.(0,4)
B.(4,+)
C.(1,4)
D.(2,4)
6.设M(xo,yo)为抛物线C:x=4y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，F为半
径的圆与抛物线C的准线相交，则y。的取值范围是
A.[1,+o)
B.(0,1)
C.(1,+)
D.(-,-3)U(1,+0)
数学试卷第1页（共4页）
7.已知0为坐标原点，过点A(1,0)作直线l:ax+by-a+2b=0(a,b不全为零)的垂线，
垂足为M,当a,b变化时，IOM的最小值为
A./2+1
B.2-1
C.1
D.3
8.定义：在数列a,中，2-a=d(n∈N),其中d为常数，则称数列{a,}为“等比
an+l an
差”数列.已知“等比差”数列{a,}中，a1=,=1,4,=3,则24=
022
A.1763
B.1935
C.2125
D.2303
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分
9.下列说法正确的有
A.从40个个体中随机抽取一个容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率都是0.25
B.已知一组数据1,2，m,6,7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C.数据26,11,14,31,15,17,19,23的50%分位数是18
D.若样本数据x1,x2,…,x.的标准差为4，则数据2x1+1,2x2+1,…,2x。+1的标准差为16
10.一个质地均匀的正四面体各面上分别标有数字1,2,3,4，抛掷该正四面体两次，记A为
“第一次向下的数字为偶数”，B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的有
A.P(A)=
B.事件A和事件B互为对立事件
C.P(BI A)=1
D.事件A和事件B相互独立
1Ⅱ.如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD,MB⊥BC,BC=CD=2AB=2,E为AB中点，以
DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=23,则下列说法正确的有
A.CD⊥平面EDP
B.四棱锥P-EBCD外接球的体积为43π
C二面角P-CD-B的大小为：
1
D.PC与平面PED所成角的正切值为2
12.关于函数f(x)=ln(er+1)-x,下列说法正确的有
A.f八x)在R上是增函数
B.f(x)为偶函数
C.f(x)的最小值为ln2,无最大值
D对V西e0.+),都有f(作到≥主
2
数学试卷第2页（共4页）2024届高三（9）月起点考试
数学参考答案
1~8:BADC DCBB
9.AC 10.ACD 11.ABC 12.BC
13. 40 14. 15. 16.
17.解：(1)
………………1分
由正弦定理得…………2分
由余弦定理可得…………3分
，
…………………………5分
(2)由余弦定理得
…………………………6分
由于，
……………………7分
故
………………………………10分
18.(1)证明：连接DP，则四边形DPCF是矩形．
又,则，从而…………2分
由平面ABC，且平面ABC，得
由，且PR为三角形ABC的中位线，得
又因为，AC，平面ADFC，
所以平面
由于平面，则…………4分
因为，平面PQR，则平面
又因为平面BCD，
所以平面平面…………………………6分
(2)解：以P为原点，PA、PR、PD为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
故，，
设是平面的法向量，则
取，得，…………………………………………8分
设是平面的法向量，则
取，得，……………………………………10分
设平面与平面相交所成角的平面角为，则
又…………11分
故所求余弦值为………………………………………………12分
19.解：（1）…………1分
在处取得极值，，解得……………………………2分
当时，，，在增，在减，故在 处有极大值，符合题意………………………………………………3分
，……………………………………………………4分
曲线在点处的切线方程为，
即为：……………………………………………………6分
（2）由在上为减函数，在上恒成立，
可得，在上恒成立……………………………………8分
令，，
在上单调递增，，,因此…………12分
20.解：(1)因为数列的前n项和为，且
当时，…………………………………………1分
当时，
也满足上式，所以…………………………3分
在数列中，……………………4分
则公比，
所求通项公式为,…………………………………6分
(2)由(1)得
而………………8分
…………11分
因为，故………………12分
21.解：(1)由题可知： …………………………2分
………………………………3分
(2)次操作后，甲盒有一个黑球的概率，由全概率公式知：
…………4分
………………………………………………6分
……………………………………………8分
,
即 …………………………………………9分
(3)，
又
即 …………10分
…………12分
22.(1)解：当点P为椭圆C短轴顶点时，的面积取最大值…………1分
结合及，解得
故椭圆C的标准方程为 …………4分
设点
若直线PQ的斜率为零，由对称性知，不合题意.……5分
设直线PQ 的方程为 ，由于直线PQ不过椭圆 C 的左、右顶点，则
联立 得，由可得
，………………………………………………6分
所以
解得 …………7分
即直线PQ的方程为，故直线PQ过定点 .…………8分
由韦达定理可得，
由平面几何知识
………9分
所以……10分
设则，当时
故在单调增……11分
因为，所以
因此，的最大值为…………12分

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