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2.4绝对值与相反数(三大考点典型例题探究)
【学习目标】
学会如何根据绝对值的非负性求值；
2．掌握绝对值的几何意义在数轴上的运用
3. 掌握绝对值与数轴的数形结合的方法求最值
【典型例题】
类型一、根据绝对值的非负性求值
【例1】若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．计算：
（1）x，y，z的值．
（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．
举一反三：
【变式1】已知，，且，求的值.
【变式2】若，求x的值。
【变式3】已知|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数．
（1）求a与b的值；
（2）若|x|＝2a+4b，求x的相反数．
类型二、利用绝对值的几何意义解题
【例2】同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
（1）求|4﹣（﹣2）|＝　　；
（2）若|x﹣2|＝5，则x＝　　；
（3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|＝3．
举一反三：
【变式1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是　　；表示﹣2和1两点之间的距离是　　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝2，那么x＝　　；
（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是　　，最小距离是　　．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝　　．
【变式2】已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且|a+4|+|b﹣1|＝0，A，B之间的距离记作|AB|，定义|AB|＝|a﹣b|．
（1）求线段AB的长|AB|；
（2）设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|﹣|PB|＝2时，求x的值．
【变式3】阅读材料并回答问题：
的含义是数轴上表示数的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；因此可以推断表示在数轴上数与数1对应的点之间的距离．例如，，就是在数轴上到1的距离为2的点对应的数，即为或；回答问题：
(1)若，则的值是______；
(2)利用上述方法解下列方程：①；②
【变式4】如图，数轴上标出的所以点中，相邻两点间的距离都相等，已知点A表示－16，点G表示8.
（1）表示原点的点是： ，点C表示的数是：
（2）若数轴上有两点M，N，点M到点E的距离为4，点N到点E的距离是3，求M，N之间的距离。
（3）点P为数轴上一点，且表示的数是整数，点P到A点的距离与P到G点的距离之和为24，则这样的P点有 个。
类型三、利用绝对值的性质求最值
【例3】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是　　；表示﹣2和1两点之间的距离是　　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝2，那么x＝　　；
（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是　　，最小距离是　　．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝　 ．
（5）当a＝　　时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是　　．
举一反三：
【变式1】数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．

利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和6两点之间的距离是　　　，数轴上表示1和的两点之间的距离是　　　．
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为　　．
(3)若x表示一个有理数，则的最小值＝　　　．
(4)若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的是　　．
(5)若x表示一个有理数，当x为　　，式子有最小值为　　．
【变式2】同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索
（1）求|5﹣（﹣2）|＝　　；
（2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝　　
（3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是　 　．
（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【变式3】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　　．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　　；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　 　．
（4）当a＝　　时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　　．
【巩固提升】
1.若|a﹣4|与|3+b|互为相反数，则b﹣a+（﹣1）的结果为（　　）
A．﹣6 B．﹣7 C．﹣8 D．﹣9
2.已知2x﹣3的绝对值与x+6的绝对值相等，则x的相反数为（　　）
A．9 B．1 C．1或﹣9 D．9或﹣1
3.如果|m|＝﹣m，m的取值范围为（　　）
A．m＞0 B．m＜0 C．m≥0 D．m≤0
4.有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数：①﹣a﹣1；②|a+1|；③2﹣|a|；④|a|中，在0到1之间的是（　　）
A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②③
5.若|a﹣2|+|b+3|＝0，则ba的值为 　　．
6.已知|x﹣y|+|y+2|＝0，则x+y＝　 　．
7.若|x﹣1|+（y 3）2＝0，则y﹣x＝　 　．
8.已知a＝﹣1，|﹣b|＝|﹣|，c＝|﹣8|﹣|﹣|，求﹣a﹣b﹣c的值．
9.已知有理数，，，且．
(1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来；
(2)化简：．
10.（1）画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“＞”将它们连接起来：
﹣3，﹣1.75，1，﹣0.5，
（2）数轴上点A表示的数为﹣3的绝对值，点B表示的数为1的相反数，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向正方向匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向负方向匀速运动，当运动时间为5秒时，请直接写出点P表示的数为 　 　，点Q表示的数为 　 　，点P和点Q之间的距离为 　 　个单位长度．
11.小亮把中山路表示成一条数轴，如图所示，把路边几座建筑的位置用数轴上的点，其中火车站的位置记为原点，正东方向为数轴正方向，公交车的站地为个单位长度（假设每两站之间距离相同）回答下列问题：
(1)到火车站的距离等于站地的是 ．
(2)到劝业场的距离等于站地的是 ．
(3)在数轴上，到表示的点的距离等于的点有 个，表示的数是 ．
(4)如果用表示图中数轴上的点，那么表示该点到火车站的距离，当时，或．请你结合图形解释等式表达的几何意义，并求出当时，的值．

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