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人教版八年级数学上册 11.1.1 三角形的边 导学案
【知识清单】
三角形及有关概念
1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
注意：1.不在同一条直线上；2.三条线段；3.首尾顺次相接。
2. 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，如下图的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC ”。
注意：表示三角形时，字母没有先后顺序.即：可以记作△ABC，也可记作△ACB。
3. 三角形的顶点
如图，△ABC的三个顶点分别是：A，B，C。
4. 三角形的边、内角
如图，△ABC的三条边分别是：AB，BC，CA。它的三个内角（简称三角形的角）分别是∠A，∠B，∠C。
注意：1. 三角形的三边用字母表示时，字母没有顺序限制。
2. 三角形的三边，有时也用一个小写字母来表示。
如：△ABC的三边中，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC也可表示为b，顶点C所对的边AB也可表示为c。
3. 一般情况下，我们把边BC叫做∠A的对边，AC，AB叫∠B的邻边；边AC叫∠B的对边，AB，BC叫∠B的邻边。
三角形的分类
1. 按角分类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
2. 按边分类：三边都不相等的三角形和等腰三角形。
三角形的三边关系
1. 三角形任意两边之和大于第三边；
2. 三角形任意两边之差小于第三边。
【典型例题】
考点1：三角形的识别与有关概念
例1．下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的定义：平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所组成的封闭图形，即可进行解答．
【详解】解：符合三角形概念的是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握：平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所组成的封闭图形是三角形，这三点称为三角形的顶点；三条线段称为三角形的边．
考点2：三角形的个数问题
例2．如图，其中三角形的个数是（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】A
【分析】根据图形数出三角形个数即可．
【详解】解：图中有、、，、共5个，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形个数问题，解题的关键是数形结合，找出所有的三角形．
考点3：三角形的分类
例3．在中，，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
【答案】A
【分析】设，则，可得关于x的方程，求出解即可得出答案．
【详解】设，则，根据题意，得
，
解得，
所以，
可知的形状是直角三角形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的判断，确定最大角的度数是判断三角形形状的常用方法．
考点4:构成三角形的条件
例4．如图，现有两根长度分别是和的木条，小明同学要把其中一根木条分成两段与另一根木条组成一个三角形的框架，那么小明应该选择分的木条是（ ）
A．的木条 B．的木条 C．两根都可以 D．两根都不可以
【答案】B
【分析】根据三角形三边关系定理：两边之和大于第三边求解．
【详解】解：因为，由“三角形两边之和大于第三边”知，应选择分的木条是．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形三边关系定理，理解三边关系定理是解题的关键．
考点5：确定第三边的取值范围
例5．小华有两根长度为的木棒，他想摆一个三角形木框摆件，现有、和五根木棒供他选择，则小华可选择的方式有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【分析】设选择的木棒长为，根据第三边大于两边之差小于两边之和即可求出范围，再结合题意即可得出答案．
【详解】由题意得，设选择的木棒长为，
则，即，
选择木棒长度可以是和，共3种
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三边关系是解题的关键．
考点6：三角形三边关系的应用
例6．河南某校八年级学生小华家和小军家到学校的直线距离分别是和，则小华和小军两家的直线距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系及小华家、小军家、学校三点共线时，小华和小军两家的直线距离满足小华和小军两家的直线距离，结合选项即可得到答案．
【详解】解：由题意可得小华和小军两家的直线距离，
故选：D．
【点睛】本题考查数学知识解决实际问题，掌握三角形三边关系是解决问题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．如图，在长方形中，，点在边上（不与点重合），点在边上（不与点重合），若图中直角三角形有个，钝角三角形有个，则的值为（ ）

A． B． C． D．或
2．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）．

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
3．如图中，三角形的个数为（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
4．如图，以为边的三角形共有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
5．已知三边a、b、c满足，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都不对
6．下列分类正确的是（ ）
A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形
B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形
C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形
D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形
7．有四条线段，它们的长分别为从中选三条构成三角形，其中正确的选法是（　　）
A． B． C． D．
8．下列哪组长度的三条线段能组成三角形（ ）
A．1cm、2cm、4cm B．3cm、4cm、7cm C．4cm、5cm、6cm D．5cm、3cm、2cm
9．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么点A与点B之间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
10．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（ ）
A．19 B．18 C．17 D．16
11．若边为、、，则　　
A． B． C． D．
12．已知三角形的两边长分别为2cm和6cm，则下列长度能作为第三边的是（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．11cm
二、填空题
13．如图，在中，的对边是 ．

14．如图，一共有 个三角形；从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则 ．
15．已知在锐角三角形中，，则取值范围是 ．
16．一个三角形的两边长分别为和，且第三条边长为整数，则第三条边长为 ．
17．中，已知，，则的取值范围是 ．
18．定义：三角形各边均为整数的三角形称为整边三角形，已知是整边三角形，三角形的三边长分别为a，b，c，且，当时，则符合条件的有 个．
三、解答题
19．如图，回答下列问题：
(1)写出以为顶点的三角形；
(2)写出为内角的三角形；
(3)写出以为边的三角形．
20．（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个；
（2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数．
21．已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长，并判断的形状．
22．若三角形的两边长分别是5和2，且该三角形的周长为偶数，求该三角形的第三边长c．
23．如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为．
(1)第三边的范围为______．
(2)当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）．
24．已知，的三边长为3，5，x．
(1)求x的取值范围；
(2)若的周长为偶数，求x的值．
参考答案
1．A
【分析】根据直角三角形的定义及钝角三角形的定义可知，，再根据乘方的运算法则即可解答．
【详解】解：∵在长方形中，，
∴直角三角形有，总共个，
∴，
∴钝角三角形有，总共个，
∴，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了直角三角形的定义，钝角三角形的定义，乘方的运算法则，掌握直角三角形的定义及钝角三角形的定义是解题的关键．
2．D
【分析】根据三角形的分类即可判定．
【详解】解：图中被木板遮住的三角形有可能是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形分类，解题关键是要理解三角形分类的依据，图中只能看到三角形的一个锐角，解题关键是理解另外两个角都可能是锐角，也可能有一个是直角或钝角．
3．C
【分析】根据不在同一直线上三点可以确定一个三角形进行求解即可．
【详解】解：由题意得，图中的三角形有，共5个三角形，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形的认识，按正确的顺序计算三角形的个数是解决本题的关键．
4．C
【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形．
【详解】解：以为边的三角形共有3个，它们是．
故选：C
【点睛】本题考查了三角形的定义．注意：题目要求找“以为边的三角形的个数”，而不是找“图中三角形的个数”．
5．C
【分析】根据平方和绝对值的非负性，得出，即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
即，
∴，
∴是等边三角形，即锐角三角形．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形的分类，解题的关键是掌握平方和绝对值的非负性，以及三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形．
6．D
【分析】根据三角形的分类即可求解．
【详解】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．把三条边互不相等的三角形称为不等边三角形；把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）.
7．C
【分析】利用三角形三边之间的数量关系，即三角形两边之和大于第三边解决问题
【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意；
B、，不能组成三角形，不符合题意；
C、，能组成三角形，符合题意；
D、，不能组成三角形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边之间的数量关系，其中用较小的两个边的和与第三边进行比较是解决问题的关键．
8．C
【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可.
【详解】解：A、∵，∴1cm、2cm、4cm的三条线段不能组成三角形；
B、∵，∴3cm、4cm、7cm的三条线段不能组成三角形；
C、∵，∴4cm、5cm、6cm的三条线段能组成三角形；
D、∵，∴5cm、3cm、2cm的三条线段不能组成三角形；
故选：C.
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，属于基础题型，熟知三角形的任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边是解题的关键.
9．D
【分析】根据三角形的三边关系得出之间的取值范围．
【详解】解：、、能构成三角形，
，即．
故选：D．
【点睛】考查了三角形的三边关系：已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
10．A
【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．
【详解】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：，
即，
∵a为整数，
∴a的最大值为9，
则三角形的最大周长为．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
11．D
【分析】根据三角形的三边关系得到，，根据绝对值的性质计算，得到答案．
【详解】解：、、是的三边，
，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系、绝对值的性质，熟记三角形的两边之和大于第三边是解题的关键．
12．B
【分析】设第三边为x，根据三角形三边之间的关系得出，进而得出答案．
【详解】解：设第三边为x，根据题意，得
，
即，
所以长度能作为第三边得是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，理解三角形三边关系是解题的关键.即“三角形第三边大于两边之差，小于两边之和”．
13．/
【分析】根据三角形的定义，找准所在三角形，然后确定答案即可．
【详解】解：在中，的对边是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的边、三角形的角的定义．
14． 6 4
【分析】根据三角形的定义，得出所有的三角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即可．
【详解】解：所有三角形为：共个．
其中青蛙不能落在中，其它均可，即个．
故答案为：
【点睛】本题考查三角形，在找三角形时，要做到不重不漏．
15．
【分析】由锐角三角形知，，，由，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：由锐角三角形知，，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角形．解题的关键在于熟练掌握锐角三角形中三个内角均小于．
16．2或3/3或2
【分析】根据三角形三边关系即可解答．
【详解】解：设第三条边长为x，可得：，即，
第三条边长为整数，
第三条边长为2或3．
故答案为：2或．
【点睛】本题考查三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
17．
【分析】直接根据三角形的三边关系即可得到答案．
【详解】解：中，已知，，
的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，熟练掌握此知识点是解题的关键．
18．
【分析】先确定的整数解，再根据三边关系，求解即可．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为a，b，c，且，，
∴，
∴，即：，
∴的值为：，的值为，
当时，不存在；
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴符合条件的有个；
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握两短边之和大于第三边时，三条线段能够组成三角形，是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接写出以为顶点的三角形即可；
（2）直接写出以为内角的三角形即可；
（3）直接写出以为边的三角形即可．
【详解】（1）解：以为顶点的三角形有：．
（2）解：以为内角的三角形有：．
（3）解：以为边的三角形有：．
【点睛】本题主要考查了三角形的定义、三角形的顶点、内角、边等知识点，理解三角形的定义是解答本题的关键．
20．（1）10；24；（2）个
【分析】（1）根据三角形的定义，三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形来判断图1和图2中三角形的个数即可；
（2）通过数三角形的个数可知，图1中有10个三角形，图2中，增加一条线后三角形的个数为，增加2条线后，三角形的个数为，增加3条线后，三角形的个数为，依次类推即可推出增加条线后，三角形的个数，据此即可得到增加10条线后三角形的个数．
【详解】解：（1）根据三角形的定义可得图1中三角形个数为10；
根据三角形的定义可得图2中三角形个数为24；
（2）增加1条线，三角形个数为：；
增加2条线，三角形个数为：；
增加3条线，三角形个数为：；
则增加条线，三角形个数为：，
所以增加10条线，三角形个数为个；
【点睛】本题考查了三角形的定义，列代数式，列整式，找规律等知识点，解答本题的关键是根据增加线段的数量找出增加三角形的个数与增加线段的关系．
21．的周长为17，是等腰三角形．
【分析】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程的解，即可得到或1，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长，以及的形状．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∵a为方程的解，
∴或1，
当时，，
不能组成三角形，故不合题意；
∴，
∴的周长，
∵，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，等腰三角形的定义，掌握非负数的性质是解题的关键．
22．5
【分析】设第三边长为c，根据三边关系得出，根据周长为偶数，得出．
【详解】解：∵三角形的两边长分别是5和2，
设第三边长为，则，即
∵周长为偶数，，则c为奇数，
∴．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
23．(1)
(2) 底边和腰不相等的等腰三角形
【分析】（1）三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，据此可求得答案．
（2）先求得第三边的长度，然后计算三角形的周长并按边的相等关系分类即可．
【详解】（1）根据三角形两边的和大于第三边，则
．
即．
根据三角形两边的差小于第三边，则
．
即．
综上所述
．
故答案为：．
（2）∵第三边的长为奇数，
∴第三边的长为．
∴三角形的周长．
∵两条边的长为，另外一条边的长为，
∴这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形．
【点睛】本题主要考查三角形三边之间的大小关系以及三角形按边的相等关系分类，牢记三角形三边之间的大小关系（三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边）和三角形按边的相等关系分类是解题的关键．
24．(1)
(2)4或6
【分析】（1）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可解答；
（2）根据（1）中求出的x的取值范围，选择符合题意的x的值进行计算即可．
【详解】（1）解：∵的三边长为3，5，x，
∴，
即；
（2）解：∵的三边长为3，5，x，的周长为偶数，
∴为偶数，
∵，8为偶数，，
∴为4或6．
【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
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