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彭山一中高24届高三第一学期入学考试
理科数学试题 2023.9.1
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知第二象限角满足，则( )
A. B. C. D.
6 设O为平面坐标系坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A. B.
C. D.
7. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙充分条件也不是乙的必要条件
8. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A. 30种 B. 120种
C. 60种 D. 240种
9. 已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A. B.
C. D.
10. 双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
11. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则( )
A. B. C. D.
12. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______
14. 在的展开式中，项的系数为_________．
15. 已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数为___________.
16. 在四面体ABCD中，，，，则四面体外接球的表面积的最小值为_______________.
三、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分12分）
在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为，，，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为．
（1）.求的值；
（2）.设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为，求随机变量的分布列．
18. （本题满分12分）
记为等差数列的前项和，已知．
（1）.求的通项公式；
（2）.求数列的前项和．
19.（本题满分12分）
记的三个内角分别为，其对边分别为，分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，.
（1）.求的面积；
（2）.若，求.
20.（本题满分12分）
如图，三棱锥中，，，，为的中点．
（1）.证明：；
（2）.点F满足，求二面角的正弦值．
21.（本题满分12分）
设函数，已知是函数的极值点．
（1）.求；
（2）.设函数．证明:．
四、选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的标号涂黑．
22. ［选修4-4：坐标系与参数方程］
在平面直角坐标系中，曲线C的方程为，直线l过点且倾斜角为．以坐标原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）.写出直线l的参数方程（用P点坐标与表示）和曲线C的极坐标方程；
（2）.设直线与曲线交于两点，求的最小值．
23. ［选修4-5：不等式选讲］
已知函数，函数的最小值为．
（1）.求的值；
（2）.已知均为正数，且，求的最小值．
彭山一中高24届高三第一学期入学考试
理科数学试题 2023.9.1
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B C D D A C B B C D A
二、填空题：
13 .
14 .
15.
16.
三、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解：（1）因为甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为，所以．………………………..5分
（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．…………………….6分
，
，
，
．………………………………….10分
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
………………………………………………………………………12分
18. 解： （1）.设等差数列的公差为，
由题意可得，即，
解得，
所以，………………..5分
（2）.因为，………………6分
令，解得，且，
当时，则，
可得；………….9分
当时，则，
可得
；……….11分
综上所述：……………………..12分
19.解：（1）由，得，即，
由余弦定理得，
所以，且.……………………………………………………3分
因为，
所以，从而，
因此的面积为.……………………………6分
（2）由正弦定理得，，
由题设得.
由（1）知，所以.…………………………………………………12分
20. 解：（1）.连接，因为E为BC中点，，
所以①，
因为，，
所以与均为等边三角形，
，从而②，
由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．………………4分
（2）.不妨设，
，．
，
，
又，平面
平面．……………………………………………………...6分
以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，………………………7分
设平面与平面的一个法向量分别为，
二面角平面角为,而，
因为，
所以，即有，
，
取，所以；……
，
取，所以，…………………………………………..10分
所以，，从而．
所以二面角的正弦值为．………………………………..12分
21. 解：（1）由，，
又是函数的极值点，
所以，解得；…………………….4分
（2）[方法一]：转化为有分母的函数
由（Ⅰ）知，，其定义域为．
要证，即证，即证．…………6分
（ⅰ）当时，，，即证．
令，因为，
所以在区间内为增函数，所以．………………8
（ⅱ）当时，，，即证，
由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，
所以．………………………………..10分
综合（ⅰ）（ⅱ）有．………………………..12分
[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数
由（1）得，，且，
当 时，要证，
，
，即证，化简得；
同理，当时，要证，
，
，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，故；
当时，，单增，故；
综上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明
令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．
（ⅰ）当时，，所以，即，所以．
（ⅱ）当时，，同理可证得．
综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即．
22.（1）.因为直线l过点且倾斜角为，
则直线l的参数方程为（为参数），……………..2分
把代入方程
得：，
所以曲线C的极坐标方程是…………………………5分
（2）.由（1）知，把直线l的参数方程代入方程得：
，
设点所对参数分别为，则，………………7分
因此
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为……………………………………….10分
23. （1）.依题意，，
当且仅当，即时取等号，
所以k的值为3……………………………………………..5分
（2）.由（1）知，，而均为正数，
所以，
当且仅当时取等号，
由解得，
所以当时，取得最小值……………….10分

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