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人教A版（2019）必修第一册4.5.1函数的零点与方程的解
（共17题）
一、选择题（共10题）
已知函数 ，则 的零点个数为
A． B． C． D．
函数 的零点个数为
A． B． C． D．
已知 是函数 的一个零点．若 ，，则
A． ， B． ，
C． ， D． ，
下列函数中在区间 内有零点的是
A．
B．
C．
D．
已知函数 ，则 的零点个数为
A． B． C． D．
已知函数 ，若函数 恰有三个不同的零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
已知函数 （，且 ）在 上单调递减，且关于 的方程 恰好有两个不相等的实数解，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
函数 的图象在区间 内与 轴交点的个数是
A． B． C． D．
若函数 在 上有零点，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
已知函数 ，其中 表示不超过实数 的最大整数．若关于 的方程 有三个不同的实根，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
二、填空题（共4题）
函数零点概念
一般地，对于函数 ，如果存在实数 ，当 时，，那么就把 叫做函数 的 ．
实际上，函数 的零点就是方程 的解，也就是函数 的图象与 轴的交点的 ．
方程 有两个不相等的负实数根的充要条件是 ．
在平面直角坐标系 中，若直线 与函数 的图象只有一个交点，则 的值为 ．
方程 的根为 ；方程 的两根是 ．
三、解答题（共3题）
已知函数 ．
(1) 求 的值并直接写出 的零点．
(2) 用定义证明 在区间 上为减函数．
已知函数 ．
(1) 若 ，且函数 有零点，求实数 的取值范围；
(2) 当 时，解关于 的不等式 ；
(3) 若正数 ， 满足 ，且对于任意的 ， 恒成立，求实数 ， 的值．
已知函数 ，，，且该函数的图象经过点 ，．
(1) 求 ， 的值．
(2) 已知直线 与 轴交于点 ，且与函数 的图象只有一个公共点．求 的最大值（其中 为坐标原点）．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】C
【解析】 时，，则 或 （舍）；
时，，则 ，
故 共有 个零点，为 和 ．
2. 【答案】B
【解析】 是增函数，又 ，，
所以 ，
所以 有且只有一个零点．
3. 【答案】B
【解析】因为函数 ， 在 上均为增函数，
所以函数 在 上为增函数，
所以由 ，，得 ，
由 ，，得 ．
4. 【答案】A
【解析】令 ，
则函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，
因为 ，
，
所以 ．
5. 【答案】C
【解析】当 时，令 ，得 ；
当 时，令 ，得 ．
6. 【答案】B
7. 【答案】C
【解析】 在 递减，
函数 在 上单调递减，则：
解得，
，
由图象可知，
在 上， 有且仅有一个解，
故在 上， 同样有且仅有一个解，
当 即 时，联立 ，
则 ，
解得 或 （舍去），
当 时，由图象可知，符合条件，
综上： 的取值范围为 ，
故选：C．
8. 【答案】B
【解析】令 ，即 ，则 ．
在同一平面直角坐标系中画出 和 的图象（如图所示），
由图可知两图象在区间 内只有一个交点，
所以函数 的图象在区间 内与 轴只有一个交点．
9. 【答案】A
【解析】 ，即 ，即函数 的图象与直线 在 上有公共点，直线 过定点 且斜率为 ，如图所示：
曲线 在 上的两个端点与点 连线的斜率分别为 ，，结合图象分析可知 ．
故选A．
10. 【答案】B
【解析】函数 的图象如图所示：
表示恒过 点斜率为 的直线．
若方程 有 个相异的实根．
则函数 与函数 的图象有且仅有 个交点．
由图可得：
当 过 点时，，
当 过 点时，，
当 过 点时，，
当 过 点时，，
则实数 满足 或 ．
二、填空题（共4题）
11. 【答案】零点；横坐标
12. 【答案】
【解析】因为方程 有两个不相等的负实数根，且 ，
所以只需 即 解得 ，
所以方程 有两个不相等的负实数根的充要条件是 ．
13. 【答案】
【解析】函数 的图象如图所示．
因为直线 与函数 的图象只有一个交点，
故 ，解得 ．
14. 【答案】 ， ； ，
三、解答题（共3题）
15. 【答案】
(1) ，
所以 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ，即 ，
故 的零点为 和 ．
(2) 任取 ，
则 ，
因为 ，，，
所以 ，
即 ，
所以 在 上单调递减．
16. 【答案】
(1) 时，，
由函数 有零点，可得 ，即 或 ．
(2) 时，，
当 ，即 时， 的解集为 ，
当 ，即 时， 的解集为 ，
当 ，即 时， 的解集为 ．
(3) 二次函数 开口向上，对称轴 ，由 可得 在 单调递增，
因为 时， 恒成立，
所以 ，即 ，即 ，
由 ，可得 ，
则 ，由 可得 ，即 ，则 ，
此时 ，则 ．
17. 【答案】
(1) 由题知 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
(2) 直线 与 图象只有 个公共点，
易知 分别在 ， 上为单调递增函数，且 为奇函数，
图象为：
所以 ，
当 时，，
所以 ，
令 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以 ，
所以当 ，．

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