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人教版八年级数学上册 11.2.1 三角形的内角 导学案
【知识清单】
三角形内角和定理
1.文字叙述：三角形三个内角的和等于180°。
2.几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
3.三角形内角和定理的“三个应用”
(1)已知两个角的度数求第三个角的度数.
(2)已知一个角的度数求另外两个角度数的和.
(3)已知三个角的度数关系，求这三个角的度数.
直角三角形的性质
1.文字叙述：直角三角形的两个锐角互余。
2.几何语言：在Rt△ABC中，由∠C=90°，得∠ A + ∠ B = 90°
直角三角形的判定
1.文字叙述：有两个角互余的三角形是直角三角形。
2.几何语言：在△ABC中，由∠ A + ∠ B = 90°，得∠C=90°，即△ABC是直角三角形。
【典型例题】
考点1：三角形内角和定理的证有
例1．如下图所示，能利用图中作法：过点作的平行线，证明三角形内角和是的原理是（ ）

A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】B
【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得两直线平行，内错角相等，进而即可求解．
【详解】解：∵
∴（两直线平行，内错角相等）
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
考点2：与平行线有关的三角形内角和问题
例2．如图，，，相交于点，如果，，那么的度数是( )

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，得到，由三角形内角和定理，即可求出的度数．
【详解】解：，
，
，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
考点3：与角平分线有关的三角形内角和问题
例3．如图，已知中，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角形的内角和定理，可求，又由是的平分线，可求，再由是边上的高，可知，可求，所以．
【详解】解：在中，，
是的平分线，
，
又是边上的高，
，
在中，
．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理，一定要熟记于心．
考点4：三角形折叠中的角度问题
例4．如图，三角形纸片中，，，将纸片的一角沿折叠，使点落在内，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据三角形的内角和定理可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据折叠的性质即可得．
【详解】解：在中，，，，
，
在中，，
折叠，
，
即，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和是180度是解题关键．
考点5：三角形两个锐角互余
例5．一个三角形三个内角度数的比是，这是一个（ ）三角形
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据三个内角的度数之比与三角形的内角和为，求出最大的内角的度数，即可作出判断．
【详解】最大的内角的度数为：，
所以这是一个锐角三角形．
故选：A
【点睛】此题考查了按比例分配问题，注意隐含条件三角形的内角和．
考点6：直角三角形的外角
例6．在中，，，是的高，是的角平分线，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵是的高，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．如下图所示，能利用图中作法：过点A作的平行线，证明三角形内角和是的原理是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等
C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
2．如图，将一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边，之间，则下列结论中：①；②：；③；④若，则．其中正确结论的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（　　）
A．59° B．60° C．56° D．22°
4．如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．将一个直角三角板与一个直尺按如图所示的方式摆放，若，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．若两个角的和为180°，则这两个角互补
B．有两个锐角的三角形是直角三角形
C．同号的两个数的和一定是正数
D．不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向不变
二、填空题
7．如图，，直线分别交于，平分，若，则的度数为 ．

8．如图，，，，，则 ．

9．在中，是边上的高线，且，，平分交于点，则的度数为 .
10．如图，在中，点D是的中点，点E和点F是和上任意一点，将沿和翻折，使点B和点C的对应点重合于点M处，若，则的度数为 度．

11．如图，含角的直角三角尺放置在上，角的顶点D在边上，，且．若，则的度数为 ．

12．直角三角形的三个内角之比为，则的值是 ．
三、解答题
13．阅读下列材料，并完成相应任务．
小学我们就知道三角形内角和是，怎样说理呢？已知三角形，请对说理．（要求用两种方法）

14．如图，已知，，．

(1)求的度数；
(2)若，判断与的位置关系，并说明理由．
15．如图，在中，，平分.若，求的度数．

16．如图，在中，，，平分交于点，是边上的动点（不与，重合），连结，将沿翻折得，连结，记．

(1)如图，当与重合时，求的度数．
(2)当与不重合时，记，探究与的数量关系．
17．如图，四边形中，，，分别是，的平分线，，交于点O，求证：．

18．如图，中，，，平分，于D，于F．

(1)求的度数；
(2)求的度数．
参考答案
1．B
【分析】根据题意得，，则，，根据平角的性质得，即可得．
【详解】解：根据题意得，，
∴，，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解决本题的关键．
2．C
【分析】过C点作，根据平行线的性质，对顶角相等，三角形内角和定理以及三角板的特点即可作答．
【详解】解：过C点作，如图，
结合图形，根据含角的直角三角板的特点可知：，，，
根据题意有：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵（对顶角相等），
∴，
若
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故正确的有：②③④，即正确的有3个；
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键．
3．A
【分析】根据三角形的内角和定理可求，由角平分线的定义可求，在中再次利用三角形的内角和定理可求，即可求解．
【详解】解：∵为的高
∴
∵，
∴，
∵是角平分线，
∴
在中，．
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和定理．熟记相关结论是解题关键．
4．D
【分析】根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出，，将已知数据代入，即可求解．
【详解】解：如图所示，

依题意，
∴
即
，
∵
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
5．D
【分析】根据，得到，结合得到得度数．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，补角，熟练掌握性质是解题的关键．
6．A
【分析】根据正确的命题是真命题，互补，直角三角形，不等式的性质，进行判断作答即可．
【详解】解：若两个角的和为180°，则这两个角互补，A正确，是真命题，故符合要求；
有两个锐角互余的三角形是直角三角形，B错误，不是真命题，故不符合要求；
同号的两个数的和不一定是正数也有可能是负数，C错误，不是真命题，故不符合要求；
不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变，D错误，不是真命题，故不符合要求；
故选：A．
【点睛】本题考查了真命题，互补，直角三角形，不等式的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
7．
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．
8．74
【分析】根据，算出，由得出，根据三角形内角和即可求解；
【详解】
故答案为
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质并能够熟练运用．
9．或
【分析】分三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；

如图所示：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故答案为：或．

【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
10．88
【分析】根据折叠得出，，求出，根据，得出，求出，根据折叠得出，，求出，最后求出结果即可．
【详解】解：根据折叠可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
，
根据折叠可知，，，
∴
，
∴
．
故答案为：88．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
11．/75度
【分析】先根据垂直、余角的定义求出，再根据三角形内角和定理求出，最后利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，

，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂直的定义、三角形内角和定理、平行线的性质等，难度一般，解题的关键是掌握上述知识点并熟练运用．
12．或
【分析】分两种情况来进行求解，当所对的角为直角或所对角的为直角时，根据直角三角形的性质，求解即可．
【详解】解：直角三角形的三个内角之比为，设三个内角分别为，，
当所对的角为直角时，利用直角三角形的性质可得：
解得
当所对角的为直角时，利用直角三角形的性质可得：
解得
故答案为：或
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键，注意分情况讨论．
13．见解析
【分析】方法一：过点A作，根据平行线的性质即可证明；方法二：如图，延长至，过点作，根据平行线的性质即可证明．
【详解】解：方法一：如图，过点A作直线，

∵，
∴，，
∵，
∴，即三角形内角和是．
方法二：如图，延长至，过点作．

∴，
，
∵
∴，即三角形内角和是．
【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，正确作出辅助线，掌握转化与回归思想是解题的关键．
14．(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）的延长线交于点，可求，从而可求，即可求解；
（2）延长交于点，可求，从而可求，即可求证．
【详解】（1）解：如图，的延长线交于点，，

，，
，
，
，
；
（2）证明：，理由如下：
如图，延长交于点，

由（1）知，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，理解定义，掌握性质是解题的关键．
15．，
【分析】根据直角三角形的性质，角的平分线的意义，三角形内角和定理计算．
【详解】解：，
．
平分
．
是边上的高，
，
，
．
在中，．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，角的平分线的意义，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
16．(1)
(2)见解析
【分析】（1）由，，得，根据平分，与重合，即得，从而；
（2）分两种情况：①当点在线段上时，可得，根据，即可得；②当点在线段上时，延长交于点，由，又，可得，．
【详解】（1）解：，，
，
平分，与重合，
在边上，，
，
；
∴的度数为；
（2）①当点在线段上时，如图：

将沿翻折得，
，
，，
，
又，，，
，
，
②如图2，当点在线段上时，延长交于点，如图：

将沿翻折得，
，
，，
，
又，，
，
，
；
综上所述，当点在线段上时，；当点在线段上时，．
【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及轴对称变换，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形内角和定理．
17．见解析
【分析】根据得出，根据平行线的性质得到；然后根据角平分线的性质推知，即，即可得结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判断性质，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判断和性质是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出；
（2）根据，得出，求出，得出，根据，求出．
【详解】（1）解：∵中，，，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂线定义，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理，求出．
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