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人教版八年级数学上册 11.3.1 多边形 导学案
【知识清单】
多边形
多边形的概念:平面内，不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接，所得到的封闭图形叫多边形。
多边形的表示方法：多边形用图形名称以及它的各个顶点的大写字母表示，字母按照顶点的顺序书写，可以顺时针也可以逆时针。例如：五边形ABCDE。
多边形的相关概念
概念 图形
边 组成多边形的各条线段
顶点 相邻两条边的公共端点
内角 多边形相邻两边组成的角
外角 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角
对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段
凸多边形
定义：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。反之，称为凹多边形，本节只讨论凸多边形。如图①为凸多边形，②为凹多边形。
正多边形
定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
常见的正多边形
【典型例题】
考点1：多边形的概念与分类
例1．下列说法正确的有（ ）
①圆上任意两点，间的部分叫做扇形
②钟面上的时间为8点30分时，时针与分针的夹角为75°
③正三角形、长方形和正方形都是正多边形
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据圆弧的定义、钟面角、正多变的定义及度分换算进行逐一判断即可．
【详解】解：①圆上任意两点，间的部分叫做弧，故①错误；
②钟面上的时间为8点30分时，时针与分针的夹角为，故②正确；
③长方形不是正多边形，故③错误；
④，故④错误，
故选A．
【点睛】本题考查了圆弧的定义、钟面角、正多变的定义及度分换算，熟练掌握其基本知识是解题的关键．
考点2：多边形截角后的边数问题
例2．若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　）
A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6
【答案】C
【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可．
【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形；
所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边．
考点3：多边形的周长
例3．如图，将沿着方向平移得到，使得点为中点．若的周长是12，，则四边形的周长为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【分析】根据平移性质，平移后图形形状大小不变，则，再由点为中点得到，则，结合的周长是12，即可得到四边形的周长．
【详解】解：将沿着方向平移得到，
，，
点为中点，
，则，
四边形的周长为
的周长是12，
四边形的周长为，
故选：D．
【点睛】本题考查平移性质、中点定义及求三角形、四边形周长，数形结合，灵活运用平移性质是解决问题的关键．
考点4：网格中多边形面积比较
例4．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．

A．8 B．6 C．6.5 D．7.5
【答案】B
【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答．
【详解】解：连接和，则
．

故选：B．
【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键．
考点5：多边形对角线的条数问题
例5．如图，要使六边形木架不变形，至少要再钉上（ ）根木条
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】六边形只要作出通过一个顶点的三条对角线，即可把六边形分成四个三角形，利用三角形的稳定性即可解答．
【详解】解：六边形只要作出通过一个顶点的三条对角线，即可把六边形分成四个三角形，则要使六边形不变形，则至少要钉上3根木条．
故选 C．
【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，如何把六边形分成最少的三角形是解题的关键．
考点6：对角线分成的三角形个数问题
例6．从边形的一个顶点引出的对角线把它最多划分为个三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式即可求边数．
【详解】解：依题意有，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．
【巩固提升】
选择题
1．下列图形中，属于多边形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
3．若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　）
A． B．
C． D．
4．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
5．过多边形的一个顶点可以作3条对角线，则这个多边形的边数是（ ）．
A．五 B．六 C．七 D．八
6．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是（　　）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
二、填空题
7．如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．

8．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ．
9．如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ．
10．如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成个正方形，那么新正方形的边长是
11．若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ．
12．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成2023个三角形，则这个多边形的边数为 ．
三、解答题
13．如图1，在五边形中，．

(1)猜想与之问的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，连接，若平分，求的度数．
14．用平面截正方体，其截面可能是某些多边形，如果截去的几何体是三棱锥，剩下的几何体还有多少个顶点？试在图8中画出形状不相同的几种．（至少画三种）

15．如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）．
(1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？
(2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由．
16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点处，现将三角形平移得到三角形，使点的对应点为点，点的对应点为点．
(1)请画出平移后的三角形；
(2)求三角形的面积．
17．（1）计算：．
（2）过边形的一个顶点有3条对角线，正边形的边长为5，周长为40，试求的值．
18．课本上介绍了求多边形的内角和的方法：过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题，从而得到边形的内角和等于．现在再提供一种添辅助线的方案，请将方案补充完整，并说明“边形的内角和等于”．
（注：此为时的示意图，说明问题时注意多边形为n边形）
如图，P为n边形．内边上的任意一点（不与点，重合），连接，，…，，那么n边形被分成了（ ）个三角形，由此推理n边形的内角和定理．
参考答案
1．C
【分析】根据多边形的定义，即可求解．
【详解】解：A、不属于多边形，故本选项不符合题意；
B、不属于多边形，故本选项不符合题意；
C、属于多边形，故本选项符合题意；
D、不属于多边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键．
2．C
【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选C
【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
3．C
【分析】根据长方形周长的计算公式求解．
【详解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n，
故选C．
【点睛】本题考查长方形的应用，熟练掌握长方形周长的意义和计算公式是解题关键．
4．D
【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可．
【详解】解：如图，
，
，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键．
5．B
【分析】过n边形的一个顶点可以作条对角线，据此解答即可．
【详解】解：∵过多边形的一个顶点可以作3条对角线，
∴这个多边形的边数为；
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握过n边形的一个顶点可以作条对角线是解题关键．
6．B
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，
解得：，
即这个多边形是八边形，
故选∶B．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题的关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形．
7． 四边形 五边形 八边形 四边形 五边形
【分析】根据多边形的定义，数出边数即可求解．
【详解】解：如图所示的多边形分别是（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形；
故答案为：（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形．
【点睛】本题考查了多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的 线段 首尾顺次连接且不 相交 所组成的封闭图形叫做多边形．
8．14或15或16
【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可．
【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边，
∴此时原多边形的边数为；
如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同，
∴此时原多边形的边数为15；
如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边，
∴此时原多边形的边数为；
综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16．
故答案为：14或15或16．
【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
9．20，22，26，28
【分析】以直角三角形边长相等的边为公共边，拼接四边形，再计算周长；
【详解】解：①如图周长=20；
②如图周长=22；
③如图周长=26；
④如图周长=28；
⑤如图周长=22；
∴四边形的周长为：20，22，26，28；
故答案为：20，22，26，28．
【点睛】本题考查了图形的拼接，四边形的周长；作出拼接图形是解题关键．
10．
【分析】用阴影部分所在的正方形的面积减去两个直角三角形的面积，得到阴影部分的面积，再根据算术平方根的性质，即可求解．
【详解】解：根据题意得： 阴影部分的面积为，
∴新正方形的边长是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
11．500
【分析】若过边形的一个顶点有7条对角线，则；边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而；边形有条对角线，即得到方程，解得；正边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而．代入解析式就可以求出代数式的值．
【详解】解：边形从一个顶点发出的对角线有条，
，，，；
则．
故答案为：500
【点睛】本题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握边形从一个顶点发出的对角线有条，共有对角线条．
12．2025
【分析】根据多边形的边数=三角形的个数+2，即可求解．
【详解】解：∵过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成2023个三角形，
∴这个多边形的边数为，
故答案为：2025．
【点睛】本题主要考查多边形的边数，理解多边形和三角形之间的联系是解题的关键．过n边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形．
13．(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据可得，结合已知条件可得，进而可得结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得关于的方程，求出即可解决问题．
【详解】（1）猜想：，
理由：，
，
，
，
；
（2）平分，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
．

【点睛】本题以多边形为载体，考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义以及一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
14．剩下的几何体可能有7个、8个、9个、10个顶点 见解析
【分析】截去正方体的一个顶点，根据截面是否过与该顶点最近的三个顶点可知需要分四种情况.
【详解】剩下的几何体可能有7个、8个、9个、10个顶点，如图所示．（答案不唯一）
【点睛】本题考查平面截几何体,解题的关键是知道平面截正方体时,穿过了几个面或与几条棱相交.
15．(1)，，
(2)周长最大，最短，理由见解析
【分析】（1）画出图形可得结论；
（2）根据（1）中结论结合，再判断即可．
【详解】（1）解：如图，
图形有四种情形，周长为：或或.
（2）周长的最大值为，最小值为.
理由：由题意可得：，
因为，所以，
因为，所以，
∴，
周长的最大值为，最小值为.
【点睛】本题考查图形的拼剪，不等式的性质，长方形的性质，多边形的周长等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据图形平移的性质分别找到平移前后对应的顶点位置，然后连线即可；
（2）采用割补方法，利用矩形面积减去多余直角三角形的面积即可．
【详解】（1）解：通过观察，发现点向右移动格，向下移动格即可得到对应点，将点、按照同样的平移方式，即可分别得到对应点、，然后顺次连接即可得到如下三角形，
（2）解：由图像可得，
则三角形的面积为．
【点睛】本题考查了图像的平移，网格中三角形的面积计算，掌握网格中图像平移的性质并掌握网格中的面积计算是解题关键．
17．（1）；（2）的值是2
【分析】（1）先计算乘方、绝对值，在计算乘除、最后计算加减；
（2）根据多边形的一个顶点有3条对角线，可知，正边形的边长为5，周长为40，可求，由此即可解题．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：由已知得，，
所以，
即的值是2．
【点睛】本题考查了有理数的计算、正多边形的性质，解（1）要掌握有理数计算法则和顺序．解（2）是要掌握：从边形的一个顶点出发，能引出条对角线，
18．
【分析】根据图形分别确定出四边形、五边形、六边形可以被分成的三角形的个数，然后归纳总结即可解答．
【详解】解：三角形时，,有2个三角形，
四边形时，有3个三角形，
五边形时，有4个三角形，
……
n边形时，有个三角形．
故答案为．
【点睛】本题考查了多边形内角和，读懂题目信息并准确识图，准确计算出三角形的个数的变化规律是解题的关键．
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