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人教版八年级数学上册 11.3.2 多边形 导学案
【知识清单】
多边形的内角和
多边形的内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）×180°。
多边形的内角和推理方法
方法1：如图1所示，从n边形的一个顶点引出(n-3)条对角线，这(n-3)条对角线把n边形分成(n-2)个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为（n-2）×180°。
方法2：如图2所示，在n边形内任取一点P，连接PA1，PA2……PAn，把n边形分成n个三角形，这n个三角形的内角和为n ×180°，再减去一个周角，即得n边形的内角和为n×180° -360°=（n-2）×180°。
方法3：如图3所示，如图所示，在n边形的 一边上任取一点P与各顶点相连，得（n-1）个三角形，n边形内角和等于这（n-1）个三角形的内角和减去在点P 处的一个平角，即得n边形的内角和为（n-1）×180° -180° =（n-2）×180°。
多边形的外角和
性质：多边形的外角和等于360°。
多边形的边数与内角和、外角和的关系
1、n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
2、多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.
3、正n边形：正n边形的内角的度数为，外角的度数为.
【典型例题】
考点1：多边形内角和问题
例1．一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数等于（ ）
A．四 B．五 C．六 D．七
【答案】B
【分析】利用n边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案．
【详解】解：根据多边形的内角和可得：，
解得：，
这个多边形的边数等于五，
故选：B．
【点睛】此题考查多边形的内角和问题，关键是掌握n边形的内角和公式．
考点2：正多边形内角问题
例2．如图，五边形的内角都相等，且，，则x的值为（ ）

A．32 B．36 C．44 D．54
【答案】B
【分析】由五边形的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再求出，从而可求出x的值．
【详解】解：五边形的内角和是，
∵五边形的内角都相等，
∴每个内角为，
∴，
又∵，，
∴由三角形内角和定理可知，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，解题的关键是求出．
考点3：复杂图形的内角和
例3．如图，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
考点4：多边形外角和的实际应用
例4．若一个多边形的每个内角都为，则它的边数为（　　）
A．6 B．8 C．5 D．10
【答案】B
【分析】根据邻补角关系，求得多边形的外角度数，用多边形的外角和定理计算即可．
【详解】解：∵一个正多边形的每个内角都为，
∴这个正多边形的每个外角都为：，
∴这个多边形的边数为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了已知多边形的内角求边数，熟练将内角度数转化为外角度数是解题的关键．
考点5：多边形内角和与外角和综合
例5．下列多边形中，内角和等于外角和的是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式和多边形的外角和为列方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，
根据题意，得，
解得，即这个多边形是四边形，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的内角和和外角和，熟记多边形的内角和公式是解答的关键．
考点6：平面镶嵌
例6．有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ）

A．①②④ B．①② C．①④ D．②③
【答案】D
【分析】只需要计算各个选项中的一个顶点处的角是否能组合成一个周角即可得出答案.
【详解】解：A、若有一个正三角形、两个正方形、一个正六边形，则在一个顶点处的角的和为，能铺满地面，故①②④的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；
B、若有三个正三角形、两个正方形，则在一个顶点处的角的和为，能铺满地面，故①②的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；
C、若有两个正三角形、两个正六边形，则在一个顶点处的角的和为，能铺满地面，故①④的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；
D、由于正五边形的内角为，正方形的内角为，在一个顶点处不能构成一个周角，故不能铺满地面，故②③的正多边形瓷砖图案不可以进行平面镶嵌；
故选：D.
【点睛】本题考查了平面镶嵌，解决此类问题的关键是明确一个顶点处的角是否能组合成一个周角.
【巩固提升】
选择题
1．如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（ ）

A． B． C． D．
2．如图，是正六边形，，分别是，上的点，且，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
3．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（　　）
A．1 B．1 C．1 D．1
4．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7
5．如图，多边形ABCDEFG中， ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．正六边形的一个外角的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法错误的是（ ）
A．正五边形的外角和为360° B．三角形的内角和为180°
C．六边形有18条对角线 D．三角形中至少有两个锐角
8．八边形的内角和是外角和的( )倍
A．2 B．3 C．4 D．5
9．定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌．若用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是（ ）
A．正方形 B．正六边形 C．正十二边形 D．正十八边形
二、填空题
10．正十二边形的内角和是 度．
11．如图，正方形的边在正五边形的边上，则 ．

12．一个长方形切去一个角后，形成另一多边形的内角和为 ．
13．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ．
14．有一个周长为的正多边形，其内角比与它相邻的外角大，则它的边长为 ．
15．若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是 ．
16．已知一个多边形的每一个内角都比与它相邻的外角的4倍多，则这个多边形的边数为 ．
17．现有几种边长相同的正多边形地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形，每一种正多边形地砖的大小形状都相同，且都有很多块，如果只选用其中的两种正多边形地砖镶嵌，那么能够铺满地面的组合情况有 种．
三、解答题
18．如图，在五边形中满足．求图形中的x的值．

19．已知一个正n边形的内角和是三角形内角和的4倍．
(1)求n．
(2)求正n边形每个内角的度数；
(3)用足够多边长相等的这种正n边形和正三角形两种地板镶嵌地面，则一个顶点处需要此正n边形和正三角形的地板块数分别为：______．
20．如果一个正多边形的每个外角都为45°．
(1)求这个正多边形的边数；
(2)若截去一个角（截线不经过多边形的顶点），求截完角后所形成的另一个多边形的内角和．
21．已知一个正多边形的边数为．
(1)若这个多边形的内角和为其外角和的4倍，求的值．
(2)若这个正多边形的一个内角为，求的值．
22．请根据下面和的对话解答下面问题．
：我和都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；
的边数与我的边数之比为．
(1)求和的外角和相加的度数；
(2)分别求出和的边数；
(3)若的内角都相等，求每个内角的度数．
23．若一个多边形的内角和等于外角和的倍，求这个多边形是几边形．
24．（1）一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是___ ．
（2）从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为___ ．（填写拼图板的代码即可）．

（3）已知：如图，，，．求证：．

参考答案
1．B
【分析】利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角之和求出，，由，求出，再由外角和是即可求出答案．
【详解】解：如图，，，
，
，
，
，
，
，
．

【点睛】本题考查了三角形外角的性质定理、多边形外角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键．
2．C
【分析】先利用多边形的内角和定理求得，再利用平行线的性质及角的和差即可得解．
【详解】解：∵是正六边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．D
【分析】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，由多边形内角和定理可得等式：，由n为整数即可确定x的值．
【详解】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，
由题意得：，
，
由于n为整数，x为正数且小于，
，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形内角和定理，关键是设多边形的边数及少加的角的度数，由多边形内角和定理得到等式，根据边数为整数确定少加的角．
4．D
【分析】根据内角和为可得：多边形的边数为六边形，然后分情况求解即可．
【详解】解：如图，

剪切的三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1，
②只过一个顶点剪，则和原来边数相等，
③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1，
设内角和为的多边形的边数是n，
∴，
解得：．
则原多边形的边数为5或6或7．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，分三种情况讨论是关键．
5．B
【分析】连接CD，设AD与BC交于点O，根据多边形的内角和公式即可求出∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD，根据各角的关系即可求出∠ODC＋∠OCD，然后根据对顶角的相等和三角形的内角和定义即可求出结论．
【详解】解：连接CD，设AD与BC交于点O
∵∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，，，
∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC＋72°＋∠OCD=540°
∴∠ODC＋∠OCD=72°
∵∠AOB=∠COD
∴∠A＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC＋∠OCD=72°
故选B．
【点睛】此题考查的是多边形的内角和公式和对顶角的性质，掌握多边形的内角和公式和对顶角相等是解决此题的关键．
6．D
【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于度解答即可．
【详解】解：∵正六边形的外角和是，
∴正六边形的一个外角的度数为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于度是解题的关键．
7．C
【分析】利用多边形的外角和及对角线条数公式，三角形内角和定理进行判断即可．
【详解】解：多边形的外角和恒为，
则A不符合题意；
三角形的内角和为，
则B不符合题意；
六边形的对角线条数为：（条），
则C符合题意；
假设三角形中只有一个锐角，那么其余两个角为直角或钝角，
则其内角和大于，不符合三角形内角和定理，
故三角形中至少有两个锐角，
则D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的外角和及对角线，三角形内角和定理，它们均为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8．B
【分析】根据多边形的内角和公式求得八边形的内角和，然后与多边形的外角和为360°作商即可．
【详解】解：∵八边形的内角和为：，其外角和为，
(倍)，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9．D
【分析】先分别得出各个正多边形的内角度数，再根据平面镶嵌的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：正三角形每个内角为，
正方形每个内角为，
正六边形每个内角为，
正十二边形每个内角为，
正十八边形每个内角为，
A、∵，∴正方形能与正三角形进行平面镶嵌，不符合题意；
B、∵，∴正六边形能与正三角形进行平面镶嵌，不符合题意；
C、∵，∴正十二边形能与正三角形进行平面镶嵌，不符合题意；
D、∵，，且不能被整除，∴正十八边形不能与正三角形进行平面镶嵌，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正多变形的内角以及平面镶嵌的定义，解题的关键是掌握正多边形每个内角都相等．
10．
【分析】根据正多边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：正十二边形的内角和是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多边形内角和定理的运用，掌握多边形内角和的计算公式是解题的关键．
11．
【分析】根据正多边形内角的性质，计算正五边形内角，进而计算．
【详解】解：∵五边形为正五边形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正五边形的内角的性质，正方形的性质；掌握相关性质是解题的关键．
12．或或
【分析】根据直线不同位置，得出不同的情况，从而得出答案．
【详解】解：将一个长方形切去一个角后，
可得如图三类图形，即五边形，四边形和三角形，
则内角和分别为，，，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了多边形内角和，角的意义以及分类讨论思想，主要考查学生的画图能力和理解能力，题目比较典型，是一道比较容易出错的题目．
13．68
【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论．
【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G，
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
14．3
【分析】首先设内角为，则相邻的外角为，根据内角与相邻外角和为可得方程，计算出的值，进而可得外角的度数，然后可得多边形的边数，即可求出边长．
【详解】解：设内角为，则相邻的外角为，由题意得：
，
解得：，
则外角为，
这个正多边形的边数为：，
∴它的边长为，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与相邻外角和为．
15．6
【分析】根据已知条件和多边形的外角和求出边数即可．
【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于，
又∵多边形的外角和等于，
∴多边形的边数是，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，能熟记多边形的外角和等于是解此题的关键．
16．12
【分析】设这个多边形的边数为n，将该多边形的内角和与外角和表示出来，根据题意，列出方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
这个多边形的内角和为：，外角和为，
∵该多边形每一个内角都比与它相邻的外角的4倍多，
∴，
解得：，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和，一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握多边形的内角和为：，外角和为．
17．三
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件：要密铺地面，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好等于，分别计算即可求出答案．
【详解】解：①正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是，
，
正三角形和正方形可以；
②正六边形的每个内角是，正三角形的每个内角是度．
，或，
正三角形和正六边形可以；
③正方形的每个内角为，正八边形的每个内角为，
，
正八边形和正方形可以；
故答案为：三．
【点睛】本题考查了平面镶嵌(密铺)，掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
18．
【分析】根据平行线的性质，求出，再根据五边形的内角和进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质和多边形的内角和．熟练掌握两直线平行，同旁内角互补，以及多边形的内角和公式，是解题的关键．
19．(1)6
(2)
(3)2个，2个或1个，4个
【分析】（1）根据多边形内角和公式、三角形内角和是以及题意列关于n的方程解答即可；
（2）直接用内角和除以边数即可解答；
（3）设围绕在某一点有x个正六边形和y个正三角形的内角可以拼成一个周角，根据题意可得:，x、y为正整数，进而判断即可解答．
【详解】（1）解：根据题意得：，解得．
答：n的值为6．
（2）解：．
答：正n边形每个内角的度数为．
（3）解：设在平面镶嵌时，围绕在某一点有x个正六边形和y个正三角形的内角可以拼成一个周角，
根据题意可得：，即：，
∴或
∴一个顶点处需要此正六边形和正三角形的地板块数分别为：2个，2个或1个，4个．
故答案为: 2个，2个或1个，4个．
【点睛】本题主要考查多边形内角和、平面镶嵌等知识点，掌握平面镶嵌的要求拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于是解题关键．
20．(1)这个正多边形的边数为8；
(2)
【分析】（1）利用正多边形的性质和多边形的外角和计算即可；
（2）由题意确定截完角后所形成多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，
即这个正多边形的边数为8；
（2）解：∵将正多边形截去一个角（截线不经过多边形的顶点），
∴截完角后所形成的多边形为九边形，
则其内角和为：．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，正多边形的性质，（2）中根据题意确定截完角后所形成多边形的边数是解题的关键．
21．(1)10
(2)8
【分析】（1）根据题意可得，然后求解即可；
（2）由题意可知这个正多边形的一个外角为，然后根据正多边形外角和为可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
，
解得：；
（2）解：∵这个正多边形的一个内角为，
∴这个正多边形的一个外角为，
∴．
【点睛】本题主要考查正多边形的外角与内角和，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题的关键．
22．(1)
(2)X与Y的边数分别为4和6
(3)
【分析】（1）根据多边形的外角和定理可得多边形的外角和为，进而可得答案；
（2）设X的边数为，Y的边数为，根据多边形的内角和定理结合题意可得方程，解出n的值，进而可得X，Y的值，然后可得答案；
（3）先求出Y的内角和，再根据每个内角都相等，求出每个内角度数即可．
【详解】（1）解：∵任何多边形的外角和为，
∴和的外角和相加的度数为；
（2）解：设X的边数为，Y的边数为，由题意得：
，
解得：，
∴，，
∴X与Y的边数分别为4和6；
（3）解：的内角都相等，则每个内角的度数为：
．
【点睛】本题主要考查的是多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和公式与外角和定理是解题的关键．
23．这个多边形是的八边形
【分析】根据多边形的内角和公式，外角和为的数量关系列式计算即可求解．
【详解】解：∵多边形的内角和为，外角和为，
∴，解得，，
∴这个多边形是的八边形．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理与外角和的性质的综合，掌握多边形的内角和公式，多边形外角和的性质的知识是解题的关键．
24．（1）；（2）①②③④；（3）见解析
【分析】（1）根据正方形和正六边形的内角分别是，，求出第三个正多边形的内角的度数，即可求出第三个正多边形的边数；
（2）根据矩形的判定，有三个是直角的四边形是矩形．
（3）因为，所以，由平行的性质证明，则有，再利用平行的性质证明，从而得出．
【详解】（1）因为正方形和正六边形的内角分别是，，
所以第三个正多边形的内角是，
所以第三个正多边形的边数是12；
（2）根据矩形的判定，有三个是直角的四边形是矩形，由①②③④刚好能组成一个四个角都是直角的四边形，

正确的选择方案为：①②③④；
（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了图形的剪拼和平行线的判定，掌握多边形镶嵌成平面图形的条件和判定两直线平行的问题．本题能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．
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