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人教版八年级数学上册 13.1.1 轴对称 导学案
【知识清单】
知识点1：轴对称图形
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点诠释：
　　轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
知识点2：轴对称
1.轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
　要点诠释：
轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
知识点3：轴对称与轴对称图形的性质
轴对称、轴对称图形的性质
　　轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【典型例题】
考点1：轴对称图形
例1．已知，两个图形成轴对称，则这两个图形（ ）
A．全等 B．不一定全等 C．面积不一样大 D．周长不一样
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的性质进行判断并作出正确的选择．
【详解】解：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形，由此可以得到：两个图形成轴对称，则这两个图形全等．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了轴对称的性质，正确把握轴对称图的性质是解题关键．
考点2：根据成轴对称图形的特征判断求解
例2．如图，与关于直线l对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质即可解答．
【详解】解：∵与关于直线l对称，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握成轴对称图形的两个图形，对应边相等．
考点3：轴对称中的光线反射问题
例3．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
考点4：折叠问题
例4．一张对边互相平行的纸条折成如图，是折痕，若，则①；②；③；④．以上结论正确的有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据折叠的性质，平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵一张对边互相平行的纸条，
∴，且，
∴，故结论①正确；
∵折叠，
∴，且，
∴，故②错误；
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故结论④错误；
综上所述，正确的有①③，个，
故选：．
【点睛】本题主要考查折叠的性质，平行性的性质，掌握以上知识是解题的关键．
考点5：求对称轴条数
例5．下列平面图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义和对称轴的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，有4条对称轴，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形但有2条对称轴，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形但只有一条对称轴，故本选项符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，能熟记轴对称图形的定义和对称轴的定义的内容是解此题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，和关于直线对称，下列结论中：①；②；③l垂直平分；④直线和的交点不一定在l上，正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，在中，，，，垂足为D，与关于直线对称，点B的对称点是点，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
5．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）

A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
6．如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
7．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知，则∠1的度数是（ ）

.
A． B． C． D．
8．下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，把标有序号①、②、③、④、⑤、⑥中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是轴对称图形，那么该小正方形的序号可以是 （填一个即可）．

10．轴对称图形的对称轴 连结两个对称点的线段．
成轴对称的两个图形是 图形．
11．如图，线段与线段关于直线L对称，点P是直线L上一动点，测得：点D与点A之间的距离为8cm，点B与点D之间的距离为5cm，那么的最小值是 ．

12．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．

13．如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知．

（1） ；
（2） ．
14．在“锐角、五角星、等边三角形、圆、正六边形”这五个图形中，是轴对称图形的有 个，按对称轴条数由多到少排列是 ．
三、解答题
15．在直角坐标系中描出以下点，依次用线段把它们连起来说出所连成图形的名称和轴对称性．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′；
（1）求证：△ABD≌△ACD′；
（2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．
17．如图 ，在小河河岸的同侧，一牧民在A点处放马，现在要到河边去给马饮水，然后再回到点B处．问在何处饮水才能使牧民所走的路程最短？

18．如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．

(1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q；
(2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q．
19．茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
20．如图，已知在纸面上有一条数轴．
(1)操作一：
折叠数轴，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示__________的点重合．
(2)操作二：折叠数轴，使表示1的点与表示5的点重合，在这个操作下回答下列问题：
①表示的点与表示__________的点重合；
②若数轴上A，B两点的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为__________；点B表示的数为__________．
21．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格：
正多边形的边数 3 4 5 6 7 …
对称轴的条数 …
根据上表，猜想正n边形有________条对称轴．
参考答案
1．D
【分析】轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的判断方法是解决问题的关键．
2．C
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
3．B
【分析】根据成轴对称的两个图形的性质来进行解答即可得出答案．
【详解】解：根据轴对称性可得：；；直线l垂直平分；线和的交点一定在l上，故正确的有①、②、③，共3个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，（1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在在对称轴上．
4．A
【分析】根据，得到，结合轴对称即可得到，再根据三角形内外角关系直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
∵与关于直线对称，点B的对称点是点，
∴，
∴，
故选：A；
【点睛】本题考查三角形内角和关系与三角形内外角关系及轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握内外角关系．
5．B
【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：

该球最后落入2号袋．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．
6．B
【分析】利用轴对称变换的性质判断即可．
【详解】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．B
【分析】如图，由题意可得：，，根据平行线的性质求得，进而可得答案.
【详解】解：如图，由题意可得：，，
∴，
∴；
故选：B.

【点睛】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
8．A
【分析】根据轴对称图形的定义：一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的一条对称轴，由此找出各个图形的对称轴条数，再比较即可得．
【详解】A、有5条对称轴；B、有3条对称轴；
C、有1条对称轴； D、有4条对称轴；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的对称轴的条数，熟练掌握轴对称图形的概念是解题关键．
9．②（③或④或⑤）
【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：把标号②或③或④或⑤涂上阴影，可以与图中阴影部分组成的新图形是轴对称图形．
故答案为：②（③或④或⑤）．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
10． 垂直且平分 全等
【分析】根据轴对称图形的性质，对称轴是对称点所连线段的垂直平分线，以及成轴对称的两个图形是全等图形，进行作答即可．
【详解】解：轴对称图形的对称轴垂直且平分连结两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形．
故答案为：垂直且平分；全等．
【点睛】本题考查轴对称图形以及成轴对称的两个图形的性质．熟练掌握对称轴是对称点所连线段的垂直平分线，成轴对称的两个图形是全等图形，是解题的关键．
11．8cm
【分析】根据对称性，得到，当三点共线时，有最小值，即为的长．
【详解】解：∵线段与线段关于直线L对称，点P是直线L上一动点，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，即为的长，
∵点D与点A之间的距离为8cm，
∴的最小值是8cm．

故答案为：8cm
【点睛】本题考查轴对称—最短路径问题．解题的关键是掌握成轴对称的特征．
12．号袋
【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案．
【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．

故答案为：号袋．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线．
13．
【分析】由折叠可知：，，，由折叠的性质得，过点作，然后分别求出，，即可求得的度数．
【详解】解：由折叠可知：，，，
∵，，
∴，
∴．
过点作，如图，
∴，

∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是长方形，
∴∠FB'G=∠B=90°，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，平行线的性质等知识，作适当的辅助线是解题的关键．
14． 5 圆、正六边形、五角星、等边三角形、锐角
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，进行求解即可．
【详解】解：锐角时轴对称图形，对称轴为1条；五角星是轴对称图形，对称轴有5条；等边三角形是轴对称图形，对称轴有3条；圆是轴对称图形，对称轴有无数条；正六边形是轴对称图形，对称轴有6条，
故答案为：5；圆，正六边形，五角星，等边三角形，锐角．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
15．等腰梯形，关于轴对称
【分析】先建立坐标系，然后描出点，依次用线段把它们连起来，点和点关于轴对称，点和点关于轴对称，得到的图形为等腰梯形，关于轴对称．
【详解】解：根据题意作图如下，
由图可知，连接得到图形为等腰梯形，此图形是轴对称图形，关于轴对称．
【点睛】本题考查了坐标系中作图、描点、连线，轴对称的概念，掌握坐标系中关于坐标轴对称点的坐标特征是解题关键．
16．（1）见解析；（2）
【详解】（1）根据对称得出AD=AD′，根据SSS证△ABD≌△ACD′即可；
（2）根据全等得出∠BAD=∠CAD′，求出∠BAC=∠DAD′，根据对称得出∠DAE=∠DAD′，代入求出即可．
（）证明：∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，
∴，
在△ABD和△ACD′中，
∵ ，
∴ △ABD≌△ACD′（SSS）.
（）解：∵≌，
∴，
∴，
∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，
∴，
即．
点睛：本题考查了轴对称的性质及全等三角形的性质.熟练应用轴对称的性质是解题的关键.
17．见解析
【分析】点A关于直线l的对称点，利用轴对称确定最短路线．
【详解】解：如图，作点A关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，则点C即为所求的点，即饮水的地方．

【点睛】本题考查轴对称确定最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称的性质，以及“两点之间，线段最短”
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作点P关于是对称点，连接′交于M，点M即为所求．
（2）作点P关于是对称点，点Q关于的对称点，连接交于E，交于F，点E，点F即为所求．
【详解】（1）解：如图，运动路径：，点M即为所求．

（2）解：如图，运动路径：，点E，点F即为所求．

【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题．
19．见解析
【分析】本题意思是在上找一点D，在上找一点E，使的周长最小．如果设点C关于的对称点是M，关于的对称点是N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小．
【详解】.解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E．
则C→D→E→C为所求的行走路线．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，灵活运用对称性的基本性质是解题关键．
20．(1)5
(2)①8②
【分析】(1)根据题意确定对称中心即可解决问题；
(2)①确定对称中心即可解决问题，②根据题意构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：∵表示1的点与表示的点重合，
∴表示的点与表示5的点重合；
（2）解：∵表示1的点与表示5的点重合，即对折点所表示的数为，
设b与表示的点重合，即，
∴，
∴表示的点与表示8的点重合；
设A点、B点所表示的数为x、y
则，解得：
【点睛】本题考查数轴、折叠变换等知识，解题的关键是正确寻找对称中心解决问题．
21．对称轴见解析；3，4，5，6，7；n.
【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可解答．
【详解】解：如图．
故表格中依次填3，4，5，6，7；
猜想正n边形有n条对称轴．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键.
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