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九年级数学上册 21.1一元二次方程 导学案
【知识清单】
1. 一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
　
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
细节剖析
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
【典型例题】
考点1：一元二次方程的定义
例1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．
【详解】解：A．方程是分式方程，故不符合题意；
B．方程是二元二次方程，故不符合题意；
C．方程是一元二次方程，故符合题意；
D．方程是一元一次方程，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
考点2：一元二次方程的一般形式
例2．一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，，9 C．2，， D．，6，
【答案】C
【分析】一元二次方程中，a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项，据此即可解答.
【详解】解：一元二次方程即为
二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，，；
故选：C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟知一元二次方程的基本知识是解题的关键.
考点3：一元二次方程的解
例3．在关于x的方程（）中，a，b，c满足和，则方程的根是（　　）
A．1，0 B．1， C．1， D．无法确定
【答案】B
【分析】能使方程等号成立的未知数的值叫做方程的解，据此分别令，，可求此一元二次方程的根，即可求解．
【详解】解：当时，，
当时，，
所以方程的根分别为1或．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，一元二次方程的根，理解定义，找出满足等式的未知数的值是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．（为常数）
C． D．
4．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
5．方程，一次项系数为（　　）
A． B． C． D．6
6．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知m是方程的一个根，则代数式的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
8．已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（　　）
A．4 B．5 C． D．
9．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
二、填空题
10．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 ．
11．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ．
12．将一元二次方程化为一般形式是 ．
13．写出一个以和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 ．（用一般形式表示）
14．若关于的一元二次方程有一个根为，则实数的值为 ．
三、解答题
15．已知关于x的方程．
(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？
16．若是关于x的一元二次方程，求m的值．
17．将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)；
(2)．
18．已知关于方程的各项系数与常数项之和为2，求的值．
19．已知方程和有共同的根是，求的值．
20．已知x是一元二次方程的实数根，求代数式的值．
参考答案
1．C
【分析】根据一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程；由此问题可求解．
【详解】解：A、，是一元一次方程，故不符合题意；
B、不是方程，故不符合题意；
C、，是一元二次方程，故符合题意；
D、，不是整式方程，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断解答即可．
【详解】解：A、将方程整理，得，是一元二次方程，故本选项符合题意；
B、方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、若，则方程就不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、将方程，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程；（4）二次项系数不为0．
3．D
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】解：A、不是整式方程，故该选项错误；
B、，当时，未知数最高次数不是2，故该选项错误；
C、化简后得，故该选项错误；
D、时一元二次方程，故该选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
4．B
【分析】根据一元二次方程的概念进行分析即可求解．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
5．A
【分析】一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：方程，一次项系数为．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数，首先要把方程化成一般形式．
6．A
【分析】根据一元二次方程的一般形式为求解即可．
【详解】解：由得：，则，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式结构特征是解答的关键．
7．C
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程，即可求得，然后将其代入所求的代数式，再估算出，据此求解即可．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴代数式的值应在3和4之间，
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，无理数的估算．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
8．D
【分析】将代入原方程，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
【详解】解：将代入原方程得：，
解得：，
∴k的值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
9．B
【分析】由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得的值可求．
【详解】解：是关于的一元二次方程，，即
由一个根是，代入，可得，解之得；
由得
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．解题时须注意，此为易错点．否则选C就错了．
10．
【分析】根据一元二次方程的定义可得，根据常数项为0得到，据此求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地形如，其中a、b、c是常数且的方程叫做一元二次方程，其中c叫做常数项．
11．
【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，根据一元二次方程的概念，得到，即可求出的取值范围．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．解题关键是熟练掌握其概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．
12．
【分析】首先去括号，再变成的形式即可．
【详解】解：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是熟练运用整式运算和等式性质进行方程变形．
13．（答案不唯一）
【分析】先计算与7的和与积，然后根据根与系数的关系求出满足条件的一元二次方程．
【详解】解：，，
以和7为根且二次项系数为1的一元二次方程为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
14．
【分析】将代入方程得关于的方程，求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为，
故将代入，得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元一次方程，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据方程是一元一次方程二次项系数为0列式求解即可得到答案；
（2）根据方程为一元二次方程保证二次项系数不为0列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程，
∴，
解得；
（2）解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得；
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握定义列等式或不等式．
16．
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件，即可进行解答．
【详解】解：∵原方程是关于x的一元二次方程，则一定是此二次项．
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，要特别注意二次项系数这一条件，本题容易出现的错误是忽视这一条件．
17．(1)二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2
(2)二次项系数为，一次项系数为1，常数项为
【分析】（1）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可；
（2）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可．
【详解】（1）解：∵化为一般形式为，
∴二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2；
（2）∵化为一般形式为 ，
∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
18．
【分析】首先把关于方程化为一般形式，根据各项系数与常数项之和等于2，求出m的值即可．
【详解】解：整理方程得，
化为一般形式即为，
方程的各项分别为，，，其中未知项系数分别为1，，
依题意即有，
解得：．
【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．
19．
【分析】把共同的根代入方程和中，解二元一次方程组，求出和的值即可．
【详解】解：将代入和，得：
，
①②，得：
，
解得：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程及一元二次方程的解的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值，代入公共根，解方程组求出待定系数的值．
20．
【分析】利用一元二次方程的解可得出，将其代入的化简结果中即可求出答案．
【详解】解：∵x是一元二次方程的实数根，
∴．
，
∴代数式的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简等知识，熟练掌握一元二次方程的解的定义和分式的运算法则是解题的关键．
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