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九年级数学上册 21.2.1 配方法 导学案
【知识清单】
1.概念：先对原一元二次方程进行配方，使它出现完全平方式后，再用直接开平方法来求解的方法。
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把一元二次方程化成一般形式；
（2）把常数项移到方程的右边；
（3）方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；
（4）配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程化成的形式；
（5）用直接开平方法解一元二次方程；
【典型例题】
考点1：解一元二次方程——配方法
用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式即可．
【详解】解：
移项，得：，
配方，得：，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
考点2：配方法的应用
例2．用配方法将方程化成的形式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将将方程化成的形式，进而可得的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法—配方法，熟练一元二次方程的解法是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．用配方法解一元二次方程，则方程可化为（ ）
A． B． C． D．
2．将方程配方后，原方程变形为（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．用配方法将方程化成的形式，则的值是（ ）
A．1 B． C．4 D．
5．用配方法解一元二次方程x2+4x+1=0，则方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，左边化成含有的完全平方式，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．利用“配方法”解一元二次方程，配方后结果是（ ）
A． B． C． D．
8．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．解方程，下列用配方法进行变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．用配方法解方程时，方程的两边同时加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式．
12．把方程用配方法化为的形式，则的值是 ．
13．解一元二次方程，配方得到，则的值为
14．已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于 ．
15．
三、解答题
16．解方程：．
17．用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．用配方法解关于x的方程：．
19．用配方法解方程：．
20．若关于的二次三项式因式分解为，求，的值．
21．阅读下列材料：“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．试利用“配方法”解决下列问题：
简单应用：
（1）填空： ；
深入探究：
（2）已知，求的值；
灵活应用：
（3）比较代数式与的大小，并说明理由．
22．用配方法说明： 代数式的值总大于0．
23．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
(1)【解决问题】
数11 　　“完美数”（填“是”或“不是”）；数53 　　“完美数”（填“是”或“不是”）；
(2)【探究问题】
已知，则　　；
(3)【拓展提升】
已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由．
参考答案
1．A
【分析】根据配方法的步骤解答即可．
【详解】解：，
，
，
．
故选A．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、把原方程化为的形式；2、将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，即将二次项系数化为1；3、方程两边同时加上一次项系数一半的平方；4、再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；5、若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解
2．C
【分析】先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解：
移项得：，
配方得：，即，
故选C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟知配方法的步骤是解题的关键．
3．B
【分析】先移常数项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟记配方法过程步骤是解本题的关键．
4．C
【分析】先将常数项移项到等号右边，再将等号左边进行配方即可．
【详解】解：，
移项，得：，
配方，得：，
即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的方法和步骤．
5．C
【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形即可得到结果．
【详解】解：方程变形得：，
配方得：，即．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键．
6．B
【分析】根据配方法的步骤进行变形即可得到答案．
【详解】解：
∴，
则，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】此题考查了配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．
7．C
【分析】把方程左边化为完全平方公式的形式即可得出结论．
【详解】解：原方程可化为，即．
故选：C．
【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，熟记完全平方公式是解答此题的关键．
8．C
【分析】根据完全平方公式的性质，根据等式的性质即可求解．
【详解】解：
移项，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，，
整理得，，即，
故选：．
【点睛】本题主要考查配方法，掌握完全平方公式的性质，等式的性质的知识是解题的关键．
9．D
【分析】利用完全平方公式进行配方即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
10．B
【分析】由,得，点P到原点O的距离为，逐步整理，最后将被开方数配方进行求解即可.
【详解】解：由,得，
∴点P到原点O的距离为：
，
故选: B.
【点睛】本题考查点的坐标，但计算整理过程非常复杂，要求有极强的计算能力，确保计算的正确性，熟练掌握配方法是解题的关键.
11．9
【分析】要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方．据此即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
即方程的两边同时加上9，使得方程左边配成一个完全平方式，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程——配方法，此类题型解题的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
12．12
【分析】先把常数项移到方程右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半得平方进行配方即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
．
∴，，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟知配方法的步骤是解题的关键．
13．2
【分析】先移项，再将左侧变形为完全平方形式．
【详解】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故，
故答案为：2．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
14．4
【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
则
，
∵，
∴，
即代数式的最小值等于4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用；熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题的关键．
15．3
【分析】利用配方法整理即可．
【详解】解：
，
故答案为：3，
【点睛】本题考查了配方法的应用：将二次三项式配成的形式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
16．，
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】用配方法解一元二次方程的步骤是：①二次项系数化为1；②常数项移到方程的右边；③配方成的形式；④利用直接开平方法解答；根据上述步骤逐一解答即可．
【详解】（1）移项，得，
配方，得，
∴，
∴或，
∴；
（2）移项，得，
配方，得，
∴，
∴，
∴；
（3），
移项变形，得，
配方，得，
∴，
∴
∴；
（4），
移项变形，得，
配方，得，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤和方法是解题的关键．
18．
【分析】利用配方法解答，即可求解．
【详解】解： ，
∴，即，
解得：，
∴原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．
19．，
【分析】利用配方法解答，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴原方程的解为，．
【点睛】本题主要考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．
20．，
【分析】将利用完全平方公式展开，找到对应项，然后得到答案．
【详解】解：，
，，
解得，．
【点睛】本题主要考查了因式分解的方法，运用公式法，掌握完全平方公式是解题的关键．
21．（1），3；（2）1；（3），理由见解析
【分析】（1）根据配方法的方法配方即可；
（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再代入得到x+y的值；
（3）将两式相减，再配方即可作出判断．
【详解】解：（1）．
故答案为：，3；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）
，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
22．见解析
【分析】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号，即可．
【详解】解：
∵，
∴，
故无论x取何实数，代数式的值总大于0．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
23．(1)不是，是
(2)1
(3)当时，S为“完美数”，理由见解析
【分析】（1）判断11和53能否表示成（a、b是整数）的形式即可；
（2）将已知等式变形为，根据平方的非负性求出x和y，代入求值；
（3）将S变形为，根据完全平方式的特点求解．
【详解】（1）解：数11不能表示成（a、b是整数）的形式，不是“完美数”；
，数53是“完美数”．
故答案为：不是，是；
（2）解：已知等式变形得：，
即，
∵，，
∴，，
解得：，，
则．
故答案为：1；
（3）解：当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵S是完美数，
∴是完全平方式，
∴．
【点睛】本题考查配方法的应用，新定义运算，完全平方式等，解题的关键是正确理解新定义，掌握完全平方式的结构特点．
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