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九年级数学上册 21.2.2 公式法 导学案
【知识清单】
1.求根公式的定义：一般地，对于一元二次方程，当时，一元二次方程的根是，这个式子称作一元二次方程的求根公式。
2.求根公式的推导：
一元二次方程求根公式的推导过程实际就是用配方法解一元二次方程，
两边同除以，得：
移项得：；
方程两边同时加上；
得：；
化简得：；
因为；
所以当时，
可得：
；
3.用公式法解一元二次方程的步骤：
（1）先将方程化为一般形式：，确定的值；
（2）计算：的值，从而确定原方程是否有实数根；
（3）若，则把以及的值代入求根公式，求出；若，则方程没有实数根。
【典型例题】
考点1：解一元二次方程——直接开平方法
例1．表示不大于的最大整数，如，，如果，，则符合条件的的值有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】当时，先确定的取值，然后再依次验证是否满足．
【详解】解：当时，，，，，
∵
∴
当时，，得：，无解
当时，，得：，解得：(舍去)或
当时，，得：，解得：(舍去)
当时，，得：，解得：(舍去)
当时，，得：，解得：(舍去)或
∴或
符合条件的的值有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义，解一元二次方程，要理解新定义定义，注意分类讨论．
考点2：根据判别式判断一元二次方程根的情况
例2．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】化成一般形式，计算方程根的判别式，根据计算属性判断即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握，则方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题的关键．
考点3：根据一元二次方程根的情况求参数
例3．已知关于的方程有两个相等实数根，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】根据方程有两个相等的实数根得出，求出的值即可．
【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故选C．
【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．
考点4：公式法解一元二次方程
例4．配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其本质是将一元二次方程由一般式化为的形式，然后利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．函数思想 C．转化思想 D．公理化思想
【答案】C
【分析】先把一般式化为，然后两边开方，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而解一元一次方程得到一元二次方程的解．
【详解】解：利用配方法把一般式化为，再利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的转化的数学思想．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法：用配方法解一元二次方程的过程实际上把一元二次方程转化为一元一次方程的过程．
【巩固提升】
选择题
1．若关于x的方程有实数根，则b的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．方程的解是（　　）
A． B． C．， D．，
3．下列方程中，无实数根的是（ ）
A． B． C． D．
4．关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
5．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
6．若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．
7．如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，以点D为圆心，为半径作弧与交于点E，以点B为圆心，为半径作弧与交于点F．设，，则（　　）

A．线段的长是方程的一个解
B．线段的长是方程的一个解
C．线段的长是方程的一个解
D．线段的长是方程的一个解
二、填空题
9．若一个函数的图像上存在横、纵坐标之和等于0的点，则称该点为这个函数图像的“零点”．在平面直角坐标系中，已知点、，若一次函数图像上的“零点”为点C，则当为等腰三角形时，k的值为 ．
10．若是关于的方程的根，则关于的方程的根是 ．
11．一元二次方程的根的情况是 ．
12．一元二次方程有实数根，则a的取值范围是 ．
13．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则 ．

三、解答题
14．解方程：
(1)；
(2)．
15．用适当的方法解下列方程．
(1)
(2)
16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
17．设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
18．已知：关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根均为整数，且k为正整数，求k的值．
参考答案
1．D
【分析】利用解一元二次方程——直接开平方法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
方程有实数根，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查解一元二次方程——直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程——直接开平方法是解题关键．
2．C
【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可．
【详解】解：直接开平方得：，
∴方程的解为：，，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
3．B
【分析】先分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断四个方程的根的情况即可．
【详解】解：A．方程化为一般式为，，则方程有两个相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B．，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；
C．方程化为一般式为，，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；
D．，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
4．A
【分析】根据题意得到，，，再计算，即可判断方程根的情况．
【详解】解：根据题意得：，，，
，
关于的一元二次方程的根的情况为有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．
5．C
【分析】方程有两个不相等的实数根，则，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．
【详解】解：由题意知：，，
∴且．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，记住根的判别式是解题关键．
6．C
【分析】根据题意分两种情况：当时，根据一元二次方程的根的判别式求解；当，原方程即为，即可求解．
【详解】解：当时，∵关于x的方程有实数根，
∴，
即且，
解得：且；
当时，原方程即为，有实数根；
综上，实数k的取值范围是
故答案为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，属于常考题型，熟知时，一元二次方程有两个实数根是解题的关键．
7．A
【分析】根据在的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案．
【详解】解：∵，
∴时，一元二次方程能用公式法求解，
故选：A．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
8．A
【分析】根据矩形性质，结合勾股定理得出，，然后分别解方程，求出x的值，进行判断即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
根据作图可知，，，
∴，，
解方程得：，故A正确；
解方程得：，故B错误；
解方程得：，故C错误；
解方程得：，故D错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，得出，．
9．或或
【分析】设，分，，三种情况，根据两点间距离公式、等腰三角形的性质分别列式求解即可．
【详解】解：、，
，
一次函数图像上的“零点”为点C，
设，
为等腰三角形时有下列三种情况：
当为腰，且点A为顶点时，，
，，
，
解得，，
当时，点C的坐标为，
，
解得，
当时，点C的坐标为，
，
解得；
当为腰，且点B为顶点时，，
，，
，
解得，，
当时，点C的坐标为，
不在一次函数图像上，故不合题意，舍去；
当时，点C的坐标为，
此时点A与点C重合，故不合题意，舍去；
当为底边，点C为顶点时，，
此时点C在线段的垂直平分线上，
点C的横坐标为，
点C的坐标为，
，
解得，
综上可知，k的值为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质，一次函数的图象和性质，解一元二次方程等，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，注意分情况讨论，避免漏解．
10．，
【分析】根据一元二次方程的根的定义将代入方程，可得，解得，再将代入关于的方程并解该一元二次方程即可．
【详解】解：将代入方程，
可得，
解得，
将代入关于的方程，
可得，
解得，．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及解一元二次方程，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．
11．有两个不相等的实数根
【分析】先化成一般式再求根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：
∵
∴，
方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
12．
【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．
【详解】解：因为一元二次方程有实数根，
，
即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
13．
【分析】根据题意得出，即，解方程得到（负值舍去）即可得到结论．
【详解】解：如图所示:

，，
，，
与的面积相等，
，
，
，
，若令，则，由公式法解得或（负值舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的解法，根据题意得出关于的方程是解题的关键．
14．(1)
(2)
【分析】（1）先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程即可；
（2）先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
15．(1)，
(2)，
【分析】（1）方程两边除以2，再开平方即可求解；
（2）先移项，然后利用公式法即可求解.
【详解】（1）解：方程两边除以2，得，
则，或，
解得：，.
（2）整理，得，
，
故方程有两不等实数根，
，
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.
16．且
【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系，根的判别式大于零的知识即可求解．
【详解】解：在关于的一元二次方程中，，
则，



∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
令得，，，
∴时，且．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式：，方程有两个不相等的实根；，方程有两个相等的实根；，方程无实根的知识是解题的关键．
17．选②，，；选③，，
【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到满足条件的b、c的关系，进而选择满足条件的一组b、c值解一元二次方程即可．
【详解】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴②③均可，
若选②，则解方程，则这个方程为，
∴，
∴，．
若选③，则解方程，则这个方程为，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，解答的关键是解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出，由即可得到结论；
（2）利用公式法求出，根据方程两个根均为整数，且k为正整数，即可得到答案．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程，
，
∵，
∴，
∴一元二次方程总有两个实数根；
（2），
∵，
∴，
，
∵方程两个根均为整数，且k为正整数，
∴．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和解法，求出是解题的关键．
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