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九年级数学上册 21.2.3 因式分解法 导学案
【知识清单】
1.因式分解法的概念：将一个一元二次方程通过因式分解，转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法。
2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为0；
（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
（3）令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解；
3.用因式分解法解一元二次方程的关键：
（1）一定要将方程的右边化为0；
（2）方程左边要能分解为两个含未知数的一次因式的积。
4.选择原则：首先要看因式分解法或直接开平方法是否可行，其次考虑公式法，一般不用配方法。
5.配方法适用于任何一个一元二次方程，但过程比较麻烦。
6.公式法可利用其导出的求根公式直接求解，适用于有解的一元二次方程。
【典型例题】
考点1：因式分解法解一元二次方程
例1．方程的根是（　　）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【分析】先把原方程化为，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
故选D
【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握解法步骤是解本题的关键．
考点2：换元法解一元二次方程
例2．已知实数x，y满足，则的值是（ ）
A．1或 B．或2 C．2 D．1
【答案】C
【分析】令，则，整理为，根据，即可得出答案．
【详解】解：令，
∵，
∴
∴，
，
，
，
∴或，
解得：或（舍），
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，解题的关键是将看做一个整体．
考点3：根据一元二次方程根的情况求参数
例3．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】利用因式分解法即可求解．
【详解】解：整理得，即：，
解得：，，
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键．
考点4：公式法解一元二次方程
例4．方程的根是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可；
【详解】解：
，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，掌握一元二次方程求解方法是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．方程的解是（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．无实数解
2．整式与整式的积为，则一元二次方程的根是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
3．如果方程，，那么方程必有一个根为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则的值为（ ）
A．2或 B．或6 C．6 D．2
5．已知关于x的方程的两个根分别为，，则方程的两个根分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，,
6．若，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．或3 D．2或
7．若实数x，y满足，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或2
8．若整数，使成立，则满足条件的，的值有（ ）
A．4对 B．6对 C．8对 D．无数对
二、填空题
9．一元二次方程的两根是等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 ．
10．方程的解为 ．
11．已知函数与，若，则x的值是 ．
12．用换元法解方程时，如果设，那么所得到的关于y的整式方程为 ．
13．若，则的值为 ．
三、解答题
14．解方程
(1)；
(2)．
15．解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
16．解方程：．
17．如果，请你求出的值．
18．阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
(2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
参考答案
1．C
【分析】因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴或，
∴；
故选C
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解方程，是解题的关键．
2．B
【分析】根据题意得出，，求解即可．
【详解】解：∵整式与整式的积为，
∴由一元二次方程可得：，，
∴关于的一元二次方程的根是，，
故选：B．
【点睛】本题考查解一元二次方程的应用，能得出两个一元一次方程的解是解题的关键．
3．B
【分析】根据得，回代解方程判断即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴x必有一个根为，
故选B．
【点睛】本题考查了解方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键．
4．D
【分析】设，则有，再用因式分解法求解得，，再根据，即可求解．
【详解】解：设，则有，
∴，
，
或，
∴，，
∵，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用用因式分解法解一元二次方程是解题的关键，注意整体思想的运用．
5．C
【分析】设，则方程变为，根据方程的两个实数根是，，得或，即可求出方程的两个实数根．
【详解】解：设，则方程变为，
方程的两个实数根是，，
∴方程的两个实数根是，，
∴或，
或，
方程的两个实数根是，．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是关键．
6．C
【分析】先设，则方程即可变形为，解方程即可求得即的值．
【详解】解：设，则原方程可化为：，
即，
解得：或，
∴或，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
7．C
【分析】设：，则变为，进而解含a的一元二次方程，即可求出的值．
【详解】解：设：，则变为，
∴，则，
解得：，，
即的值为或1，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元二次方程，整体思想，能够将方程转化为一元二次方程是解决本题的关键．
8．C
【分析】先化简可得，设，则；然后求得a的值，最后列举出符合题意的，的整数值即可解答．
【详解】解：由，设，则，
∴，即，解得：或（舍弃），
∴．
∴满足条件的，的整数值有：
，，，，，，，，共8对．
故选C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二元一次方程的解等知识点，掌握二元一次方程的解是解答本题的关键．
9．或
【分析】利用因式分解法求出的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解．
【详解】解：，
，
则或，
解得或，
当5是腰时，三角形的三边分别为5、5、6，，能组成三角形，周长为；
当6是腰时，三角形的三边分别为5、6、6，，能组成三角形，周长为．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论求解．
10．，
【分析】把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【详解】解：∵，
∴或，
解得：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键．
11．1或2或4
【分析】根据分两种情况分别列出方程，并求解即可．
【详解】解：∵，
∴或
解得：或或，
故答案为：1或2或4
【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程的解法，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．
12．
【分析】由，则 ，，转化后再进一步整理得到整式方程即可．
【详解】解：，
，，
则原方程为：，
整理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用换元法解分式方程，掌握换元法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化是解题的关键．
13．或1/1或
【分析】先用换元法把方程转化为一元二次方程，再利用十字相乘法因式分解的形式求一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设，原方程可变形为：，
∴，
解得，或1；
∴的值为或1．
故答案为：或1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和换元法的运用，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
14．(1)，；
(2)，．
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程；
（2）根据因式分解法解一元二次方程．
【详解】（1）解：，
∵，，
∴，
解得：，；
（2）解：，
即，
∴，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
15．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）因式分解法解一元二次方程即可；
（2）因式分解法解一元二次方程即可；
（3）开方法解一元二次方程即可；
（4）移项整理后，用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
解得，，；
（2）解：，
，
解得，，；
（3）解：，
，
解得，，；
（4）解：，
，
，
，
解得，，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于选用合适的方法解方程．
16．，
【分析】方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以得：
，
整理得：，
解得：，，
检验：当，时，，
原方程的根为，．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握解法是解题的关键．
17．的值为3
【分析】设，然后用因式分解法求解即可，求解时注意.
【详解】设，
∴．
整理得：，
∴．
∴．
∵，
∴ (不合题意，舍去)
∴．
即的值为3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）设所求方程的根为，则，所以，代入原方程即可得；
（2）设所求方程的根为，则，于是，代入方程整理即可得．
【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以，
把代入方程，得：，
故答案为：；
（2）解：设所求方程的根为，则，于是，
把代入方程，得，
去分母，得，
若，有，
于是，方程有一个根为，不合题意，
∴，
故所求方程为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．
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