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人教B版（2019）选修第三册5.4数列的应用
（共19题）
一、选择题（共11题）
我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”．意思是：“现有一金锤，长 尺，头部 尺，重 斤，尾部 尺，重 斤”．若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，则该金锤总重为
A． 斤 B． 斤 C． 斤 D． 斤
我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长 尺，头部 尺，重 斤，尾部 尺，重 斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重
A． 斤 B． 斤 C． 斤 D． 斤
“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比類算法大全》，通过计算得到的答案是
A． B． C． D．
根据 年央行商业贷款基准利率的有关规定：一年以下（含一年）年利率为 ；一至三年（含三年）利率为 ，三至五年（含五年）利率也为 ，五年以上利率为 ；某人向银行贷款 万元，按年计复利的话，五年后一次性还清，则需要还款
A． 万元 B． 万元
C． 万元 D． 万元
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有
A． 人 B． 人
C． 人 D． 人
意大利的比萨斜塔共 层，其中顶层有 根石柱，中间 层每层的石柱一样多，底层的石柱只有中间每层石柱的一半，而且中间每层和底层的石柱都是 的倍数．若已知比萨斜塔是由 多根石柱构成，但不会超过 根，则比萨斜塔共有的石柱数为
A． B． C． D．
朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升．”其大意为“官府陆续派遭 人前往修筑堤坝，第一天派出 人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多 ，且给修筑堤坝的每人每天分发大米 升．”在该问题中，前 天共分发大米
A． 升 B． 升 C． 升 D． 升
有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 个，现在有 个这种细菌和 个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要
A． 秒钟 B． 秒钟 C． 秒钟 D． 秒钟
某林场计划第一年造林 公顷，以后每年比前一年多造林 ，则第四年该林场造林
A． 公顷 B． 公顷 C． 公顷 D． 公顷
北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 块，向外每环依次也增加 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）
A． 块 B． 块 C． 块 D． 块
中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里.”意思是：现有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续行走 日，共走了 里．若该匹马连续按此规律行走，则它在第 天到第 天这 天时间所走的总里程为
A． 里 B． 里 C． 里 D． 里
二、填空题（共4题）
一个球从 的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第 次着地时，共经过的路程是 ．
商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 ，最高销售限价 以及实数 确定实际销售价格 ．这里， 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数 恰好使得 是 和 的等比中项．据此可得，最佳乐观系数 的值等于 ．
两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图，实心点个数为 ，，，，，被称为五角形数，其中第 个五角形数记作 ，第 个五角形数记作 ，第 个五角形数记作 ，第 个五角形数记作 ，，第 个五角形数记作 ，已知 ，则前 个五角形数中，实心点的总数为 ．（参考公式：）
中国古代有这样一道数学题：今有一男子擅长走路，每日增加相同里数，九日走了 里，第一日，第四日，第七日所走之和为 里，则该男子第三日走的里数为 ．
三、解答题（共4题）
某汽车：①购买时费用为 万元；②每年交保险费、养路费及汽油费合计为 元；③汽车的维修费平均：第一年 元，第二年 元，第三年 元， 依等差数列逐年递增，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少）？
某台商到大陆一创业园投资 万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费 万美元，以后每年比上一年增加 万美元，每年销售蔬菜收入 万美元，设 表示前 年的纯利润（ 前 年的总收入 前 年的总支出 投资额）．
(1) 从第几年开始获得纯利润？
(2) 若五年后，该台商为开发新项目，决定出售该厂，现有两种方案：①年平均利润最大时，以 万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以 万美元出售该厂．问哪种方案较合算？
假设你正在某公司打工，根据表现，老师给你两个加薪的方案：一、每年年末加 元；二、每半年结束时加 元．
(1) 如果在该公司干 年，问两种方案各加薪多少元？
(2) 对于你而言，你会选择其中的哪一种方案？
某单位开发了一个受政府扶持的新项目，得到政府无息贷款 万元购买了一套设备，若该设备在使用过程中第一天维修费是 元 第 天的维修费是 元，则使用多少天后，平均每天消耗的设备费用（总设备费用 购置费 维修费）最低？
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】D
【解析】因为每一尺的重量构成等差数列 ，，，
所以 ，
所以该数列的前 项和为 ，
即金锤共重 斤．
2. 【答案】D
【解析】设从头到尾每一尺的质量构成等差数列 ，
则有 ，，
所以 ，数列 的前 项和为 ，即该金箠共重 斤．
故选D．
3. 【答案】B
4. 【答案】B
5. 【答案】D
【解析】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵的人数成等比数列，且首项为 ，公比也是 ，
所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 人．
6. 【答案】A
【解析】设比萨斜塔的底层有 根石柱，
那么中间 层各有 根，则比萨斜塔共有 根石柱，
由于中间每层和底层的石柱数都是 的倍数，即 是 的倍数．
因此 可取 ，，，，，
取 ， 时，总石柱数少于 ，
取 时，，也不符合题意，
当 时，，符合要求，
因此比萨斜塔由 根石柱构成．
7. 【答案】A
【解析】易知第一天共分发大来 升．
由题意，每天分发的大米升数构成等差数列，公差为 ，因此，前 天共分发大米 升．
8. 【答案】C
【解析】根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数构成等比数列．
设细菌将病毒全部杀死需要 （）秒钟，
则 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
即细菌将病毒全部杀死至少需要 秒钟．
9. 【答案】C
【解析】设年份为 ，造面积为 公顷，
因为林场计划第一年造林 公顷，以后每年比前一年多造林 ，
所以 ，
故当 时，，
所以第四年该林场造林 公顷．
故选：C．
10. 【答案】C
【解析】设第 环天石心块数为 ，第一层共有 环，
则 是以 为首项， 为公差的等差数列，，
设 为 的前 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为 ，，，
因为下层比中层多 块，
所以 ，
即 ，
即 ，解得 ，
所以 ．
故选：C．
11. 【答案】C
【解析】设该匹马第一日走 里．
因为马行走的速度逐渐减慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续行走 日，共走了 里，
所以 ，解得 ，
所以该匹马连续按此规律行走，则它在第 天到第 天这 天时间所走的总里程为：（里）．
二、填空题（共4题）
12. 【答案】
【解析】设小球每次着地后跳回的高度构成数列 ，则数列 为等比数列，，，，
所以共经过的路程为 ．
13. 【答案】
【解析】已知 是 和 的等比中项，即 ，把 代入上式，得 ，即 ，
因为 ，
所以 ，，即 ，解得 ，
因为 ，
所以最佳乐观系数 的值等于 ．
14. 【答案】
【解析】由题得
故前 个五角形数中，实心点的总数为
15. 【答案】
【解析】由题意可知，该男子每天走的里数构成一个等差数列，设这个等差数列为 ，其公差为 ，前 项和为 ．根据题意可知，，．
方法一：，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
所以 ，
所以 ．
方法二：由 即
解得
所以 ．
三、解答题（共4题）
16. 【答案】设该汽车使用的年数为 ，年平均费用为 ，
由题意有
当且仅当 即 时，
上式取等号，即 ．
故该汽车使用 年报废最合算．
17. 【答案】
(1) 由题意，知每年的经费构成了以 为首项， 为公差的等差数列，
则 ．
获得纯利润就是要求 ，即 ，解得 ．
又 ，故从第三年开始获得纯利润．
(2) ①年平均利润为 ，当且仅当 时取等号．
故此方案获利 （万美元），此时 ．
② ，
当 时，．
故此方案共获利 （万美元）．
比较两种方案，在获利相同的前提下，第①种方案只需六年，第②种方案需要十年，故选择第①种方案．
18. 【答案】
(1) 方案一中，每年末相比现在的加薪构成一个等差数列 ，其中 ，，，则 年共加薪 ．
方案二中，每半年结束时相比现在的加薪构成一个等差数列 ，其中 ，，，则 年共加薪 ．
(2) 由（Ⅰ）知 ，，
令 ，解得 ，
所以当 时，选择方案一；
当 时，方案一、三均可；
当 时，选择方案二．
19. 【答案】
平均每天消耗的设备费用 ，当且仅当 时，等号成立，即使用 天后，平均每天消耗的设备费用最低．

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