资源简介

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高中数学重难点突破
专题二 平面向量中的范围与最值问题
典例分析
题型一、平面向量线性运算中的范围与最值
例1-1、已知在△ABC中，点D满足2＋＝0，过点D的直线l与直线AB，AC分别交于点M，N，
＝λ，＝μ．若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为________．
例1-2、梯形中，，点在直线上，点在直线上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例1-3、在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的外接圆的圆心，
A＝，且＝λ＋μ，则λμ的最大值为________．
题型二　平面向量数量积的范围与最值
例2-1、若a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最大值为________．
例2-2、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　)
A．(－2，6)　　　　　B．(－6，2)　　　　　C．(－2，4)　　　　　D．(－4，6)
例2-3、如图，在等腰梯形ABCD中，已知DC∥AB，∠ADC＝120°，AB＝4，CD＝2，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝λ，则·的最小值是(　　)
A．4＋13　　　　　B．4－13　　　　　C．4＋　　　　　D．4－
例2-4、如图，线段AB的长度为2，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作等边三角形ABC，O为坐标原点，则·的取值范围是________．
例2-5、已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例2-6、已知在△ABC中，AB＝4，AC＝2，AC⊥BC，D为AB的中点，点P满足＝＋，则·(＋)的最小值为(　　)
A．－2　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－
题型三　平面向量模的范围与最值
例3-1、已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则|a|的取值范围为________．
例3-2、已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点，则的最大值为(　　)
A．2　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．5
例3-3、已知||＝1，||＝2，若·＝0，·＝0，则||的最大值为(　　)
A．　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2
例3-4、已知向量满足, , ,，则的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
例3-5、已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的取值范围为________________．
例3-6、如图，在ΔABC中，∠BAC=，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．6
例3-7、已知、均为单位向量，且，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例3-8、设非零向量与的夹角是，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
题型四 平面向量投影的范围与最值
例4-1、在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（　　）
A． B． C． D．
例4-2、已知||=||=，动点满足，且，则在方向上的投影的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
例4-3、自平面上一点引两条射线，，点在上运动，点在上运动且保持为定值（点，不与点重合），已知，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例4-4、已知平面向量，满足，则对任意共面的单位向量，的最大值是（ ）
A． B． C．3 D．2
课后作业
1．已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)
A．13　　　　　　　　B．15　　　　　　　　C．19　　　　　　　　D．21
2．已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝1，c·b＝1，|c|＝，则对任意的正实数t，的最小值是(　　)
A．2　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．4
3．如图，直角梯形中，已知，，，，动点在线段上运动，且，则的最小值是　　
A．3 B． C．4 D．
4．在平行四边形中，点在对角线上(包含端点)，且，则有( )
A．最大值为，没有最小值 B．最小值为，没有最大值
C．最小值为，最大值为 D．最小值为，最大值为
5．已知点是的重心，，若，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正的边长为1，，为扇形内一点（包括边界），则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
7．在边长为2的正方形中，动点和分别在边和上，且，，则的最小值为　　
A．0 B． C． D．
8．（多选题）已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有　　
A． B．
C．与不可能垂直 D．
9．在△ABC中，点D满足＝，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝(λ－1)2＋μ2
的最小值是________．
10．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，
若＝m，＝n，则mn的最大值为__________．
11．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．
12．在△ABC中，满足⊥，M是BC的中点，若O是线段AM上任意一点，且||＝||＝，则
·(＋)的最小值为________．
13．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，
则|＋3|的最小值为________．
14．已知非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|，＝，则的最大值为________．
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高中数学重难点突破
专题二 平面向量中的最值与范围问题
典例分析
题型一、平面向量线性运算中的范围与最值
例1-1、已知在△ABC中，点D满足2＋＝0，过点D的直线l与直线AB，AC分别交于点M，N，＝λ，＝μ．若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为________．
答案　　解析　连接AD．因为2＋＝0，所以＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋．因为D，M，N三点共线，所以存在x∈R，使＝x＋(1－x)，则＝xλ＋(1－x)μ，所以xλ＋(1－x)μ＝＋，所以xλ＝，(1－x)μ＝，所以x＝，1－x＝，所以＋＝1，所以λ＋μ＝(λ＋μ)＝≥，当且仅当λ＝μ时等号成立，所以λ＋μ的最小值为．
例1-2、梯形中，，点在直线上，点在直线上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】，
，
由，化简得，
则，
当且仅当时取“=”号，故选：A
例1-3、在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的外接圆的圆心，A＝，且＝λ＋μ，则λμ的最大值为________．
答案　　解析　∵△ABC是锐角三角形，∴O在△ABC的内部，∴0<λ<1,0<μ<1．由＝λ(－)
＋μ(－)，得(1－λ－μ)＝λ＋μ，两边平方后得，(1－λ－μ)22＝(λ＋μ)2＝λ22＋μ22＋2λμ·，∵A＝，∴∠BOC＝，又||＝||＝||．∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ，∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4，设＝t，∴3t2－4t＋1≥0，解得t≥1(舍)或t≤，即≤ λμ≤，∴λμ的最大值是．
题型二　平面向量数量积的范围与最值
例2-1、若a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最大值为________．
答案　1＋　解析　依题意可设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(cos θ，sin θ)，则(a－c)·(b－c)＝1－(sinθ＋cos θ)＝1－sin，所以(a－c)·(b－c)的最大值为1＋．
例2-2、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　)
A．(－2，6)　　　　　B．(－6，2)　　　　　C．(－2，4)　　　　　D．(－4，6)
答案　A　解析　如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(－1，)．设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，0)，且－1　　　　　　
另解　的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义式，可知·等于的模与在方向上的投影的乘积，所以·的取值范围是(－2，6)，故选A．
例2-3、如图，在等腰梯形ABCD中，已知DC∥AB，∠ADC＝120°，AB＝4，CD＝2，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝λ，则·的最小值是(　　)
A．4＋13　　　　　B．4－13　　　　　C．4＋　　　　　D．4－
答案　B　解析　在等腰梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，∠ADC＝120°，易得AD＝BC＝2．由动点
E和F分别在线段BC和DC上得，所以<λ<1．所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝||·||cos 120°＋||·||－||·||＋||·||cos 60°＝4×2×＋×2－4×(1－λ)×2＋×(1－λ)×2×＝－13＋8λ＋≥－13＋2＝4－13，当且仅当λ＝时取等号．所以·的最小值是4－13．
例2-4、如图，线段AB的长度为2，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作等边三角形ABC，O为坐标原点，则·的取值范围是________．
答案　(0，3]　解析　设∠BAO＝θ，θ∈(0°，90°)，则B(0，2sin θ)，C(2cos θ＋2cos(120°－θ)，2sin(120°
－θ))，则·＝(0，2sin θ)·(2cos θ＋2cos(120°－θ)，2sin(120°－θ))＝2sin θ·2sin(120°－θ)＝2sin θcos θ＋2sin2θ＝2sin(2θ－30°)＋1．因为θ∈(0°，90°)，所以·∈(0，3]．
例2-5、已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知：，设
EMBED Equation.DSMT4 ，
以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：，，设 ，则，
，当时，
本题正确选项：
例2-6、已知在△ABC中，AB＝4，AC＝2，AC⊥BC，D为AB的中点，点P满足＝＋，则·(＋)的最小值为(　　)
A．－2　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－
答案　C　解析　由＝＋知点P在直线CD上，以点C为坐标原点，CB所在直线为x
轴，CA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0，0)，A(0，2)，B(2，0)，D(，1)，∴直线CD的方程为y＝x，设P，则＝，＝，＝，∴＋＝，∴·(＋)＝－x(2－2x)＋x2－x＝x2－x＝2－，∴当x＝时，·(＋)取得最小值－．
题型三　平面向量模的最值(范围)问题
例3-1、已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则|a|的取值范围为________．
答案　　解析　在△ABC中，设＝a，＝b，则b－a＝－＝，∵a与b－a的夹角为120°，∴∠B＝60°，由正弦定理得＝，∴|a|＝＝sin C，∵0°＜C＜120°，∴sin C∈(0，1]，∴|a|∈．
例3-2、已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点，则的最大值为(　　)
A．2　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．5
答案　D　解析　设△ABC的外接圆的圆心为O，则圆的半径为×＝， ＋＋＝0，故＋＋2＝4＋．又2＝51＋8·≤51＋24＝75，故≤5，当，同向共线时取最大值．
例3-3、已知||＝1，||＝2，若·＝0，·＝0，则||的最大值为(　　)
A．　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2
答案　　解析　C由题意可知，AB⊥BC，CD⊥AD，故四边形ABCD为圆内接四边形，且圆的直径为AC，由勾股定理可得AC＝＝，因为BD为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故||的最大值为．故选C．
例3-4、已知向量满足, , ,，则的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】解：=，，，设由，，，
所以，所以，又，
则 即点四点共圆，要使最大，即为圆的直径，
在中，由余弦定理可得=+=7,
即AB=,又由正弦定理可得：，
即最大值为，故选A.
例3-5、已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的取值范围为________________．
答案　　解析　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设＝λ(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)，故＝(－λ，2－2λ)，＝(2－λ，－2λ)，则＋＝(2－2λ，2－4λ)，∴|＋|＝＝，0≤λ≤1，当λ＝0时，|＋|取得最大值为2，当λ＝时，|＋|取得最小值为，∴|＋|∈．
例3-6、如图，在ΔABC中，∠BAC=，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】B
【解析】因为，所以，由三点共线可得，
，即，所以，由向量的模的公式可得，
，
而，可得，根据基本不等式，
，
所以的最小值为．故选：B．
例3-7、已知、均为单位向量，且，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：因为、均为单位向量，且，所以设，，
，,则,
由的几何意义为点到点的距离，的几何意义为点到点的距离，
因为，即，又，即点在线段上运动，
设 ，则的几何意义为点到点的距离，
又所在的直线方程为，则，
点到点的最大距离为点到点的距离，即为，
即 ，故选B.
例3-8、设非零向量与的夹角是，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】对于，和的关系，根据平行四边形法则，如图
，，,，，
EMBED Equation.DSMT4 ，，
，
化简得
当且仅当时，的最小值为
答案选B
题型四 投影的最值和范围问题
例4-1、在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-，0），C（，0），P（0，0），
由可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即轴上，且圆心到直线BC的距离为，即圆心为，半径为.
所以点A的轨迹方程为：，则 ，则 ，
由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|，
则在方向上投影的最大值是，故选C．
例4-2、已知||=||=，动点满足，且，则在方向上的投影的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由已知有=（） （）=-+（μ-λ）=2λ-2μ，
又2=（）2=4（λ2+μ2+λμ），又2λ+μ=2，所以μ=2-2λ，
则在方向上的投影为==，
令t=3λ-2，则，则f（t）=，
①当t＞0时，f（t）==≤2，即0＜f（t）≤2；
②当t=0时，f（t）=0，
③当t＜0时，f（t）=-，即-＜f（t）＜0，
综合①②③得＜f（t）≤2，
即∈（]，故选A．
例4-3、自平面上一点引两条射线，，点在上运动，点在上运动且保持为定值（点，不与点重合），已知，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设，则
其中，则，，当时，原式取最大值：
，本题正确选项：
例4-4、已知平面向量，满足，则对任意共面的单位向量，的最大值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【解析】,得，，.
所以 .设,则,
则由余弦定理有.
,分别表示向量，在向量上的投影长度
当时，.当时如图（1），=.
当与，的夹角均为锐角时,如图（2）
,,则,
(当与平行时，取得等号)
当与，的夹角均为钝角时, ，
则与，的夹角均为锐角，同理可得,
当与，的夹角一个为锐角，另一为钝角时，设当与的夹角为钝，如图（3）
则等于向量的相反向量在的相反向量上的投影的长，即,
所以综上,故选：B.
课后作业
1．已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)
A．13　　　　　　　　B．15　　　　　　　　C．19　　　　　　　　D．21
1、答案　A　解析　建立如图所示的平面直角坐标系，
则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，
A＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，
∴P(1，4)，·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，
当且仅当t＝时等号成立．∴·的最大值等于13．
2．已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝1，c·b＝1，|c|＝，则对任意的正实数t，的最小值是(　　)
A．2　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．4
2、答案　B　解析　2＝c2＋t2a2＋b2＋2ta·c＋c·b＋2a·b＝2＋t2＋＋2t＋≥2＋2＋2＝8(t＞0)，当且仅当t2＝，2t＝，即t＝1时等号成立，∴|c＋ta＋b|的最小值为2．
3．如图，直角梯形中，已知，，，，动点在线段上运动，且，则的最小值是　　
A．3 B． C．4 D．
3、【解答】解：因为点在线段上运动，则，
则
，所以，，
则，
当且仅当，即时取等号，此时的最小值为4，
故选：．
4．在平行四边形中，点在对角线上(包含端点)，且，则有（）
A．最大值为，没有最小值 B．最小值为，没有最大值
C．最小值为，最大值为 D．最小值为，最大值为
4、【答案】C
【解析】
如图所示：
，所以
（1）当点在上，设，
因为，所以；
（2）当点在上，设，
；
综上， 的最小值为，最大值为，故选C．
5．已知点是的重心，，若，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5、【答案】C
【解析】如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得,
，
根据向量的数量积的定义可得,
设，则，
，
当且仅当，即，△ABC是等腰三角形时等号成立.
综上可得的最小值是.本题选择C选项.
6．如图，正的边长为1，，为扇形内一点（包括边界），则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
6、【解答】解：以所在直线为轴，过与垂直的自治县为轴，如图，
可得，，，，
，其中是在上的投影，显然，在时投影取得最小值，图形中的处，投影取得最大值，
所以的最小值为：，，
的最大值为：．
则的取值范围是，．
故选：．
7．在边长为2的正方形中，动点和分别在边和上，且，，则的最小值为　　
A．0 B． C． D．
7、【解答】解：以，为坐标轴建立平面直角坐标系如图：
则，，，．
，．
．
当且仅当，即时取等号，
则的最小值为．
故选：．
8．（多选题）已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有　　
A． B．
C．与不可能垂直 D．
8、【解答】解：，是平面上夹角为的两个单位向量，设，，建立坐标系如图，
，，，由，
可得，的中点在以为直径的圆上，
，故不正确；，故正确；
由图可知，，的夹角是锐角，与不可能垂直，故正确；
的最大值为：，故正确．
故选：．
9．在△ABC中，点D满足＝，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝(λ－1)2＋μ2
的最小值是________．
9、答案　　解析　因为＝，所以＝＋．又＝λ＋μ，点E在线段AD上移动，所以∥，则＝，即λ＝μ．所以t＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝2＋．当λ＝时，t的最小值是．
10．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，
若＝m，＝n，则mn的最大值为__________．
10、答案　　解析　因为点O是BC的中点，所以＝(＋)．又因为＝m，＝n，所以
＝＋．又因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，即m＋n＝2，所以mn≤2＝1，当且
仅当m＝n＝1时，等号成立，故mn的最大值为1
11．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．
11、答案　－　解析　∵圆心O是直径AB的中点，∴＋＝2，∴(＋)·＝2·，∵||＋||＝3≥2，∴||·||≤，即(＋)·＝2·＝－2||·||≥－，当且仅当||＝||＝时，等号成立，故最小值为－．
12．在△ABC中，满足⊥，M是BC的中点，若O是线段AM上任意一点，且||＝||＝，则·(
＋)的最小值为________．
12、答案　－　解析　∵||＝||＝，∴||＝1．设||＝x，则||＝1－x，而＋＝2，∴
·(＋)＝2·＝2||·||cos π＝－2x(1－x)＝2x2－2x＝22－，当且仅当x＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－．
13．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
13、答案　5　解析　方法一　以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x．∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，
＝(2，－x)，＝(1，a－x)，∴＋3＝(5,3a－4x)，|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|＋3|的最小值为5．
方法二　设＝x(014．已知非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|，＝，则的最大值为________．
14．答案　　解析　＝a，＝b，则＝a－b．因为非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|，所
以△OAB是等边三角形．设＝c，则＝c－a，＝c－b．因为＝，所以点C在△ABC的外接圆上，所以当OC为△ABC的外接圆的直径时，取得最大值，为＝．
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