资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
高中数学重难点突破
专题六 空间几何体的体积与面积
知识归纳
1．简单多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；
(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．
2．旋转体的形成
几何体 旋转图形 旋转轴
圆柱 矩形 任一边所在的直线
圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线
圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线
球 半圆 直径所在的直线
3.直观图
直观图的斜二测画法：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.
4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
5.柱体、锥体、台体和球的表面积和体积
名称几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：
S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．
2．多面体的内切球与外接球常用的结论
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝a．
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝．
(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝a，内切球半径r＝H＝a，外接球半径R＝H＝a．
典例分析
一、空间几何体的结构特征
【例1】给出下列四个命题：
①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；
④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．
其中所有错误命题的序号是(　　)
A.②③④　 　 B.①②③　　 C.①②④　 　D.①②③④
【变式1】给出下列四个命题：
①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；
②四个侧面两两全等的四棱柱一定是直四棱柱；
③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；
④长方体一定是正四棱柱．
其中正确命题的个数是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【例2】下列结论正确的是(　　)
A.侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B.六条棱长均相等的四面体是正四面体
C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D.用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台
【变式2】下列命题正确的是(　　)
A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
二、空间几何体的直观图
【例3】(1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A.a2　　 B.a2　　 C.a2　　 D.a2
(2)如图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么(　　)
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
三、空间多面体的面积、体积问题
【例4】(1)侧面是正三角形的正四棱锥，体积为，则它的全面积是________．
(2)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD A1B1C1D1挖去四棱锥O EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
(3)如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________．
【变式3】(1)如图1所示的正方体的棱长为1，沿对角面(图中阴影部分)将其分割成两块，重新拼接成如图2所示的斜四棱柱，则所得的斜四棱柱的表面积是________．
(2)如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A A1EF的体积是________．
(3)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，面ABCD为矩形，棱EF∥AB.若此几何体中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为 (　　)
A．8 B．8＋8 C．6＋2 D．8＋6＋2
四、空间旋转体的面积、体积问题
【例5】(1)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上)，圆锥底面直径为10 cm，高为10 cm.打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.(π取3.14)
(2)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．
【变式4】(1)若球的半径、圆柱底面半径和圆锥底面半径都相等，且这三个旋转体的体积也都相等，则球的表面积S1，圆柱的表面积S2和圆锥的表面积S3的大小关系为 (　　)
A．S3＞S1＞S2 B．S2>S1>S3 C．S2>S3>S1 D．S3>S2>S1
(2)如图所示，在边长为5＋的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N、K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则该圆锥的全面积是________，体积是________．
同步练习
1．给出下列几个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是(　　)
A．0　　　　　　B．1 C．2 D．3
2．已知矩形ABCD，AB＝2BC，把这个矩形分别以AB，BC所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为S1，S2，则S1与S2的比值等于(　　)
A. B．1 C．2 D．4
3．如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥A BC1M 的体积VA BC1M＝(　　)
A. B． C. D.
4．在三棱锥A BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥的体积为(　　)
A. B． C．6 D．2
5．已知三棱锥S ABC中，∠SAB＝∠ABC＝，SB＝4，SC＝2，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S ABC的体积是 (　　)
A.4 B.6 C.4 D.6
6．一个圆锥SC的高和底面直径相等，且这个圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为 (　　)
A. B. C. D.
7．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)
A. B. C. D.
8．(多选)已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a，a的矩形，设该圆柱的体积为V，则V＝(　　)
A. B. C. D.
9．如图，直三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D A1BC的体积是________．
10．已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A，B满足△SAB为等边三角形，且面积为4，则圆锥的母线长为________，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为________．
11．母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的底面圆的半径为________，体积为________．
12．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．
13．如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，则该几何体的体积为________．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
高中数学重难点突破
专题六 空间几何体的体积与面积
知识归纳
1．简单多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；
(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．
2．旋转体的形成
几何体 旋转图形 旋转轴
圆柱 矩形 任一边所在的直线
圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线
圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线
球 半圆 直径所在的直线
3.直观图
直观图的斜二测画法：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.
4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
5.柱体、锥体、台体和球的表面积和体积
名称几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：
S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．
2．多面体的内切球与外接球常用的结论
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝a．
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝．
(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝a，内切球半径r＝H＝a，
外接球半径R＝H＝a．
典例分析
一、空间几何体的结构特征
【例1】给出下列四个命题：
①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；
④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．
其中所有错误命题的序号是(　　)
A.②③④　 　 B.①②③　　
C.①②④　 　D.①②③④
【答案】D【解析】认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③错误，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故②错误，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④错误．故选D.
【变式1】给出下列四个命题：
①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；
②四个侧面两两全等的四棱柱一定是直四棱柱；
③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；
④长方体一定是正四棱柱．
其中正确命题的个数是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A【解析】底面是菱形的直棱柱满足条件，但它不一定是正棱柱，①不正确；斜四棱柱的四个侧面也可能两两全等，②不正确；以正六边形为底面的棱锥，其侧棱长必然要大于底面边长，③不正确；④显然不正确．故选A.
【例2】下列结论正确的是(　　)
A.侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B.六条棱长均相等的四面体是正四面体
C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D.用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台
【答案】B【解析】如图，各侧面均是等腰三角形，但该三棱锥非正三棱锥，A错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，所以D错．故选B.
【变式2】下列命题正确的是(　　)
A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
【答案】C【解析】如图所示，可排除A，B选项．只要有截面与圆柱的母线平行或垂直，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分．故选C.
二、空间几何体的直观图
【例3】(1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A.a2　　 B.a2　　 C.a2　　 D.a2
【答案】D【解析】法一：如图①②所示的实际图形和直观图，
由图②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，
在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a，
所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.
法二：S△ABC＝×a×asin 60°＝a2，又S直观图＝S原图＝×a2＝a2.故选D.
(2)如图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么(　　)
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
【答案】C【解析】由题中的直观图可知，A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD∥y轴，BC∥x轴，又因为D′为B′C′的中点，所以△ABC为等腰三角形，且AD为底边BC上的高，则有AB＝AC>AD成立．
三、空间多面体的面积、体积问题
【例4】(1)侧面是正三角形的正四棱锥，体积为，则它的全面积是________．
【答案】1＋ 【解析】如图，P ABCD为正四棱锥，设底面边长为a，过P作PG⊥BC于G，
作PO⊥底面ABCD，垂足为O，
连接OG.在Rt△POG中，
PG＝a，PO＝＝a，
因为体积为，即×a2×a＝，则a＝1.
所以正四棱柱的全面积为4×a2＋a2＝1＋.
(2)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD A1B1C1D1挖去四棱锥O EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
【答案】118.8【解析】由题意得，S四边形EFGH＝4×6－4××2×3＝12(cm2)，
因为四棱锥O EFGH的高为3 cm，
所以VO EFGH＝×12×3＝12(cm3)．
又长方体ABCD A1B1C1D1的体积为V2＝4×6×6＝144(cm3)，
所以该模型体积为V＝V2－VO EFGH＝144－12＝132(cm3)，
其质量m＝0.9×132＝118.8(g)．故填118.8.
(3)如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________．
【答案】4　【解析】法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC和一个斜三棱柱BEF CHG.
由题意，知V三棱柱DEH ABC＝S△DEH×AD＝×2＝2，V三棱柱BEF CHG＝S△BEF×DE＝×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG＝2＋2＝4.
法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，
如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．
又正方体的体积V正方体ABHI DEKG＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG＝×8＝4.
【变式3】(1)如图1所示的正方体的棱长为1，沿对角面(图中阴影部分)将其分割成两块，重新拼接成如图2所示的斜四棱柱，则所得的斜四棱柱的表面积是________．
【答案】4＋2【解析】由拼接规律得：斜四棱柱的上下两个底面为矩形，长为1，宽为；左右为两个正方形，边长为1；前后为两个平行四边形，相邻两边长为1与，一个内角为45°，从而斜四棱柱的表面积是2×1×＋2×12＋2×1××sin45°＝4＋2，故填4＋2.
(2)如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A A1EF的体积是________．
【答案】8【解析】因为在正三棱柱ABC A1B1C1中，AA1∥BB1，AA1 平面AA1C1C，BB1 平面AA1C1C，所以BB1∥平面AA1C1C，从而点E到平面AA1C1C的距离就是点B到平面AA1C1C的距离，作BH⊥AC，垂足为点H，由于△ABC是正三角形且边长为4，所以BH＝2，从而三棱锥A A1EF的体积V＝V＝S·BH＝××6×4×2＝8.
(3)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，面ABCD为矩形，棱EF∥AB.若此几何体中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为 (　　)
A.8 B.8＋8
C.6＋2 D.8＋6＋2
【答案】B【解析】过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连接PF，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连接OQ.△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，
所以OP＝(AB－EF)＝1，PF＝，OQ＝BC＝1，
所以OF＝＝，FQ＝＝，
所以S梯形ABFE＝S梯形CDEF＝×(2＋4)×＝3；又S△BCF＝S△ADE＝×4＝，S矩形ABCD＝4×2＝8，
所以几何体的表面积S＝3×2＋×2＋8＝8＋8，故选B.
四、空间旋转体的面积、体积问题
【例5】(1)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上)，圆锥底面直径为10 cm，高为10 cm.打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.(π取3.14)
【答案】358.5【解析】设被挖去的正方体的棱长为x cm，取过正方体上下底面面对角线的轴截面，由相似三角形得，则＝，解得x＝5.
模型的体积为V＝π×(5)2×10－53＝－125 (cm3)，
因此，制作该模型所需原料的质量为0.9×＝150π－0.9×125＝358.5 g．故填358.5.
(2)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．
【答案】【解析】由题意，知四棱锥的高为＝2，则圆柱的高为1，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为π××1＝.故填.
点拨　本题主要考查空间几何体的结构特征与体积的计算，考查学生的空间想象能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算．
【变式4】(1)若球的半径、圆柱底面半径和圆锥底面半径都相等，且这三个旋转体的体积也都相等，则球的表面积S1，圆柱的表面积S2和圆锥的表面积S3的大小关系为 (　　)
A.S3＞S1＞S2 B.S2>S1>S3
C.S2>S3>S1 D.S3>S2>S1
【答案】D【解析】设半径为r，则三个旋转体的体积都相等且为V＝πr3，
故圆柱的高h1满足πr3＝πr2h1，h1＝r，圆锥的高h2满足πr3＝πr2h2，h2＝4r.
故球的表面积S1＝4πr2，圆柱的表面积S2＝2πr2＋2πr×r＝πr2，圆锥的表面积S3＝πr2＋πr×＝(＋1)πr2.因为(＋1)πr2>πr2>4πr2.故S3>S2>S1.故选D.
(2)如图所示，在边长为5＋的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N、K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则该圆锥的全面积是________，体积是________．
【答案】10π；【解析】设圆的半径为r，扇形的半径(也即圆锥的母线长)为R.则解得r＝，R＝4.所以圆锥的全面积为πr2＋πR2＝2π＋8π＝10π.圆锥的高为＝，圆锥的体积为πr2·＝.故填10π；.
同步练习
1．给出下列几个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
【答案】B　【解析】①错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
2．已知矩形ABCD，AB＝2BC，把这个矩形分别以AB，BC所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为S1，S2，则S1与S2的比值等于(　　)
A. B．1
C．2 D．4
【答案】B　【解析】设BC＝a，AB＝2a，所以S1＝2π·a·2a＝4πa2，S2＝2π·2a·a＝4πa2，S1∶S2＝1.
3．如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥A BC1M 的体积VA BC1M＝(　　)
A. B．
C. D.
【答案】C　【解析】VA BC1M＝VC1 ABM＝S△ABM·C1C＝×AB×AD×C1C＝.故选C.
4．在三棱锥A BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥的体积为(　　)
A. B．
C．6 D．2
【答案】B　【解析】由△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，且AB，AC，AD两两垂直，
可得三个式子相乘可得(AB·AC·AD)2＝6，
∴该三棱锥的体积V＝×AB·AC·AD＝.故选B.
5．已知三棱锥S ABC中，∠SAB＝∠ABC＝，SB＝4，SC＝2，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S ABC的体积是 (　　)
A.4 B.6 C.4 D.6
【答案】C【解析】因为∠ABC＝，所以AB⊥BC，又因为AB＝2，BC＝6，所以AC＝2，
因为∠SAB＝，所以AB⊥AS，又因为AB＝2，SB＝4，所以AS＝2，
再由SC＝2得AC2＋AS2＝SC2，所以AC⊥AS，所以AS⊥平面ABC.
所以AS为三棱锥S ABC的高，所以VS ABC＝×6×2＝4，故选C.
6．(2020·全国高三专题练习)一个圆锥SC的高和底面直径相等，且这个圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为 (　　)
A. B. C. D.
【答案】C【解析】不妨设圆锥的底面半径为r1＝1，高为h1＝2，该圆柱的底面半径r2＝1，高为h2.根据圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等，得×π×12×2＝π×12×h2，即得h2＝.圆锥的母线长为＝，故两者侧面积比为＝，故选C.
7．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A【解析】(分割法)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，
容易求得EG＝HF＝，
AG＝GD＝BH＝HC＝，
取AD的中点O，连接GO，易得GO＝，
∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
∴多面体的体积V＝V三棱锥E ADG＋V三棱锥F BCH＋V三棱柱AGD BHC＝2V三棱锥E ADG＋V三棱柱AGD BHC
＝×××2＋×1＝.故选A.
8．(多选)已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a，a的矩形，设该圆柱的体积为V，则V＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】AB【解析】设圆柱的母线长为l，底面圆的半径为r，则当l＝2a时，2πr＝a，∴r＝，这时V圆柱＝2a·π2＝；当l＝a时，2πr＝2a，∴r＝，这时V圆柱＝a·π2＝.综上，该圆柱的体积为或.
9．如图，直三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D A1BC的体积是________．
【答案】【解析】VD A1BC＝VB1 A1BC
＝VA1 B1BC＝×S△B1BC×＝.]
10．已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A，B满足△SAB为等边三角形，且面积为4，则圆锥的母线长为________，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为________．
【答案】4　8(＋1)π【解析】设圆锥母线长为l，由△SAB为等边三角形，且面积为4，得l2＝4，解得l＝4.又设圆锥底面半径为r，高为h，则由圆锥轴截面的面积为8得rh＝8.又r2＋h2＝l2＝16，解得r＝2，故S表＝πrl＋πr2＝8(＋1)π.
11．母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的底面圆的半径为________，体积为________．
【答案】4　16π【解析】设该圆锥的底面圆的半径为r，高为h.∵母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，∴侧面展开图的弧长为5×＝8π.又弧长＝底面周长，即8π＝2πr，∴r＝4，∴圆锥的高h＝＝3，∴圆锥的体积V＝×π×42×3＝16π.
12．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．
【答案】40π【解析】如图，∵SA与底面成45°角，
∴△SAO为等腰直角三角形．
设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝r.
在△SAB中，cos ∠ASB＝，
∴sin ∠ASB＝，∴S△SAB＝SA·SB·sin ∠ASB
＝×(r)2×＝5，解得r＝2，
∴SA＝r＝4，即母线长l＝4，
∴S圆锥侧＝πrl＝π×2×4＝40π.
13.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，则该几何体的体积为________．
【答案】6【解析】过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，则该几何体的体积V＝
V＋V＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑