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高中数学重难点突破
专题九 正方体与立体几何
知识归纳
1、长方体
长方体长宽高分别是a,b,c,则：
①体对角线长为，外接球直径；
②棱长总和为；
③全(表)面积为，体积；
④体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则有
cos2+cos2+cos2=1，sin2+sin2+sin2=2.
⑤体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有
cos2+cos2+cos2=2，sin2+sin2+sin2=1.
2、正三棱锥
①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心；
②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心；
③斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心
3、正四面体
设棱长为，则正四面体中的一些数量关系：
①全面积；
②体积；
③对棱间的距离；
④相邻面所成二面角；⑤外接球半径；⑥内切球半径；
⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值.
正方体
设正方体的棱长为，则
①体对角线长为；
②全面积为；
③体积；
④内切球半径为,外接球半径为,与十二条棱均相切的球半径为,则,,,且.
正方体的截面图形
典例分析
正方体的截面问题
【例1】如图，在下列四个正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是(　　)
A B C D
【变式1】(多选题)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点F，交棱CC1于点E，下列说法正确的是(　　)
A．平面α分正方体所得两部分的体积相等
B．四边形BFD1E一定是平行四边形
C．平面α与平面DBB1不可能垂直
D．四边形BFD1E的面积有最大值
【例2】如图，在长方体中，，，，，分别为，，的中点，点在平面内，若直线平面，则与满足题意的构成的平面截正方体的截面面积为　　
A． B． C． D．
正方体中的线面关系
【例3】在正方体中，有如下命题：
①两条异面直线和所成的角为；
②直线与平面所成的角为；
③若是棱中点，则直线与是相交直线；
④若点在线段上运动，则始终有．
真命题的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，若E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则(　　)
A. 直线D1D与直线AF垂直
B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 平面AEF截正方体所得截面的面积为
D. 点C与点G到平面AEF的距离相等
【变式2】(多选题)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段AB1，BC1的中点，给出以下四个结论中正确结论的是(　　)
直线BD⊥直线MN
直线MN与直线AC异面
直线MN⊥平面BDD1B1
MN＝AA1.
【变式3】(多选题)如图，是正方体的棱的中点，下列命题中真命题是　　
A．过点有且只有一条直线与直线、都相交
B．过点有且只有一条直线与直线、都垂直
C．过点有且只有一个平面与直线、都相交
D．过点有且只有一个平面与直线、都平行
三、正方体中的几何体
【例5】若正四面体ABCD的棱长为，则该正四面体的体积V＝________.
【例6】在棱长为2的正方体中，恰好有一个半径为r的球内切于该正方体，球的表面积记为S1，连接球与正方体的切点形成的多面体的表面积记为S2，则的值是(　　)
A． B．
C． D．
【变式4】已知棱长为的正方体ABCD－A1B1C1D1内有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，那么该圆柱侧面积的最大值为(　　)
A．3π　 B． 2π　
C．　 D．
四、正方体中的角度与长度问题
【例7】在下列命题中：
①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等
②存在一个平面与正方体的6个面所成的二面角的正弦值都相等
③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等
④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等
其中真命题的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【例8】如图，正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是　　
A． B．
C． D．
【例9】在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为(　　)
A．1 B．
C． D．
【变式5】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1.
(1) 当点M与点C重合时，线段AP的长度为________；
(2) 线段AP长度的最小值为________．
五、正方体与球的综合问题
【例10】某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是(　　)
A．2 B．4
C．2 D．4
【变式6】如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为(　　)
A． B．π
C． D．
【变式7】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为A1B1的中点，下列说法中正确的是(　　)
ED1与B1C所成的角大于60°
B．点E到平面ABC1D1的距离为1
C．三棱锥E－ABC1的外接球的表面积为π
D．直线CE与平面ADB1所成的角为
六、正方体中的动点问题
【例11】(多选题)如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中正确的是 (　　)
A.AC⊥BE B.三棱锥A BEF体积是定值
C.二面角A EF B的平面角大小是定值
D.AE与平面DD1B1B所成角等于AF与平面DD1B1B所成角
【变式8】正方体ABCD A1B1C1D1中，点P是四边形BB1D1D内(含边界)任意一点，点Q是B1C1的中点．有下列四个结论：
①AC⊥BP(当B，P不重合时)；
②存在点P，使AP∥BQ；
③存在唯一点P，使CQ⊥平面ABP；
④AQ与BC所成角的正切值为2.
其中所有正确结论的序号为 ．
【例12】(多选题)如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论不正确的是(　　)
A.DB1⊥D1P B.平面AD1P⊥平面A1DB1
C.∠APD1的最大值为90° D.AP＋PD1的最小值为
【变式9】在正方体中，，分别为，上的动点，且满足，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是　　
①存在，的某一位置，使；
②的面积为定值；
③当时，直线与直线一定异面；
④无论，运动到何位置，均有．
A．①②④ B．①③ C．②④ D．①③④
同步练习
1．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E为CC1的中点，则异面直线AB1，BE所成角的余弦值为(　　)
A. 　 　B. C. 　　D.
2．在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则　　
A．在正方形内一定存在一点，使得
B．在正方形内一定存在一点，使得
C．在正方形内一定存在一点，使得平面平面
D．在正方形内一定存在一点，使得平面
3．如图，在棱长为1的正方体中，若点，分别为线段，上的动点，点为底面上的动点，则的最小值为　　
A． B． C． D．1
4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，给出下列四个结论：
①点P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变；
②点P在直线BC1上运动时，直线AP与平面AD1C所成角的大小不变；
③点P在直线BC1上运动时，二面角P－AD1－C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是过点D1的直线．
其中正确结论的序号是(　　)
A．①②④ B．②③④
C．①③④ D．①②③
5. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6，点O在BC上，且BO＝OC，若过点O的直线l与直线AA1，C1D1分别交于M，N两点，则MN与平面ADD1A1所成角的正弦值为(　　)
A. 　 B.
C. 　 D.
6．如图，在正方体中，为线段上的动点(不含端点)，则下列结论不正确的为
A．平面平面 B．平面
C． D．平面
7．棱长为6的正方体中，点是线段的中点，点在线段上，，则正方体被平面所截得的截面面积为　　
A． B． C． D．
8．在正方体中，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点．现有以下结论：
①与是异面直线；
②过，，三点的正方体的截面是等腰梯形；
③平面平面；
④平面．
其中正确结论的序号是　　
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
9．(多选题)正方体的棱长为3，点，分别在棱，上，且，，下列命题中正确是　　
A．异面直线与垂直；
B．过点，，的平面截正方体，截面为等腰梯形；
C．三棱锥的体积为；
D．过点作平面，使得，则平面截正方体所得的截面面积为．
10. (多选题)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在直线BC1上运动，下列四个命题中正确的是(　　)
A. 三棱锥A－D1PC的体积不变
B. 直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变
C. 二面角P－AD1－C的大小不变
D. 若M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是直线A1D1
11. 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，下列四个命题中正确的是(　　)
A. 点H是△A1BD的中心
B. AH⊥平面CB1D1
C. AC1与B1C所成的角是90°
D. AC1与B1C所成的角是60°
12．(多选题)已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，过点，，的平面分别交，于点，，则下列说法正确的是　　
A． B．平面
C．平面平面 D．过点，，的截面的面积为
13. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.
　　　　　　
14．如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点．点M在四边形EFGH内部运动(包括边界)，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
15．已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．
16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的外接球的表面积为12π，E为球心，F为C1D1的中点．若点M在该正方体的表面上运动，则使得ME⊥CF的点M所构成的轨迹的周长等于________．
C
B
A
A
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高中数学重难点突破
专题九 正方体与立体几何
知识归纳
1、长方体
长方体长宽高分别是a,b,c,则：
①体对角线长为，外接球直径；
②棱长总和为；
③全(表)面积为，体积；
④体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则有
cos2+cos2+cos2=1，sin2+sin2+sin2=2.
⑤体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有
cos2+cos2+cos2=2，sin2+sin2+sin2=1.
2、正三棱锥
①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心；
②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心；
③斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心
3、正四面体
设棱长为，则正四面体中的一些数量关系：
①全面积；
②体积；
③对棱间的距离；
④相邻面所成二面角；⑤外接球半径；⑥内切球半径；
⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值.
正方体
设正方体的棱长为，则
①体对角线长为；
②全面积为；
③体积；
④内切球半径为,外接球半径为,与十二条棱均相切的球半径为,则,,,且.
正方体的截面图形
典例分析
正方体的截面问题
【例1】如图，在下列四个正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是 (　　)
A B C D
【答案】D【解析】如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，图形EFMNQG是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，而选项A，B，C中的平面EFG与这个平面重合，D中EF∥BB1，而BB1与BD1不垂直，即BD1与平面EFG不垂直．故选D.
【变式1】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点F，交棱CC1于点E，下列说法正确的是(　　)
A．平面α分正方体所得两部分的体积相等
B．四边形BFD1E一定是平行四边形
C．平面α与平面DBB1不可能垂直
D．四边形BFD1E的面积有最大值
【答案】ABD【解析】对于A：由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，故A正确；
对于B：因为平面ABB1A1∥平面CC1D1D，平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BF，平面BFD1E∩平面CC1D1D＝D1E，所以BF∥D1E.
同理可证：D1F∥BE，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故B正确；
对于C：当E，F为棱中点时，EF⊥平面BB1D，又因为EF 平面BFD1E，
所以平面BFD1E⊥平面DBB1，故C不正确；
对于D：当F与A重合，当E与C1重合时，四边形BFD1E的面积有最大值，故D正确．故选ABD.
【例2】如图，在长方体中，，，，，分别为，，的中点，点在平面内，若直线平面，则与满足题意的构成的平面截正方体的截面面积为　　
A． B． C． D．
【解答】、、分别为、、的中点，，，
面，面，面，
同理可证面，又面，面，，
面面，即点在直线上，则与满足题意的构成的平面截正方体的截面为，
在中，有，，，，
故选：．
正方体中的线面关系
【例3】在正方体中，有如下命题：
①两条异面直线和所成的角为；
②直线与平面所成的角为；
③若是棱中点，则直线与是相交直线；
④若点在线段上运动，则始终有．
真命题的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【解析】对于①，连接，，由，，可得四边形为平行四边形，
则，为两条异面直线和所成的角，
△为等边三角形，可得，故①错误；
平面平面，且平面平面，
连接，则，可得平面，则为直线与平面所成的角为，
故②正确；
平面，平面，且，平面，
由异面直线的定义，可得直线与是异面直线，故③错误；
由分析②时可知，平面，当点在线段上运动时，平面，
则，故④正确．
正确命题的个数是2个．故选：．
【例4】(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，若E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则(　　)
A. 直线D1D与直线AF垂直
B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 平面AEF截正方体所得截面的面积为
D. 点C与点G到平面AEF的距离相等
【答案】BC【解析】若D1D⊥AF，因为D1D⊥AE且AE∩AF＝A，AE，AF 平面AEF，所以DD1⊥平面AEF，又EF 平面AEF，所以DD1⊥EF，所以CC1⊥EF，显然不成立，故A错误；如图(1)所示，取B1C1的中点Q，连接A1Q，GQ，由条件可知GQ∥EF，A1Q∥AE，且GQ∩A1Q＝Q，EF∩AE＝E，所以平面A1GQ∥平面AEF，又因为A1G 平面A1GQ，所以A1G∥平面AEF，故B正确；如图(2)所示，连接D1F，D1A，延长D1F，AE交于点S，因为E，F为C1C，BC的中点，所以EF∥A1D，所以A，E，F，D1四点共面，所以截面即为梯形AEFD1.又因为D1S＝AS＝＝2，A1D＝2，所以 S△AD1S＝×2×＝6，所以S梯形AEFD1＝6×＝，故C正确；记点C与点G到平面AEF的距离分别为h1，h2，因为VC － AEF＝·S△AEF·h1＝VA － CEF＝··2＝，又因为VG － AEF＝·S△AEF·h2＝VA － GEF＝··2＝，所以h1≠h2，故D错误．故选BC.
【变式2】(多选题)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段AB1，BC1的中点，给出以下四个结论中正确结论的是(　　)
直线BD⊥直线MN
直线MN与直线AC异面
直线MN⊥平面BDD1B1
MN＝AA1.
【答案】ACD【解析】如图，过点M作MF⊥AB交AB于点F，过点N作NE⊥BC交BC于点E，连接EF，AC，BD，B1D1.因为M，N分别为AB1，BC1的中点，所以NE＝CC1＝BB1＝MF，且NE∥CC1∥BB1∥MF，故四边形MNEF为矩形，故MN∥EF，又EF∥AC，所以MN∥AC，故B错误．因为AC⊥BD，AC⊥BB1，所以AC⊥平面BDD1B1，所以直线MN⊥平面BDD1B1且MN⊥BD，故AC正确．由勾股定理得AC＝AA1，则EF＝AC＝AA1，故D正确．
【变式3】(多选题)如图，是正方体的棱的中点，下列命题中真命题是　　
A．过点有且只有一条直线与直线、都相交
B．过点有且只有一条直线与直线、都垂直
C．过点有且只有一个平面与直线、都相交
D．过点有且只有一个平面与直线、都平行
【答案】ABD【解析】解：直线与 是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取的中点，则，且，设 与交于，则点、、、、 共面，
直线必与直线相交于某点．
所以，过点有且只有一条直线与直线、都相交；故正确．
过点有且只有一条直线与直线、都垂直，此垂线就是棱，
故正确．
过点有无数个平面与直线、都相交，故不正确．
过点有且只有一个平面与直线、都平行，
此平面就是过点与正方体的上下底都平行的平面，故正确．故选：．
三、正方体中的几何体
【例5】若正四面体ABCD的棱长为，则该正四面体的体积V＝________.
【答案】　【解析】如图，将正四面体ABCD嵌入正方体中，且满足AB＝CD＝AC＝BD＝，现设AP＝ AQ＝ AR＝x，则x＝，故V＝V正方体－4VD － AQB＝5－4×××××＝.
【例6】在棱长为2的正方体中，恰好有一个半径为r的球内切于该正方体，球的表面积记为S1，连接球与正方体的切点形成的多面体的表面积记为S2，则的值是(　　)
A. B .
C. D .
【答案】A【解析】根据题意，可知该正方体的内切球的半径是正方体棱长的一半，即r＝1，则内切球的表面积S1＝4π.设球与正方体的6个切点分别为A，B，C，D，E，F，则易知这6个点分别是其所在的正方体的6个面的中心，连接这6个切点，得到如图所示的正八面体ABCEDF，易知正八面体ABCEDF是由8个全等的等边三角形围成的．
正八面体ABCEDF的棱长AB＝×2＝，所以S2＝8S△EAB＝8××××sin＝4，所以＝＝.故选A.
【变式4】已知棱长为的正方体ABCD－A1B1C1D1内有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，那么该圆柱侧面积的最大值为(　　)
A. 3π　 B. 2π　
C. 　 D.
【答案】D【解析】由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，
由图形的对称性可知，侧面积最大时，圆柱的上底面必与过点A的三个面相切，
且切点分别在线段AB1，AC，AD1上，
如图所示，设线段AB1上的切点为E，AC1与平面A1BD的交点为O2，圆柱上底面的圆心为O1，
半径即为O1E，记为r，设AB1与平面A1BD的交点为F.
因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，所以AC1＝3，A1B＝BD＝A1D＝.
由题意知，O2F＝DF＝××＝，AO2＝AC1＝1.
由O1E∥O2F知＝，所以AO1＝O1E，
则圆柱的高为3－2AO1＝3－2r，
S侧＝2πr(3－2r)＝4π＝－4π2＋≤，
当r＝时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为.故选D.
四、正方体中的角度与长度问题
【例7】在下列命题中：
①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等
②存在一个平面与正方体的6个面所成的二面角的正弦值都相等
③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等
④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等
其中真命题的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D【解析】如图，连结，，，，则为正三棱锥，
则，，与平面所成角相等，
则存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等，故选项①正确；
正三棱锥的三个侧面与底面所成角相等，
则存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等，故选项②正确；
存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等，故选项③正确；
存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等，故选项④正确．
【例8】如图，正方体中，，分别为棱，的中点，
则异面直线与所成角的余弦值是　　
A． B． C． D．
【答案】A【解析】取的中点，连接，，，则，，
四边形为平行四边形，，或其补角为异面直线与所成角，
设正方体的棱长为2，在中，，，
由余弦定理知，．
【例9】在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为 (　　)
A.1 B. C. D.
【答案】D【解析】如图所示，连接A1D，AD1交于点O，连接OC1，
在正方体中，因为AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，
又A1D⊥AD1，且AD1∩AB＝A，所以A1D⊥平面AD1C1B，
所以∠A1C1O即为所求角，在Rt△A1C1O中，sin∠A1C1O＝，
所以A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为.故选D.
【变式5】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，
动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1.
(1) 当点M与点C重合时，线段AP的长度为________；
(2) 线段AP长度的最小值为________．
【答案】　　【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设M(0,1，m)，P(x，y,1)，则＝(x－1，y,1)，＝(－1，－1,1)，
＝(－1,0，m)．因为AP⊥平面MBD1，所以即
当点M与点C重合时，m＝0，x＝y＝1，此时AP的长度为；
(2) ||＝＝＝≥.
五、正方体与球的综合问题
【例10】某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是(　　)
A．2 B．4
C．2 D．4
【答案】B【解析】设截面圆半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2，
根据截面圆的周长可得4π＝2πr，得r＝2，
故由题意知R2＝r2＋(2)2，即R2＝22＋(2)2＝16，所以R＝4.故选B.
【变式6】如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为(　　)
A. B.π
C. D.
【答案】C【解析】正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆周长的，所以所有弧长之和为3×＝.故选C.
【变式7】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为A1B1的中点，下列说法中正确的是(　　)
A．ED1与B1C所成的角大于60°
B．点E到平面ABC1D1的距离为1
C．三棱锥E－ABC1的外接球的表面积为π
D．直线CE与平面ADB1所成的角为
【答案】D【解析】如图，对于A，取DC的中点F，连接EF，D1F，则∠D1EF为ED1与B1C所成的角，
∵D1F＝D1E＝，EF＝2，
∴cos∠D1EF＝
＝>，∴∠D1EF<60°，故A错误；
对于B，由于A1B1∥平面ABC1D1，
故B1到平面ABC1D1的距离即点E到平面ABC1D1的距离．连接B1C交BC1于G，可得B1G⊥平面ABC1D1，而B1G＝.
∴点E到平面ABC1D1的距离为，故B错误；
对于C，三棱锥E－ABC1的外接球即四棱锥E－ABC1D1的外接球，
∵ABC1D1为矩形，且AB＝2，BC1＝2，EA＝EB＝EC1＝ED1＝，四棱锥E－ABC1D1的高为，
设四棱锥E－ABC1D1的外接球的半径为R，则R2＝()2＋(R－)2，解得R＝.
∴三棱锥的外接球的表面积S＝4π×＝，故C错误；
对于D，连接DC1，取DC1的中点H，连接DB1交EC于K，连接CH，HK，
∵EB1∥DC，∴∠CKH是直线CE与平面ADB1所成的角，
在直角三角形CKH中，CK＝CE＝2，CH＝，
∴sin∠CKH＝＝，故D正确．故选D.
六、正方体中的动点问题
【例11】(多选题)如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中正确的是 (　　)
A.AC⊥BE
B.三棱锥A BEF体积是定值
C.二面角A EF B的平面角大小是定值
D.AE与平面DD1B1B所成角等于AF与平面DD1B1B所成角
【答案】ABC【解析】连接BD交AC于O.根据正方体的几何性质可知AC⊥BD，AC⊥BB1，所以AC⊥平面BDD1B1，故AO⊥平面BDD1B1.
对于A选项，由于AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BE，故A选项结论正确．
对于B选项，由于三角形BEF的面积是定值，A到平面BEF的距离是定值，所以三棱锥A BEF的体积是定值，故B选项结论正确．
对于C选项，二面角A EF B等于二面角A B1D1 B，所以二面角A EF B的平面角大小是定值，故C选项结论正确．
对于D选项，由于AO⊥平面BDD1B1.所以∠OEA和∠OFA分别是AE与平面DD1B1B所成角、AF与平面DD1B1B所成角，由于OA＝OA，OE不一定等于OF，所以这两个角不一定相等，故D选项结论错误．
【变式8】(安徽蚌埠市2020届高三第一次教学质量检查)正方体ABCD A1B1C1D1中，点P是四边形BB1D1D内(含边界)任意一点，点Q是B1C1的中点．有下列四个结论：
①AC⊥BP(当B，P不重合时)；
②存在点P，使AP∥BQ；
③存在唯一点P，使CQ⊥平面ABP；
④AQ与BC所成角的正切值为2.
其中所有正确结论的序号为 ．
【答案】①④【解析】连AC，易知AC⊥平面BB1D1D，又BP 平面BB1D1D，故AC⊥BP，①正确；
取B1D1的中点M，连AM，QM，BQ，BM，显然A，B，Q确定平面ABQM，
假设存在点P，使AP∥BQ，则点P∈平面ABQM，又P∈平面BB1D1D，
平面ABQM∩平面BB1D1D＝BM，则P∈BM，此时AP与BQ不平行，
假设不成立，②错误；
若存在点P，使CQ⊥平面ABP.因为AB⊥CQ，CQ⊥平面APB，
所以CQ⊥BP，则直线BP上任一点均满足条件，③错误；
连AQ，由B1C1∥BC知∠AQB1即为AQ与BC所成角，
在Rt△AB1Q中，tan∠AQB1＝＝2，④正确．
【例12】(多选题)如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论不正确的是(　　)
A.DB1⊥D1P
B.平面AD1P⊥平面A1DB1
C.∠APD1的最大值为90°
D.AP＋PD1的最小值为
【答案】ACD【解析】解法一：当点P在A1点时，DB1与D1A1显然不垂直，A错误．
因为A1B1⊥平面ADD1A1，所以A1B1⊥AD1，又在正方形ADD1A1中，A1D⊥AD1，所以AD1⊥平面A1DB1.又AD1 平面AD1P，所以平面AD1P⊥平面A1DB1，B正确．
因为正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，所以AD1＝A1B＝，BD1＝，令A1P＝x，则0≤x≤，所以D1P＝，
AP＝eq \r(AA＋A1P2－2AA1·A1Pcos∠AA1P)＝，
所以cos∠APD1＝eq \f(AP2＋PD－AD,2AP·PD1)＝＝，
显然，当x＝0或x＝时，cos∠APD1＝0，∠APD1＝90°；
当0＜x＜时，cos∠APD1＜0，90°＜∠APD1＜180°；
当＜x≤时，cos∠APD1＞0，0°＜∠APD1＜90°.
所以∠APD1的最大值大于90°，且当x＝时，∠APD1最大，
此时AP＝，D1P＝，显然＋＜，C，D均错误．
解法二：(向量法)建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，
则有D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，
A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，因为＝(0，1，－1)，
又P为线段A1B上的动点，所以设P(1，λ，1－λ)(0≤λ≤1)，
所以＝(－1，0，1)，＝(1，λ，－λ)，
设n＝(x，y，z)是平面AD1P的法向量，则有即
可取n＝(1，1－，1)，又平面A1DB1的法向量可为＝(－1，0，1)，
因为·n＝0，所以平面AD1P⊥平面A1DB1.
【变式9】在正方体中，，分别为，上的动点，且满足，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是　　
①存在，的某一位置，使；
②的面积为定值；
③当时，直线与直线一定异面；
④无论，运动到何位置，均有．
A．①②④ B．①③ C．②④ D．①③④
【答案】D【解析】①当，分别为棱，的中点时满足，正确．
②取特殊位置的面积为变化，在处时，的面积为，
在中点时，的面积为，面积不是定值，故错误．
③，当时，假设直线与是共面直线，
则与共面，矛盾，所以直线与是异面直线，故③正确；
④，垂直于在平面内的射影，由三垂线定理得，
故④正确；故选：．
知识归纳
1．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E为CC1的中点，则异面直线AB1，BE所成角的余弦值为(　　)
A. 　　B. C. 　　D.
【答案】D【解析】·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·
＝0＋0＋0＋＝.依题意易知||＝，||＝，
所以cos〈，〉＝＝.故选D.
2．在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则　　
A．在正方形内一定存在一点，使得
B．在正方形内一定存在一点，使得
C．在正方形内一定存在一点，使得平面平面
D．在正方形内一定存在一点，使得平面
【答案】A【解析】对于，作平面的无数个平行平面，与平、都有交线，
在正方形内一定存在一点，使得，故正确；
对于，作平面的无数个垂直平面，与平、不一定都有交线，
在正方形内不一定存在一点，使得，故错误；
对于,作平面的无数个平行平面，点都不在平面内，
在正方形内不一定存在一点，使得平面平面，故错误；
对于,作平面的无数个平面，点都不在平面内，
在正方形内不一定存在一点，使得平面，故错误．
3．如图，在棱长为1的正方体中，若点，分别为线段，上的动点，点为底面上的动点，则的最小值为　　
A． B． C． D．1
【答案】B【解析】由题意，将平面和平面展开，如图所示，
其中，当，重合与点时，连结，，
当与重合时，的值最小，所以的最小值为．
4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，给出下列四个结论：
①点P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变；
②点P在直线BC1上运动时，直线AP与平面AD1C所成角的大小不变；
③点P在直线BC1上运动时，二面角P－AD1－C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是过点D1的直线．
其中正确结论的序号是(　　)
A．①②④ B．②③④
C．①③④ D．①②③
【答案】C【解析】如图，①∵VA－D1PC＝VP－AD1C，BC1∥平面AD1C，∴BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，∴三棱锥A－D1PC的体积不变，∴①正确；②∵直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，∴②不正确；③∵AP 平面BC1D1A，∴二面角P－AD1－C的大小即平面BC1D1A与平面CAD1所成角的大小，∴③正确；④∵M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，∴点M的轨迹是平面A1B1C1D1与线段DC1的垂直平分线所在平面的交线，而DD1＝D1C1，∴④正确．故正确结论的序号是①③④.
5. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6，点O在BC上，且BO＝OC，若过点O的直线l与直线AA1，C1D1分别交于M，N两点，则MN与平面ADD1A1所成角的正弦值为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
【答案】A　【解析】如图，将平面C1D1O延展与A1A的延长线交于点M，连接MO，并延长与D1C1的延长线交于点N，平面C1D1O交AD于点E，连接EC1，则MN∥C1E，则∠C1ED1即MN与平面ADD1A1所成的角．由正方体的性质知C1E＝9，则sin∠C1ED1＝＝.故选A.
6．如图，在正方体中，为线段上的动点(不含端点)，则下列结论不正确的为
A．平面平面 B．平面
C． D．平面
【答案】B【解析】解：对于，因为，，，
所以平面，
又平面，平面平面，所以正确；
对于，当为的中点时，，，且，所以平面，
否则，与平面不垂直，所以错误；
对于，因为，，且，所以平面，
又平面，所以，选项正确；
对于，平面，平面，所以平面，选项正确．
故选：．
7．棱长为6的正方体中，点是线段的中点，点在线段上，，则正方体被平面所截得的截面面积为　　
A． B． C． D．
【答案】B【解析】解：如图所示，正方体被平面所截得的截面为五边形，
其中点为线段的中点，，且，．
分别延长，相交于点，则四边形为平行四边形，且，分别为，的中点．
在中，．．
．正方体被平面所截得的截面为五边形的面积
．故选：．
8．在正方体中，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点．现有以下结论：
①与是异面直线；
②过，，三点的正方体的截面是等腰梯形；
③平面平面；
④平面．
其中正确结论的序号是　　
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
【答案】B【解析】解：对于①：连接，因为为正方形的中心，所以是的中点，
又为线段的中点，所以，从而、、、四点共面，
即与共面，则①错误；
对于②：连接，过作交于点，
连接，则四边形是正方体过、、三点的截面（因为，且．
易证四边形为等腰梯形，故②正确；
对于③：可证平面，结合平面，可得平面平面，则③正确，
对于④：假设平面，又平面，平面平面，
所以，又，所以四边形为平行四边形，
从而，所以是△的中位线，
即是的中点，这与“为线段上的动点”矛盾，故④错误．故选：．
9．(多选题)正方体的棱长为3，点，分别在棱，上，且，，下列命题中正确是　　
A．异面直线与垂直；
B．过点，，的平面截正方体，截面为等腰梯形；
C．三棱锥的体积为；
D．过点作平面，使得，则平面截正方体所得的截面面积为．
其中
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】CD【解析】解：对于A，平面，所以A对；
对于B，过点，，的平面截正方体得截面为四边形为，
是梯形，但不是等腰梯形，所以B错；
对于C，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
体积大小为，所以C对；
对于D，过点作平面，使得，则平面截正方体所得的截面为，
过直线，垂直于的等腰梯形，与平面交线为下图所示，
，，
截面面积为，所以D对．
故选：CD．
10. (多选题)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在直线BC1上运动，下列四个命题中正确的是(　　)
A. 三棱锥A－D1PC的体积不变
B. 直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变
C. 二面角P－AD1－C的大小不变
D. 若M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是直线A1D1
(第6题)
【答案】ACD　【解析】VA － D1PC＝VC － AD1P＝××S AD1C1B为定值，故A正确；因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面AD1C，因此点P到平面AD1C的距离不变，但AP的长度在变化，因此直线AP与平面ACD1所成的角的大小在变化，故B错误；二面角P－AD1－C的大小就是平面ABC1D1与平面AD1C所成二面角的大小，因此不变，故C正确；到点D和C1距离相等的点在平面A1BCD1上，所以点M的轨迹是平面A1BCD1与平面A1B1C1D1的交线A1D1，故D正确．故选ACD.
11. 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，下列四个命题中正确的是(　　)
A. 点H是△A1BD的中心
B. AH⊥平面CB1D1
C. AC1与B1C所成的角是90°
D. AC1与B1C所成的角是60°
【答案】ABC　【解析】因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以A－A1BD是一个正三棱锥，因此点A在平面A1BD上的投影H是△A1BD的中心，故A正确；因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故B正确；由题可知AC1⊥平面CB1D1，则AC1与B1C垂直，所成的角为90°，故C正确，D错误．故选ABC.
12．(多选题)已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，过点，，的平面分别交，于点，，则下列说法正确的是　　
A． B．平面
C．平面平面 D．过点，，的截面的面积为
【答案】ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，则，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，
因为，所以，所以，，，即，2，，
因为，所以，即，所以，即为的中点，
所以，2，，，0，，2，，，，，
所以，所以，故正确．
，2，，设平面的法向量，，，
所以且，所以，即，
令，得，，所以，1，，
所以，2，，1，，所以，所以平面，故正确．
．平面的法向量，2，，
由上可知平面的法向量，1，，所以，2，，1，，
所以平面与平面不垂直，故错误．
．四边形为平行四边形，由选项知，所以过点，，的截面的面积为，故正确．
故选：ABD．
13. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.
　　　　　　
【答案】90°　【解析】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则MN⊥MB1，因为B1C1是棱，所以MN⊥B1C1，B1C1∩MB1＝B1，所以MN⊥平面MB1C1，所以C1M⊥MN，所以∠C1MN＝90°.
14．如下左图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点．点M在四边形EFGH内部运动(包括边界)，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
【答案】M∈FH　【解析】因为HN∥平面B1BDD1，FH∥平面B1BDD1，所以有平面FHN∥平面B1BDD1.又M在四边形EFGH内部运动(包括边界)，所以当M∈FH时，有MN∥平面B1BDD1.
15．已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．
【答案】 【解析】本小题考查的内容是二面角的求法，可采用几何法或向量法．
方法一：(几何法)如图，延长FE交CB的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，连结AC，∵PB＝BC，∴∠CAP＝90°.
由三垂线定理，∴∠FAP＝90°，
∴∠FAC为二面角的平面角．∴tan∠FAC＝＝＝ .
方法二：(向量法)建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
令边长为3，
∴A(3,0,0)，E(3,3,1)，F(0,3,2)，
平面ABC的法向量为(0,0,1)，
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
∴，∴，
令x＝1，∴z＝3，y＝－1，∴n＝(1，－1,3)，
令平面夹角为θ，∴cosθ＝＝，sinθ＝，
∴tanθ＝.
16. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的外接球的表面积为12π，E为球心，F为C1D1的中点．若点M在该正方体的表面上运动，则使得ME⊥CF的点M所构成的轨迹的周长等于________．
【答案】4＋2　【解析】如图所示，因为正方体外接球的表面积为12π，所以球的半径为.设正方体的边长为a，所以＝，故a＝2，取BB1的中点为H，CC1的中点为G.设点E在平面DCC1D1上的投影为点P，过点P作与平面AHGD平行的平面，则使得ME⊥CF的点M所构成的轨迹为矩形，其周长等于AHGD的周长4＋2.
C
B
A
A
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