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高中数学重难点突破
专题七 立体几何中的平行问题
知识归纳
一、直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行 线面平行) ∵l∥a，a α，l α，∴l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行 线线平行) ∵l∥α，l β，α∩β＝b，∴l∥b
二、平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行 面面平行) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α，∴α∥β
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
典例分析
题型一、线面平行的判定与性质
例1、（1）如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中不能满足平面的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对于A选项，由下图可知，平面，平面，所以平面，故选项A不符合题意.
对于B选项，设是的中点，由下图，结合正方体的性质可知，，所以六点共面，故平面，因此选项B符合题意.
对于C选项，由下图可知，平面，平面，所以平面，故选项C不符合题意.
对于D选项，设，由于四边形是矩形，所以是中点，由于是中点，所以，由于平面，平面，所以平面，故选项D不符合题意.
（2）设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，给出下列命题：
①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；
③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a α，b β，α∥β，则a∥b.
其中真命题的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D.4
【答案】A
【详解】由题意，对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；
对于②，根据a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a α，故②是假命题；
对于③，根据a∥α，b∥α，可以推出a与b平行，相交或异面，故③是假命题；
对于④，根据a α，b β，α∥β，可以推出a∥b或a与b异面，故④是假命题．
所以真命题的个数是1.
例2、四棱锥中，底面为矩形，，为的中点，
证明：；
【证明】连接，记，
为中点， 为中点， ，
又，，∴平面；

例3、如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
求证：GF∥平面ADE.
【证明】如图，取的中点，连接，，

因为是的中点，所以，且．
又是的中点，所以．
由四边形是矩形，得，，
所以，且，
从而四边形是平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
例4、如图，在四棱锥中，，，，，E为侧棱PA上一点，若，求证：平面EBD
【证明】设，连结EG，
由已知，，，得.
由，得.
在中，由，得.
因为平面EBD，平面EBD，所以平面EBD.
例5、如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：PA∥GH.
【证明】如图，连接AC，设AC交BD于点O，连接MO．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点,
又M是PC的中点，∴MO∥PA.
又平面BDM，平面BDM，∴PA∥平面BDM
又平面PAHG，平面PAHG 平面BDM=GH，
∴AP∥GH．
题型二、面面平行的判定与性质
例6、（1）下列条件中，能得到平面平面的条件是　　
A．存在一条直线，，
B．存在一条直线，，
C．存在两条平行直线，，，，，
D．存在两条异面直线，，，，，
【答案】D
【详解】A.如图所示：，存在一条直线，，，但平面与平面相交，故错误；
B.如图所示： ，存在一条直线，，，但平面与平面相交，故错误；
C. 如图所示：，存在两条平行直线，，，，，，但平面与平面相交，故错误；
D.如图所示：，在平面内过b上一点作，则，又，且，所以，故正确；
（2）（多选题）下列选项中，正确的是（　　）
A．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内任取两条直线，两直线平行
B．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行
C．如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行
D．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行
【答案】BC
【详解】对于A，如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面，故A不正确；
对于B，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行，故B正确；
对于C，如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行，故C正确；
对于D，如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或者相交，故D不正确.
例7、如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，点D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，点D1是B1C1的中点．
求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
【证明】在三棱柱中，是上一点，连结，交于，连结，
平面，平面平面，，即是的中点，
，且，四边形是平行四边形，．
即平面，，平面平面
例8、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点，，分别在，，上（不与端点重合），且.求证：平面平面.
【证明】，，，
又平面，平面，平面．
四边形 为平行四边形．，．
又：平面，平面，
平面，又：，
平面平面．
例9、如图①所示，在直角梯形中，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②所示.
求证：在四棱锥中，平面.
【证明】在四棱锥中，，分别为，的中点，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，
所以平面，同理平面，
又，所以平面平面，
因为平面，平面，
所以平面．
例10、如图，在正三棱柱中，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
【解答】（1）证明：连接交于，连接，
正三棱柱中，易得为中点，
又为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：因为平面，所以与到平面的距离相等，
因为，所以，，，
因为，所以，
所以，，
设到平面的距离为，则，所以，
所以，即点到平面的距离为．
同步训练
1、已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是(　　)
A．b∥α　　　　　　　 B．b与α相交
C．b α D．b∥α或b与α相交
【答案】D
2、已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是(　　)
A．m∥α，m∥n n∥α B．m∥α，n∥α m∥n
C．m∥α，m β，α∩β＝n m∥n D．m∥α，n α m∥n
【答案】．
【解答】解：若，，则或，故错误；
若，，则或与相交或与异面，故错误；
若，，，由直线与平面平行的性质可得，故正确；
若，，则或与异面，故错误．
3、能够判断两个平面α，β平行的条件是(　　)
A．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行
B．夹在两个平面间的线段相等
C．平面α内的无数条直线与平面β无公共点
D．平面α内的所有的点到平面β的距离都相等
【答案】．
【解答】解：若平面，都和第三个平面相交，且交线平行，则，可能相交，比如三棱柱的三个侧面两两相交，故错误；
如果夹在两个平面间的线段相等，那么这两个平面可能相交，故错误；
如果平面内的无数条直线与平面无公共点，那么这两个平面可能相交，故错误；
如果平面内的所有的点到平面的距离都相等，说明平面，无公共点，则，故正确．
4、如上图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出以下结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】．
【解答】解：由于为的中点，为的中点，则，故①对；
由于平面，平面，则平面，即②对；
平面，平面，则平面，即③对；
由于平面，故④错；
由于平面，故⑤错．
5、一几何体的平面展开图如图所示(顶点P在展开图中分别为P1，P2，P3，P4)，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为P4B，P1C的中点，在此几何体中，给出的下列结论中正确的是(　　)
A．直线AE与直线BF异面
B．直线AE与直线DF异面
C．直线EF∥平面PAD
D．直线EF∥平面ABCD
【答案】．
【解答】由题可知，该几何体为正四棱锥，
对，可假设与共面，由图可知，点不在平面中，故矛盾，正确；
对，因，为，中点，故，又四边形为正方形，所以，故，，，，四点共面，错；
对，由的证明可知，，又平面，故直线平面，正确；
对，同理由的证明可知，，又平面，故直线平面，正确；
6、如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且＝＝.若G在线段CC1上，且平面AEF∥平面BD1G，则＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】．
【解答】解：四棱柱中，为平行四边形，
，分别在线段，上，且，
，平面平面，
在上，平面，且平面平面，
，．
7、如图所示，斜三棱柱ABC A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点．求证：
(1)AD1∥平面BDC1；
(2)BD∥平面AB1D1.
【解答】（1）证明：，，分别是，上的中点，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面．
（2）证明：连结，四边形是平行四边形，，分别是，上的中点，
，又，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面．
8、如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，梯形满足，，，M为AP的中点，求证：平面；
【证明】（1）取中点，连接，，
易得且，
又，，则，，
则四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
则平面；
9、如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，E是棱AB的中点，证明：DE∥平面AB1C1.
【证明】取的中点H,连接.
∵为棱的中点,,且.
又∵为棱的中点,.
又,且,,且,
,且,
∴四边形为平行四边形, .
又平面,平面,
平面.
10、如图，三棱锥中， 是的中点， 是的中点，点在上且，
证明： 平面；
【证明】法一：过点作交于点，
取的中点，连接，．
点为的中点，，．
又是的中点，是的中点，点在上，．
，，且，
所以四边形为平行四边形，
，平面，平面，
平面．
法二：取中点，连接，，则，，
因为，，所以平面平面，
所以平面．
11、如图所示，在多面体中，四边形，，均为正方形，为的中点，过的平面交于.证明：.
【证明】，且，
，且，
，
四边形 为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面，
又因为平面平面，平面，
．
12、如图，在正方体中，N，M分别为，的中点，E，F分别为，的中点.求证：平面平面.
【证明】如图所示，连接，
，，，分别是棱，，，的中点
，
又面，面
面
在正方形中，，，分别是棱，的中点
且
又且
且
四边形是平行四边形
又面，面
面
面，面，且
平面平面
13、将棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥D1－ACD后得到如图所示的几何体，O为A1C1的中点．
（1）求证：平面；
（2）求几何体的体积．
【解答】（1）证明：取中点为，连接，，．
在正方形中，为的中点，为的中点．
在正方体中，
，，，，
，，，．
，，
四边形为平行四边形，，，
，．
四边形为平行四边形，则．
又平面，平面，
平面；
（2）解：正方体的棱长为2，
，．
又，
且，
而，
．
14．两个全等的正方形和所在平面相交于，，，且，过作于，求证：
（1）平面平面；
（2）平面．
【解答】证明：（1）在平面内，，，，
平面，平面，平面．
，．
，，．．
，．
又平面，平面，平面．
，平面平面．
（2）由（1）可知：平面平面，而平面，
平面．
15．如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）设为棱上的一点，问：当在什么位置时，平面平面？
【解答】（1）证明：在四棱柱中，连接，如图，
因，分别是，的中点，则有，又平面，平面，
所以平面；
（2）是中点，使得平面平面，理由如下：
取的中点，连接，，而是的中点，于是得，
而平面，平面，
从而得平面，由（1）知平面，，且，平面，
因此有平面平面，
所以当是的中点时，平面平面．
16、如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
【解答】（1）证明：连接，，，
，，四边形是平行四边形，为的中点．
又是的中点，，
又平面，平面，平面．
（2）证明：连接，，
，分别是，的中点，，
又平面，平面，平面．
又是的中点，是的中点，
，平面，平面，平面．
又，平面平面，
又平面，平面．
17、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.
(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；
(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．
【解答】（1）证明：连结并延长与的延长线交于点，
因为四边形为正方形，所以，
故，所以，
又因为，所以，所以．
又平面，平面，
故平面．
（2）解：当的值为时，能使平面平面．
证明：过作交于，连接，，
又，，，又，
四边形是平行四边形，故，平面，平面，
平面，
所以平面，又，平面．
所以平面平面．
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专题七 立体几何中的平行问题
知识归纳
一、直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行 线面平行) ∵l∥a，a α，l α，∴l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行 线线平行) ∵l∥α，l β，α∩β＝b，∴l∥b
二、平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行 面面平行) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α，∴α∥β
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
典例分析
题型一、线面平行的判定与性质
例1、（1）如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中不能满足平面的是（ ）
A．B．C．D．
（2）设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，给出下列命题：
①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；
③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a α，b β，α∥β，则a∥b.
其中真命题的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D.4
例2、四棱锥中，底面为矩形，，为的中点，
证明：；
例3、如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
求证：GF∥平面ADE.
例4、如图，在四棱锥中，，，，，E为侧棱PA上一点，若，求证：平面EBD
例5、如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：PA∥GH.
题型二、面面平行的判定与性质
例6、（1）下列条件中，能得到平面平面的条件是　　
A．存在一条直线，，
B．存在一条直线，，
C．存在两条平行直线，，，，，
D．存在两条异面直线，，，，，
（2）（多选题）下列选项中，正确的是（　　）
A．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内任取两条直线，两直线平行
B．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行
C．如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行
D．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行
例7、如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，点D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，点D1是B1C1的中点．
求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
例8、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点，，分别在，，上（不与端点重合），且.求证：平面平面.
例9、如图①所示，在直角梯形中，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②所示.
求证：在四棱锥中，平面.
例10、如图，在正三棱柱中，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
同步训练
1、已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是(　　)
A．b∥α　　　　　　　 B．b与α相交
C．b α D．b∥α或b与α相交
2、已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是(　　)
A．m∥α，m∥n n∥α B．m∥α，n∥α m∥n
C．m∥α，m β，α∩β＝n m∥n D．m∥α，n α m∥n
3、能够判断两个平面α，β平行的条件是(　　)
A．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行
B．夹在两个平面间的线段相等
C．平面α内的无数条直线与平面β无公共点
D．平面α内的所有的点到平面β的距离都相等
4、如上图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出以下结论：
①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；
④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5、一几何体的平面展开图如图所示(顶点P在展开图中分别为P1，P2，P3，P4)，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为P4B，P1C的中点，在此几何体中，给出的下列结论中正确的是(　　)
A．直线AE与直线BF异面
B．直线AE与直线DF异面
C．直线EF∥平面PAD
D．直线EF∥平面ABCD
6、如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且＝＝.若G在线段CC1上，且平面AEF∥平面BD1G，则＝(　　)
A. B.
C. D.
7、如图所示，斜三棱柱ABC A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点．求证：
(1)AD1∥平面BDC1；
(2)BD∥平面AB1D1.
8、如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，梯形满足，，，M为AP的中点，求证：平面；
9、如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，E是棱AB的中点，证明：DE∥平面AB1C1.
10、如图，三棱锥中， 是的中点， 是的中点，点在上且，
证明： 平面；
11、如图所示，在多面体中，四边形，，均为正方形，为的中点，过的平面交于.证明：.
12、如图，在正方体中，N，M分别为，的中点，E，F分别为，的中点.求证：平面平面.
13、将棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥D1－ACD后得到如图所示的几何体，O为A1C1的中点．
（1）求证：平面；
（2）求几何体的体积．
14、两个全等的正方形和所在平面相交于，，，且，过作于，求证：
（1）平面平面；
（2）平面．
15、如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）设为棱上的一点，问：当在什么位置时，平面平面？
16、如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
17、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.
(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；
(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．
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