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高中数学重难点突破
专题三 平面向量性质的拓展与应用
知识归纳
一、平面向量的等和线
根据平面向量基本定理，如果，为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量都可以由，唯一线性表示：＝x＋y．特殊地，如果点C正好在直线AB上，那么x＋y＝1，反之如果x＋y＝1，那么点C一定在直线AB上．于是有三点共线结论：已知，为平面内两个不共线的向量，设＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1．
以上讨论了点C在直线AB上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论．下面讨论点C不在直线AB上的情况．
如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设＝x＋y(x，y∈R)．
1．平面向量等和线定义
(1)当直线DE经过点P时，容易得到x＋y＝0．
(2)当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1．由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数k∈R，使得＝k(其中k＝＝＝)，则＝k＝kλ＋kμ．又＝x＋y (x，y∈R)，所以x＋y＝kλ＋kμ＝k．以上过程可逆．
在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”．
2．平面向量等和线定理
平面内一组基底，及任一向量满足：＝λ＋μ (λ，μ∈R)，若点F在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线．
3．平面向量等和线性质
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2)当等和线在点P和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在点P和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过点P时，k＝0；
(5)若两等和线关于点P对称，则定值k互为相反数．
二、平面向量的极化恒等式
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．
1．极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则：(1)·＝[|AC|2－|BD|2]．
　　　　　
3．三角形模式：如图(2)，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2．
三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
三、平面向量的奔驰定理
1．奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0．
证明：如图，延长AP与BC边相交于点则D，＝＝＝＝，
∵＝＋，∴＝＋，
∵＝＝＝，∴＝－，
即－＝＋，∴S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0．
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一．
推论：已知P为△ABC内一点，且x＋y＋z＝0．(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)．则有
(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|．
(2)＝||，＝||，＝||．
四、平面向量与三角形的四心
三角形四心的向量式
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)G为△ABC的重心 ＋＋＝0．
(2)O为△ABC的外心 ||＝||＝||＝ sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0．
(3)O为△ABC的内心 a＋b＋c＝0 sin A·＋sin B·＋sin C·＝0．
(4)H为△ABC的垂心 ·＝·＝·或2＋2＝2＋2＝2＋2
tan A·＋tan B·＋tan C·＝0．
关于四心的概念及性质：
(1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数．即G为△ABC的重心，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G．
④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小．
(2)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点．
性质：锐角三角形 ( http: / / baike. / view / 9094.htm )的垂心在三角形内，直角三角形 ( http: / / baike. / view / 8935.htm )的垂心在直角顶点上，钝角三角形 ( http: / / baike. / view / 9110.htm )的垂心在三角形外．
(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)．
性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．
②，特别地，在Rt△ABC中，∠C=90°，．
(4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)．
性质：外心到三角形各顶点的距离相等．
典例分析
题型一　根据等和线求基底系数和的值
例1-1、如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，向量＝λa＋μb，则λ＋μ的值为_______．
答案　　解析　等和线法　如图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝．由图易知，＝．
例1-2、如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　)
A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　B　解析　通法　∵为线段AO的中点，∴＝＋＝＋×＝＋＝λ＋μ，∴λ＋μ＝＋＝．
等和线法　如图，AD为值是1的等和线，过E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，
则k＝．由图易知，＝，故选B．
例1-3、在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)
A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D．
答案　C　解析　法一：连接AC(图略)，由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，
则＋＋＝0，得＋＋ [＋]＝0，
得＋＝0．
又，不共线，所以由平面向量基本定理得解得
所以λ＋μ＝．
法二：因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，
所以＝－，所以λ＋μ＝．
法三：根据题意作出图形如图所示，连接MN并延长，交AB的延长线于点T，由已知易得AB＝AT，所以＝＝λ＋μ，因为T，M，N三点共线，所以λ＋μ＝．
等和线法　如图，连接MN并延长，交AB的延长线于点T，则MT为值是1的等和线，设λ＋μ＝k，则k＝．由图易知，＝，故选C．
题型二　根据等和线求基底的系数和的最值(范围)
例2-1、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的弧上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________．
答案　2　解析　通法　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(1，0)，B(－，)，设∠AOC＝α(α∈[0，])，则C(cosα，sinα)，由＝x＋y，得，所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin(α＋)，又α∈[0，]，所以当α＝时，x＋y取得最大值2．
　　　　
等和线法　令x＋y＝k，所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k取得最大值，结合角度，不难得到k＝＝2．
例2-2、如图，在平行四边形ABCD中，M，N为CD的三等分点，S为AM与BN的交点，P为边AB上一动点，Q为三角形SMN内一点(含边界),若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的取值范围是________．
答案　[，1]　解析　如图，作＝，＝，过S直线MN的平行线，由等和线定理知，(x＋y)max＝1，(x＋y)min＝．
例2-3、如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的动点，若＝x＋y，则x＋3y的取值范围是________．
答案　[1，3]　解析　等和线法　依题意，＝x＋3y()，如图，作＝，重新调整基底为，
′，设k＝x＋3y，显然，当C在A点时，经过k＝1的等和线，当C在B点时，经过k＝3的等和线，这两条线分别是最近与最远的等和线，所以x＋3y的取值范围是[1，3]．
例2-4、如图，G为△ADE的重心，P为△GDE内任一点(包括边界)，B，C均为AD，AE上的三等分点(靠近点A)，＝α＋β，则α＋β的取值范围是________．
答案　　解析　等和线法　如图，在线段AE上取点F，使AC＝CF，则＝α＋β，设β
＝γ，则＝α＋γ，连接BF，延长EG交AD于点H，因为G为△ADE的重心，所以H为AD的中点，又B，C均为AD，AE上靠近点A的三等分点，所以＝＝2，所以BF∥HE，过点P作直线l∥HE交AD于点M，
设α＋γ＝t，则t＝，由图形知，“等值线”l可从直线HE的位置平移到过点D的位置，由平面几何知识可知＝≤≤＝3，故≤t≤3，即α＋γ∈，故α＋β的取值范围是．
例2-5、在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，
则μ的取值范围是________．
答案　　解析　通法　由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2．∵点E 在线段CD上，
∴＝λ (0≤λ≤1)．∵＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，∴＝1，即μ＝．∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范围是．
等和线法　如图，(1＋μ)min＝1，μmin＝0．(1＋μ)max＝，μmax＝．
例2-6、如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆上及其内部的动点，设＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是________．
答案　[2，5]　解析　等和线法　如图1时，m＋n的值最小且m＋n＝＝2，如图2时，m＋n的值最
大且m＋n＝＝5，
例2-7、如图，已知点P为等边三角形ABC外接圆上一点，点Q是该三角形内切圆上的一点，若＝x1＋y1，＝x2＋y2，则|(2x1－x2)＋(2y1－y2)|的最大值为______．
答案　　解析　等和线法　由等和线定理知当点P，Q分别在如图所示的位置时x1＋y1取最大值，x2
＋y2取最小值，且x1＋y1的最大值为＝，x2＋y2的最小值为＝．故|(2x1－x2)＋(2y1－y2)|＝|(2(x1＋y1)－(x2＋y2)| ≤＋＝．
例2-8、在平面直角坐标系中，是坐标原点，若两定点，满足，，则点集所表示的区域的面积是　　
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
答案　D　解析　，，即．（1）若，
，设，，则，
，故当时，，，三点共线，故点表示的区域为，此时．
(2)若，，设，，则，
，故当时，，，三点共线，故点表示的区域为，此时．同理可得：当，时，点表示的区域面积为，当，时，点表示的区域面积为，综上，点表示的区域面积为．故选D．
等和线法　
题型三、平面向量数量积的定值问题
例3-1、如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且
AB＝6，MN＝4，则·＝(　　)
A．13　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．3
答案　C　解析　连接AP，BP，则＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5．
例3-2、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝________．
答案　　解析　连结EG，FH，交于点O，则·＝·＝2－2＝1－＝，
·＝·＝2－2＝1－＝，因此·＋·＝．
例3-3、如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．·＝4，·＝－1，则·的值为________．
答案　　解析　极化恒等式法　设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n．根据向量的极化恒等式，有·＝2－2＝9n2－m2＝4， ·＝2－2＝n2－m2＝－1．联立解得n2＝，m2＝．因此·＝2－2＝4n2－m2＝．即·＝．
坐标法　以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，如图：设A(3a，3b)，B(－c，0)，C(－c，0)，则有E(2a，2b)，F(a，b)　·＝(3a＋c，3b)·(3a－c，3b)＝9a2－c2＋9b2＝4　·＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2＝－1，
则a2＋b2＝，c2＝　·＝·＝4a2－c2＋4b2＝．
基向量　·＝(－)(－)＝＝＝4，
·＝(－)(－)＝＝－1，因此2＝，＝，
·＝(－)(－)＝＝＝．
例3-4、在梯形ABCD中，满足AD∥BC，AD＝1，BC＝3，·＝2，则·的值为________．
答案　4　解析　过A点作AE平行于DC，交BC于E，取BE中点F，连接AF，过D点作DH平行于AC，交BC延长线于H，E为BH中点，连接DE，，
，又，AD∥BC，则四边形ADEF为平行四边形，，．
题型四　平面向量数量积的最值(范围)问题
例4-1、如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值为________．
答案　－　解析　取OB的中点D，连接PD，则·＝||2－||2＝||2－，于是只要求求
PD的最小值即可，由图可知，当PD⊥AB，时，PD＝，即所求最小值为－．
例4-2、如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，点B，C分别在m，n上，|＋|＝5，则·的最大值是________．
答案　　解析　坐标法　以直线n为x轴，过点A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，如图：则A，C，B，则＝，＝，从而2＋2＝52，即2＝9，又·＝bc＋3≤＋3＝，当且仅当b＝c时，等号成立．
极化恒等式　连接BC，取BC的中点D，·＝AD2－BD2，又AD＝＝，故·＝－BD2＝－BC2，又因为BCmin＝3－1＝2，所以(·) max＝．
例4-3、已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－2　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－1
答案　B　解析　方法一　(解析法)　建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)．设P点的坐标为(x，y)，
图①
则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－．当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－．故选B．
方法二　(几何法)　如图②所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·．
图②
要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2||||，问题转化为求||||的最大值．又当点P在线段AD上时，||＋||＝||＝2×＝，∴||||≤2＝2＝，∴[·(＋)]min＝(2·)min＝－2×＝－．故选B．
极化恒等式法　设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM，
∴·(＋)＝2·＝2||2－||2＝2||2－≥－．
当且仅当M与P重合时取等号．
例4-4、在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则·＋2的最小值是________．
答案　2　解析　取BC的中点为D，连接PD，则由极化恒等式得·＋2＝2－＋2＝2＋≥＋，此时当且仅当⊥时取等号，·＋2≥＋≥2＝2．
另解　取BC边的中点M，连接PM，设点P到BC边的距离为h．则S△ABC＝··2h＝2 ＝，PM≥h，所以·＋2＝＋2＝2＋2＝2＋≥h2＋≥2(当且仅当＝h，h2＝时，等号成立)
　
例4-5、如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实
数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．
答案　　　解析　第1空　因为＝λ，所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，所以·＝||·|
|·cos 120°＝－，解得||＝1．因为，同向，且BC＝6，所以＝，即λ＝．
第2空　通法　在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，则BO＝AB·cos 60°＝，AO＝AB·sin 60°＝．以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系．如图，设M(a，0)，不妨设点N在点M右侧，
则N(a＋1，0)，且－≤a≤．又D，所以＝，＝，所以·＝a2－a＋＝2＋．所以当a＝时，·取得最小值．
极化恒等式法　如图，取MN的中点P，连接PD，则·＝2－2＝2－，当⊥时，||2取最小值，所以·的最小值为．
例4-6、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别为边BC，CD上的动点，且MN＝2，则·的最小值为________．
10．答案　15　解析　取K为MN中点，由极化恒等式，·＝|AK|2－1，显然K的轨迹是以点C为圆
心，1为半径的圆周在矩形内部的圆弧，所以|AK|min＝5－1＝4，所以·的最小值为15．
例4-7、如图，圆O为Rt△ABC的内切圆，已知AC＝3，BC＝4，C＝，过圆心O的直线l交圆于P，Q两点，则·的取值范围为________．
20．答案　[－7，1]　解析　易知，圆的半径为1，·＝(＋)·＝·＋·＝·－·
，·＝2－2＝2－1＝1．·＝||||cos∠BCQ＝2||cos∠BCQ，(||cos∠BCQ)min＝0，(||cos∠BCQ)max＝4．所以·的取值范围为[－7，1]．
题型五　奔驰定理的应用
例5-1、设点O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为(　　)
A．3　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．
答案　A　解析　分别取AC、BC的中点D、 E，∵＋2＋3＝0，∴＋＝－2(＋)，即2＝－4，∴O是DE的一个三等分点，∴＝3．
秒杀　根据奔驰定理得，S△ABC∶S△AOC＝(1＋2＋3)∶2＝3．
例5-2、在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　B　解析　如图，由点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝．
秒杀　由＝＋得，＋2＋3＝0，
根据奔驰定理得，S△BCD∶S△ABD＝1∶3．
例5-3、已知点A，B，C，P在同一平面内，＝，＝，＝，则S△ABC∶S△PBC等于(　　)
A．14∶3　　　　　　B．19∶4　　　　　　C．24∶5　　　　　　D．29∶6
答案　B　解析　由＝，得－＝(－)，整理得＝＋＝＋，由＝，得＝(－)，整理得＝－，∴－＝＋，整理得4＋6＋9＝0，根据奔驰定理得，∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4．
例5-4、点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　)
A．，　　　　　　　　B．，　　　　　　　　C．，　　　　　　　　D．，
答案　A　解析　秒杀　根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0，即3＋2(＋)＋4(＋)＝0，整理得＝＋，故选A．
题型六　三角形四心的判断
例6-1、已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　)
A．△ABC的内心　　　B．△ABC的垂心　　　C．△ABC的重心　　　D．AB边的中点
答案　C　解析　取AB的中点D，则2＝＋，∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，而＋＝1，∴P，C，D三点共线，∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
例6-2、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足
＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________．
答案　内心　解析　由条件，得－＝λ，
即＝λ，而和分别表示平行于，的单位向量，
故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．
例6-3、在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必经过△ABC的(　　)
A．垂心　　　　　　　　B．内心　　　　　　　　C．外心　　　　　　　　D．重心
答案　C　解析　设BC边中点为D，∵2－2＝2 ·，∴(＋)·(－)＝2 ·，即·＝·，∴·＝0，则⊥，即MD⊥BC，∴MD为BC的垂直平分线，∴动点M的轨迹必经过△ABC的外心，故选C．
例6-4、已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．重心　　　　　　　　B．垂心　　　　　　　　C．外心　　　　　　　　D．内心
答案　B　解析　因为＝＋λ(＋)，所以＝－＝λ(＋)，所以·＝·λ(＋)＝λ(－||＋||)＝0，所以⊥，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
例6-5、已知O是△ABC所在平面上的一定点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．内心　　　　　　B．外心　　　　　　C．重心　　　　　　D．垂心
答案　C　解析　∵|AB|sin B＝|AC|sin C，设它们等于t，∴＝＋λ·(＋)，设BC的中点为D，
则＋＝2，λ·(＋)表示与共线的向量，而点D是BC的中点，即AD是△ABC的中线，∴点P的轨迹一定通过三角形的重心．故选C．
例6-6、下列叙述正确的是________．
①为的重心．
②为的垂心．
③为的外心．
④为的内心．
答案　①②　
解析　①为的重心，
①正确；
②由，同理，，
②正确；
③
．，
与角的平分线平行，必然落在角的角平分线上，③错误；
④为的外心，④错误．正确的叙述是①②．故答案为：①②．
题型七　三角形四心的应用
例7-1、设G为△ABC的重心，且sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，则B的大小为________．
答案　60°　解析　∵G是△ABC的重心，∴＋＋＝0，＝－(＋)，将其代入sinA·
＋sinB·＋sinC·＝0，得(sinB－sinA)＋(sinC－sinA)＝0．又，不共线，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0，则sinB＝sinA＝sinC．根据正弦定理知b＝a＝c，∴三角形ABC是等边三角形，则角B＝60°．
秒杀　∵G为△ABC的重心，∴＋＋＝0，又∵sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，∴sinA＝sinB＝sinC，∴三角形ABC是等边三角形，则角B＝60°．
例7-2、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为G，若a＋b＋c＝0，则A＝__________．
答案　　解析　由G为△ABC的重心知＋＋＝0，则＝－－，因此a ＋b ＋
c(－－)＝＋＝0，又，不共线，所以a－c＝b－c＝0，
即a＝b＝c．由余弦定理得cos A＝＝＝，又0例7-3、著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是的外心、垂心，且为中点，则　　
A．　　　　　　　　B．
C．　　　　　　　　D．
答案　D　解析　如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合，为的外心，，即为斜边的中点，又为中点，，为中点， ．故选D．
例7-4、若点P是△ABC的外心，且＋＋λ＝0，∠ACB＝120°，则实数λ的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－1　　　　　　　　D．1
答案　C　解析　设AB的中点为D，则＋＝2．因为＋＋λ＝0，所以2＋λ＝0，
所以向量，共线．又P是△ABC的外心，所以PA＝PB，所以PD⊥AB，所以CD⊥AB．因为∠ACB＝120°，所以∠APB＝120°，所以四边形APBC是菱形，从而＋＝2＝，所以2＋λ＝＋λ＝0，所以λ＝－1，故选C．
例7-5、已知O是△ABC的外心，||＝4，||＝2，则·(＋)＝(　　)
A．10　　　　　　　　B．9　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．6
答案　A　解析　作OS⊥AB，OT⊥AC∵O为△ABC的外接圆圆心．∴S、T为AB，AC的中点，且·
＝0，·＝0，＝＋，＝＋，∴·(＋)＝·＋·＝(＋)·＋(＋)·＝·＋·＋·＋·＝·＋·＝||2＋||2＝8＋2＝10．
优解：不妨设∠A＝90°，建立如图所示平面直角坐标系．设B(4，0)，C(0，2)，则O为BC的中点O(2，1)，∴＋＝2，
∴·(＋)＝2||2＝2(4＋1)＝10．故选A．
例7-6、若△ABC的面积为，·＝2，则△ABC外接圆面积的最小值为(　　)
A．π　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2π　　　　　　　　D．
13．答案　B　解析　设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由题意可得bcsin A＝，bccos A＝2，∴tan A＝．又A∈(0，π)，∴A＝．∴bccos＝2，即bc＝4．由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc≥bc＝4，即a≥2．又由正弦定理得＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，∴2Rsin A＝a≥2，即R≥2，∴R2≥，∴三角形外接圆面积的最小值为．
例7-7、已知O为锐角△ABC的外心，||＝3，||＝2，若＝x＋y，且9x＋12y＝8，记I1＝·，
I2＝·，I3＝·，则(　　)
A．I2解析：选D　如图，分别取AB，AC的中点，为D，E，并连接OD，OE，根据条件有OD⊥AB，OE
⊥AC，∴·＝||2＝，·＝||2＝6，
∴·＝(x＋y)·＝9x＋6y·cos∠BAC＝，①，·＝(x＋y)·＝6xcos∠BAC＋12y＝6，②，又9x＋12y＝8，③，∴由①②③解得cos∠BAC＝．由余弦定理得，BC＝＝．∴BC>AC>AB．在△ABC中，由大边对大角得，∠BAC>∠ABC>∠ACB，∴∠BOC>∠AOC>∠AOB，∵||＝||＝||，且余弦函数在(0，π)上为减函数，∴·<·<·，即I2同步练习
1．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧
上运动．若．其中，，则的最大值是　　
A．　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．5
1、答案　A　解析　通法　点在以为圆心的圆弧上运动，可以设圆的参数方程，
，，，，其中，，，当且仅当时取等号．的最大值是，当三角函数取到1时成立．故选A．
等和线法　＝x＋y＝2x()＋3y()＝2x＋3y，2x＋3y＝k，则k＝＝．
2．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是(　　)
A．2　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．4
2、答案　D　解析　等和线法　如图，分别作＝－，＝－．当λ≥0，μ≥0时，{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}＝{P|＝|λ|＋|μ|，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}，对应区域1；当λ≥0，μ<0时，{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}＝{P|＝|λ|＋|μ|，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}，对应区域2；
当λ<0，μ≥0时，{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}＝{P|＝|λ|＋|μ|，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}，对应区域3；当λ<0，μ<0时，{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}＝{P|＝|λ|＋|μ|，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}，对应区域4．综上所述可得，点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域即图中的矩形区域，其面积S＝2×2＝4．故选D．
3．在边长为1的正三角形ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则·等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
3、答案　C　解析　解法一：因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BD＝DE＝CE＝，在△ABD中，
AD2＝BD2＋AB2－2BD·AB·cos60°＝2＋12－2××1×＝，即AD＝，同理可得AE＝，在△ADE中，由余弦定理得cos∠DAE＝＝＝，所以·＝||·||cos∠DAE＝××＝．
解法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A，D，E，
所以＝(－，－)，＝，所以·＝·＝－＋＝．
极化恒等式法　取DE中点F，连接AF，则·＝|AF|2－|DF|2＝－＝．
4．已知D为△ABC的边AB的中点，M在DC上满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
4、答案　C　解析　因为D是AB的中点，所以＝2，因为5＝＋3，所以2－2＝3
－3，即2＝3，所以5＝3＋3＝3，所以＝，设h1，h2分别是△ABM，△ABC的AB边上的高，所以＝＝＝＝eq \f(||,||)＝．
秒杀　由5＝＋3，得＋＋3＝0，根据奔驰定理得，＝．
5．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的　　
A．重心　　　　　　　　B．外心　　　　　　　　C．内心　　　　　　　　D．垂心
5、答案　C　解析　，根据平行四边
形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，而向量与共线，点的轨迹过的内心，故选C．
6．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＋＝0，且||＝||，则·等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．2
6、答案　C　解析　∵＋＋＝0，∴＝－，故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形，
又△ABC的外接圆的半径为1，||＝||，∴BC＝2，AB＝1，CA＝，∠BCA＝30°，∴·＝||||·cos 30°＝×2×＝3．
7．已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点，则的最大值为(　　)
A．2　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．5
7、答案　D　解析　设△ABC的外接圆的圆心为O，则圆的半径为×＝，＋＋＝0，故
＋＋2＝4＋．又2＝51＋8·≤51＋24＝75，故≤5，当，同向共线时取最大值．
8．在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，
则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．6
8、答案　B　解析　根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四
边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7．设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A＝(a＋b＋c)r，解得r＝，所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝．故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝．
9．在△ABC中，已知向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)
A．等边三角形　B．直角三角形　C．等腰非等边三角形　D．三边均不相等的三角形
9、答案　A　解析　，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知＋为
∠BAC的平分线．因为·＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC．又·＝·cos∠BAC＝，所以cos∠BAC＝，又0<∠BAC<π，故∠BAC＝，所以△ABC为等边三角形．
10．在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________．
10、答案　　解析　通法　选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，又＝λ＋μ＝＋，于是得即故λ＋μ＝．
等和线法　如图，EF为值是1的等和线，过C作EF的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝．由图易知，＝，故选B．
11．已知点O为△ABC的边AB的中点，D为边BC的三等分点，DC＝2DB，P为△ADC内(包括边界)任一点，若＝x＋y，则x－2y的取值范围为________．
11、答案　[－8，－1]　解析　等和线法　如图，延长DO至点E，使DO＝2OE，则＝－，则＝x＋y＝x＋(－2y) ，令z＝－2y，则x－2y＝x＋z，＝x＋z，设过点A，C，P与BE平行的直线分别为为l1，l2，l，设l，l2交线段OD延长线于点M，H，l1交线段OD于点K，令x＋z＝t，由图形知，t＝－，“等和线”l可从l1的位置平移至l2的位置，由平面几何知识可知△OBE≌△OAK，△DBE∽△DCH，所以＝＝1，＝＝＝，所以1＝≤≤＝＝＝8，则－8≤t≤－1，故x－2y的取值范围为[－8，－1]．
12．如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若＝2，则·的最小值为_____．
12、答案　5－2　解析　通法　以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，)，C(2，)，设P(2cos θ，2sin θ)，则·＝(2－2cos θ，－2sin θ)·(－1－2cos θ，－2sin θ)＝5－2cos θ－4sin θ＝5－2sin(θ＋φ)，其中0极化恒等式法　设圆心为O，由题得AB＝2，∴AC＝3．取AC的中点M，由极化恒等式得·＝2－2＝2－，要使·取最小值，则需PM最小，当圆弧的圆心与点P，M共线时，PM最小．易知DM＝，∴OM＝＝，所以PM有最小值为2－，代入求得·的最小值为5－2．
13．在正方形ABCD中，AB＝1，A，D分别在x，y轴的非负半轴上滑动，则·的最大值为______．
13、答案　2　解析　如图取BC的中点E，取AD的中点F，·＝2－2＝2－，而||≤||
＋||＝|||＋|||＝＋1＝，当且仅当O，F，E三点共线时取等号．，所以·的最大值为2．
14．在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，若的
最小值为，则cos∠ACB＝________．
14、答案　　解析　取MN的中点P，则由极化恒等式得，∵
的最小值为，∴，由平几知识知：当CP⊥AB时，CP最小，如图，作CH⊥AB，H为垂足，则CH＝1，又AC＝2BC＝4，所以∠B＝30o，sinA=，所以cos∠ACB＝cos（150o －A）=．
15．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2．若点M为边BC
上的动点，则·的最小值为________．
15、答案　　解析　设E是AD的中点，作EN⊥BC于N，延长CB交DA的延长线于F，由题意可得：
FD＝CD＝6，FC＝2CD＝4，∴BF＝2，∴AB＝2，FA＝4，∴AD＝2，＝＝，EN＝．
则·＝·＝||2－||2＝||2－1≥EN2－1＝()2－1＝．∴·＝．
另解　设E是AD的中点，作EF⊥BC于F，作AG⊥EF于G，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴四边形ABCD共圆，如图，由圆的对称性及∠BCD＝60°，CB＝CD＝2，可知∠BCA＝∠DCA＝30°，∴AB＝2，∵∠GAE＝30°，∴GE＝，∴EF＝2＋＝，则·＝·＝||2－||2＝||2－1≥EN2－1＝()2－1＝．∴·＝．
16．设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________．
16、答案　　解析　根据奔驰定理得，＋x＋y＝0，即＝2x＋2y，平方得2＝4x22＋4y22＋8xy| |·||·cos∠BPC，又因为点P是△ABC的外心，所以||＝||＝||，且∠BPC＝2∠BAC＝60°，所以x2＋y2＋xy＝，(x＋y)2＝＋xy≤＋2，解得017．已知P，Q为△ABC中不同的两点，且3＋2＋＝0，＋＋＝0，则S△PAB∶S△QAB为_____．
17、答案　1∶2　解析　因为3＋2＋＝2(＋)＋＋＝0，所以P在与BC平行的中位线上，
且是该中位线上的一个三等分点，可得S△PAB＝S△ABC，＋＋＝0，可得Q是△ABC的重心，因此S△QAB＝S△ABC，S△PAB∶S△QAB＝1∶2，故选A．
秒杀　由3＋2＋＝0，＋＋＝0，根据奔驰定理得，S△PAB∶S△ABC＝1∶6，S△QAB∶S△ABC＝1∶3＝2∶6，所以S△PAB∶S△QAB＝1∶2，故选A．
18．已知点D为△ABC所在平面上一点，且满足＝－，若△ACD的面积为1，则△ABD的面积为________．
18、答案　4　解析　由＝－，得5＝＋4，所以－＝4(－)，即＝4．所
以点D在边BC上，且||＝4||，所以S△ABD＝4S△ACD＝4．
秒杀　由＝－，得8＋＋4＝0，根据奔驰定理得，S△ABD∶S△ACD＝4∶1，
所以S△ABD＝4．
19．点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，以下命题正确的是________．（把
认为正确的序号全部写上）．
①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；
③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；
⑤动点满足,则的外心一定在满足条件的点集合中．
19、答案　①②③④⑤　解析　对于①，动点满足，，则点是
的心，故①正确；对于②，动点满足，
，又在的平分线上，
与的平分线所在向量共线，的内心在满足条件的点集合中，②正确；
对于③，动点满足，，，
过点作，垂足为，则，，
向量与边的中线共线，因此的重心一定在满足条件的点集合中，③正确；
对于④，动点满足，
，
，，的垂心一定在满足条件的点集合中，④正确；
对于⑤，动点满足，
设，则，由④知，
，，点的轨迹为过的的垂线，即的中垂线；的外心一定在满足条件的点集合，⑤正确．故正确的命题是①②③④⑤．
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高中数学重难点突破
专题三 平面向量性质的拓展与应用
知识归纳
一、平面向量的等和线
根据平面向量基本定理，如果，为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量都可以由，唯一线性表示：＝x＋y．特殊地，如果点C正好在直线AB上，那么x＋y＝1，反之如果x＋y＝1，那么点C一定在直线AB上．于是有三点共线结论：已知，为平面内两个不共线的向量，设＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1．
以上讨论了点C在直线AB上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论．下面讨论点C不在直线AB上的情况．
如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设＝x＋y(x，y∈R)．
1．平面向量等和线定义
(1)当直线DE经过点P时，容易得到x＋y＝0．
(2)当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1．由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数k∈R，使得＝k(其中k＝＝＝)，则＝k＝kλ＋kμ．又＝x＋y (x，y∈R)，所以x＋y＝kλ＋kμ＝k．以上过程可逆．
在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”．
2．平面向量等和线定理
平面内一组基底，及任一向量满足：＝λ＋μ (λ，μ∈R)，若点F在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线．
3．平面向量等和线性质
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2)当等和线在点P和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在点P和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过点P时，k＝0；
(5)若两等和线关于点P对称，则定值k互为相反数．
二、平面向量的极化恒等式
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．
1．极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则：(1)·＝[|AC|2－|BD|2]．
　　　　　
3．三角形模式：如图(2)，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2．
三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
三、平面向量的奔驰定理
1．奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0．
证明：如图，延长AP与BC边相交于点则D，＝＝＝＝，
∵＝＋，∴＝＋，
∵＝＝＝，∴＝－，
即－＝＋，∴S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0．
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一．
推论：已知P为△ABC内一点，且x＋y＋z＝0．(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)．则有
(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|．
(2)＝||，＝||，＝||．
四、平面向量与三角形的四心
三角形四心的向量式
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)G为△ABC的重心 ＋＋＝0．
(2)O为△ABC的外心 ||＝||＝||＝ sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0．
(3)O为△ABC的内心 a＋b＋c＝0 sin A·＋sin B·＋sin C·＝0．
(4)H为△ABC的垂心 ·＝·＝·或2＋2＝2＋2＝2＋2
tan A·＋tan B·＋tan C·＝0．
关于四心的概念及性质：
(1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数．即G为△ABC的重心，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G．
④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小．
(2)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点．
性质：锐角三角形 ( http: / / baike. / view / 9094.htm )的垂心在三角形内，直角三角形 ( http: / / baike. / view / 8935.htm )的垂心在直角顶点上，钝角三角形 ( http: / / baike. / view / 9110.htm )的垂心在三角形外．
(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)．
性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．
②，特别地，在Rt△ABC中，∠C=90°，．
(4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)．
性质：外心到三角形各顶点的距离相等．
典例分析
题型一　根据等和线求基底系数和的值
例1-1、如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，向量＝λa＋μb，则λ＋μ的值为_______．
例1-2、如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　)
A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
例1-3、在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)
A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D．
题型二　根据等和线求基底的系数和的最值(范围)
例2-1、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的弧上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________．
例2-2、如图，在平行四边形ABCD中，M，N为CD的三等分点，S为AM与BN的交点，P为边AB上一动点，Q为三角形SMN内一点(含边界),若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的取值范围是________．
例2-3、如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的动点，若＝x＋y，则x＋3y的取值范围是________．
例2-4、如图，G为△ADE的重心，P为△GDE内任一点(包括边界)，B，C均为AD，AE上的三等分点(靠近点A)，＝α＋β，则α＋β的取值范围是________．
例2-5、在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，
若＝＋μ，则μ的取值范围是________．
例2-6、如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆上及其内部的动点，设＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是________．
例2-7、如图，已知点P为等边三角形ABC外接圆上一点，点Q是该三角形内切圆上的一点，若＝x1＋y1，＝x2＋y2，则|(2x1－x2)＋(2y1－y2)|的最大值为______．
例2-8、在平面直角坐标系中，是坐标原点，若两定点，满足，，则点集所表示的区域的面积是　　
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
题型三、平面向量数量积的定值问题
例3-1、如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且
AB＝6，MN＝4，则·＝(　　)
A．13　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．3
例3-2、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝________．
例3-3、如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．·＝4，·＝－1，则·的值为________．
例3-4、在梯形ABCD中，满足AD∥BC，AD＝1，BC＝3，·＝2，则·的值为________．
题型四　平面向量数量积的最值(范围)问题
例4-1、如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值为________．
例4-2、如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，点B，C分别在m，n上，|＋|＝5，则·的最大值是________．
例4-3、已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－2　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－1
例4-4、在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则·＋2的最小值是________．
例4-5、如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实
数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．
例4-6、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别为边BC，CD上的动点，且MN＝2，则·的最小值为________．
例4-7、如图，圆O为Rt△ABC的内切圆，已知AC＝3，BC＝4，C＝，过圆心O的直线l交圆于P，Q两点，则·的取值范围为________．
题型五　奔驰定理的应用
例5-1、设点O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为(　　)
A．3　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．
例5-2、在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
例5-3、已知点A，B，C，P在同一平面内，＝，＝，＝，则S△ABC∶S△PBC等于(　　)
A．14∶3　　　　　　B．19∶4　　　　　　C．24∶5　　　　　　D．29∶6
例5-4、点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　)
A．，　　　　　　　　B．，　　　　　　　　C．，　　　　　　　　D．，
题型六　三角形四心的判断
例6-1、已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　)
A．△ABC的内心　　　B．△ABC的垂心　　　C．△ABC的重心　　　D．AB边的中点
例6-2、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足
＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________．
例6-3、在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必经过△ABC的(　　)
A．垂心　　　　　　　　B．内心　　　　　　　　C．外心　　　　　　　　D．重心
例6-4、已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．重心　　　　　　　　B．垂心　　　　　　　　C．外心　　　　　　　　D．内心
例6-5、已知O是△ABC所在平面上的一定点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．内心　　　　　　B．外心　　　　　　C．重心　　　　　　D．垂心
例6-6、下列叙述正确的是________．
①为的重心．
②为的垂心．
③为的外心．
④为的内心．
题型七　三角形四心的应用
例7-1、设G为△ABC的重心，且sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，则B的大小为________．
例7-2、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为G，若a＋b＋c＝0，则A＝__________．
例7-3、著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是的外心、垂心，且为中点，则　　
A．　　　　　　　　B．
C．　　　　　　　　D．
例7-4、若点P是△ABC的外心，且＋＋λ＝0，∠ACB＝120°，则实数λ的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－1　　　　　　　　D．1
例7-5、已知O是△ABC的外心，||＝4，||＝2，则·(＋)＝(　　)
A．10　　　　　　　　B．9　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．6
例7-6、若△ABC的面积为，·＝2，则△ABC外接圆面积的最小值为(　　)
A．π　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2π　　　　　　　　D．
例7-7、已知O为锐角△ABC的外心，||＝3，||＝2，若＝x＋y，且9x＋12y＝8，记I1＝·，
I2＝·，I3＝·，则(　　)
A．I2同步练习
1．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动．若．其中，，则的最大值是　　
A．　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．5
2．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是(　　)
A．2　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．4
3．在边长为1的正三角形ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则·等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
4．已知D为△ABC的边AB的中点，M在DC上满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
5．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的　　
A．重心　　　　　　　　B．外心　　　　　　　　C．内心　　　　　　　　D．垂心
6．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＋＝0，且||＝||，则·等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．2
7．已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点，则的最大值为(　　)
A．2　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．5
8．在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．6
9．在△ABC中，已知向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)
A．等边三角形　B．直角三角形　C．等腰非等边三角形　D．三边均不相等的三角形
10．在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________．
11．已知点O为△ABC的边AB的中点，D为边BC的三等分点，DC＝2DB，P为△ADC内(包括边界)任一点，若＝x＋y，则x－2y的取值范围为________．
12．如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若＝2，则·的最小值为_____．
13．在正方形ABCD中，AB＝1，A，D分别在x，y轴的非负半轴上滑动，则·的最大值为______．
14．在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，若的
最小值为，则cos∠ACB＝________．
15．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2．若点M为边BC
上的动点，则·的最小值为________．
16．设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________．
17．已知P，Q为△ABC中不同的两点，且3＋2＋＝0，＋＋＝0，则S△PAB∶S△QAB为_____．
18．已知点D为△ABC所在平面上一点，且满足＝－，若△ACD的面积为1，则△ABD的面积为________．
19．点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，以下命题正确的是________．（把你认为正确的序号全部写上）．
①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；
③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；
⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．
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