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高中数学重难点突破
专题四 解三角形问题解题策略
知识归纳
1．正弦定理
(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2R．其中R是三角形外接圆的半径．
(2)正弦定理的其他形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.
2．余弦定理
(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.
若令C＝90°，则c2＝a2＋b2，即为勾股定理．
(2)余弦定理的推论：cosA＝，cosB＝，cosC＝.
若C为锐角，则cosC>0，即a2＋b2>c2；若C为钝角，则cosC<0，即a2＋b2(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角互化，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，类似地，sin2B＝sin2C＋sin2A－2sinCsinAcosB；sin2C＝sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC
.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π.
3．解三角形的类型
(1)已知三角形的任意两个角与一边，用正弦定理，只有一解．
(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用正弦定理，可能有一解、两解或无解．如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：
项目 A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinAb
解的个数 一解　　　　 两解　　　　 一解　　　　 一解　　　　
(3)已知三边，用余弦定理．有解时，只有一解．
(4)已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．
4．三角形中的常用公式及变式
(1)三角形面积公式S△＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)r．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．
(2)A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，＝－，
从而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C)；
sin＝cos， cos＝sin， tan＝. tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.
(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，
则2b＝a＋c 2sinB＝sinA＋sinC 2sin＝cos 2cos＝cos tantan＝.
(4)在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB，b＝acosC＋ccosA，c＝acosB＋bcosA.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)
典例分析
一、利用正、余弦定理解三角形问题
【例1】(1)(2019·辽宁高考模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sin2C＝tanA(2sin2C＋cosC－2)，则等式成立的是 (　　)
A.b＝2a 　　　　　　　B.a＝2b C.A＝2B 　　　　　　　D.B＝2A
(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6　 B．5 C．4 D．3
【例1】(1)解：依题意得，2sinCcosC＝·(2－2cos2C＋cosC－2)，因为△ABC为锐角三角形，所以cosC＞0，则＝，即2(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinA，即sinA＝2sinB，由正弦定理得a＝2b.故选B.
(2)A　[∵asin A－bsin B＝4csin C，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.故选A.]
【例2】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
①求A；
②若a＋b＝2c，求sin C.
【例2】[解]　①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝. 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，
即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.
由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，
故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.
【练1】(1)(2019·四川高考模拟)已知△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝3，c＝3，B＝30°，则AB边上的中线的长为 (　　)
A. 　　　　　　 　B. C.或 　　　　　　D.或
(2)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC＋asinC＝b＋c.则A＝　　　　.
【练1】(1)解：因为b＝3，c＝3，B＝30°，
所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，可得
9＝a2＋27－2×a×3×，
整理得a2－9a＋18＝0，解得a＝6或3.
如图，因为CD为AB边上的中线，则BD＝c＝，
所以在△BCD中，由余弦定理CD2＝a2＋BD2－2a·BD·cosB，可得CD2＝62＋2－2×6××，或CD2＝32＋2－2×3××，解得AB边上的中线CD＝或.故选C.
(2)解：由正弦定理及acosC＋asinC＝b＋c得，sinAcosC＋sinAsinC＝sinB＋sinC，
即sinAcosC＋sinAsinC＝sin(A＋C)＋sinC sinAsinC－cosAsinC＝sinC，
因为sinC＞0，所以sinA－cosA＝1 sin(A－30°)＝，
因为0°＜A＜180°，所以－30°＜A－30°＜150°，所以A－30°＝30° A＝60°.故填60°.
二、三角形解的个数问题
【例3】(1)在中，已知，，，则满足条件的三角形有　　
A．一个 B．两个 C．0 D．无法确定
(2)在中，若，，，则此三角形解的情况　　
A．一解 B．两解 C．无解 D．解的个数不能确定
(3)已知的三内角，，的对边边长分别为，、，若，，
且此三角形有两解，则的取值范围是　　
A． B． C． D．，
【例3】(1)【解析】解：中，，，，
利用正弦定理可得：，，，，
或，则满足条件的三角形有2个，故选：．
(2)【解析】解：在中，，，，
由正弦定理得：，则此三角形无解．故选：．
(3)【解析】解：由正弦定理得：，，
因为，，且此三角形有2解，所以，且，
所以，故选：．
三、与三角形面积有关的问题
【例4】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【例4】[解]　(1)由已知条件可得tan A＝－，A∈(0，π)，所以A＝，在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos ，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，或c＝4.
(2)法一：如图，由题设可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝，
故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1，
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，所以△ABD的面积为.
法二：由余弦定理得cos C＝，在Rt△ACD中，cos C＝，
所以CD＝，所以AD＝，DB＝CD＝，所以S△ABD＝S△ACD＝×2××sin C＝×＝.
法三：∠BAD＝，由余弦定理得cos C＝，所以CD＝，所以AD＝，
所以S△ABD＝×4××sin∠DAB＝.
【例5】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
【例5】[解]　(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是sin B＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，
所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)由S＝，得absin C＝，故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，
由sin B≠0，得sin C＝cos B.又B，C∈(0，π)．所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时，A＝.综上，A＝或A＝.
【练2】(1)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c等于(　　)
A．2 B．4 C．2 D．3
(2)在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则sin A＝________，BC＝________．
【练2】(1)C　[∵＝2cos C，
由正弦定理，得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Ccos C，∴sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C，
由于0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，∵S△ABC＝2＝absin C＝ab，∴ab＝8，
又a＋b＝6，解得或c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋16－8＝12，
∴c＝2，故选C.]
(2)　4　[依题意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝2·sin∠ACD＝4，解得sin∠ACD＝.又∠ACD是锐角，所以cos∠ACD＝.在△ACD中，AD＝＝4.由正弦定理得，＝，即sin A＝＝.在△ABC中，＝，即BC＝＝4.]
四、判断三角形的形状
【例6】已知中，角，，的对边分别为，，，试判断下列三角形的形状：
(1)；(2)；(3)．(4)．
(5)
【例6】【解析】（1），，即，
，，或，即或，
为等腰三角形或直角三角形；
（2），，，
，，，即．为等腰三角形；
（3），，，
，，，
，，即．为等腰三角形．
（4）．，，
整理，得或，当时，是等腰三角形，
当时，，，是钝角三角形．
是等腰三角形或是钝角三角形．
（5）法1：在中，，，
，
，，，故的形状为直角三角形．
法2：在中，由可知，，不可能为钝角，过点向作垂线，垂足为，则，同理，，
又，，，；
故的形状为直角三角形．
【练3】(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
(3)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2c，则△ABC的形状是(　　)
A．等边三角形 B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【练3】(1)B　[由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．]
(2)C　[因为＝，所以＝.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.所以△ABC是等边三角形．]
(3)C　[因为＋＝2c，所以由正弦定理可得＋＝2sin C，而＋≥2＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等号．所以2sin C≥2，即sin C≥1.又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以C＝90°.又因为sin A＝sin B，所以A＝B.故三角形为等腰直角三角形．故选C.]
五、解三角形中的实际问题
【例7】(1)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
(2)如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚 B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为________米．
【例7】(1)10　(2)400　[(1)
如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝＝＝10(m)．
(2)在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，
所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.
由正弦定理，可得＝，所以＝，得AD＝400(米)．
在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝400(米)．故索道AC的长为400米．]
【练4】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________．
　[在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，
得BC＝20.
由正弦定理，得＝，即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.]
六、解三角形综合问题
【例8】如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.
(1)若AC＝，求△ABC的面积；
(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD.
【例8】[解]　(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝，
所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝.
(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝，①
在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－(－θ)＝θ－，
由正弦定理得＝，即＝，②
①②两式相除，得＝，即4(sin θ－cos θ)＝sin θ，
整理得sin θ＝2cos θ.又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin θ＝，即sin∠CAD＝.
【例9】(2019·湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD中，0＜∠DAB＜，AD＝2，AB＝3，△ABD的面积为，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求BC的长．
【例9】[解]　(1)因为△ABD的面积S＝AD×ABsin∠DAB＝×2×3sin∠DAB＝，
所以sin∠DAB＝.
又0＜∠DAB＜，所以∠DAB＝，所以cos∠DAB＝cos ＝.
由余弦定理得BD＝＝，
由正弦定理得sin∠ABD＝＝.
(2)因为AB⊥BC，所以∠ABC＝，
sin∠DBC＝sin(－∠ABD)＝cos∠ABD＝＝.
在△BCD中，由正弦定理＝可得CD＝＝.
由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcos∠DCB＝BD2，
可得3BC2＋4BC－5＝0，解得BC＝或BC＝－(舍去)．故BC的长为.
同步练习
1．(2019·成都模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝(　　)
A. B. C. D.
A　[由正弦定理得，sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，因为sin B≠0，所以sin Acos C＋sin Ccos A＝，即sin(A＋C)＝，所以sin B＝.已知a＞b，所以B不是最大角，所以B＝.]
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cos B等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
B　[由正弦定理知＝＝1，即tan B＝，
由B∈(0，π)，所以B＝，所以cos B＝cos ＝，故选B.]
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)
A. B. C. D.
C　[由题可知S△ABC＝absin C＝，所以a2＋b2－c2＝2absin C，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，所以sin C＝cos C．因为C∈(0，π)，所以C＝.故选C.]
4．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
D　[由已知＝＝＝，所以＝或＝0，即C＝90°或＝.当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当＝时，由正弦定理，得＝，所以＝，即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.]
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b＞c，则＝(　　)
A. B．2 C．3 D.
B　[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B可得acos B＝，又acos B－c－＝0，a2＝bc，所以c＋＝，即2b2－5bc＋2c2＝0，所以有(b－2c)·(2b－c)＝0.所以b＝2c或c＝2b，又b＞c，所以＝2.故选B.]
6．一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角．前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为(　　)
A．50(＋1)m B．100(＋1)m
C．50 m D．100 m
A　[如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200 m，由正弦定理，得BC＝＝100(m)，所以河的宽度为BCsin 75°＝100×＝50(＋1)(m)．]
7．在△ABC中，sin B＝，BC边上的高为AD，D为垂足，且BD＝2CD，则cos∠BAC＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
A　[依题意设CD＝x，AD＝y，则BD＝2x，BC＝3x.因为sin B＝，所以AB＝＝3y.因为BC边上的高为AD，如图所示，所以AB2＝AD2＋BD2＝y2＋4x2＝9y2，即x＝y.所以AC＝＝＝y.根据余弦定理得cos∠BAC＝＝＝＝－.故选A.]
8.(2019·吉林长春质量监测(四))《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)(　　)
A．1 255步 B．1 250步
C．1 230步 D．1 200步
A　[因为AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以＝.
因为AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以＝.
又BC＝DE，所以＝，即＝，所以HB＝30 750步，
又＝，所以AH＝＝1 255(步)．故选A.]
9．(多选题)的内角A，B，C的对边分别为，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】CD
【解析】①，三角形有两解；②当时，三角形有一解；
③当时，三角形为等腰直角三角形，有一解；④当时，三角形无解，
故选CD．
10．(多选题)在中，已知，给出下列结论中正确结论是（ ）
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定 B．一定是钝三角形
C． D．若，则的面积是
【答案】BC
【解析】可设的周长为，则由，
可得，，，
又，则，，，
故三角形不确定，A错；
由，为钝角，故B正确；
由正弦定理，故C正确；
由，则，得，故，，，
由，得，的面积是，故D错，
故选BC．
11．(多选题)在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则以下四个结论正确的有（ ）
A．不可能是直角三角形 B．有可能是等边三角形
C．当时，的周长为15 D．当时，的面积为
【答案】CD
【解析】由正弦定理得，
对选项A，若直角，则，
所以存在是直角三角形，故A错误；
对选项B，因为，所以不存在是等边三角形，故B错误；
对选项C，若，则，，的周长为15，故C正确；
对选项D，，解得，，
所以，故D正确，
故选CD．
12．设的内角，，所对的边分别为，，，已知，，，如果解此三角形有且只有两个解，则的取值范围是　　．
【解析】解：当时，三角形有两组解，
又，，，如果三角形有两组解，
那么应满足，即．
的取值范围是：．故答案为：．
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．
　[在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin
B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝，由正弦定理得b＝＝.]
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．
＋1　[∵b＝2，B＝，C＝，由正弦定理＝，
得c＝＝＝2，A＝π－(＋)＝，∴sin A＝sin(＋)＝sin cos ＋cos sin ＝.
则S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.]
15.如图所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cos A＝________．
　[∵AD＝DB，∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝2∠A.设AD＝DB＝x，
∴在△BCD中，＝，可得＝.①
在△AED中，＝，可得＝.②
联立①②可得＝，解得cos A＝.]
16.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3.
(1)求AD的长；
(2)若∠BCD＝105°，求四边形ABCD的面积．
[解]　(1)∵在△ABD中，AB＝，∠A＝120°，BD＝3，
∴由余弦定理得cos 120°＝，解得AD＝(AD＝－2舍去)，∴AD的长为.
(2)∵AD∥BC，∠A＝120°，BD＝3，AB＝AD＝，∠BCD＝105°，
∴∠DBC＝30°，∠BDC＝45°，∴由正弦定理得＝＝，解得BC＝3－3，DC＝.
如图，过点A作AE⊥BD，交BD于点E，过点C作CF⊥BD，交BD于点F，
则AE＝AB＝，CF＝BC＝，
∴四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△BDC＝BD·(AE＋CF)＝×3×(＋)＝.
17.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2ccos C＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.
(1)求线段AD的长；
(2)求△ADE的面积．
[解]　(1)因为c＝4，b＝2，2ccos C＝b，
所以cos C＝＝.
由余弦定理得cos C＝＝＝，
所以a＝4，即BC＝4.
在△ACD中，CD＝2，AC＝2，
所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，所以AD＝.
(2)因为AE是∠BAC的平分线，
所以＝＝＝2，又＝，所以＝2，
所以CE＝BC＝，DE＝2－＝.
又因为cos C＝，所以sin C＝＝.
又S△ADE＝S△ACD－S△ACE，所以S△ADE＝×DE×AC×sin C＝.
18．在中，角，，所对应的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）给出三个条件①，②外接圆半径，③，试从中选择两个可以确定的条件，并求的面积．
【解析】（1）因为，所以，
由正弦定理得，∴，
，．
（2）显然可知当选择条件①②时，不唯一；
当选择条件①③时，唯一，此时，由余弦定理，
即，解得，
所以的面积．
当选择条件②③时，唯一，此时，由正弦定理可知，
由余弦定理，即，
解得，
所以的面积．
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高中数学重难点突破
专题四 解三角形问题解题策略
知识归纳
1．正弦定理
(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2R．其中R是三角形外接圆的半径．
(2)正弦定理的其他形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.
2．余弦定理
(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.
若令C＝90°，则c2＝a2＋b2，即为勾股定理．
(2)余弦定理的推论：cosA＝，cosB＝，cosC＝.
若C为锐角，则cosC>0，即a2＋b2>c2；若C为钝角，则cosC<0，即a2＋b2(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角互化，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，类似地，sin2B＝sin2C＋sin2A－2sinCsinAcosB；sin2C＝sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC
.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π.
3．解三角形的类型
(1)已知三角形的任意两个角与一边，用正弦定理，只有一解．
(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用正弦定理，可能有一解、两解或无解．如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：
项目 A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinAb
解的个数 一解　　　　 两解　　　　 一解　　　　 一解　　　　
(3)已知三边，用余弦定理．有解时，只有一解．
(4)已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．
4．三角形中的常用公式及变式
(1)三角形面积公式S△＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)r．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．
(2)A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，＝－，
从而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C)；
sin＝cos， cos＝sin， tan＝. tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.
(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，
则2b＝a＋c 2sinB＝sinA＋sinC 2sin＝cos 2cos＝cos tantan＝.
(4)在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB，b＝acosC＋ccosA，c＝acosB＋bcosA.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)
典例分析
一、利用正、余弦定理解三角形问题
【例1】(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足
sin2C＝tanA(2sin2C＋cosC－2)，则等式成立的是(　　)
A.b＝2a 　　　　　　　B.a＝2b C.A＝2B 　　　　　　　D.B＝2A
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6　 B．5 C．4 D．3
【例2】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
①求A；
②若a＋b＝2c，求sin C.
【练1】(1)已知△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝3，c＝3，B＝30°，则AB边上的中线的长为 (　　)
A. 　　　　　　 　B. C.或 　　　　　　D.或
(2)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC＋asinC＝b＋c.则A＝　　　　.
二、三角形解的个数问题
【例3】(1)在中，已知，，，则满足条件的三角形有　　
A．一个 B．两个 C．0 D．无法确定
(2)在中，若，，，则此三角形解的情况　　
A．一解 B．两解 C．无解 D．解的个数不能确定
(3)已知的三内角，，的对边边长分别为，、，若，，
且此三角形有两解，则的取值范围是　　
A． B． C． D．，
三、与三角形面积有关的问题
【例4】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【例5】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
【练2】(1)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c等于(　　)
A．2 B．4 C．2 D．3
(2)在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则sin A＝________，BC＝________．
四、判断三角形的形状
【例6】已知中，角，，的对边分别为，，，试判断满足下列条件的三角形的形状：
(1)； (2)； (3)．
(4)；(5).
【练3】(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
(3)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2c，则△ABC的形状是(　　)
A．等边三角形 B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
五、解三角形中的实际问题
【例7】(1)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
(2)如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚 B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为________米．
【练4】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________．
六、解三角形综合问题
【例8】如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.
(1)若AC＝，求△ABC的面积；
(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD.
【例9】如图，在平面四边形ABCD中，0＜∠DAB＜，AD＝2，AB＝3，△ABD的面积为，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求BC的长．
同步练习
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝(　　)
A. B. C. D.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cos B等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)
A. B. C. D.
4．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b＞c，则＝(　　)
A. B．2 C．3 D.
6．一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角．前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为(　　)
A．50(＋1)m B．100(＋1)m
C．50 m D．100 m
7．在△ABC中，sin B＝，BC边上的高为AD，D为垂足，且BD＝2CD，则cos∠BAC＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
8.《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)(　　)
A．1 255步 B．1 250步
C．1 230步 D．1 200步
9．(多选题)的内角A，B，C的对边分别为，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（ ）
A．5 B．
C． D．6
10．(多选题)在中，已知，给出下列结论中正确结论是（ ）
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定 B．一定是钝三角形
C． D．若，则的面积是
11．(多选题)在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则以下四个结论正确的有（ ）
A．不可能是直角三角形 B．有可能是等边三角形
C．当时，的周长为15 D．当时，的面积为
12．设的内角，，所对的边分别为，，，已知，，，如果解此三角形有且只有两个解，则的取值范围是　 　．
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．
15.如图所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cos A＝________．
16.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3.
(1)求AD的长；
(2)若∠BCD＝105°，求四边形ABCD的面积．
17．如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2ccos C＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.
(1)求线段AD的长；
(2)求△ADE的面积．
18．在中，角，，所对应的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）给出三个条件①，②外接圆半径，③，试从中选择两个可以确定的条件，并求的面积．
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