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高中数学重难点突破
专题五 解三角形中的最值与范围问题
解题技巧
(1)求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为这一限制条件．
(2)求边的范围可利用正弦定理把边转化为三角函数,利用三角函数的有界性求范围．或根据角的范围利用余弦定理求边的范围,同时要注意两边之和大于第三边.
(3)求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围,也可利用基本不等式求范围．
典例分析
一、转化为三角函数利用三角函数的有界性求解
【例1】 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且＋＝.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，求a＋c的取值范围.
解　(1)由已知条件，得bcos A＋acos B＝bsin C.
由正弦定理，得sin Bcos A＋cos Bsin A＝sin Bsin C，即sin(A＋B)＝sin Bsin C.
又在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C≠0，所以sin B＝.因为B是锐角，所以B＝.
(2)由正弦定理，得＝＝＝＝4，则a＝4sin A，c＝4sin C.
所以a＋c＝4sin A＋4sin C＝4sin A＋4sin＝6sin A＋2cos A＝4sin.
由0所以6【变式1】(1)锐角中,已知,则的取值范围是( )
A． B． C． D．
(2)已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，△ABC的面积等于，则b的取值范围为________．
(1)【答案】C
【解析】由正弦定理可得,
所以．
因为为锐角三角形,所以．
即．
(2)【答案】[2，)
【解析】由正弦定理＝＝，得ac＝·sin Asin C 4＝b2sin Asin(120°－A)，
即b2＝＝＝
＝＝，
因为30°二、利用基本不等式求解
【例2】的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若的面积为2，求周长的最小值．
【解析】解：（1）中，，
由，及二倍角余弦公式可得，即；
所以，所以；
（2）由，得，
所以，所以，所以；
又，所以；由余弦定理得：，
所以（当且仅当时取等号）；
所以，即周长的最小值为．
【变式2】(1)已知的三个内角的对边依次为，外接圆半径为1，且满足，则面积的最大值为___________.
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝，若a＋b＝4，则c的取值范围为(　　)
A.(0，4) B.[2，4) C.[1，4) D.(2，4]
(3)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin B＋2sin Acos C＝0，则当cos B取最小值时，＝(　　)
A. B. C．2 D.
(1)【答案】
【解析】由可得,即,也即,故,也即,则,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,即,所以,故.
(2)【答案】B
【解析】根据正弦定理可得＝，
即＝，又A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin C，
所以sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B，再根据正弦定理可得a2＋b2－c2＝ab.
因为a>0，b>0，a＋b＝4，a＋b≥2，所以ab≤4(当且仅当a＝b时取等号)，
由(a＋b)2＝16，得a2＋b2＝16－2ab，所以16－2ab－c2＝ab，所以16－c2＝3ab，
故16－c2≤12，c2≥4，c≥2，故2≤c<4，故选B.
(3)【答案】B　
【解析】由sin B＋2sin Acos C＝0，根据正弦定理和余弦定理得b＋2a·＝0，
∴a2＋2b2－c2＝0，∴b2＝，∴cos B＝＝＝＋≥，
当且仅当＝，即＝时取等号，cos B取最小值.故选B.]
三、利用三角形内角的范围求解
【例3】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
【例3】[解]　(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.
因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°所以30°＜C<90°，故＜a＜2，从而＜S△ABC＜.因此，△ABC面积的取值范围是.
【变式3】(1)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2csin B＝3atan A.
(1)求的值；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
[解]　(1)∵2csin B＝3atan A，∴2csin Bcos A＝3asin A，由正弦定理得2cbcos A＝3a2，
由余弦定理得2cb·＝3a2，化简得b2＋c2＝4a2，∴＝4.
(2)∵a＝2，由(1)知b2＋c2＝4a2＝16，∴由余弦定理得cos A＝＝，
根据基本不等式得b2＋c2≥2bc，即bc≤8，当且仅当b＝c时，等号成立，∴cos A≥＝.
由cos A＝，得bc＝，且A∈(0，)，∴△ABC的面积S＝bcsin A＝××sin A＝3tan A.
∵1＋tan2A＝1＋＝＝，
∴tan A＝≤＝.∴S＝3tan A≤.∴△ABC面积的最大值为.
【变式4】设锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝1，A＝2C，则△ABC周长的取值范围为(　　)
A.(0，2＋) B.(0，3＋)
C.(2＋，3＋) D.(2＋，3＋]
答案　C解析　因为△ABC为锐角三角形，所以0四、构造函数问题求范围
【例4】满足的的面积的最大值是___________..
【例4】【答案】
【解析】设，根据面积公式的①，由余弦定理得：代入①式得由三角形三边的关系有所以故当时，取得最大值.
【变式5】在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【变式5】【答案】A
【解析】由及正弦定理，得，即，
由余弦定理得，，∵，∴.
由于，∴，两边平方，得
，当且仅当时取等号，即，∴线段长度的最小值为.故选：A.
同步练习
1．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)A． B． C． D．
【答案】D　
【解析】由题意得sin2A再由正弦定理得a20.则cos A＝>0，
∵0 因此得角A的取值范围是.
2．如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ
C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
【答案】B
【解析】设圆心为O，如图1，连接OA，OB，AB，OP，则，所以，
因为，且都已确定，
所以当最大时，阴影部分面积最大.
观察图象可知，当P为弧AB的中点时（如图2），阴影部分的面积S取最大值，
此时∠BOP=∠AOP=π β，面积S的最大值为=4β+S△POB+ S△POA=4β+|OP||OB|sin（π β）+|OP||OA|sin（π β）=4β+2sinβ+2sinβ=4β+4 sinβ，故选B.
3．在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，由余弦定理得,当且仅当时取“”，的最小值为，选C.
4．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，由正弦定理得，所以，
由于三角形是锐角三角形，所以.由.
所以，
由于，所以，所以.故选：B
5．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，则的周长的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，由正弦定理得，
所以，
又，得，当且仅当时等号成立，所以的周长的最大值是.
6．在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由余弦定理及可得，
即，得，整理得.
，，得.
由正弦定理得，又，，
整理得.
易知在锐角三角形中， ，， 且.
， ，
，
当且仅当时等号成立.故选：B.
7．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则当角取到最大值时的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设中点为，则
，，即，
由知角为锐角，故 ，
当且仅当，即时最小，又在递减，故最大.此时，恰有，即为直角三角形，，故选.
8．在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若A＝2B,给出下列命题：①；②；③a2＝b2＋bc．其中正确的个数是( )．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在锐角三角形ABC中,,又因为．所以即,
∵,,所以,,∵a2＝b2＋c2－2bccosA,
∵b2＋c2－2bccosA－(b2＋bc)＝c2－2bccosA－bc＝c(c－2bcosA－b)＝c2R(sinC－2sinBcosA－sinB)
＝2Rc(sin3B－2sinBcos2B－sinB)＝2Rc(sinBcos2B＋cosBsin2B－2sinBcos2B－sinB)
＝2Rc(cosBsin2B－sinBcos2B－sinB)＝0 ∴a2＝b2＋bc．∴①③对．故选：C．
9．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,a=2c,则sinC的最大值为 ．
【答案】
【解析】根据余弦定理,可以求得,利用基本不等式可以求得的最小值为,此时取到最大值．
10．在中，角，，所对的边分别为，已知，则角 ，若的角平分线交于点，且，则的最小值是______．
【答案】；
【解析】因为，所以，
又，可得，即，
因为，所以．
如图，即，整理得，
所以，解得，所以，故答案为；
11．若的内角满足，则的最小值为________．
【答案】
【解析】由，得，
即，，
所以，
由正弦定理和余弦定理得，
化简得，
（当且仅当时取等号），
所以的最小值为，故答案为．
12．已知外接圆的半径为，若面积且，则 ，的最大值为
【答案】，.
【解析】由，得，由余弦定理得，故有，易得A为锐角，且，即故有，则，（当且仅当b=c=8时等号成立）即
13．在中，角，，的对边分别是，，，其外接圆的半径是1，且满足．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求面积的最大值．
【解析】解：（Ⅰ）中，其外接圆的半径是1，
，，，；
又，，即，
；又，；
（Ⅱ），，即，
，即，，
，
当，即时，的面积取得最大值为．
14．中，．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
【解析】（1）由正弦定理可得：，，
，．
（2）由余弦定理得：，
即．
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为．
15．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【解析】（I）由结合正弦定理可得：，△ABC为锐角三角形，故．
（II）结合(1)的结论有：
．
由可得：，，则，，即的取值范围是．
16．在中,角的对边分别为,且.
(1)求角;
(2)若的面积为,求的最小值.
【解析】(1)由正弦定理及已知可得
，
(2)
， ，当且仅当时等号成立.的最小值为12.
17．在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围．
【解析】（1）因为，
则，即，
因为，，则，．
（2）因为，，且为锐角三角形，则角一定为锐角，
因为，所以，即，，
又，所以，，即，
综上所述，的取值范围是．
18．的内角，，所对边分别为，，.已知.
(1) 求；
(2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。
【答案】（1）B=60°；（2）.
【解析】（1）由题设及正弦定理得．
又因为中可得，
,所以，
因为中sinA0，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得
由于△ABC为锐角三角形，故0°由（1）知A+C=180°B＝120°，所以30°所以，从而．因此，△ABC面积的取值范围是．
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专题五 解三角形中的最值与范围问题
解题技巧
(1)求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为这一限制条件．
(2)求边的范围可利用正弦定理把边转化为三角函数,利用三角函数的有界性求范围．或根据角的范围利用余弦定理求边的范围,同时要注意两边之和大于第三边.
(3)求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围,也可利用基本不等式求范围．
典例分析
一、转化为三角函数利用三角函数的有界性求解
【例1】在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且＋＝.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，求a＋c的取值范围.
【变式1】(1)锐角中,已知,则的取值范围是( )
A． B． C． D．
(2)已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，△ABC的面积等于，则b的取值范围为________．
二、利用基本不等式求解
【例2】的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若的面积为2，求周长的最小值．
【变式2】(1)已知的三个内角的对边依次为，外接圆半径为1，且满足，则面积的最大值为___________.
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝，若a＋b＝4，则c的取值范围为(　　)
A.(0，4) B.[2，4) C.[1，4) D.(2，4]
(3)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin B＋2sin Acos C＝0，则当cos B取最小值时，＝(　　)
A. B. C．2 D.
三、利用三角形内角的范围求解
【例3】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
【变式3】(1)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2csin B＝3atan A.
(1)求的值；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
【变式4】设锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝1，A＝2C，则△ABC周长的取值范围为(　　)
A.(0，2＋) B.(0，3＋)
C.(2＋，3＋) D.(2＋，3＋]
四、构造函数问题求范围
【例4】满足的的面积的最大值是___________..
【变式5】在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
同步练习
1．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)A． B． C． D．
2．如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
3．在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，则的周长的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则当角取到最大值时的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在锐角中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若A＝2B,给出下列命题：①；②；③a2＝b2＋bc．其中正确的个数是( )．
A． B． C． D．
9．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,a=2c,则sinC的最大值为 ．
10．在中，角，，所对的边分别为，已知，则角 ，若的角平分线交于点，且，则的最小值是______．
11．若的内角满足，则的最小值为________．
12．已知外接圆的半径为，若面积且，则 ，的最大值为
13．在中，角，，的对边分别是，，，其外接圆的半径是1，且满足．
(1)求角的大小；
(2)求面积的最大值．
14．中，．
(1)求；
(2)若，求周长的最大值．
15．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)求cosA+cosB+cosC的取值范围．
16．在中,角的对边分别为,且.
(1)求角;
(2)若的面积为,求的最小值.
17．在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)若，且为锐角三角形，求的取值范围．
18．的内角，，所对边分别为，，.已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。
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