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高中数学重难点突破
专题一 平面向量的概念与运算
知识归纳
一、平面向量的线性运算
1．向量的线性运算
向量运算 加法 减法 数乘
几何表示 首尾相接指向终点 起点重合指向对顶点 起点重合指向被减向量 (1)|λa|＝|λ||a|，(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
坐标表示a＝(x1，y1)b＝(x2，y2) a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) a－b＝(x1－x2，y1－y2) λa＝(λx1，λy1)
2．多边形法则
一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
3．平面向量基本定理
定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．
4．“爪”子定理
形式1：在△ABC中，D是BC上的点，如果|BD|＝m，|DC|＝n，则＝＋，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则＝(＋)．
　　　　　
形式2：在△ABC中，D是BC上的点，且＝λ，则＝λ＋(1－λ)，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则＝(＋)．
二、平面向量的数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°．
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0．
投影向量：向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ＝．
(2)坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
3．平面向量的夹角与模长公式
(1)平面向量夹角公式的非坐标形式：cos＝．∈[0，π]．
(2)平面向量夹角公式的坐标形式：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y))．
∈[0，π]．
(3)平面向量模长公式的非坐标形式：|a|＝．
(4)平面向量模长公式的坐标形式：若a＝(x，y)，则|a|＝．
4．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
5．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2．(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2．
二、平面向量的平行与垂直
1．平面向量平行(共线)的充要条件的两种形式
(1)平面向量平行(共线)充要条件的非坐标形式：a∥b(b≠0) a＝λb．
(2)平面向量平行充要条件的坐标形式：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2－x2y1＝0；
至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的用(2)．这是代数运算，用它解决平面向量平行(共线)问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．当x2y2≠0时，a∥b ＝，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．公式x1y2－x2y1＝0无条件x2y2≠0的限制，便于记忆；公式＝有条件x2y2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．乘积形式可总结为：“相异坐标的乘积的差为0”．
2．三点共线的充要条件的三种形式
(1)A，P，B三点共线 ＝λ (λ≠0)
(2)A，P，B三点共线 ＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)
(3)A，P，B三点共线 ＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
3．非零向量垂直的充要条件的两种形式
(1)平面向量垂直的非坐标形式：a⊥b a·b＝0．
(2)平面向量垂直的坐标形式：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0；
典例分析
题型一　向量的线性运算
例1-1、(多选题)在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则(　　)
A．＝－　　B．＝－＋　　C．＋＝　　D．＋＋＝0
答案　CD　
解析　如图，因为点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，所以＝＝－，
故A不正确；＝＋＝＋＝＋(＋)＝－－＝－＋，故B不正确；＝－＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝＋，故C正确；由题意知，点G为△ABC的重心，所以＋＋＝＋＋＝×(＋)＋×(＋)＋×(＋)＝0，即＋＋＝0，故D正确．故选CD．
例1-2、如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量，表示为(　　)
A．＋　　　　　B．－　　　　　C．＋　　　　　D．－
答案　B　
解析　由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得＝－＝－
＝(＋)－＝－＝－．
例1-3、在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝(　　)
A．a－b　　　　　B．a＋b　　　　　C．－a＋b　　　　　D．－a－b
答案　B　
解析　设＝λ，＝μ．而＝＋＝－b＋λ＝－b＋λ，
＝μ＝μ．因此，μ＝－b＋λ．由于a，b不共线，
因此由平面向量的基本定理，得解之得λ＝，μ＝．故＝λ＝λ＝a＋b．
另解：如图，过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且＝＝，∴＝，易知△AHD∽△FHG，从而＝，∴＝，＝＋＝b＋a，∴＝＝a＋b，故选B．
例1-4、如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于M，设＝a，＝b．则用a和b表示向量＝___________．
答案　＝a＋b　
解析　设＝ma＋nb，则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb．
＝－＝－＝－a＋b．又∵A、M、D三点共线，∴与共线．
∴存在实数t，使得＝t，即(m－1)a＋nb＝t．∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb．
∴消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1．①．
又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b．
又∵C、M、B三点共线，∴与共线．∴存在实数t1，使得＝t1，
∴a＋nb＝t1，∴消去t1得，4m＋n＝1，②．由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b．
另解　因为A，M，D三点共线，所以＝λ1＋(1－λ1)＝λ1b＋(1－λ1)a，①，因为C，M，B三点共线，所以＝λ2＋(1－λ2)＝λ2b＋()a，②，由①②可得解得故＝a＋b．
例1-5、在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b　　　　　B．a＋b　　　　　C．a＋b　　　　　D．a＋b
答案　B　
解析　如图，根据题意，得＝＋＝(a－b)，＝＋＝(a＋b)．
令＝t，则＝t(＋)＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(3,4) ))＝a＋b．由＝＋，
令＝s，又＝(a＋b)，＝a－b，所以＝a＋b，
所以解方程组得把s代入即可得到＝a＋b，故选B．
另解　如图，＝＋，由题意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，故＝，
则＝a＋b＋ (a－b)＝a＋b．
题型二　根据向量线性运算求参数
例2-1、在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________．
答案　　
解析　选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，又＝λ＋μ＝＋，于是得即故λ＋μ＝．
例2-2、如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则(　　)
A．m＋n是定值，定值为2　　　　　　　　　　B．2m＋n是定值，定值为3
C．＋是定值，定值为2　　　　　　　　　　D．＋是定值，定值为3
答案　D　
解析　法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E．由＝n可得＝，
所以＝＝，由BD＝DC可得＝，所以＝＝，
因为＝m，所以m＝，整理可得＋＝3．故选D．
法二：因为M，D，N三点共线，所以＝λ＋(1－λ)·．又＝m，＝n，
所以＝λm＋(1－λ)·n．又＝，所以－＝－，
所以＝＋．比较系数知λm＝，(1－λ)n＝，所以＋＝3，故选D．
例2-3、如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，
且tan α＝7，与的夹角为45°．若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝__________．
答案　3　
解析　以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，
由tan α＝7，α∈，得sinα＝，cosα＝，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，
则xC＝||cosα＝×＝，yC＝||sin α＝×＝，即C．
又cos(α＋45°)＝×－×＝－，sin(α＋45°)＝，则xB＝||cos(α＋45°)＝－，
yB＝||sin(α＋45°)＝，即B，由＝m＋n，
可得解得所以m＋n＝＋＝3．
例2-4、已知点G是△ABC的重心，过G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3
答案　B　
解析　由已知得M，G，N三点共线，∴＝λ＋(1－λ)＝λx＋(1－λ)y．∵
点G是△ABC的重心，∴＝×(＋)＝·(＋)，∴即
得＋＝1，即＋＝3，通分变形得，＝3，∴＝．
例2-5、如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
答案　　
解析　设＝k，k∈R．因为＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k(－)＝(1－k)＋，且＝m＋，所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝．
例2-6、在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，
则λ＋μ的值为(　　)
A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D．
答案　C　
解析　法一：连接AC(图略)，由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，
则＋＋＝0，得＋＋ [＋]＝0，
得＋＝0．又，不共线，所以由平面向量基本定理得
解得所以λ＋μ＝．
法二：因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，
所以＝－，所以λ＋μ＝．
法三：根据题意作出图形如图所示，连接MN并延长，交AB的延长线于点T，由已知易得AB＝AT，所以＝＝λ＋μ，因为T，M，N三点共线，所以λ＋μ＝．
题型三　向量的数量积运算
例3-1、如图，已知非零向量与满足(＋)·＝0，且|－|＝2，|＋|＝2，点D是△ABC中边BC的中点，则·＝________．
答案　－3　解析　由(＋)·＝0得与∠A的平分线所在的向量垂直，
所以AB＝AC，⊥．
又|－|＝2，所以||＝2，所以||＝，
·＝||||cos(π－B)＝··(－cos B)＝3×(－)＝－3．
例3-2、如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…，
P10，记mi＝· (i＝1,2，…，10)，则m1＋m2＋…＋m10的值为(　　)
A．180　　　　　　　　B．60　　　　　　　　C．45　　　　　　　　D．15
答案　A　
解析　由题意可知，∠B2AC3＝30°，∠AC3B3＝60°，∴⊥，即·＝0．
则mi＝·＝·(＋)＝·＝2×6×＝18，∴m1＋m2＋…＋m10＝18×10＝180．
例3-3、已知扇形OAB的半径为2，圆心角为，点C是弧AB的中点，＝－，则·的值为(　　)
A．3　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．－3　　　　　　　　D．－4
答案　C　
解析　如图，连接CO，∵点C是弧AB的中点，∴CO⊥AB，
又∵OA＝OB＝2，＝－，∠AOB＝，∴·＝(－)·
＝－·＝－·(－)＝·－2＝×2×2×－×4＝－3．
例3-4、如图，已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)
A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　B　
解析　由条件可知＝－，＝＋＝＋＝＋，
所以·＝(－)·(＋)＝2－·－2．因为△ABC是边长为1的等边三角形，所以||＝||＝1，∠BAC＝60°，所以·＝－－＝．
例3-5、如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·＝(　　)
A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
答案　B　
解析　法一：因为△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，
所以＝＋，所以＝＝(＋)，则＝－＝－，
所以·＝(－3 )·(＋)＝(2－32)＝．
法二：以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(如图)，则A(0，1)，B(2，0)，C，P，所以＝，＝，故·＝×－×＝．
例3-6、如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2，＝，AC与BD相交于点O，E是BD的中点，若·＝8，则·＝(　　)
A．－9　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－10　　　　　　　　D．－
答案　D
解析　由＝，可得DC∥AB，且DC＝2，则△AOB∽△COD，
＝＝ (＋)＝＋，又E是BD的中点，所以＝＋，
则·＝(＋)(＋)＝＋＋·＝＋＋·＝8，
则·＝4，则·＝(＋)·(－)＝－－·＝4－×36－×4＝－．
例3-7、如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O．记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)
A．I1＜I2＜I3　　　　　B．I1＜I3＜I2　　　　　C．I3＜I1＜I2　　　　　D．I2＜I1＜I3
答案　C　
解析　如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO而∠AFB＝90°，∴∠AOB与∠COD为钝角，∠AOD与∠BOC为锐角，
根据题意，I1－I2＝·－·＝·(－)＝·＝||||·cos∠AOB<0，
∴I1I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，∴OB而OA∴·>·，即I1>I3．∴I3题型四 向量的平行与垂直
例4-1、设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　)
A．反向平行　　　　　B．同向平行　　　　　C．互相垂直　　　　　D．既不平行也不垂直
答案　A　
解析　由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，
＝＋＝＋，因此＋＋＝＋(＋－)＝＋＝－，故＋＋与反向平行．
例4-2、已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　)
A．A，B，C三点共线 　　　　　　　　　　B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线　
答案　B　
解析　∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，∴，共线，又有公共点B，
∴A，B，D三点共线．故选B．
例4-3、已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－3b共线，则＝________．
答案　－　
解析　由≠，所以a与b不共线，又a－3b＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0．
那么当ma＋nb与a－3b共线时，有＝，即得＝－．
例4-4、已知平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1，1)，且a∥b，则向量a的坐标是__________．
答案　或　
解析　a＝(x，y)，因为平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1，1)，
且a∥b，所以＝1，且x－y＝0，解得x＝y＝±．所以a＝或．
例4-5、△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)
A．|b|＝1　　　　B．a⊥b　　　　C．a·b＝1　　　　D．(4a＋b)⊥
答案　D　
解析　在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2，A错误．
又＝2a且||＝2，所以|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，B，C错误．
所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，D正确，故选D．
例4-6、已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos＝，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为(　　)
A．4　　　　　　　　B．－4　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
答案　B　
解析　∵n⊥(t m＋n)，∴n·(t m＋n)＝0，即t m·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos＋|n|2＝0．
又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4．故选B．
例4-7、已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．6　　　　　　　　D．
答案　A　
解析　因为＝λ＋，且⊥，所以有·＝(λ＋)·(－)
＝λ·－λ2＋2－·＝(λ－1)·－λ2＋2＝0，
整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝．
题型五　向量的夹角
例5-1、已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　B　
解析　方法一　设a与b的夹角为θ，因为(a－b)⊥b，
所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cos θ－|b|2＝0，
即cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故选B．
方法二　如图，令＝a，＝b，则＝－＝a－b．
因为(a－b)⊥b，所以∠OBA＝，又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝，即a与b的夹角为，故选B．
例5-2、若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　D　
解析　设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2．由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，
故以a、b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝，设向量a＋b与a的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝＝，又0≤θ≤π，所以θ＝．
例5-3、已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________．
答案　－　
解析　因为2＝，所以E为BC中点．设正方形的边长为2，则||＝，||＝2，
·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，
所以cosθ＝＝＝－．
优解：因为2＝，所以E为BC中点．
设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，
则点A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以＝(2，1)，＝(－2，2)，
所以·＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝＝＝－．
例5-4、已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________．
答案　(－，)∪(，＋∞)　解析　由已知得＝－＝(3，1)，＝－＝(2－m，1－m)．
若∥，则有3(1－m)＝2－m，解得m＝．由题设知，＝(－3，－1)，＝(－1－m，－m)．
∵∠ABC为锐角，∴·＝3＋3m＋m>0，可得m>－．由题意知，当m＝时，∥．
故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是(－，)∪(，＋∞)．
例5-5、已知向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围是__________．
答案　∪
解析　因为2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
所以2te＋(2t2＋7)(e1·e2)＋7te<0．因为|e1|＝2，|e2|＝1，e1·e2＝1，所以2t2＋15t＋7<0，
解得－7例5-6、若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________．
答案　2　解析　∵||＝||＝|－|＝2，∴△ABC是边长为2的正三角形，
∴|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，∴|＋|＝2×2sin＝2．
例5-7、设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝(　　)
A．2　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．4
答案　B　解析　由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1，由|a－b|＝，可得(a－b)2＝3，
即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4．所以(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，所以|2a＋b|＝2．
同步练习
1．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，c＝(2，3)，若a＋λb与c共线，则实数λ＝(　　)
A． 　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
1、答案　B　
解析　解法一：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2，3)，因为a＋λb与c共线，
所以必定存在唯一实数μ，使得a＋λbμc，所以解得
解法二：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2，3)，由a＋λb与c共线可知3(2－λ)＝2(4＋λ)，得λ＝－．
2．平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m等于(　　)
A．－2　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．2
2、答案　D　
解析　因为a＝(1，2)，b＝(4，2)，所以c＝ma＋b＝(m，2m)＋(4，2)＝(m＋4，2m＋2)．
根据题意可得＝，所以＝，解得m＝2．
3．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60 ，则|a＋3b|等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．4
3、答案　C　
解析　依题意得a·b＝，|a＋3b|＝＝，故选C．
4．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为(　　)
A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
4、答案　A　
解析　b＋λa＝(1，0)＋λ(1，2)＝(1＋λ，2λ)，又c＝(3，4)，且(b＋λa)⊥c，
所以(b＋λa)·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－．
5．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与a＋b的夹角为(　　)
A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．π
5、答案　B　
解析　∵|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝7，|a|＝1，|b|＝，
∴4＋4a·b＋3＝7，∴a·b＝0，
∴a⊥b．如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA．
∵tan∠COA＝＝＝，
∴∠COA＝，即a与a＋b的夹角为．
6．已知点A(0，1)，B(3，2)，C(2，k)，且A，B，C三点共线，则向量＝(　　)
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
6、答案　A　
解析　＝(3，1)，＝(2，k－1)，因为A，B，C三点共线，所以可设＝λ，
即(3，1)＝λ(2，k－1)，所以2λ＝3，即λ＝，所以＝＝．
7．如图所示，下列结论正确的是(　　)
①＝a＋b；②＝a－b；③＝a－b；④＝a＋b．
A．①②　　　　　　　　B．③④　　　　　　　　C．①③　　　　　　　　D．②④
7、答案　C　
解析　①根据向量的加法法则，得＝a＋b，故①正确；②根据向量的减法法则，得＝a－b，故②错误；③＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正确；④＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故④错误，故选C．
8．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋
μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．
8、答案　B　
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0)．
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
∴＝(－2，2)，＝(－2，1)，＝(1，2)，∵＝λ＋μ，
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，∴解得则λ＋μ＝．
9．如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2
9、答案　B　
解析　因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ (＋)＋μ(－＋)
＝(λ－μ) ＋，且＝＋，所以得所以λ＋μ＝．
10．在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为(　　)
A．－15　　　　　　　　B．－9　　　　　　　　C．－6　　　　　　　　D．0
10、答案　C　
解析　连接OA．在△ABC中，＝－＝3－3＝3(－)－3(－)＝3(－)，∴·＝3(－)·＝3(·－2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6．
11．在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则·等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
11、答案　B　
解析　由|＋|＝|－|，化简得·＝0，
又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，
所以△ABC为直角三角形．以A为原点，以AC所在直线为x轴，
以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)．
不妨令E为BC的靠近C的三等分点，
则E，F，所以＝，＝，所以·＝×＋×＝．
12．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·的值为(　　)
A．2　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
12、答案　D　
解析　∵在△ABC中，AD⊥AB，∴·＝0，·＝(＋)·＝·＋·＝
·＝ ·＝(－)·＝ ·－ ·＝．
13．已知O是△ABC的外心，||＝4，||＝2，则·(＋)＝(　　)
A．10　　　　　　　　B．9　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．6
13、答案　A　
解析　作OS⊥AB，OT⊥AC∵O为△ABC的外接圆圆心．∴S、T为AB，AC的中点，且·
＝0，·＝0，＝＋，＝＋，∴·(＋)＝·＋·＝(＋)·＋(＋)·＝·＋·＋·＋·＝·＋·＝||2＋||2＝8＋2＝10．故选A．
优解：不妨设∠A＝90°，建立如图所示平面直角坐标系．设B(4，0)，C(0，2)，则O为BC的中点O(2，1)，∴＋＝2，∴·(＋)＝2||2＝2(4＋1)＝10．故选A．
14．已知A(1，0)，B(4，0)，C(3，4)，O为坐标原点，且＝(＋－)，则||＝________．
14、答案　2　
解析　由＝(＋－)＝(＋)知，点D是线段AC的中点，故D(2，2)，
所以＝(－2，2)，故||＝＝2．
15．在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝4，<，>＝60°，则||＝________．
15、答案　　
解析　因为<，>＝60°，所以·＝||·||cos 60°＝1×4×＝2．又＝(＋)，所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)，即2＝×(1＋4＋16)＝，所以||＝．
16．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围是__________．
16、答案　(－∞，－1)∪(－1，1)　
解析　因为a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，所以|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1．因为a，b的夹角α为钝角，所以即所以λ<1且λ≠－1，
所以λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1)．
17．已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________．
17、答案　　
解析　由题意知(ka－b)·a＝0，即ka2－b·a＝0．因为a，b为单位向量，且夹角为45°，
所以k×12－1×1×＝0，解得k＝．
18．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，AB＝1，D为BC的中点，E在斜边AC上，若＝2，则·
＝________．
答案　　
解析　如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(1，0)，C(0，2)，所以＝(－1，2)．
因为D为BC的中点，所以D(0，1)，因为＝2，所以E，所以＝，所以·＝·(－1，2)＝－＋＝．
19．已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则·(＋)＝________．
19、答案　6　
解析　如图，设BC的中点为D，则AD⊥BC，∴|AP|cos∠PAD＝AD，＋＝2．∵
△ABC是边长为2的等边三角形，∴AD＝，∴·(＋)＝·2＝2×||×||×cos∠PAD＝2||2＝2×()2＝6．
20．如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且与对角线AC交于点K，
其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为______．
20、答案　　
解析　∵＝，＝，∴＝，＝2．由向量加法的平行四边形法则可
知，＝＋，∴＝λ＝λ(＋)＝λ(＋2)＝λ＋2λ，∵E，F，K三点共线，∴λ＋2λ＝1，∴λ＝．
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高中数学重难点突破
专题一 平面向量的概念与运算
知识归纳
一、平面向量的线性运算
1．向量的线性运算
向量运算 加法 减法 数乘
几何表示 首尾相接指向终点 起点重合指向对顶点 起点重合指向被减向量 (1)|λa|＝|λ||a|，(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
坐标表示a＝(x1，y1)b＝(x2，y2) a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) a－b＝(x1－x2，y1－y2) λa＝(λx1，λy1)
2．多边形法则
一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
3．平面向量基本定理
定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．
4．“爪”子定理
形式1：在△ABC中，D是BC上的点，如果|BD|＝m，|DC|＝n，则＝＋，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则＝(＋)．
　　　　　
形式2：在△ABC中，D是BC上的点，且＝λ，则＝λ＋(1－λ)，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则＝(＋)．
二、平面向量的数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°．
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0．
投影向量：向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ＝．
(2)坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
3．平面向量的夹角与模长公式
(1)平面向量夹角公式的非坐标形式：cos＝．∈[0，π]．
(2)平面向量夹角公式的坐标形式：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y))．
∈[0，π]．
(3)平面向量模长公式的非坐标形式：|a|＝．
(4)平面向量模长公式的坐标形式：若a＝(x，y)，则|a|＝．
4．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
5．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2．(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2．
二、平面向量的平行与垂直
1．平面向量平行(共线)的充要条件的两种形式
(1)平面向量平行(共线)充要条件的非坐标形式：a∥b(b≠0) a＝λb．
(2)平面向量平行充要条件的坐标形式：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2－x2y1＝0；
至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的用(2)．这是代数运算，用它解决平面向量平行(共线)问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．当x2y2≠0时，a∥b ＝，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．公式x1y2－x2y1＝0无条件x2y2≠0的限制，便于记忆；公式＝有条件x2y2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．乘积形式可总结为：“相异坐标的乘积的差为0”．
2．三点共线的充要条件的三种形式
(1)A，P，B三点共线 ＝λ (λ≠0)
(2)A，P，B三点共线 ＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)
(3)A，P，B三点共线 ＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
3．非零向量垂直的充要条件的两种形式
(1)平面向量垂直的非坐标形式：a⊥b a·b＝0．
(2)平面向量垂直的坐标形式：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0；
典例分析
题型一　向量的线性运算
例1-1、(多选题)在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则(　　)
A．＝－　　 B．＝－＋　　
C．＋＝　　 D．＋＋＝0
例1-2、如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量，表示为(　　)
A．＋　　　　　B．－　　　　　C．＋　　　　　D．－
例1-3、在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝(　　)
A．a－b　　　　　B．a＋b　　　　　C．－a＋b　　　　　D．－a－b
例1-4、如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于M，设＝a，＝b．则用a和b表示向量＝___________．
例1-5、在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b　　　　 　 B．a＋b　　　　　
C．a＋b　　　　 　D．a＋b
题型二　根据向量线性运算求参数
例2-1、在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________．
例2-2、如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则(　　)
A．m＋n是定值，定值为2　　　　　　　　　　B．2m＋n是定值，定值为3
C．＋是定值，定值为2　　　　　　　　　　 D．＋是定值，定值为3
例2-3、如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°．若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝__________．
例2-4、已知点G是△ABC的重心，过G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3
例2-5、如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
例2-6、在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，
则λ＋μ的值为(　　)
A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D．
题型三　向量的数量积运算
例3-1、如图，已知非零向量与满足(＋)·＝0，且|－|＝2，|＋|＝2，点D是△ABC中边BC的中点，则·＝________．
例3-2、如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…，
P10，记mi＝· (i＝1,2，…，10)，则m1＋m2＋…＋m10的值为(　　)
A．180　　　　　　　　B．60　　　　　　　　C．45　　　　　　　　D．15
例3-3、已知扇形OAB的半径为2，圆心角为，点C是弧AB的中点，＝－，则·的值为(　　)
A．3　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．－3　　　　　　　　D．－4
例3-4、如图，已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)
A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
例3-5、如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·＝(　　)
A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
例3-6、如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2，＝，AC与BD相交于点O，E是BD的中点，若·＝8，则·＝(　　)
A．－9　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－10　　　　　　　　D．－
例3-7、如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O．记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)
A．I1＜I2＜I3　　　　　B．I1＜I3＜I2　　　　　C．I3＜I1＜I2　　　　　D．I2＜I1＜I3
题型四 向量的平行与垂直
例4-1、设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　)
A．反向平行　　　　　B．同向平行　　　　　C．互相垂直　　　　　D．既不平行也不垂直
例4-2、已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　)
A．A，B，C三点共线 　　　　　　　　　　B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 　D．B，C，D三点共线
例4-3、已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－3b共线，则＝________．
例4-4、已知平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1，1)，且a∥b，则向量a的坐标是__________．
例4-5、△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)
A．|b|＝1　　　　B．a⊥b　　　　C．a·b＝1　　　　D．(4a＋b)⊥
例4-6、已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos＝，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为(　　)
A．4　　　　　　　　B．－4　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
例4-7、已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．6　　　　　　　　D．
题型五　向量的夹角与模
例5-1、已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
例5-2、若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
例5-3、已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________．
例5-4、已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________．
例5-5、已知向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围是__________．
例5-6、若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________．
例5-7、设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝(　　)
A．2　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．4
同步练习
1．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，c＝(2，3)，若a＋λb与c共线，则实数λ＝(　　)
A． 　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
2．平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m等于(　　)
A．－2　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．2
3．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60 ，则|a＋3b|等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．4
4．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为(　　)
A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
5．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与a＋b的夹角为(　　)
A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．π
6．已知点A(0，1)，B(3，2)，C(2，k)，且A，B，C三点共线，则向量＝(　　)
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
7．如图所示，下列结论正确的是(　　)
①＝a＋b；②＝a－b；③＝a－b；④＝a＋b．
A．①②　　　　　　　　B．③④　　　　　　　　C．①③　　　　　　　　D．②④
8．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋
μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．
9．如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2
10．在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为(　　)
A．－15　　　　　　　　B．－9　　　　　　　　C．－6　　　　　　　　D．0
11．在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则·等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
12．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·的值为(　　)
A．2　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
13．已知O是△ABC的外心，||＝4，||＝2，则·(＋)＝(　　)
A．10　　　　　　　　B．9　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．6
14．已知A(1，0)，B(4，0)，C(3，4)，O为坐标原点，且＝(＋－)，则||＝________．
15．在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝4，<，>＝60°，则||＝________．
16．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围是__________．
17．已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________．
18．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，AB＝1，D为BC的中点，E在斜边AC上，若＝2，则·
＝________．
19．已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则·(＋)＝________．
20．如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且与对角线AC交于点K，
其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为______．
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