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高中数学重难点突破
专题八 立体几何中的垂直问题
知识归纳
1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 l⊥α
3.空间角
(1)直线与平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．
②线面角θ的范围：θ∈．
(2)二面角
①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．
如图的二面角，可记作：二面角α l β或二面角P AB Q．
②二面角的平面角
如图，过二面角α l β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角α l β的平面角．
③二面角的范围
设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．
④当θ＝时，二面角叫做直二面角．
典例分析
题型一、线面垂直的判定与性质
例1、(1)已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，且，则
B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则
C．若，，则
D．若，，则
(2)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中， 点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是(　　)
A．与AC，MN均垂直
B．与AC垂直，与MN不垂直
C．与AC不垂直，与MN垂直
D．与AC，MN均不垂直
例2、如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
例3、如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.
求证：PA⊥CD.
题型二、面面垂直的判定与性质
例4、(1)下列说法错误的是（ ）
A．若直线平面，直线平面，则直线不一定平行于直线
B．若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面
C．若平面平面，则内一定不存在直线平行于平面
D．若平面平面，平面平面，，则一定垂直于平面
(2)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于点S，AN⊥PB于点N，则下列选项正确的是(　　)
A．平面ANS⊥平面PBC
B．平面ANS⊥平面PAB
C．平面PAB⊥平面PBC
D．平面ABC⊥平面PAC
例5、如图，四棱锥中，，，，为正三角形．
且．证明：平面平面．
例6、如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD＝2CE.F为AD的中点，连接EF.
(1)求证：EF∥平面ABC；
(2)求证：平面AED⊥平面ABD.
例7、如图，在三棱锥A BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：
(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
题型三、平行与垂直的综合问题
例8、如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
例9、如图，、是以为直径的圆上两点，，，是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积．
同步训练
1．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
2．(多选)四棱锥S ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是(　　)
A．AC⊥SB B．AD⊥SC
C．平面SAC⊥平面SBD D．BD⊥SA
3．已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(　　)
A．1 B． C． D．2
4．已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：
①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；
②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.
其中是真命题的是________(填序号)．
5．在所有棱长都相等的三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
下列四个命题：
(1) BC∥平面PDF； (2) DF∥平面PAE；
(3) 平面PDF⊥平面ABC； (4) 平面PDF⊥平面PAE.
其中正确命题的序号为________．
6．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，求证：AE⊥BE．
7．如图，已知在三棱柱ABC A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC.证明：A1C⊥AB1.
8．如图，在四棱锥P ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.
9．如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．
（1）求证：EF∥平面ABD；
（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD．
SHAPE \* MERGEFORMAT
10．已知四棱锥P ABCD，PA⊥PB，PA＝PB＝，AD⊥平面PAB，BC∥AD，BC＝3AD，直线CD与平面PAB所成角的大小为，M是线段AB的中点．
(1)求证：CD⊥平面PDM；
(2)求点M到平面PCD的距离．
11．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求证：EF∥平面PCD.
12．如图，是四棱柱，底面是菱形，
底面，，，是的中点．
⑴求证：平面平面；
⑵若四面体的体积，求棱柱的高．
13．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且侧棱的长是，点分别是的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）证明:平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
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高中数学重难点突破
专题八 立体几何中的垂直问题
知识归纳
1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 l⊥α
3.空间角
(1)直线与平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．
②线面角θ的范围：θ∈．
(2)二面角
①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．
如图的二面角，可记作：二面角α l β或二面角P AB Q．
②二面角的平面角
如图，过二面角α l β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角α l β的平面角．
③二面角的范围
设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．
④当θ＝时，二面角叫做直二面角．
典例分析
题型一、线面垂直的判定与性质
例1、(1)已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，且，则
B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【解析】对于选项A，若，，且，则l不一定垂直平面，∵有可能和平行，
∴该选项错误；
对于选项B，若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则、可能相交或平行，∴该选项错误；
对于选项C，若，则有可能在平面内，∴该选项错误；
对于选项D，由于两平行线中有一条垂直平面，则另一条也垂直平面，∴该选项正确，故答案为D．
(2)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中， 点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是(　　)
A．与AC，MN均垂直
B．与AC垂直，与MN不垂直
C．与AC不垂直，与MN垂直
D．与AC，MN均不垂直
解析：选A.因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，
又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，
所以AC⊥平面BDD1B1，
因为OM 平面BDD1B1，所以OM⊥AC.
设正方体的棱长为2，
则OM＝＝，MN＝＝，
ON＝＝，
所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.
例2、如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
【解析】（1）证明：连接与，两线交于点，连接．
在中，∵，分别为，的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面．
（2）证明：∵侧棱底面，平面，∴，
又∵为棱的中点，，∴．
∵，，平面，∴平面，∴
∵，∴．又∵，∴在和中，，
∴，
即，∴
∵，，平面，∴平面．
例3、如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.
求证：PA⊥CD.
证明：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，
在Rt△ABC中，由AC＝BC得∠ABC＝30°，
设AD＝1，由3AD＝DB得DB＝3，BC＝2，
由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3，
所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.
因为PD⊥平面ABC，CD 平面ABC，
所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，
又因为PA 平面PAB，所以PA⊥CD.
题型二、面面垂直的判定与性质
例4、(1)下列说法错误的是（ ）
A．若直线平面，直线平面，则直线不一定平行于直线
B．若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面
C．若平面平面，则内一定不存在直线平行于平面
D．若平面平面，平面平面，，则一定垂直于平面
【答案】C
(2)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于点S，AN⊥PB于点N，则下列选项正确的是(　　)
A．平面ANS⊥平面PBC
B．平面ANS⊥平面PAB
C．平面PAB⊥平面PBC
D．平面ABC⊥平面PAC
解析：选ACD.因为PA⊥平面ABC，PA 平面PAC，所以平面ABC⊥平面PAC，故D正确；因为B为圆周上不与A，C重合的点，AC为直径，所以BC⊥AB，因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以BC⊥PA，又AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，又BC 平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC，故C正确；因为BC⊥平面PAB，所以BC⊥AN，又因为AN⊥PB，PB∩BC＝B，所以AN⊥平面PBC，又AN 平面ANS，所以平面ANS⊥平面PBC，故A正确．故选ACD.
例5、如图，四棱锥中，，，，为正三角形．
且．
证明：平面平面．
【解析】（1）证明：∵，且，∴，
又为正三角形，∴，
又∵，，∴，
又∵，，∴，，
∴平面，又∵平面，
∴平面平面．
例6、如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD＝2CE.F为AD的中点，连接EF.
(1)求证：EF∥平面ABC；
(2)求证：平面AED⊥平面ABD.
证明：(1)如图，取AB的中点为O，连接OC，OF，因为O，F分别为AB，AD的中点，所以OF∥BD且BD＝2OF，
又CE∥BD且BD＝2CE，所以CE∥OF且CE＝OF，
所以四边形OCEF为平行四边形，所以EF∥OC.
又EF 平面ABC且OC 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为三角形ABC为等边三角形，
所以OC⊥AB，
又平面ABC⊥平面ABD且平面ABC∩平面ABD＝AB，
所以OC⊥平面ABD，
因为EF∥OC，所以EF⊥平面ABD，
又EF 平面AED，所以平面AED⊥平面ABD.
例7、如图，在三棱锥A BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明：(1)在平面ABD中，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.
又因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC 平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AD 平面ABD，
所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB 平面ABC，BC 平面ABC，所以AD⊥平面ABC.
又因为AC 平面ABC，所以AD⊥AC.
题型三、平行与垂直的综合问题
例8、如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
【解析】证明　(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA 平面PAD，
∴PA⊥底面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE.
∴四边形ABED为平行四边形.
∴BE∥AD.
又∵BE 平面PAD，AD 平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.
∴BE⊥CD，AD⊥CD，
由(1)知PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，又PD 平面PAD，
∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点，
∴PD∥EF.
∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，
∴CD⊥平面BEF，又CD 平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD.
例9、如图，、是以为直径的圆上两点，，，是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】（1）依题意：，
平面，∴，
，∴平面．
（2）中，，，∴．
连结，
在和中，，，
，，
设，则，
在中，，，解得，
∴，∴，∴．
在平面外，∴平面．
（3）由（2）知，，且，
∴到的距离等于到的距离为1，
∴．
平面，∴．
同步训练
1．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
解析：选C.对于A，CC1与B1E均在侧面BCC1B1内，又两直线不平行，故相交，A错误；对于B，AC与平面ABB1A1所成的角为60°，所以AC不垂直于平面ABB1A1，故B错误；对于C，AE⊥BC，BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1，故C正确；对于D，AC与平面AB1E有公共点A，AC∥A1C1，所以A1C1与平面AB1E相交，故D错误．
2．(多选)四棱锥S ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是(　　)
A．AC⊥SB B．AD⊥SC
C．平面SAC⊥平面SBD D．BD⊥SA
解析：选ABC.由SD⊥底面ABCD，得SB在平面ABCD内的射影为DB.又DB与AC垂直，所以SB⊥AC，A正确；
由SC在平面ABCD内的射影DC与AD垂直，得SC⊥AD，B正确；
由AC⊥SB，AC⊥BD，SB∩BD＝B，可得AC⊥平面SBD，从而有平面SAC⊥平面SBD，C正确；
若BD⊥SA，则BD垂直SA在平面ABCD内的射影DA，与已知条件矛盾，D错误．故选ABC.
3．已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(　　)
A．1 B． C． D．2
A　[如图，连接AC交BD于点O．在△CC1A中，易证OE∥AC1．又OE 平面BDE，AC1 平面BDE，∴AC1∥平面BDE，∴直线AC1与平面BED的距离为点A到平面BED的距离．连接AE，在三棱锥E ABD中，V三棱锥E ABD＝S△ABD×EC＝××2×2×＝．在三棱锥A BDE中，BD＝2，BE＝，DE＝，∴S△EBD＝×2×＝2．设点A到平面BED的距离为h，则V三棱锥A BDE＝S△EBD×h＝×2×h＝h＝，解得h＝1，故选A．]
4．已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：
①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；
②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.
其中是真命题的是________(填序号)．
【答案】③④　
如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD∥平面ABC1D1，BC∥平面ADC1B1，且BC⊥CD，又因为平面ABC1D1与平面ADC1B1不垂直，故①不正确；因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且B1C1∥平面ABCD，AB∥平面A1B1C1D1，但AB与B1C1不平行，故②不正确．同理，我们以正方体的模型来观察，可得③④正确．
SHAPE \* MERGEFORMAT
5．在所有棱长都相等的三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
下列四个命题：
(1) BC∥平面PDF； (2) DF∥平面PAE；
(3) 平面PDF⊥平面ABC； (4) 平面PDF⊥平面PAE.
其中正确命题的序号为________．
【答案】：(1)(4)
【解析】 由条件可证BC∥DF，则BC∥平面PDF，从而(1)正确；因为
DF与AE相交，所以(2)错误；取DF中点M(如图)，则PM⊥DF，
且可证PM与AE不垂直，所以(3)错误；而DM⊥PM，DM⊥AM，
则DM⊥平面PAE.又DM 平面PDF，故平面PDF⊥平面PAE，
所以(4)正确．综上所述，正确命题的序号为(1)(4)．
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6．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，求证：AE⊥BE．
[证明]　∵AD⊥平面ABE，
AD∥BC，∴BC⊥平面ABE．
又AE 平面ABE，∴AE⊥BC．
∵BF⊥平面ACE，AE 平面ACE，∴AE⊥BF．
又∵BF 平面BCE，BC 平面BCE，BF∩BC＝B，
∴AE⊥平面BCE．又BE 平面BCE，∴AE⊥BE．
7．如图，已知在三棱柱ABC A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC.证明：A1C⊥AB1.
(2)因为AA1＝AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1.
因为平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，
BC 平面ABC，BC⊥AC，
所以BC⊥平面AA1C1C.
又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1C1C，所以B1C1⊥A1C.
因为AC1∩B1C1＝C1，
所以A1C⊥平面AB1C1，而AB1 平面AB1C1，
所以A1C⊥AB1.
8．如图，在四棱锥P ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.
证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，
所以PC⊥DC.
又因为AC⊥DC，且PC∩AC＝C，
所以DC⊥平面PAC.
(2)因为AB∥CD，DC⊥AC，
所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
所以PC⊥AB.
又因为PC∩AC＝C，
所以AB⊥平面PAC.
又AB 平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAC.
9．如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．
（1）求证：EF∥平面ABD；
（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD．
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【解析】：（1）因为BD∥平面AEF，
BD 平面BCD，平面AEF∩平面BCD＝EF，
所以 BD∥EF．
因为BD 平面ABD，EF 平面ABD，
所以 EF∥平面ABD．
（2）因为AE⊥平面BCD，CD 平面BCD，
所以 AE⊥CD．
因为 BD⊥CD，BD∥EF，
所以 CD⊥EF，
又 AE∩EF＝E，AE 平面AEF，EF 平面AEF，
所以 CD⊥平面AEF．
又 CD 平面ACD，
所以 平面AEF⊥平面ACD．
10．已知四棱锥P ABCD，PA⊥PB，PA＝PB＝，AD⊥平面PAB，BC∥AD，BC＝3AD，直线CD与平面PAB所成角的大小为，M是线段AB的中点．
(1)求证：CD⊥平面PDM；
(2)求点M到平面PCD的距离．
[解]　(1)证明：∵AD⊥平面PAB，PM 平面PAB，
∴AD⊥PM．
∵PA＝PB＝，M是线段AB的中点，∴PM⊥AB，
又AD∩AB＝A，AD 平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PM⊥平面ABCD，
又CD 平面ABCD，∴PM⊥CD．
取CB上点E，使得CE＝CB，连接AE，
∴AD∥CE且AD＝CE，
∴四边形AECD为平行四边形，∴CD∥AE，
∴直线CD与平面PAB所成角的大小等于直线AE与平面PAB所成角的大小，
又AD⊥平面PAB，BC∥AD，
∴BC⊥平面PAB，∴∠EAB为直线AE与平面PAB所成的角，∴∠EAB＝，∴BE＝AB．
∵PA＝PB＝，PA⊥PB，∴AB＝2＝BE，∴AD＝1，BC＝3，CD＝2，∴DM＝，CM＝，
∴DM2＋DC2＝CM2，∴CD⊥DM．
∵DM∩PM＝M，DM，PM 平面PDM，
∴CD⊥平面PDM．
(2)由(1)可知CD⊥平面PDM，
∴△CDM和△CDP均为直角三角形，
又PD＝，设点M到平面PCD的距离为d，
则VP CDM＝VM PCD，即CD·DM·PM＝CD·DP·d，化简得DM·PM＝DP·d，解得d＝，
∴点M到平面PCD的距离为．
11．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求证：EF∥平面PCD.
【证明】　(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，
所以BC∥AD，所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，
因为PD 平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，
所以PD⊥平面PAB.
因为PD 平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝BC.
因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥BC，DE＝BC.
所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形DEFG为平行四边形．
所以EF∥DG.
又因为EF 平面PCD，DG 平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
12．如图，是四棱柱，底面是菱形，
底面，，，是的中点．
⑴求证：平面平面；
⑵若四面体的体积，求棱柱的高．
【解析】设平面，连接，则与的对应边互相平行，
且，所以，是的中点，
连接、，因为底面，所以，，
是菱形，，且，
所以面，因为、分别是、 的中点，所以是矩形，
，所以平面平面（即平面），所以，面面．
⑵因为底面，所以是棱柱的高，
平面，平面底面
，在底面上作，垂足为，
面面，所以面
所以，
其中，，
所以，解得，即棱柱的高为
13．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且侧棱的长是，点分别是的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）证明:平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
【解析】
(Ⅰ）证明：作的中点,连接,
分别是的中点
又在正方形中，是的中点，
四边形是平行四边形
,又平面，平面
平面
（Ⅱ）证明:四边形是边长为的正方形，是的中点,
又侧棱底面,面
又
是等腰三角形， 是的中点,
同理
是等腰三角形， 是的中点,
面
平面
（Ⅲ）解:侧棱底面,面
由（Ⅱ）知：平面
是三棱锥到平面的距离
分别是的中点
,
四边形是边长为的正方形，是的中点
三角形是等边三角形
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