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1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.结合具体实例了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数 ， ， 都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数 , 及 的周期.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 周期函数
1.周期函数的定义
一般地，设函数 的定义域为 .如果存在一个非零的常数 ，使得对于任
意的 ,都有 ,并且 ，那么函数 就叫作周期函数，非
零常数 叫作这个函数的周期.
2.最小正周期
对于一个周期函数 ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这
个最小的正数就叫作 的最小正周期.
名师点睛
对周期函数的理解
（1）并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一.
（2）并非所有的周期函数都有最小正周期，如 为常数， ，所有的非零实数 都是它的周期，不存在最小正周期.
知识点2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的周期
1.正弦函数、余弦函数的周期
正弦函数和余弦函数都是周期函数， 且 都是它们的周期，它们
的最小正周期都是 .
2.正切函数的周期
正切函数 是周期函数，并且最小正周期是 .
3.函数 、 和 的周期
一般地，函数 及 （其中 ， ， 为常数，
且 ， ）的周期为 .函数 （其中 ， ， 为常数，
且 ， ）的周期为 .
名师点睛
若函数 的周期为 ，则 ， 也是 的周期，利用周期函数的定义， .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】求三角函数的周期
例1 求下列函数的最小正周期：
（1） ;
解 的最小正周期为 .
（2） ;
解 函数 的最小正周期为 .
（3） .
解 由 的图象可知最小正周期为 ， 的图象可由
图象把 轴下方部分沿 轴翻折得到，易得函数 的最小正周期为
.
规律方法 求三角函数最小正周期的方法
（1）定义法，即利用周期函数的定义求解.
（2）公式法，对形如 或 ， ， 是常
数， ， 的函数， ;形如 , , 是常数,
, 的函数， .
（3）观察法，即通过观察函数图象求其周期.
跟踪训练1（1） 函数 的最小正周期为____.

[解析] 中 ，故 .故答案为 .
（2）若函数 的最小正周期是 ，则 ____.

[解析] 因为 ，所以 ，所以 .故答案为 .
【题型二】利用周期求函数值
例2（1） 若 是以 为周期的奇函数，且 ，求 的值.
解 因为 是以 为周期的奇函数，
所以 .
又 ,所以 .
（2）定义在 上的函数 既是偶函数又是周期函数，若 的最小正周期是 ，
且当 时， ，求 的值.
解 因为 是周期函数，且最小正周期为 ，
所以 .
因为 是偶函数，所以 .
当 时， ，所以 ，
所以 .
规律方法 1.利用函数的周期性，可以把 的函数值转化为 的函数值.
2.利用函数周期性的定义，将所求转化为可求的 的函数值，从而可解决求值问题.
3.当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.
跟踪训练2 [2023盐城月考] 若函数 是 上的奇函数，且周期为3，当
时， ，则 _____.

[解析] 定义在 上的奇函数 周期为3，
则 ，则 ，
当 时， ，
所以 ，故答案为 .
【题型三】三角函数周期性的证明
例3 若函数 ，对任意 都有 ，求证：函数 的一个正周
期为4.
证明 由 ，得 ，
所以 ，即 的一个正周期 .
题后反思
证明一个函数是周期函数，一般从定义出发，只需找到非零常数 ，使对定义域内任意 都有 即可.
跟踪训练3 已知函数 对于任意 满足条件 ，且 ，则
___.
2
[解析] 因为 ，所以函数 的周期为6，故
.(共20张PPT)
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要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.能利用单位圆和三角函数的定义画 ， 的图象.2.掌握“五点法”画正弦曲线与余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦函数、余弦函数图象.3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 正弦函数、余弦函数的图象
函数
图象
曲线 正弦曲线：正弦函数的图象 余弦曲线：余弦函数的图象
知识点2. “五点法”画函数的图象
函数
图象画法 五点法 五点法
关键五点
名师点睛
1.根据诱导公式 ，将正弦曲线向左平移 个单位，可得到余弦
函数的图象.
2. 与 既是中心对称图形又是轴对称图形.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】正弦函数、余弦函数图象的初步认识
例1 下列叙述正确的个数为( )
① ， 的图象关于点 成中心对称;
② ， 的图象关于直线 成轴对称;
③正弦、余弦函数的图象不超过直线 和 所夹的范围.
D
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] ①作出函数 ， 的图象，如图所示，
由图象知：该函数的图象关于点 成中心对称，故①正确;
②作出函数 ， 的图象，如图所示，
由图象知：该函数的图象关于直线 成轴对称，故②正确;
③因为正弦函数 和余弦函数 的值域都是 ，
所以正弦函数、余弦函数的图象不超过直线 和 所夹的范围，故③正确.故选D.
题后反思 解决正弦、余弦函数图象的注意点
对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.
跟踪训练1 对于余弦函数 的图象，有以下描述：
①向左、向右无限延伸;②与 轴有无数多个交点;③与 的图象形状一样，只
是位置不同.
其中正确的有( )
D
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
[解析] 如图所示为 的图象，可知①②③描述
均正确.
故选D.
【题型二】“五点法”画函数的图象
例2 用“五点法”作出下列函数的简图：
（1） ， ;
解 选用“五点法”画一个周期的图象，列表：
0
0 1 0 0
描点画图，然后由周期性得整个图象.
（2） ， .
解 选用“五点法”画一个周期的图象，列表：
0
1 0 0 1
0 1 2 1 0
描点画图，然后由周期性得出整个图象.
规律方法 用“五点法”画函数 或 在区间
, 上的简图的步骤
（1）列表:
0
0（或1） 1（或0） 0（或1）
（2）描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点: , , , ,
.
（3）连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.
跟踪训练2 用“五点法”作出下列函数的图象 ， .
解 列表：
0
0 1 0 0
1 3 1 1
描点、连线得出 ， 的图象如图所示.
【题型三】正弦函数、余弦函数图象的应用
例3 不等式 ， 的解集为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 方法一 由图1可知选D.
方法二 因为 ，所以 .由图2可知，
在同一平面直角坐标系下，作函数 ， 以及 的图象.又
，
所以根据图象可知，不等式 的解集为 .故选D.
规律方法 利用三角函数图象解三角不等式 的步骤
（1）作出相应的正弦函数或余弦函数在 上的图象.
（2）确定在 上 的 值.
（3）写出不等式在区间 上的解集.
（4）根据公式一写出定义域内的解集.
跟踪训练3 解关于 的不等式 .
解 作出正弦函数 在 上的图象，作出直线 和 ，如图所示.
由图可知，在 上当 或 时，不等式 成立，所
以原不等式的解集为 或 ，
.(共22张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.会求与正弦函数、余弦函数有关的定义域.2.会求与正弦函数、余弦函数有关的的值域（最值）.3.解决正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性有关的问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 正弦函数、余弦函数的图象与定义域、值域、最值、周期性、奇偶性
图象
定义域
值域
最值
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数
续表
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】正弦函数、余弦函数的定义域
例1 求函数 的定义域为_________________________
____________.

[解析] 函数 ，所以 解得
即
即 ， ；
所以 的定义域是 .
故答案为 .
题后反思 用三角函数图象求解定义域的方法
（1）作出相应正弦函数或余弦函数在 上的图象.
（2）写出适合不等式在区间 上的解集.
（3）根据公式一写出方程或不等式的解集.同时注意区间端点的取舍.
跟踪训练1 函数 的定义域是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 由 ，得 ，解得 ， .
所以函数的定义域是 .故选D.
【题型二】正弦函数、余弦函数的值域
例2 求函数 的最值.
解 因为 ，
所以当 时， ；
当 时， .
规律方法 与三角函数有关的函数的值域（或最值）的求解思路
（1）求形如 的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性
求解.
（2）对于形如 的函数，当定义域为 时，值域为
;当定义域为某个给定的区间时，需确定 的范围，再结合函
数的单调性确定值域.
（3）求形如 , , 的函数的值域或最值时，可以
通过换元，令 ，将原函数转化为关于 的二次函数，利用配方法求值域或最
值，求解过程中要注意正弦函数的有界性.
（4）求形如 , 的函数的值域，可以用分离常量法求解;也可以
利用正弦函数的有界性建立关于 的不等式反解出 .
跟踪训练2 求函数 的最值.
解 .
因为 ，所以当 时，函数取得最大值， ；当
时，函数取得最小值， .
【题型三】正弦函数、余弦函数的奇偶性
例3 判断下列函数的奇偶性.
（1） ;
解 函数的定义域为 ，
且 .
因为 ，
所以函数 是奇函数.
（2） .
解 函数的定义域为 ，
且 ，
所以函数 是偶函数.
规律方法 利用定义判断函数奇偶性的三个步骤
（1）若函数 的定义域不关于原点对称，无论 与 有何关系，
既不是奇函数，也不是偶函数.
（2）判断函数 或 （其中 ， ， 是常数，且 ， ）是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为 或 其中的一个.
跟踪训练3 若函数 为偶函数，则 的一个取值可能为( )
C
A.0 B. C. D.
[解析] 因为 为偶函数，故可得 , ，解得
, ，令 ，则 ，其它选项中 的取值都没有对应的
整数 ，都不满足题意.故选C.
【题型四】三角函数奇偶性与周期性的综合应用
例4 定义在 上的函数 既是偶函数，又是周期函数，若 的最小正周期为 ，
且当 时， ，则 等于( )
D
A. B. C. D.
[解析]
.故选D.
题后反思 三角函数周期性的解题策略
探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 或 （其中 ， ， 是常数，且 ， ）的形式，再利用公式求解.
跟踪训练4 下列函数中最小正周期为 ，且为偶函数的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 对于A，画出图形可知，最小正周期为 ，故A错误；
对于B， 为奇函数，故B错误；
对于C， ，函数为偶函数，最小正周期为 ，故C正
确；
对于D， 最小正周期为 ，故D错误.故选C.(共18张PPT)
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要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.掌握正弦函数、余弦函数的单调区间.2.会比较三角函数值的大小.3.掌握正弦函数、余弦函数的对称性.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 正弦函数、余弦函数的图象与单调性、对称性
图象
单调性
单调性
对称轴
对称中心
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】正弦函数、余弦函数的单调性
例1 求下列函数的减区间：
（1） ;
解 令 ，而函数 的单调递减区间是 .所以当
原函数单调递减时，可得 ， ，解得
， .
所以原函数的单调递减区间是 .
（2） .
解 .
令 ，则 ，求函数 的单调递减区间，即求函数
的单调递增区间.
所以 ， ，
即 ， .
解得 ， .所以函数 的单调递减区间是
.
规律方法 求正弦、余弦函数的单调区间的策略
（1）结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.
（2）在求形如 的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ ”看作一个整体“ ”，即通过求 的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如 的函数的单调区间同上,如果 ,通常先利用诱导公式将 化为大于0.
跟踪训练1 已知函数 ，则 在 上的单调递增区间为
( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由 ， ，
解得 ， ，
所以 的单调递增区间是 .
令 ，得 的单调递增区间是 ，
所以 在区间 上的单调递增区间为 故选B.
【题型二】利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
例2 比较下列各组数的大小：
（1） 与 ;
解 因为函数 在 到 上单调递减，且 ，所以 .
（2） 与 .
解 ，
.
因为函数 在 上单调递减，且 ，
所以 ，即 .
规律方法 比较三角函数值大小的方法
（1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较.
（2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上.
跟踪训练2 （多选题）下列不等式中成立的是( )
ACD
A. B.
C. D.
[解析] 解 对于A，因为 在 上单调递增，又 ，所以
，A正确；
对于B，因为 在 上单调递减，又 ，所以
，B错误；
对于C， ， 在 上单调递增，所以
，
，C正确；
对于D， , ，
因为 在 上单调递增， ，
所以 ，所以 ，D正确.故选 .
【题型三】正弦函数、余弦函数的对称性
例3 函数 的图象的对称轴是直线__________________，对称中心是
_ _________________.


[解析] 要使 ，必有 ，所以
，
故函数 的图象的对称轴是直线 .
因为函数 的图象与 轴的交点为对称中心，令 ，
即 ，
所以 ，即 .
故函数 的图象的对称中心是 .
名师点睛
1.正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值．
2.正弦曲线有无数个对称中心，它们为点 ;也有无数条轴对称图形，
其对称轴的方程为 .
3.余弦曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形.对称中心的坐标为
，对称轴方程为 .
跟踪训练3 求函数 的对称轴、对称中心.
解 ，
令 ， ，得 ， ，
所以函数 的对称轴为 ， ，
对称中心的横坐标满足 ， ，
即 ， .
所以函数 的对称中心为 ， .(共21张PPT)
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要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.能借助单位圆中的正切线画出 的图象.2.掌握正切函数 的性质，并能运用性质解决问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 函数 的图象和性质
解析式
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数，图象关于原点对称
单调性
对称性
名师点睛
1.正切函数在每一个开区间 ， 内都单调递增，不能说函
数在其定义域内是增函数.
2.正切函数图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是 ，
， ，两线为直线 和直线 ，其
中 ，这样可以快速地作出正切函数的图象.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】正切函数的定义域、值域
例1（1） 函数 , 的值域为_________.

[解析] 函数 ,因为正切函数在 上单调递增,所以
,故所求值域为 .
（2）求函数 的定义域.
解 由 得， ， ，
所以函数 的定义域为 .
规律方法 1.求正切函数定义域的方法
（1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还
要保证正切函数 有意义，即 ， .而对于构建的三角不等式，
常利用三角函数的图象求解.
（2）求正切型函数 的定义域时，要将“ ”
视为一个“整体”.令 ， ，解得 .
2.与正切函数有关的求解值域的方法为换元法和正切函数图象的运用.
跟踪训练1（1） 函数 的定义域为( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 要使函数有意义，必有 即 ，
解得 , ，
即 , ，
所以函数的定义域为 , .故选C.
（2）[2023南通测试] 函数 ， 的值域是_______.

[解析] 因为 ,所以 ,
因为 在 上单调递增，且 ， ，
所以函数 .
即函数的值域是 .故答案为 .
【题型二】正切函数的单调性及应用
角度1 求正切函数的单调区间
例2 求函数 的单调区间.
解 由 得， ， ，所以函数 的单调递增区间是 .
规律方法 求函数 ， ， 都是常数 的单调区间的方法
（1）若 ，由于 在每一个单调区间上都单调递增，故可用“整体代
换”的思想，令 ，求得 的范围即可.
（2）若 ，可利用诱导公式先把 转化为
，即把 的系数化为正值，再利用“整体代
换”的思想，求得 的范围即可.
跟踪训练2 函数 的单调递增区间是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 令 , ，
解得 ，
故函数 的单调递增区间是 .故选B.
角度2 利用正切函数的单调性比较大小
例3 比较 与 的大小.
解 由于 ，
，
又 ，
而 在 上单调递增，
所以 ，
，
即 .
规律方法 运用正切函数单调性比较大小的方法
（1）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
（2）运用单调性比较大小关系.
跟踪训练3 比较下列正切值的大小：
（1） 与 ;
解 ，
因为当 时，函数 单调递增，且 ，
所以 ，即 .
（2） 与 .
解 ，
因为 在 上单调递增，且 ，
所以 .即 .
【题型三】正切函数图象、性质的应用
例4 设函数 .
（1）求函数 的最小正周期，对称中心;
解 因为 ，所以最小正周期 .
令 ，得 ，
所以 的对称中心是 .
（2）作出函数 在一个周期内的简图.
解 令 ，则 ；令 ，则 ；
令 ，则 ；令 ，则 ;
令 ，则 .
所以函数 的图象与 轴的一个交点坐标是 ，在这个交点左、右
两侧相邻的两条渐近线方程分别是 ， ，从而得到函数 在一个
周期 内的简图（如图）.
题后反思 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线 隔开的无穷多支曲线组成， 的对称中心为 .
跟踪训练4 （多选题）已知函数 ，则下列结论中正确的是
( )
CD
A. 的最小正周期为
B.点 是 图象的一个对称中心
C. 的值域为
D.不等式 的解集为
[解析]
作出 的图象，如图，
可得 的最小正周期为 ，A错误；
的图象没有对称中心，B错误；
的值域为 ,C正确；
不等式 的解集为 ，D正确.
故选 .(共16张PPT)
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要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.会用“五点法”画出函数 的图象.2.能借助图象理解参数 ， ， 的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.3.掌握函数 与 图象间的变换关系，能正确地指出其变换步骤.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 参数 ， ， 对函数 图象的影响
1. 对函数 ， 的图象的影响
2. 对 且 的图象的影响
3. 对 且 的图象的影响
4. 对 且 的图象的影响
名师点睛
， ， 对函数 的图象的影响
（1） 时，函数图象向左平移， 时，函数图象向右平移，即“加左减右”.
（2） 越大，函数图象的周期越小， 越小，周期越大，周期与 为反比例
关系.
（3） 越大，函数图象的最大值越大，最大值与 是正比例关系.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】“五点法”作函数 的图象
例1 已知函数 , .
用“五点法”作出它在一个周期内的简图.
解
0
0 0 0
描点、连线，如图所示.
规律方法 “五点法”作函数 的图象的步骤
（1）列表.令 ， ， ， ， ，依次得出相应的 值.
（2）描点.
（3）连线得函数在一个周期内的图象.
（4）左右平移得到 ， 的图象.
跟踪训练1 已知函数 ，用“五点法”画出它在一个周期内
的闭区间上的简图.
解 画简图步骤如下，（1）列表：
0
3 6 3 0 3
（2）描点画图：
【题型二】三角函数图象的平移变换
例2 [2022浙江] 为了得到函数 的图象，只要把函数 图象
上所有的点( )
D
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
[解析] 因为 ,
所以把函数 图象上的所有点向右平移 个单位长度，即可得到函
数 的图象.故选D.
规律方法 平移变换的策略
（1）先确定平移方向和平移的量.
（2）当 的系数是1时，若 ，则左移 个单位长度;若 ，则右移
个单位长度.
当 的系数是 时，若 ，则左移 个单位长度;若 ，则右移
个单位长度.
跟踪训练2 要得到 的图象，只需将 的图象( )
C
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
[解析] 只需将 的图象向左平移 个单位长度，即可得到
的图象，故选C.
【题型三】三角函数图象的伸缩变换
例3 的图象可由 的图象经过怎样的变换而得到？
解 方法一 把 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到
的图象；再把 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），得到 的图象；最后把 的图象上所
有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到 的图象.
方法二 将 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），
得到 的图象；再将 的图象向左平移 个单位长度，得到
的图象；最后将 的图象上所有点的
纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到 的图象.
题后反思 使用三角函数图象平移变换的方法一（先平移后伸缩）和方法二（先伸缩后平移）时需要注意以下两点：
（1）两种变换中平移的单位长度不同，分别是 和 ，但平移方向是一致的.
（2）虽然两种平移单位长度不同，平移时平移的对象已有变化，但得到的结果是一致的.
跟踪训练3 将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将得到的图
象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），最后得到函数 的图象，
则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 将函数 的图象向左平移 个单位长度
得到的图象的解析式为 ，
再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的
图象，则 .故选C.(共18张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.能根据 的部分图象，确定其解析式.2.了解函数 的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.3.会根据三角函数的图象与性质讨论函数 的性质.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 函数 的有关性质
名称 性质
定义域
值域
周期性
对称中心
对称轴
奇偶性
单调性
名师点睛
根据零点求函数 的解析式要注意：
从寻找“五点法”中的第一零点 （也叫初始点）作为突破口，以
为例，位于增区间上离 轴最近的那个零点最适合作
为“五点”中的第一个点.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】由图象求三角函数的解析式
例1 已知函数 的图象如图所示， ,则 __.

[解析] （方法1）由图可知 , ,
所以 ,所以 .
又 是图象上的点，所以 , ,
所以 , ,
所以 ，
因为 ,所以
,
即 ,
所以 .
（方法2）由图可知 , ,
所以 ,注意到 ，即 和 关于 对称，
所以 .
规律方法 给出 的图象的一部分,确定 , , 的方法
（1）逐一定参法:先通过图象确定 和 ,再选取“第一零点”（即“五点法”作图中
的第一个点）的数据代入“ ”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”），求
得 的值.
（2）待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数 , , .
但需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入解析式.
（3）图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式 ,再
根据图象平移规律确定相关的参数.
跟踪训练1 设函数 ， ， ， 的部
分图象如图所示，则 _ _____.

[解析] 由图可知 ， ，所以 ，所以 .
再根据 得 ，所以 ，
即 .
又因为 ，所以 ，因此 .
【题型二】三角函数图象变换的应用
例2 将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位长度后,得到一个偶函数的
图象,则 的一个可能取值为( )
B
A. B. C.0 D.
[解析] 把函数 的图象向左平移 个单位长度后,得到的图象的解析式
是 ,该函数是偶函数的条件是 ,即
，根据选项检验可知 的一个可能取值为 .故选B.
跟踪训练2 将函数 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象
中与 轴最近的对称轴的方程是_ ________.

[解析] ，对称轴的方程为
，解得 ，
当 时 .故答案为 .
【题型三】 性质的应用
例3 （多选题）函数 , , 的最大值为2，其图
象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且 的图象关于点 对称，则下列判断正
确的是 ( )
AD
A.函数 在 上单调递增
B.函数 的图象关于直线 对称
C.当 时，函数 的最小值为
D.要得到函数 的图象，只需要将 的图象向右平移 个单位长度
[解析] 因为函数 , ,
的最大值是2，所以 .
又因为函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以 ，解得
，
即 .
又因为函数 的图象关于点 对称，
所以 , ，解得 .
又因为 ，所以 ，即 .
对于A，由 ，得 ,
所以函数 的递增区间为 .
而当 时， 是函数 的递增区间，因此A正确；
对于B，由 ,得 ,
所以直线 不是函数 的对称轴，因此B不正确；
对于C，因为当 时，所以 ，所以 ，
,因此C不正确；
对于D，因为将 的图象向右平移 个单位长度得
，
而 ,所以
，
因此D正确.故选 .
规律方法
跟踪训练3 [2022新高考Ⅰ] 记函数 的最小正周期为 .
若 ，且 的图象关于点 中心对称，则 ( )
A
A.1 B. C. D.3
[解析] 由题可知， ，所以 .
又因为 的图像关于点 中心对称，所以 ，且
.
所以 ， ，所以 .所以 .所以 .
故选A.

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