资源简介

2023 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨 2023 年全国高中数学联合竞赛
一试（A 卷）参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各
题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷
时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第
10、11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．
1. 设复数 z 9 10i （ i 为虚数单位），若正整数 n 满足 zn 2023，则 n的
最大值为 ．
答案：2．
zn z n
n
解： 92 n 102 181 ．因 z2 181 2023，而当 n 3时，
zn 181 n 13n 2023，故 n的最大值为 2．
2. 若正实数 a, b满足 algb 2， alg a blgb 5，则 (ab)lg ab 的值为 ．
答案：20．
解：因为blg a 10lg a lgb algb 2，所以
(ab)lg ab (ab)lg a lgb (alg a blgb ) algb blg a 5 2 2 20．
3. 将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为 x, y, z ，则事件
“Cx y z7 C7 C7 ”发生的概率为 ．
1
答案： ．
27
解：由于C17 C
6
7 C
2 5 3
7 C7 C7 C
4
7 ，因此当 x, y, z {1, 2, 3, 4, 5, 6}时，事
件“Cx y z7 C7 C7 ”发生当且仅当“ x {1, 6}, y {2, 5}, z {3, 4}”成立，相应的
2 3 1
概率为 ． 6 27

4. 若平面上非零向量 , , 满足 ， 2 | |， 3 | |，则 | |的
最小值为 ．
答案：2 3．

解：由 ，不妨设 (a, 0), (0, b)，其中 a, b 0，并设 (x, y)，

则由 2 | |得by 2a，由 3 | |得 ax 3b．
3b 2a
所以 | | x2 y2 2xy 2 2 3．
a b

取 a 3, b 2 ，此时 x y 6 ， | |取到最小值 2 3．
1
{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}
5. 方程 sin x cos2x 的最小的 20个正实数解之和为 ．
答案：130 ．
解：将cos2x 1 2sin2 x 代入方程，整理得 (2sin x 1)(sin x 1) 0，解得
x 2k , 2k 5 3 , 2k (k Z)．
6 6 2
2k
上述解亦可写成 x (k Z)，其中 k 0,1, ,19对应最小的 20个正
3 6
19 2k 2 19 20
实数解，它们的和为 20 130 ．
k 0 3 6 3 2 6
6. 设 a, b, c为正数，a b．若a, b为一元二次方程 ax2 bx c 0的两个根，
且 a, b, c是一个三角形的三边长，则 a b c的取值范围是 ．
7
答案： , 5 1 ． 8
解：由条件知 ax2 bx c a(x a)(x b) ax2 (a2 ab)x a2b ，比较系
2 4
数得b a2 ab, c a2b b a , c a，故 ，从而
1 a 1 a
a2a b c a a
4
a a2 a3 ．
1 a
a2 1
由于0 a b ，故 a 1．此时显然b c 0．因此，a, b, c是一
1 a 2
a4 a2
个三角形的三边长当且仅当 a c b，即 a ，即 a (a2 a 1) 0，
1 a 1 a
1 1 5 1
结合 a 1，解得 a ．
2 2 2
令 f (x) x x2 x3，则 a b c f (a)．显然当 x 0时 f (x) 连续且严格

递增，故 a b c的取值范围是 f
1 , f 5 1 7

，即 , 5 1 ．
2 2 8
7. 平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 与 x 轴、 y 轴均相切，圆心在椭圆
: x
2 y2
2 2 1(a b 0) 内，且 与 有唯一的公共点 (8, 9) ．则 的焦距a b
为 ．
答案：10．
解：根据条件，可设圆心为 P (r, r)，则有 (r 8)2 (r 9)2 r 2 ，解得 r 5
或 r 29．因为 P 在 内，故 r 5．
A(8, 9) l : 8x 9y
8 9
椭圆 在点 处的切线为 1，其法向量可取为 n , 2 2 2 2 ． a b a b
32 27
由条件，l也是圆 的切线，故 n与 PA平行，而 PA (3, 4)，所以
a2
．
b2
64 81
又 2 2 1，解得 a
2 160, b2 135．从而 的焦距为 2 a2 b2 10．
a b
2
{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}
8. 八张标有 A, B, C, D, E, F , G, H 的正方形卡片构成下图．现逐一取走这些
卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例
如可按 D, A, B, E, C, F , G, H 的次序取走卡片，但不可按D, B, A, E, C, F , G, H 的
次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为 ．
A B
C D
E F G H
答案：392．
解：如左下图重新标记原图中的八张卡片．现将每张卡片视为顶点，有公共
边的两张卡片所对应的顶点之间连一条边，得到一个八阶图，该图可视为右下图
中的m n 2阶图G(m, n)在m 3, n 3时的特殊情况．
-3 -2
-m ... -2 -1 0 1 2 ... n
-1 3
0 1 2 G(m, n)P
P
取卡片（顶点）的规则可解释为：
(i ) 若顶点 P 已取走，则以下每步取当前标号最小或最大的顶点，直至取完；
(ii) 若顶点 P 未取走，则必为某个G(m, n) (m, n 0)的情形，此时若m 0，
则将 P 视为 1号顶点，归结为 (i )的情形；若m 0, n 0，则将 P 视为1号顶点，
归结为 (i )的情形；若m, n 1，则当前可取 P 或 m 号顶点或 n 号顶点，分别归
结为 (i )或G(m 1, n)或G(m, n 1)的情形．
设G(m, n)的符合要求的顶点选取次序数为 f (m, n)，本题所求即为 f (3, 3)．
由 (i )、 (ii)知 f (m, 0) 2m 1 (m 0)， f (0, n) 2n 1 (n 0)，且
f (m, n) 2m n f (m 1, n) f (m, n 1) (m, n 1)．
由此可依次计算得 f (1,1) 12， f (1, 2) f (2,1) 28， f (1, 3) f (3,1) 60，
f (2, 2) 72， f (2, 3) f (3, 2) 164 ， f (3, 3) 392，即所求数目为392．
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
9. （本题满分 16 分）平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 : y2 4x ，F 为 的
焦点， A, B为 上的两个不重合的动点，使得线段 AB 的一个三等分点 P 位于线
段OF 上（含端点），记Q为线段 AB 的另一个三等分点．求点Q的轨迹方程．

解：设 A(x1, y1), B (x2 , y2 ) ．不妨设 AP PQ QB P
2x1 x2 , 2y1 y ，则 2 3 3
．

2x x
易知 F (1, 0)．由于点 P 位于线段OF 上，故 1 2 [0,1] 2y y， 1 2 0．
3 3
……………4分
2
y t, y t 2x x t
2
可设 1 2 2t ，则 x1 , x t
2
2 ．此时有
1 2 [0,1]，且由
4 3 2
A, B不重合知 t 0，所以 t 2 (0, 2]． ……………8 分
3
{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}
设Q (xQ , yQ )，则 x
x 2x 3 y 2y 4
Q
1 2 t 2 , y 1 2Q t ，有 y
2
Q xQ ． 3 4 3 3
3 3 4 3
注意到 x 2 2Q t 0, ，故点Q的轨迹方程为 y x (0 x )． 4 2 3 2
……………16分
10.（本题满分 20 分）已知三棱柱 : ABC A1B1C1的9条棱长均相等．记底
面 ABC 所在平面为 ．若 的另外四个面（即面 A1B1C1, ABB1A1, ACC1A1, BCC1B1 ）
在 上投影的面积从小到大重排后依次为 2 3, 3 3, 4 3, 5 3，求 的体积．
解：设点 A1, B1, C1 在平面 上的投影分别为 D, E, F ，则面 A1B1C1, ABB1A1,
ACC1A1, BCC1B1在 上的投影面积分别为 S DEF , SABED , SACFD , SBCFE ．
由已知及三棱柱的性质， DEF 为正三角形，且 ABED, ACFD, BCFE 均为
平行四边形．
由对称性，仅需考虑点 D位于 BAC 内的情形（如图所示）．
显然此时有 SABED SACFD SBCFE ． ……………5 分
E
B
X
A D
F
C
由于 S DEF , SABED , SACFD , SBCFE 2 3, 3 3, 4 3, 5 3 ，故 SABED , SACFD 必为
2 3, 3 3的排列，SBCFE 5 3 ，进而 S DEF 4 3，得 DEF 的边长为 4，即正
三棱柱 的各棱长均为 4． ……………10 分
3 3
不妨设 SABED 2 3, SACFD 3 3，则 S ABD 3, S ACD ． 2
取射线 AD与线段 BC BX S的交点 X ，则 ABD 2 8 ，故 BX ．因此
CX S ACD 3 5
AX AB2 BX 2 2AB BX cos60 4 19 ，
5
AD S
而 ABD
S ACD 5 ，故 AD 19 ． ……………15 分
AX S ABC 8 2
于是 的高 h AA21 AD
2 3 5 ．
2
又 S ABC 4 3 ，故 的体积V S ABC h 6 15 ． ……………20 分
11.（本题满分 20 分）求出所有满足下面要求的不小于1的实数 t ：对任意
a, b [ 1, t]，总存在 c, d [ 1, t]，使得 (a c)(b d ) 1．
解：记 It [ 1, t]， S (a c)(b d )．
假如 t 2 ，则当 a b t 时，对任意 c, d It ，均有 S (t 1)
2 1，不满足
4
{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}
要求．
1 3假如 t ，则当 a 1, b 2 t 时，对任意 c, d I ，均有
2 t
2 a c t 1，1 t b d 2．
若 a c, b d 同正或同负，则 S 2(t 1) 1，其余情况下总有 S 0 1，不
满足要求． ……………5 分
3
以下考虑 t 2的情形．为便于讨论，先指出如下引理．
2
1
引理：若u, v ，且u v 5 ，则uv 1．
2 2
3 u v 2 u v 2 5 2 3 2
事实上，当 u v 时，uv 1． 2 2 2 4 4
3 1 1 3
当 u v 时，uv
2 2
1．引理得证． 2 2
下证对任意 a, b It ，可取 c1, d1 It ，使得
S1 (a c1)(b d1) 1． ①
1
若 a b ，则取 c1 d1 1，此时 2
S1 (a 1)(b 1) (1 a)(1 b) ，
1 a 3 b 1 3 1其中 , 1 b a ，且 (1 a) 5 (1 b) 2 (a b) ，故
2 2 2 2 2
由引理知 S1 1．
若 a b 1 c d 3 ，则取
2 1
1 I2 t
，此时
3 S 31
a
2
b
2
，

3 3 1 3 3 5
其中 a , b ，且 a
b

a b 3 ，故由引理知 S1 1． 2 2 2 2 2 2
……………15分
注意到，当 a, b It 时，可取 c2 It ，使得 a c2 1（例如，当 a [ 1,1]时
取 c2 0，当 a (1, t]时取 c2 1），同理，可取 d2 It ，使得 b d2 1．此时
S2 (a c2 )(b d2 ) a c2 b d2 1． ②
根据①、②，存在一个介于 c1, c2 之间的实数 c，及一个介于 d1, d2 之间的实
数 d ，使得 (a c)(b d ) 1，满足要求．
3
综上，实数 t满足要求当且仅当 t 2． ……………20 分
2
5
{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}2023 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨 2023 年全国高中数学联合竞赛
一试（A 卷）
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各
题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷
时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第
10、11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．
1. 设复数 z 9 10i （ i 为虚数单位），若正整数 n满足 zn 2023，则 n的
最大值为 ．
2. 若正实数 a, b满足 algb 2， alg a blgb 5，则 (ab)lg ab 的值为 ．
3. 将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为 x, y, z ，则事件
“Cx C y Cz7 7 7 ”发生的概率为 ．

4. 若平面上非零向量 , , 满足 ， 2 | |， 3 | |，则 | |的
最小值为 ．
1
{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}
5. 方程 sin x cos2x 的最小的 20个正实数解之和为 ．
6. 设 a, b, c为正数，a b．若a, b为一元二次方程 ax2 bx c 0的两个根，
且 a, b, c是一个三角形的三边长，则 a b c的取值范围是 ．
7. 平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 与 x 轴、 y 轴均相切，圆心在椭圆
x2 y2
: 2 2 1(a b 0) 内，且 与 有唯一的公共点 (8, 9) ．则 的焦距a b
为 ．
2
{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}
8. 八张标有 A, B, C, D, E, F , G, H 的正方形卡片构成下图．现逐一取走这些
卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例
如可按 D, A, B, E, C, F , G, H 的次序取走卡片，但不可按 D, B, A, E, C, F , G, H 的
次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为 ．
A B
C D
E F G H
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
9. （本题满分 16 分）平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 : y2 4x ，F 为 的
焦点， A, B为 上的两个不重合的动点，使得线段 AB 的一个三等分点 P 位于线
段OF 上（含端点），记Q为线段 AB 的另一个三等分点．求点Q的轨迹方程．
3
{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}
10.（本题满分 20 分）已知三棱柱 : ABC A1B1C1的9条棱长均相等．记底
面 ABC 所在平面为 ．若 的另外四个面（即面 A1B1C1, ABB1A1, ACC1A1, BCC1B1 ）
在 上投影的面积从小到大重排后依次为 2 3, 3 3, 4 3, 5 3，求 的体积．
11.（本题满分 20 分）求出所有满足下面要求的不小于1的实数 t ：对任意
a, b [ 1, t]，总存在 c, d [ 1, t]，使得 (a c)(b d ) 1．
4
{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}
5
{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}

展开更多......

收起↑