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九年级数学上册 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 导学案
【知识清单】
1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 的性质：上加下减。
【典型例题】
考点1：y=ax2+k的图象和性质
例1．二次函数的图象经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：∵，，对称轴为轴，顶点坐标为，
∴抛物线过第一、二象限；
故选A
【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
考点2：y=ax2的图象和性质
例2．已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的增减性进行解答即可．
【详解】解：∵二次函数，当时，y随x增大而减小，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
【巩固提升】
选择题
1．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
2．关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（　　）．
A．对称轴为直线
B．顶点坐标为
C．可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．对于二次函数，下列说法，不正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而减小
C．图象是轴对称图形 D．当时，有最大值
5．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为 B．有最大值
C．与轴无交点 D．对称轴是直线
6．抛物线与的图象的关系是（　　）
A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同
B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同
C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同
D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同
7．对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．当时，随的增大而减小
B．当时，随的增大而减小
C．随的增大而减小
D．随的增大而增大
8．二次函数的图象如图所示，那么的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
9．如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是（　　）
A．4π B．2π C．π D．无法确定
10．如图，直线与抛物线和抛物线分别交于点、，直线轴，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．抛物线上有两点，，则 （填“＞”“＜”或“=”）．
12．点在函数的图象上，则代数式的值等于 ．
13．抛物线在y轴右侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”）
14．若点，在抛物线上，则，的大小关系为： （填“＞”，“=”或“＜”）．
15．二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ．
三、解答题
16．已知二次函数．
(1)填写下表，在上图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
x … －2 －1 0 1 2 …
y … …
(2)利用图象写出当时，y的取值范围是______．
17．将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
18．已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？
19．用代数推理的方法证明下列两个结论：
(1)设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．
(2)已知函数． 求证：当＞0时，y随x的增大而增大．
20．抛物线上一点到x轴的距离为8，求该点的坐标．
21．已知二次函数的图象经过点．求：
(1)该函数解析式及对称轴；
(2)试判断点是否在此函数的图象上．
参考答案
1．A
【分析】根据二次函数的对称轴即可求得点关于抛物线的对称点，进而确定抛物线必经过的点．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴，
∴若图象经过点，
∴则该图象必经过点，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数对称轴确定点的坐标是解题的关键．
2．D
【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断即可．
【详解】解：A.二次函数 的对称轴为直线，故A选项不符合题意；
B. 二次函数 的顶点坐标，故B选项不符合题意；
C. 二次函数 的图像可以由二次函数 的图像向上平移1个单位得到，故C选项不符合题意；
D. 二次函数 的图像开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象与解析式系数的关系是解答本题的关键．
3．A
【分析】将二次函数的形式，顶点为，据此接可求解．
【详解】解：由题意得
顶点为，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数顶点的求法，掌握求法是解题的关键．
4．B
【分析】根据二次函数二次项系数的符号可判断A；利用对称性左侧的增减性可判断B；利用二次函数的对称轴可判断C，利用二次函数开口向下，函数有最大值可判断D．
【详解】解：A、∵二次函数中，，∴此抛物线开口向下，故本选项正确，不符合题意；
B、∵抛物线的对称轴，∴当时函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意；
C、二次函数的图象是轴对称图形，故本选项正确，不符合题意；
D、∵抛物线开口向下，∴此函数有最大值，当时，y有最大值是3，故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，开口方向，增减性，对称轴，最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．D
【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解∶∵，
∴顶点坐标为，开口向下，
故选项A正确，但不符合题意；
∴二次函数有最大值，
故选项B正确，但不符合题意；
∵二次函数的图象开口向下，且函数有最大值，
∴函数图象与轴无交点，
故选项C正确，但不符合题意；
的对称轴为轴，
故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．A
【分析】根据形如的二次函数的的值互为相反数时，开口方向相反，顶点相同，对称轴相同，即可得到答案．
【详解】解：抛物线与的二次项系数互为相反数，
其开口方向相反，顶点相同，对称轴相同，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握形如的二次函数的的值互为相反数时，开口方向相反，顶点相同，对称轴相同，是解题的关键．
7．B
【分析】根据抛物线的解析式得出，开口向上，对称轴为，再根据二次函数的增减性即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
，开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称轴为直线，当，图象开口向上，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；当时，图象开口向下，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
8．B
【分析】对于二次函数：①，图象开口向上；，图象开口向下；②越大，开口越小．
【详解】解：∵的图象开口向下
∴
∵的图象比的图象开口更大
∴
即
A：错误；B：正确；C：错误；D：错误．
故选：B
【点睛】本题考查的图象和性质，熟记相关结论是解题关键．
9．B
【分析】据函数与函数的图象关于轴对称，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可．
【详解】解：是函数的图象，是函数的图象，且当相等时，两个函数的函数值互为相反数，
函数的图象与函数的图象关于轴对称，
阴影部分面积即是半圆面积，
面积为：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键．
10．D
【分析】根据待定系数法求出函数，的解析式；设直线为，直线经过函数，，可求出，的值，即可求出的值．
【详解】∵抛物线和抛物线分别交于点、，
∴，，
∴，，
设直线为，
∵直线经过函数，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，掌握数形结合的解题方法．
11．＜
【分析】根据二次函数的增减性求解即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查二次函数的性质、熟练掌握二次函数的增减性是解答的关键．
12．
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：点在函数的图象上，
，
则代数式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记函数图象上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
13．上升
【分析】先求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴y轴右侧部分上升．
故答案为：上升．
【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数图像在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．
14．
【分析】分别求出，的值，再比较大小即可．
【详解】解：∵点，在抛物线上，
∴，
∴．
故答案为：.
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
15．
【分析】连接交于D，根据菱形的性质得到，设，将点B坐标代入函数解析式，解得t的值，即可得到的值，即可求得菱形的面积．
【详解】解：如图，连接交于D，

∵四边形为菱形，
∴，，，，平分，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴
把代入得：
，
解得：（舍去），，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的性质；菱形四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；菱形面积等于对角线乘积的一半，二次函数函数图像上点的坐标，熟知上述性质是解题的关键．
16．(1)
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 0 …
图象见解析
(2)
【分析】（1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可；
（2）观察函数图象求解即可．
【详解】（1）
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 0 …
函数图象如图所示：
（2）有函数图象可得：当时，y的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解．
17．见解析
【分析】根据抛物线与抛物线的性质进行比较即可．
【详解】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 轴
向上 轴
向上 轴
【点睛】本题考查了的性质，掌握抛物线与抛物线的性质是解题的关键．
18．(1)或
(2)
【分析】（1）根据二次函数的定义可得，，即可求解；
（2）点，，且，可得在对称轴右边，y随x的增大而减小，即可进行解答．
【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得：或．
（2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且，
∴在对称轴右边，y随x的增大而减小，
∴，解得
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质，解题的关键是掌握二次函数的二次项系数不为0，次数最高为2；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
19．(1)见解析

(2)见解析
【分析】（1）将四位数写成
由于和都能被3整除，因此这个四位数能被3整除．
（2）设，，将表示出来，再证明时，即可．
【详解】（1）
显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除．
（2）设，则，，
．
，
，
，
∴ ，即当时，y随x的增大而增大 ．
【点睛】本题考查了数的整除，二次函数的增减性及整式的运算．熟练掌握二次函数的性质及整式的混合运算是解题的关键．
20．或
【分析】将代入求解即可．
【详解】∵抛物线上一点到轴的距离为8，则点纵坐标为，
把代入得、．
∴该点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是把代入求解．
21．(1)，对称轴为y轴
(2)点不在此函数的图象上
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出对称轴即可；
（2）求出当，y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为y轴；
（2）解：在中，当时，，
∴点不在此函数的图象上．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
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