资源简介

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高中数学重难点突破
专题十一 立体几何选择填空题解题策略
题型一、空间几何体的体积与表面积
典例分析
例1、冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体，若圆锥部分的侧面展开图是面积为的半圆形，则该冰激凌的体积为　　
A． B．
B．C． D．
例2、《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，，，则三棱锥的表面积为 　　．
变式训练
1．如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即的中点在底面上的投影为矩形的中心点．，，，，（长度单位：丈），则楔体的体积为　　（体积单位：立方丈）
A． B． C．8 D．5
题型二、点线面的位置关系
典例分析
例3、(多选题)(1)已知,是两条不同的直线,,是两不同的平面,是一个点,其中正确的是( )
A．若,,则;
B．若,,则;
C．若,,,,则;
D．若,,,,,则.
(2)(多选题)对于不重合的两个平面与，给定下列条件中，可以判定与平行的条件有　　
A．存在平面，使得，都平行于
B．存在平面，使得，都垂直于
C．内有不共线的三点到的距离相等
D．存在异面直线，，使得，，，
例4、(多选题)如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A．在棱上存在点M，使平面
B．异面直线与所成的角为90°
C．二面角的大小为45°
D．平面
变式训练
2．如图，四棱柱中，为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则　　
A． B． C． D．
3．(多选题)如图，垂直于以为直径的圆所在平面，为圆上异于，的任意一点，垂足为，点是上一点，则下列判断中正确的是　　
A．平面
B．
C．
D．平面平面
题型三、折叠问题
典例分析
例5、(多选题)如图，梯形中，，，，，将沿对角线折起.设折起后点的位置为，
并且平面平面.给出下面四个命题正确的( )
A．
B．三棱锥的体积为
C．平面
D．平面平面
例6、(多选题)如图，矩形中，，为边的中点.将沿直线翻折成（点不落在底面内).若为线段的中点，则在翻转过程中，以下命题正确的是( )
A．四棱锥体积最大值为
B．线段长度是定值；
C．平面一定成立；
D．存在某个位置，使；
变式训练
4．在平行四边形中，，点在边上，，将沿直线折起成△，为的中点，则下列结论正确的是　　
A．直线与直线共面 B．
C．△可以是直角三角形 D．
5．(多选题)如图，正方形的边长为1，，分别是，的中点，交于，现沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有　　
A．平面
B．设线段的中点为，则平面
C．四面体的体积为
D．四面体的外接球的表面积为
题型四、截面问题
例7、(多选题)正方体的棱长为2，已知平面，则关于截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）
A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形
C．截面形状可能为正六边形 D．截面面积最大值为
例8、我国古代的数学著作《九章算术商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵” 中，，、分别是和的中点，则平面截“堑堵” 所得截面图形的面积为　　
A． B． C． D．
变式训练
6．为提高学生的动手能力，学校的学科拓展中心建立了打印中心和陶瓷工作坊．一名同学在打印中心用橡胶打印了如图（1）所示的模具，该模具是棱长为2的正方体截去两个三棱锥后剩下的部分．该同学又在陶瓷工作坊做了5个异形瓶，其瓶口形状如图（2）中①②③④⑤所示，则此橡胶七面体模具能作为图（2）中哪种异形瓶的瓶塞？答：　 　（写出所有满足条件的编号）．
7．如图，长方体，中，，，点为的中点，为直线与平面的交点，则　 　．
题型五、动点问题
例9、如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：
①四棱锥的体积恒为定值；
②存在点，使得平面；
③对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面；
④存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值.
其中真命题的是____________．（填写所有正确答案的序号）
例10、(多选题)已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M
分别是AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，
且A1P＝A1Q＝x,0＜x＜1，设平面MEF∩平面MPQ＝l，
则下列结论中成立的是(　　)
A．l∥平面ABCD
B．l⊥AC
C．平面MEF与平面MPQ垂直
D．当x变化时，l是定直线
例11、在边长为1的正方体中，，，，分别为，，，的中点，点从出发，沿折线匀速运动，点从出发，沿折线匀速运动，且点与点运动的速度相等，记，，，四点为顶点的三棱锥的体积为，点运动的路程为，在时，与的图象应为　　
A． B．
C． D．
变式训练
8．如图，正方体则下列四个命题：
①点在直线上运动，三棱锥的体积不变；
②点在直线上运动，直线与平面所成角的大小不变；
③点在直线上运动，二面角的大小不变；
④点是平面上到点和距离相等的动点，则的轨迹是过点的一条直线．
其中的真命题是　 　（请在横线上填上正确命题的序号）
9.如图所示，正方体的棱长为2，E，F为，AB的中点，M点是正方形内的动点，若平面，则M点的轨迹长度为______．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将△ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为________．
题型六、球的外接与内切
例12、(多选题)已知点，分别是一个正方体的外接球和内切球上的动点，且，之间距离的最大值为，则　　
A．正方体的体积为1 B．正方体的内切球的体积为
C．正方体的外接球的表面积为 D．，之间的距离最小值为
例13、由正三棱锥截得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为　 　．
例14、已知三棱锥中，为等边三角形，平面，若三棱锥的最长棱为，直线与平面所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为　　
A． B． C． D．
例15、已知三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
例16、已知三棱锥的底面是边长为6的等边三角形，，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的体积为　 　，球的表面积为　 　．
变式训练
11．如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的球心到面的距离为　　
A． B． C． D．
12．已知三棱锥外接球的球心在线段上，若与均为面积是的等边三角形，则三棱锥外接球的体积为　　
A． B． C． D．
13．已知圆台内有一个球，该球与此圆台的上下两个底面及母线都相切，若圆台的上，下两个底面的半径分别为1，4，那么这个球的体积为　 　．
题型七、几何体中的最值问题
典例分析
例17、如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为______.
例18、是边长为的等边三角形，、分别在线段、上滑动，，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，则四棱锥的体积的最大值
为　　
A． B． C．3 D．2
例19、（2019 全国三模）如图，直角梯形，，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为　　
A． B． C． D．1
变式训练
14．正四面体ABCD的棱长为6，其中AB∥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，当正四面体以AB为轴旋转时，线段EF在平面α上的射影长的取值范围是________．
15．（2020 4月份模拟）如图所示，三棱锥的顶点，，，都在半径为同一球面上，与为直角三角形，是边长为2的等边三角形，点，分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为　　．
16．设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在面BCC1B1所在的平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是（ ）
A． B． C．1 D．
同步训练
1．已知直线，和平面，则　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2．如图，已知四棱柱的底面为正方形，且侧棱与底面垂直，点为，的交点，点为，的交点，连接，点为的中点．过点且与直线平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则四棱柱的表面积为　　
A．10 B．12 C．13 D．14
3．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为　　
A． B． C． D．
4．如图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点．若点在线段上，且满足平面，则的值为　　
A．1 B．2
C． D．
5．已知直三棱柱的侧棱长为2，，．过，的中点，作平面与平面垂直，则所得截面周长为　　
A． B． C． D．
6．如图，正方体中，为中点，在线段上．给出下列判断：
①存在点使得平面；
②在平面内总存在与平面平行的直线；
③平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置无关；
④三棱锥的体积与点的位置无关．
其中正确判断的有　　
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
7．矩形中，，沿对角线将三角形折起，得到四面体，四面体外接球表面积为，当四面体的体积取最大值时，四面体的表面积为　　
A． B． C． D．
8．已知在中，斜边，，若将沿斜边上的中线折起，使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
9．在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．2
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别是边AB，CD的中点，现将△ABC沿着对角线AC翻折，则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为( )
A． B． C． D．
11．(多选题)如图所示，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列说法中正确的是　　
A．平面平面 B．
C．平面平面 D．平面
12．(多选题)如图，圆柱的轴截面是四边形，是底面圆周上异于，的一点，则下列结论中正确的是　　
A．
B．
C．平面
D．平面平面
13．(多选题)如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是　　
A．三棱锥的体积不变
B．平面
C．
D．D．平面平面
14．(多选题)（2020秋 江苏期末）已知四边形是等腰梯形（如图，，，，．将沿折起，使得（如图，连结，，设是的中点．下列结论中正确的是　　
A．
B．点到平面的距离为
C．平面
D．四面体的外接球表面积为
15．(多选题)如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中正确的是　　
A．
B．平面
C．存在点，使得平面平面
D．三棱锥的体积为定值
16．(多选题)若将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论中正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角为 B．
C．是等边三角形 D．二面角的平面角正切值是
17．(多选题)佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫开窍的功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中　　
A．与是异面直线 B．与是相交直线
C．存在内切球，其表面积为 D．存在外接球，其体积为
18．如图，是圆的直径，点是的中点．若，则图中阴影部分绕所在直线旋转一周形成的几何体的表面积等于　　．
19．如图：边长为的菱形，，将沿折起到图中的位置，使得二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积等于　　．
20．如图所示，直平行六面体的所有棱长都为2，，过体对角线的截面S与棱和分别交于点E、F，给出下列命题中：
①四边形的面积最小值为；
②直线EF与平面所成角的最大值为；
③四棱锥的体积为定值；
④点到截面S的距离的最小值为.
其中，所有真命题的序号为
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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高中数学重难点突破
专题十一 立体几何选择填空题解题策略
题型一、空间几何体的体积与表面积
典例分析
例1、冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体，若圆锥部分的侧面展开图是面积为的半圆形，则该冰激凌的体积为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
则，解得，则，
故该冰激凌的体积为．
例2、《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，，，则三棱锥的表面积为　　．
【答案】
【解答】解：三棱锥为鳖臑，平面，，，
，，，，
三棱锥的表面积为：
．
变式训练
1．如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即的中点在底面上的投影为矩形的中心点．，，，，（长度单位：丈），则楔体的体积为　　（体积单位：立方丈）
A． B． C．8 D．5
【答案】D
【解答】解：将楔体分成一个三棱柱、两个四棱锥，
则立方丈，立方丈，
故立方丈．
题型二、点线面的位置关系
典例分析
例3、(多选题)(1)已知,是两条不同的直线,,是两不同的平面,是一个点,其中正确的是( )
A．若,,则;
B．若,,则;
C．若,,,,则;
D．若,,,,,则.
【答案】CD
【解析】对于A,若,,可不在直线,故A错误;
对于B,若,,可知上有一点在内,根据两点确定一条直线可知,不一定在内,故B错误;
对于C, ,,, ,故C正确;
对于D, ,,,, ,故D正确.
(2)(多选题)对于不重合的两个平面与，给定下列条件中，可以判定与平行的条件有　　
A．存在平面，使得，都平行于
B．存在平面，使得，都垂直于
C．内有不共线的三点到的距离相等
D．存在异面直线，，使得，，，
【答案】AD
【解答】解：与平行．此时能够判断①存在平面，使得，都平行于；两个平面平行，所以正确．
存在平面，使得，都垂直于；可以判定与平行，如正方体的底面与相对的侧面．也可能与不平行．不正确．
不能判定与平行．如面内不共线的三点不在面的同一侧时，此时与相交；
可以判定与平行．
可在面内作，，则与必相交．
又，，，，．
例4、(多选题)如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A．在棱上存在点M，使平面
B．异面直线与所成的角为90°
C．二面角的大小为45°
D．平面
【答案】ABC
【解析】如图，对于，取的中点，连接，
∵侧面为正三角形，，
又底面是菱形，，是等边三角形，
，又，，平面，
平面，故正确.
对于，平面，，
即异面直线与所成的角为90°，故正确.
对于，∵平面平面，，平面，，
是二面角的平面角，设，则，，
在中，，即，故二面角的大小为45°，故正确.
对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.
变式训练
2．如图，四棱柱中，为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：四棱柱中，为平行四边形，
，分别在线段，上，且，
，平面平面，
在上，平面，且平面平面，
，
．
3．(多选题)如图，垂直于以为直径的圆所在平面，为圆上异于，的任意一点，垂足为，点是上一点，则下列判断中正确的是　　
A．平面
B．
C．
D．平面平面
【答案】ABD
【解答】解：在中，为圆上异于，的任意一点，
，，，平面，故正确；
在中，平面，平面，，，，
平面，平面，，故正确；
在中若，则平面，则，与矛盾，
故与不垂直，故错误；在中，平面，面，
平面平面，故正确．
题型三、折叠问题
典例分析
例5、(多选题)如图，梯形中，，，，，将沿对角线折起.设折起后点的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题正确的：( )
A．
B．三棱锥的体积为
C．平面
D．平面平面
【答案】CD
【解析】依次判断每个选项的正误得到答案.
如图所示：为中点，连接
，，得到
又故为等腰直角三角形
平面平面， ，所以平面，所以C正确
为中点，则平面 所以
如果，则可得到平面，故 与已知矛盾.故A错误
三棱锥的体积为 .故B错误
在直角三角形中，
在三角形中， 满足
又 所以平面，所以平面平面，故D正确
例6、(多选题)如图，矩形中，，为边的中点.将沿直线翻折成（点不落在底面内).若为线段的中点，则在翻转过程中，以下命题正确的是（ ）
A．四棱锥体积最大值为
B．线段长度是定值；
C．平面一定成立；
D．存在某个位置，使；
【答案】ABC
【解析】是等腰直角三角形，到的距离是，当平面平面时，到平面的距离最大为，又，∴．A正确；
取中点，连接，∵是的中点，∴，而平面，平面，∴平面，
由与平行且相等得是平行四边形，，同理得平面，
而，∴平面平面，平面，∴平面，C正确，
在上述过程中得，又，∴为定值，B正确；
假设存在某个位置，使，取中点，连接，显然，而，∴平面，平面，∴ ，则，但，，不可能相等，所以不可能有．D错．
故选：ABC.
变式训练
4．在平行四边形中，，点在边上，，将沿直线折起成△，为的中点，则下列结论正确的是　　
A．直线与直线共面 B．
C．△可以是直角三角形 D．
【答案】C
【解答】解：在平行四边形中，，点在边上，，
将沿直线折起成△，为的中点，
在中，取中点，连结，，则，，
，平面平面，
平面，平面，直线与直线平行或异面，故错误；
在中，将沿直线折起成△，为的中点，点位置不确定，
，故错误；
在中，，，
当时，，△是直角三角形，故正确；
在中，，，与不垂直，故错误．故选：．
5．(多选题)如图，正方形的边长为1，，分别是，的中点，交于，现沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有　　
A．平面
B．设线段的中点为，则平面
C．四面体的体积为
D．四面体的外接球的表面积为
【答案】ABD
【解答】解：（1），，，
平面，故正确；
（2）由题意可易知是的中点，
又是的中点，则，
又平面，平面，
平面，故正确；
（3），，
，
又平面，，
，故错误；
（4），，两两垂直，且，，
三棱锥的外接球可看作棱长分别为，，1的长方体的外接球，
故外接球的直径，，
外接球的表面积为：，故正确．
题型四、截面问题
例7、(多选题)正方体的棱长为2，已知平面，则关于截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）
A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形
C．截面形状可能为正六边形 D．截面面积最大值为
【答案】ACD
【解析】如图，显然A,C成立，下面说明D成立，
如图设截面为多边形，
设，则，
则
所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和，
所以
因为，
，
所以
当时，，故D成立。
故选：ACD．
例8、我国古代的数学著作《九章算术商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵” 中，，、分别是和的中点，则平面截“堑堵” 所得截面图形的面积为　
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：延长，与的延长线交于点，则平面，
连结，与交于点，连结，
得到的四边形是平面截“堑堵” 所得截面图形，
由题意得，，，
截“堑堵” 所得截面图形面积为：
．
变式训练
6．为提高学生的动手能力，学校的学科拓展中心建立了打印中心和陶瓷工作坊．一名同学在打印中心用橡胶打印了如图（1）所示的模具，该模具是棱长为2的正方体截去两个三棱锥后剩下的部分．该同学又在陶瓷工作坊做了5个异形瓶，其瓶口形状如图（2）中①②③④⑤所示，则此橡胶七面体模具能作为图（2）中哪种异形瓶的瓶塞？答：　①②⑤　（写出所有满足条件的编号）．
【答案】①②⑤
【解答】解：由题意，只需在图（1）的七面体中找到截面与图（2）的瓶口对应，即可将其作为对应异形瓶的瓶塞，
通过作图可知，①②⑤均可以在图（1）中找到对应的截面，入下图的1、2、3，
而③④无法找到对应的截面．
7．如图，长方体，中，，，点为的中点，为直线与平面的交点，则　　．
【答案】
【解答】解：找的六等分点，且．
易证，设，．
连接，则，，三点共线平面平面
，，易证，．所以．
题型五、动点问题
例9、如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：
①四棱锥的体积恒为定值；
②存在点，使得平面；
③对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面；
④存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值.
其中真命题的是____________．（填写所有正确答案的序号）
【答案】①②④
【解析】对①,,又三棱锥底面
不变,且因为∥底面,故到底面的距离即上的高长度不变.故三棱锥体积一定,即四棱锥的体积恒为定值,①正确.
对②,因为,且长方体,故四边形为正方形,
故.要平面则只需,又,故只需面.
又平面,故只需即可.因为,故当 时存在点,使得,即平面.故②正确.
对③,当在时总有与平面相交,故③错误.
对④,四边形的周长,分析即可.
将矩形沿着展开使得在延长线上时,此时的位置设为,则线段与的交点即为使得截面四边形的周长取得最小值时的唯一点.故④正确.
例10、(多选题)已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x,0＜x＜1，设平面MEF∩平面MPQ＝l，则下列结论中成立的是(　　)
A．l∥平面ABCD
B．l⊥AC
C．平面MEF与平面MPQ垂直
D．当x变化时，l是定直线
【答案】ABD
【解析】连接BD，A1D，A1B，AC1，
显然平面MEF∥平面A1DB，
设A1B∩MP＝H，A1D∩QM＝G，
连接HG，则l∥HG，
又HG∥平面ABCD，
所以l∥平面ABCD，AC⊥BD.
又HG∥l∥BD，
故AC⊥l，当P，Q分别与B1，D1重合时，平面MEF⊥平面MPQ，
又0＜x＜1，故平面MEF与平面MPQ不垂直．
无论x怎么变化，l是过M点与EF平行的定直线．
例11、在边长为1的正方体中，，，，分别为，，，的中点，点从出发，沿折线匀速运动，点从出发，沿折线匀速运动，且点与点运动的速度相等，记，，，四点为顶点的三棱锥的体积为，点运动的路程为，在时，与的图象应为　　
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：（1）当时，点与点运动的速度相等根据下图得出：面把几何体分割为相等的几何体，，到面的距离为，
，
（2）当时，在上，在上，到，，
定值．
（3）当时，，到面的距离为，
，故选：．
变式训练
8．如图，正方体则下列四个命题：
①点在直线上运动，三棱锥的体积不变；
②点在直线上运动，直线与平面所成角的大小不变；
③点在直线上运动，二面角的大小不变；
④点是平面上到点和距离相等的动点，则的轨迹是过点的一条直线．
其中的真命题是　①③④　（请在横线上填上正确命题的序号）
【答案】①③④
【解析】对于①，点在直线上运动，由于平面，
所以上任意的点到平面的距离相等，所以三棱锥的体积不变，故①正确；
对于②；点在直线上运动，直线和平面所成的角和直线与平面所成的角不相等，故②错误；
对于③；点在直线上运动，的轨迹是平面，二面角的大小不受影响，故③正确；
对于④；点是平面上到点和距离相等的动点，故点的轨迹为一条与直线平行的直线，故④正确；
9.如图所示，正方体的棱长为2，E，F为，AB的中点，M点是正方形内的动点，若平面，则M点的轨迹长度为______．
【答案】
【解析】如图所示，取的中点，的中点，连接，，，．
可得：四边形是平行四边形，.
同理可得：．．平面平面，
点是正方形内的动点，若平面.
点在线段上．点的轨迹长度．故答案为．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将△ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为________．
【答案】π
【解析】如图1，过点A作AO⊥BD，垂足为点O，过点C作直线AO的垂线，垂足为点E，则易得AO＝OE＝，CE＝1.在图2中，由旋转的性质易得点A在点O为圆心，以AO为半径的圆上运动，且BD垂直于圆O所在的平面，
又因为CE∥BD，
所以CE垂直于圆O所在的平面，设当A运动到点A1处时，CA1＝，
当A运动到点A2处时，CA2＝，则有CE⊥EA1，CE⊥EA2，
则易得EA1＝，EA2＝，则易得△OEA2是以O为直角顶点的等腰直角三角形，
在△OEA1中，由余弦定理得cos∠EOA1＝－，所以∠EOA1＝120°，所以∠A1OA2＝30°，
所以点A所形成的轨迹为半径为OA＝，圆心角为∠A1OA2＝30°的圆弧，
所以运动轨迹的长度为×π×＝π.
题型六、球的外接与内切
例12、(多选题)已知点，分别是一个正方体的外接球和内切球上的动点，且，之间距离的最大值为，则　　
A．正方体的体积为1
B．正方体的内切球的体积为
C．正方体的外接球的表面积为
D．，之间的距离最小值为
【答案】ABD
【解析】设正方体的棱长为，设外接球的半径为，则，所以，
设正方体的内切球的半径为，则，所以，
由题意线段的最大值为，所以，
所以正方体的体积为：1，所以正确；
正方体的内切球的体积为：，所以正确；
正方体的外接球的表面积为，所以不正确；
，之间的距离最小值为：，所以正确；
例13、由正三棱锥截得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为　　．
【答案】
【解析】设三棱台的上底面的外接圆的圆心为，下底面的外接圆的圆心为，
则，为所在正三角形的中心，故三棱台的外接球的球心在上，
因为是边长为6的等边三角形，故，所以，
同理可得，
设三棱台的外接球的半径为，
在△中，，
在中，，
又三棱台的高为，
因为，所以，
故球心在的延长线上，
则，解得，
所以球的表面积为．
例14、已知三棱锥中，为等边三角形，平面，若三棱锥的最长棱为，直线与平面所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，在三棱锥中，为等边三角形，平面，则为最长棱为，
又直线与平面所成角的余弦值为，，
则，．
是边长为1的等边三角形，设的外心为，
则，
设三棱锥的外接球的球心为，连接，
则平面，．
三棱锥的外接球的半径为．
三棱锥的外接球表面积为．
例15、已知三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，，，
可得是等边三角形，是直角三角形，
将沿折起后，点是的外心，其圆的半径；
点是的外心，其圆的半径；
是二面角的平面角，即，
记该几何体的外接球球心为，连接，，连接，
由于四点共圆，，，，
在中由余弦定理，可得，
在中，，，
外接球半径，
外接球表面积；
例16、已知三棱锥的底面是边长为6的等边三角形，，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的体积为　　，球的表面积为　　．
【答案】；．
【解析】设为外接圆的圆心，因为是边长为6的等边三角形，
所以，因为，解得，
设球的半径为，球的半径为，
由等体积法可得，
，
所以，
所以球的体积为；
作截面图如图所示，可知，
则，，，
因为△△，则，即，解得，
所以球的表面积为．
变式训练
11．（2021 厦门模拟）如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的球心到面的距离为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由平面图形还原原四棱锥如图，
该四棱锥底面为正方形，边长为2，侧面底面，
，则．
取的中点，则为的外心，连接、，相交于，
则平面，
可得，即为四棱锥的外接球的球心，
延长交于，则为的中点，连接，
在中，有，，
设到的距离为，则，即．
则四棱锥外接球的球心到面的距离为．
12．（2021 天津二模）已知三棱锥外接球的球心在线段上，若与均为面积是的等边三角形，则三棱锥外接球的体积为　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，依题意，为三棱锥外接球的球心，则，
与均为正三角形，且有公共边，
，为等腰三角形，，
又，为等腰直角三角形，
设边长为，则其面积，故，解得，
，，
，即外接球半径为，体积为．
13．（2021 成都模拟）已知圆台内有一个球，该球与此圆台的上下两个底面及母线都相切，若圆台的上，下两个底面的半径分别为1，4，那么这个球的体积为　　．
【答案】
【解析】画出圆台的轴截面，如图所示：
设内切圆的半径为，由题意可知，
且，，，
故可得，，
则，
过点作，在中，易知，
可得，
又因为，所以，
故球的体积为，
题型七、几何体中的最值问题
典例分析
例17、如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为______.
【答案】
【解析】因为直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形,∠ABC=60 ，边长为1，
∴O1C1⊥平面BB1D1D,且O1C1=,O1B1=，
∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1=，
∵OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，
∴当△O1MH的面积取得最小值时，
三棱锥的体积有最小值。
将平面BB1D1D单独画图可得，
当B点到O1H的距离最小时，△O1MH的面积有最小值。
过点B做BF//O1H，可得直线BF上方的点到O1H的距离比直线BF上的点到O1H的距离小，而线段BD上除B点外的所有点都在直线BF下方，到O1H的距离比B点到O1H的距离大。
即当M点在B点时，△O1MH的面积取得最小值，且三棱锥的体积有最小值。
连接O1B, 则O1B=OB1==，
∴B1到O1B的距离d===，
∵OH=3HB1，∴H到直线O1B的距离为d=。
∴===，
∴===。
例18、是边长为的等边三角形，、分别在线段、上滑动，，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，则四棱锥的体积的最大值为　　
A． B． C．3 D．2
【答案】D
【解析】要想体积最大，高得最大，底面积也得最大，
当平面平面时，体积才最大；设；设为的中点，如图：
等边中，点，分别为，上一点，且，
，为的中点，，
平面平面，平面平面，平面，
，．
四棱锥的体积，
， （负值舍），，单调递增，，单调递减，
，四棱锥的体积最大，最大值为：．故选：．
例19、如图，直角梯形，，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为　　
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】直角梯形，，，，，
是边中点，沿翻折成四棱锥，
当时，点到平面距离取最大值，
，，平面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，1，，，0，，，0，，，1，，
，0，，，，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
点到平面距离的最大值为：．
变式训练
14．正四面体ABCD的棱长为6，其中AB∥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，当正四面体以AB为轴旋转时，线段EF在平面α上的射影长的取值范围是________．
【答案】[3,3]
【解析】如图，取AC的中点G，连接GE，GF，EF，结合已知可得GF∥AB，
在正四面体中，AB⊥CD，又GE∥CD，
∴GE⊥GF，∴EF2＝GE2＋GF2，
当四面体绕AB旋转时，
∵GF∥平面α，GE与GF的垂直性保持不变，
显然当CD与平面α垂直时，GE在平面α上的射影长最短为0，
此时EF在平面α上射影E1F1的长取得最小值3.
当CD与平面α平行时，GE在平面上的射影长取得最大值3，
E1F1取得最大值3，所以射影E1F1长度的取值范围是[3，3]．
15．如图所示，三棱锥的顶点，，，都在半径为同一球面上，与为直角三角形，是边长为2的等边三角形，点，分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为　　．
【答案】
【解析】设，．
由题意可知：的中点为球心，当平面平面时，
三棱锥体积，当且仅当时取等号．三棱锥体积的最大值为．
16．设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在面BCC1B1所在的平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】如图，过点作的平行线交于点、交于点，连接，
则是平面与平面的交线，是平面与平面的交线．
与平行，交于点，过点作垂直于点，则有，与平面垂直，
所以，与垂直，即角是平面与平面的夹角的平面角，且，
与平行交于点，过点作垂直于点，
同上有：，且有，又因为，故，
而，故，
而四边形一定是平行四边形，故它还是菱形，即点一定是的中点，
点到点的最短距离是点到直线的距离，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，， ，
， ，点到点的最短距离：
．
同步训练
1．已知直线，和平面，则　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【解析】对于，若，，则或，故错误；
对于，若，，则或与异面，故错误；
对于，若，，则由线面垂直的性质得，故正确；
对于，若，，则与平行或，故错误．
2．如图，已知四棱柱的底面为正方形，且侧棱与底面垂直，点为，的交点，点为，的交点，连接，点为的中点．过点且与直线平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则四棱柱的表面积为　　
A．10 B．12 C．13 D．14
【答案】D
【解析】由题意知四棱柱为正四棱柱，设正四棱柱的底面边长为，高为，
因为过点且与直线平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，
所以，解得，
于是四棱柱的表面积为，
3．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，
由勾股定理得，正四棱锥的高为2，
由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，
得圆柱的底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于；
由，可得圆柱的高为正四棱锥高的一半等于1，
则该圆柱的体积为：．
4．（2021春 滨湖区校级期中）如图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点．若点在线段上，且满足平面，则的值为　　
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】连接，交于，连接，如图，
平面，平面平面，，
点，分别为棱，的中点．
是的重心，．
5．已知直三棱柱的侧棱长为2，，．过，的中点，作平面与平面垂直，则所得截面周长为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取的中点，连接，取的中点，连接，，
取的中点，连接，连接，并延长，与的延长线交于，
取的中点，连接，交于，连接，，
可得，，，即有，
又，可得，
平面，可得，所以平面，
可得平面，
由面面垂直的判定定理，可得平面平面，
则平面即为平面，
由，，，，，
可得所得截面周长为．
6．如图，正方体中，为中点，在线段上．给出下列判断：
①存在点使得平面；
②在平面内总存在与平面平行的直线；
③平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置无关；
④三棱锥的体积与点的位置无关．
其中正确判断的有　　
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】D
【解析】对于①，假设存在使得平面，则，又，，平面，则，这与矛盾，所以①错误；
对于②，因为平面与平面相交，设交线为，则在平面内与平行的直线平行于平面，故②正确；
对于③，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间坐标系，则平面的法向量为，0，，而平面的法向量，随着位置变化，故平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，故③错误；
对于④，三棱锥的体积即为三棱锥，因为平面，所以，当在线段上移动时，到平面的距离不变，故三棱锥的体积与点的位置无关，即④正确．
7．（2019秋 包河区校级期末）矩形中，，沿对角线将三角形折起，得到四面体，四面体外接球表面积为，当四面体的体积取最大值时，四面体的表面积为　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，
所以长宽分别为2和1的长方形沿对角线折起二面角，得到四面体，
则四面体的外接球的球心为中点，半径，
所求四面体的外接球的表面积为；
矩形中，，，沿将三角形折起，
当平面平面时，得到的四面体的体积最大，如图所示；
过点作平面，垂足为，则点到平面的距离为，
过点作，作，垂足分别为、，连接，；则，；
所以，，所以，；所以，
；又，
，；
所以四面体的表面积为：；
8．已知在中，斜边，，若将沿斜边上的中线折起，使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，设点为外接圆的圆心，则三棱锥外接球的球心一定在过点且与平面垂直的直线上，
不妨设点为外接圆的圆心，则平面，且，
过点作平面，则点为外接圆的圆心，在中，由余弦定理有，，，，
延长交于，连接，
，
为边长为1的正三角形，为中点，
，
由于平面平面，故四边形为矩形，则，
在中，，即，解得，
三棱锥的外接球的表面积为．
9.在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0，0），x∈[0，4]，
则|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．
因为C1E⊥EF，所以 ，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣．
当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|的最大值为1．故选：B．
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别是边AB，CD的中点，现将△ABC沿着对角线AC翻折，则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设二面角为，可证，设棱形的边长为，则，，，，，
，易知平面的法向量
设直线与平面所成角为，则
令，，
则时即在上单调递增；
时即在上单调递减；
，则
，，故选：
11．(多选题)如图所示，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列说法中正确的是　　
A．平面平面 B．
C．平面平面 D．平面
【答案】ABC
【解析】对于，平面平面，平面平面，，
平面，平面平面，即正确；
对于，平面，平面，，即正确；
对于，，，，平面，平面平面，即正确；
对于，若平面，则，与矛盾，
12．(多选题)如图，圆柱的轴截面是四边形，是底面圆周上异于，的一点，则下列结论中正确的是　　
A． B．
C．平面 D．平面平面
【答案】ABD
【解析】由是底面圆的直径，则，即．所以正确；
四边形是圆柱的轴截面，底面，底面．
可得：，所以正确；
因此平面．同理可得：，平面平面．所以正确；
而不正确．即不正确．
13．(多选题)如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是　　
A．三棱锥的体积不变 B．平面
C． D．平面平面
【答案】ABD
【解析】对于，△的面积是定值，，
平面，平面，
到平面的距离为定值，三棱锥的体积不变，故正确；
对于，，，，，
平面平面，
平面，平面，故正确；
对于，以为原点，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
设，2，，，，
则，0，，，2，，，0，，
，2，，，，，
则，
和不垂直，故错误；
对于，由题意得，，、平面，
平面，
平面，平面平面，故正确．
14．(多选题)已知四边形是等腰梯形（如图，，，，．将沿折起，使得（如图，连结，，设是的中点．下列结论中正确的是　　
A．
B．点到平面的距离为
C．平面
D．四面体的外接球表面积为
【答案】BD
【解析】在图1中，过作，
，四边形是矩形，
，．
四边形是等腰梯形，，．
，．
连接，则，
，，得，则
在图2中，，，，平面．
平面，．
，平面．
若，又，，平面，
过一点与垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故错误；
由，，得，又，
，而，
设点到平面的距离为，
由，得，
即，故正确；
假设平面，
，平面，平面，
平面，
又，平面平面，
而平面，平面，与平面平面矛盾．
假设不成立，故与平面不平行，故错误；
连接，
为△，为△，且为的中点，
，即为四面体的外接球的球心，
四面体的外接球的半径为，
则四面体的外接球表面积为，故正确．
15．(多选题)如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中正确的是　　
A．
B．平面
C．存在点，使得平面平面
D．三棱锥的体积为定值
【答案】ABD
【解析】在中，因为、分别是、的中点，所以，故正确；
在中，由平面几何得，又有，所以平面，故正确；
在中，与平面有交点，所以不存在点，使得平面平面，故错误．
在中，三棱锥以面为底，则高是定值，所以三棱锥的体积为定值，故正确．
16．(多选题)若将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论中正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角为 B．
C．是等边三角形 D．二面角的平面角正切值是
【答案】ABCD
【解析】作出正方形翻折后的立体几图形，再对选项进行逐个分析.
如图所示，设正方形的边长为2，
对，设三角形运动到，连接交于，连，因为，所以为正三角形，所以 异面直线与所成的角为，故正确；
对，因为，所以平面，平面，所以，故正确；
对，由选项的证明，同理可得，所以可推理得是等边三角形，故正确；
对，取的中点，连接，，
，为的中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，，
，，平面，
平面，，所以为二面角的平面角，
所以，故正确；
故选：.
17．(多选题)佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫开窍的功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中　　
A．与是异面直线
B．与是相交直线
C．存在内切球，其表面积为
D．存在外接球，其体积为
【答案】BC
【解析】折叠后与重合，与重合，
因为与是相交直线，故选项错误，选项正确；
是等边三角形，为的中心，则，
连结，则有平面，
在中，由勾股定理可得，由对称性可得，，
由于，所以不是外接球的球心，
除点以外的其它点，无法保证到五个顶点，，，，的距离都相等，
故此六面体无外接球，故选项错误；
由对称性，到六个面的距离相等，
故为六面体内切球的球心，
在中，即为内切球的半径，
，
因为，，所以，
所以，故，所以，
故选项正确．
18．如图，是圆的直径，点是的中点．若，则图中阴影部分绕所在直线旋转一周形成的几何体的表面积等于　　．
【答案】
【解析】图中阴影部分绕所在直线旋转一周所形成的几何体为圆锥与半球的组合体，
且圆锥的底面圆半径为1，高为1，所以母线长为，
所以圆锥的侧面积为，
球的半径为1，所以半球的表面积为，
所以该几何体的表面积为：．
19．如图：边长为的菱形，，将沿折起到图中的位置，使得二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积等于　　．
【答案】
【解析】由题意，如图：取中点，
则为二面角的平面角，
是边长为3的正三角形，，分别为，靠近的三等分点，
作面，面，则为外接球球心．
，，连接，，可得，
三棱锥的外接球表面积
20．如图所示，直平行六面体的所有棱长都为2，，过体对角线的截面S与棱和分别交于点E、F，给出下列命题中：
①四边形的面积最小值为；
②直线EF与平面所成角的最大值为；
③四棱锥的体积为定值；
④点到截面S的距离的最小值为.
其中，所有真命题的序号为
【答案】①③④
【解析】由题,因为过体对角线,则由对称性易得四边形是平行四边形,
连接,,且交于点,过点作的垂线,垂足为,
则若四边形面积最小,即最小,
即为棱到平面的距离,即为长,
因为,则,
所以,
则,
又,
所以,此时为棱的中点,故①正确；
过点的平面的垂线交平面于点,则即为点到平面的距离,根据底面菱形的性质,可得,
若直线EF与平面所成角最大,则直线与直线的夹角最小,即最小,此时最大,即最小,
即时,故,则,
则直线EF与平面所成角最大为,故②错误；
设点到平面,平面的距离分别为,即从点分别向作垂线即可,由菱形可得,
,
为定值,故③正确；
因为四棱锥的体积为定值,
所以若点到截面S的距离的最小,则截面的面积最大,即四边形面积最大,即最大,则当点与点重合,点与点重合时符合条件,此时在中,,,则,则,
所以,此时,
设点到截面S的距离为,则,所以,故④正确
综上,①③④正确,故选：①③④
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