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高中数学重难点突破
专题十 球的外接与内切
知识归纳
一、外接球的问题：
简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．
1、构造正方体或长方体确定球心
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．
①四个面都是锐角三角形且对棱相等（如图一）。这类四面体共2个，对棱的长度分别为长方体面对角线的。
②四个面都是直角三角形（如图二）。这类四面体共24个，它们有一条最长棱，这条最长的棱就是长方体的体对角线，
③ 有三个面都是直角三角形，有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如图三）。这类四面体共8个，两两垂直的三条棱就是长方体的长、宽、高
④有三个面都是直角三角形，没有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如图四）。这类四面体共16个，它们有一条最长棱，这个最的棱就是长方体的体对角线。
图一 图二 图三 图四
2、由球的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．
由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．
结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．
结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
3、由性质确定球心
利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆及球心与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．
二、内切球问题
1、内切球的性质
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
2、棱锥的内切球（分割法）
将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.
典例分析
一、外接球问题
1、长方体模型
【例1】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【练1】一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,则截面图形有可能是下列中的 .
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2、对棱相等模型
【例2】三棱锥中，已知，，，那么该三棱锥外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【例3】棱长为的正四面体的外接球和内切球的体积比是　　
A． B． C． D．
3、直棱柱模型：
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于　　．
【练2】一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 .
4、直棱锥模型（一条直线垂直于一个平面）
如图，平面，求外接球半径.
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②.
【例5】在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 ．
【练3】已知球面上的四点平面，则球的体积等于 .
【练4】三棱锥中，，，平面，，则该三棱锥的外接球表面积为　　
A． B． C． D．
5、侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高(也是圆锥的高)；
第三步：勾股定理：，解出.
【例6】已知四棱锥的的侧棱长均为，底面是两邻边长分别为和的矩形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【练5】在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【练6】体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是 .
6、共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的,为公共的斜边,故以“共斜边拼接模型”命名之.设点为公共斜边的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等,故点就是四面体外接球的球心,公共的斜边就是外接球的一条直径.
【例7】在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【练7】在梯形中，，，，，将梯形沿对角线折叠成三棱锥，当二面角是直二面角时，三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
7、二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
【例8】已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　．
【练8】在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　．
【例9】在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为　　．
【练9】在等腰直角中，，，为斜边的高，将沿折叠，使二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为　　．
8、圆锥圆柱圆台模型
(1)球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为.通常在中，由勾股定理建立方程来计算.如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部.和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断.
由图、图可知，或，故，所以.
(2)球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足.
(3)球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高.
【例10】已知圆台上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为，圆台的外接球的球心为，且球心在圆台的轴上，满足，则圆台的外接球的表面积为　　．
【练10】设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为　　
A． B． C． D．
【练11】《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有很多对几何体体积的研究，已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为，高为的圆柱，上面是一个底面积为，高为的圆锥，若该容器有外接球，则外接球的体积为　
A． B． C． D．
二、内切球问题
【例11】正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切(如图).则这个正三棱锥的表面积为 ，这个正三棱锥内切球的表面积是 .
【例12】如图，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，则两球半径之和是 .
【例13】如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为的大球放置在底面半径和高均为的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（ ）个小球．
A．14 B．15 C．16 D．17
二、球的综合性问题
【例14】（2019年高考全国Ⅰ卷理）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A． B． C． D．
【例15】已知等边三角形的边长为，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥．点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的半径为______，点到平面距离的最大值为______．
【例16】 把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为( )
A．l0cm B．10 cm C．10cm D．30cm
同步练习
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )


2．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
3．在棱长为的正四面体的外接球中，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的圆心距为，则两圆的公共弦长是　　
A． B． C．1 D．
4．已知三棱锥中，平面，平面，若，，
则此三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
5．在平行四边形中，，，将此平行四边形沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
6．已知四棱锥中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为( )
A． B． C. D．
7．在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B． C．6π D．
8．已知是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为( )
A． B．
C． D．
9．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球
半径为( )
A． B.
C. D.
10．已知球内接正四面体，为棱的中点，是棱上的一点，且，则球与四面体的体积比为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
11．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是　　．
12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是,则这个三棱柱的体积为 .
13．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离是 ．
14．正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最大值为 .
15．表面积为的球面上有四点且是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若,则棱锥体积的最大值为 ．
16．在三棱锥中， ，且，则该三棱锥外接球的表面积为________.
17．在菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为　　．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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高中数学重难点突破
专题十 球的外接与内切
知识归纳
一、外接球的问题：
简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．
1、构造正方体或长方体确定球心
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．
①四个面都是锐角三角形且对棱相等（如图一）。这类四面体共2个，对棱的长度分别为长方体面对角线的。
②四个面都是直角三角形（如图二）。这类四面体共24个，它们有一条最长棱，这条最长的棱就是长方体的体对角线，
③ 有三个面都是直角三角形，有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如图三）。这类四面体共8个，两两垂直的三条棱就是长方体的长、宽、高
④有三个面都是直角三角形，没有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如图四）。这类四面体共16个，它们有一条最长棱，这个最的棱就是长方体的体对角线。
图一 图二 图三 图四
2、由球的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．
由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．
结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．
结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
3、由性质确定球心
利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆及球心与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．
二、内切球问题
1、内切球的性质
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
2、棱锥的内切球（分割法）
将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.
典例分析
一、外接球问题
1、长方体模型
【例1】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【例1】【解析】在长方体中，，与平面所成的角为，
平面，是与平面所成的角，，
，，，
该长方体的外接球的半径：，
该长方体的外接球的表面积为：．故选：．
【练1】一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,则截面图形有可能是下列中的 .
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
【练1】【答案】(1)(2)(3)(5)(6)
2、对棱相等模型
【例2】三棱锥中，已知，，，那么该三棱锥外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【例2】【解析】三棱锥的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，
它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：，，
体对角线的长为球的直径，，它的外接球半径是，
外接球的表面积是，故选：．
【例3】棱长为的正四面体的外接球和内切球的体积比是　　
A． B． C． D．
【例3】【解析】把棱长为的正四面体镶嵌在棱长为的正方体内，
外接球和内切球的球心重合，为正方体的中心，
外接球的球半径为：，，，
内切球的半径为：，
外接球和内切球的半径之比为：，
正四面体的外球和内切球的体积比是，故选：．
3、直棱柱模型：
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于　　．
【例4】【解析】设底面三角形的外心是，，
在中，，
可得，
由正弦定理，，可得外接圆半径，
设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，
故此球的表面积为故答案为：．
【练2】一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 .
【解析】设正六边形边长为，高为，底面外接圆的半径为，则，
底面积为，， 解得，
代入，解得，所以球的体积为.
4、直棱锥模型（一条直线垂直于一个平面）
如图，平面，求外接球半径.
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②.
【例5】在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 ．
【例5】【解析】因为侧棱底面，且底面为长方形，
所以内切球在侧面内的正视图为的内切圆，
设的半径为，根据圆的切线长定理得，
所以内切球的半径为；
设该阳马的外接球半径为，易知该阳马补形所得的正方体的对角线为其外接球的直径，所以，
所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为.
【练3】已知球面上的四点平面，则球的体积等于 .
【练3】【解析】依题意，画出图形如下，并把四面体补全成棱长为的正方体，正方体的外接球半径，所以球的体积，故答案为.
【练4】三棱锥中，，，平面，，则该三棱锥的外接球表面积为　　
A． B． C． D．
【练4】【解析】，，，，
的外接圆的半径，
设三棱锥的外接球的球心到平面的距离为，
则，
该三棱锥的外接球半径为，表面积为：，故选：．
5、侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高(也是圆锥的高)；
第三步：勾股定理：，解出.
【例6】已知四棱锥的的侧棱长均为，底面是两邻边长分别为和的矩形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【例6】【解析】因为底面是矩形，所以矩形的对角线为截面圆的直径.
由题意知该四棱锥外接球的球心在截面中的射影为的中点，
此时，
在中，由勾股定理得，解得.
设该四棱锥外接球的半径为，则，
所以在中，由勾股定理得，
解得，所以外接球的表面积为.故选C.
【练5】在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【练5】【解析】如图7所示，过点作底面ABC的垂线，垂足为，
设为外接球的球心，连接，因，
，故，，
又为直角三角形，，∴，
∴，∴，∴.
【练6】体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是 .
【练6】【解析】设，则，因为体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，
所以，解得.
由，得或（舍），所以.
由题意知点为的中点，在中，，
解得，
所以当截面垂直于时，截面圆的半径为，
故截面圆面积的最小值是.
6、共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的,为公共的斜边,故以“共斜边拼接模型”命名之.设点为公共斜边的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等,故点就是四面体外接球的球心,公共的斜边就是外接球的一条直径.
【例7】在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【例7】【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，
可知.
∴点到四面体的四个顶点的距离相等，
即点为四面体的外接球的球心，如图所示.
∴外接球的半径.故.选C.
【练7】在梯形中，，，，，将梯形沿对角线折叠成三棱锥，当二面角是直二面角时，三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【练7】【解析】如图：，，，，
取的中点，的中点，连结，，
平面平面，
平面，，，
，，
，即外接球的半径为2，此时三棱锥外接球的表面积为．故选：．
7、二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
【例8】已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　．
【例8】【解析】因为为外接圆的圆心，且平面平面，过作面的垂线，则垂线一定在面内，
根据球的性质，球心一定在垂线，
球心一定在面内，即球心也是外接圆的圆心，
在中，由余弦定理得，，
由正弦定理得：，解得，
三棱锥外接球的表面积为，
故答案为：．
【练8】在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　．
【练8】【解析】如图，设的外接圆的圆心为，连接，，，连接．
由题意可得，且，．
因为平面平面，且，
所以平面，且．
设为三棱锥外接球的球心，连接，，，
过作，垂足为，
则外接球的半径满足，
即，解得，
从而，故三棱锥外接球的表面积为．故答案为：．
【例9】在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为　　．
【例9】【解析】如图所示，过点作面，垂足为，过点作交于点，连接，
则为二面角的平面角的补角，即有，
易知面，则，而为等边三角形，所以为中点，
设，，，则，
故三棱锥的体积为：，
当且仅当时，体积最大，则，即，，所以、、三点共线，
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，
过点作于，则四边形为矩形，
则，，，
在中，，解得，
三棱锥的外接球的表面积为，
故答案为：．
【练9】在等腰直角中，，，为斜边的高，将沿折叠，使二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为　　．
【解析】沿折叠后二面角为，即折叠后，所以为等边三角形，
又因为，所以折叠后，
设点为三棱锥外接球的球心，为的外心，
所以，所以，
又，所以球心半径，
所以，
故答案为：．
8、圆锥圆柱圆台模型
(1)球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为.通常在中，由勾股定理建立方程来计算.如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部.和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断.
由图、图可知，或，故，所以.
(2)球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足.
(3)球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高.
【例10】已知圆台上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为，圆台的外接球的球心为，且球心在圆台的轴上，满足，则圆台的外接球的表面积为　　．
【解析】设外接球的半径为，几何体的轴截面如图：
，，
且，得，
解得，球的表面积为．
故答案为：．
【练10】设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为　　
A． B． C． D．
【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外接圆，
且两圆同圆心，即的内心与外心重合，易得为正三角形，由题意的半径为，
的边长为，圆锥的底面半径为，高为3，．故选：．
【练11】《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有很多对几何体体积的研究，已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为，高为的圆柱，上面是一个底面积为，高为的圆锥，若该容器有外接球，则外接球的体积为　
A． B． C． D．
【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，其外接球的直径是，
设圆柱的底面圆半径为，母线长为，则，
解得，又，
，解得，
外接球的半径为，
外接球的体积为．故选：．
二、内切球问题
【例11】正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切(如图).则这个正三棱锥的表面积为 ，这个正三棱锥内切球的表面积是 .
【例11】【答案】，
【解析】底面正三角形中心到一边的距离为,
则正棱锥侧面的斜高为.∴S侧＝.
∴S表＝S侧＋S底＝.
(2)设正三棱锥P-ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，
而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.
∴VP-ABC＝VO-PAB ＋VO-PBC＋VO-PAC＋VO-ABC＝S侧·r＋S△ABC·r＝ S表·r＝.
又∵VP-ABC＝， ∴，
得 ∴S内切球＝.
【例12】如图，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，则两球半径之和是 .
【例12】【答案】
【解析】（1）如图2，球心和在AC上，过，分别作AD,BC的垂线交于E,F
则由AB=1,AC=得
【例13】如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为的大球放置在底面半径和高均为的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（ ）个小球．
A．14 B．15 C．16 D．17
【例13】【答案】B
【解析】如图，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图，
设球的半径为，实心小球的半径为，
由题意可得，解得，
因为小球球心在以为圆心，为半径的圆上，，周长为，所以，
即，
故该工艺品最多可放入15个小球．
二、球的综合性问题
【例14】（2019年高考全国Ⅰ卷理）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A． B． C． D．
【例14】【答案】D
【解析】：由及是边长为2的正三角形可知，三棱锥为正三棱锥，
则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心.连接BO并延长，交AC于G，
则，又，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC.
因为E，F分别是PA，AB的中点，所以.
又，即EF⊥CE，所以PB⊥CE，得PB⊥平面PAC.所以PB⊥PA，PB⊥PC.
又因为，是正三角形，所以，故
所以正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直.
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为正方体的体对角线的长度，即, 半径为，
则球O的体积为．故选D．
【例15】已知等边三角形的边长为，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥．点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的半径为______，点到平面距离的最大值为______．
【例15】【答案】，
【解析】如图所示，设的中点为，，分别为等边三角形和梯形的外接圆圆心．
在中，为的中点，所以，
则为梯形外接圆的直径．连接，．
由题意，当四棱锥的体积最大时，平面平面，
过作平面的垂线，过作平面的垂线，两条垂线交于点，
则点即为四棱锥外接球的球心．四边形为矩形，则．
在等边三角形中，，则，，即．
又，所以四棱锥外接球的半径，
所以点到平面距离的最大值．
【例16】 把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为( )
A．l0cm B．10 cm C．10cm D．30cm
【例16】【答案】B
【解析】如图所示，由题意球心在AP上，球心为O，过O作BP的
垂线ON垂足为N，ON=R，OM=R，因为各个棱都为20，所以
AM=10，BP=20,BM=10，AB=,设，
在BPM中，,所以.在PAM中, ,所以.在ABP中, ，在ONP中, ,所以，所以.在OAM中, ,所以，,解得，或30（舍）,所以，故选B.
同步练习
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )


1．【答案】B
【解析】正三棱锥的内切球心在高线上，与侧面有公共点，与棱无公共点．
2．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
2、【解析】三棱锥中，，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，
则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径．
设长方体的棱长分别为，，，则，，，，
三棱锥外接球的直径为，三棱锥外接球的表面积为．故选：．
3．在棱长为的正四面体的外接球中，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的圆心距为，则两圆的公共弦长是　　
A． B． C．1 D．
3、【解析】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，
正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：，
所以球的半径为：，
设相互垂直两圆的圆心分别为、，球心为，公共弦为，其中点为，
则为矩形，于是对角线，而，
，则；故选：．
4．已知三棱锥中，平面，平面，若，，则此三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
4、【解析】已知三棱锥中，平面，又平面，所以，
所以补全三棱锥为三棱柱，且为直三棱柱，则所在的平面就是直三棱柱对角线所在的一个面，
三棱锥的外接球的半直径就为的长度，
又因为，，可得就是所求的外接球的直径，
所以球的直径为，径为：，所以球的表面积为．
故选：．
5．在平行四边形中，，，将此平行四边形沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
5、【解析】如图，因为平面平面（折成直二面角），
所以平面，平面，得，．取的中点，则．
于是外接球的球心是，．而．
所以半径．于是外接球的表面积为．故选：．
6．已知四棱锥中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为( )
A． B． C. D．
6．【答案】D
【解析】因为为等腰直角三角形，,故,则点到平面的距离为,而底面正方形的中心到边的距离也为,则顶点正方形中心的距离,正方形的外接圆的半径为,故正方形的中心是球心,则球的半径为,所以该几何体外接球的表面积,应选D.
7．在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B． C．6π D．
7．【答案】B
【解析】易知AC＝10.设底面△ABC的内切圆的半径为r，则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2，
因为2r＝4>3，所以最大球的直径2R＝3，即R＝.此时球的体积V＝πR3＝.故选B.
8．已知是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为( )
A． B． C． D．
8．【答案】D
【解析】如右上图，在中，由正弦定理,即,所以,,所以,，由得球心到平面的距离为,由于为直角三角形,设斜边中点为,则面,在中,球的半径,所以球的表面积,选D.
9．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球
半径为( )
A． B.
C. D.
9、【答案】C
【解析】由三视图可知：该几何体是一个如左下图所示的三棱锥P-ABC，它是一个正四棱锥P-ABCD的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4．设其外接球的球心为O，O点必在高线PE上，外接球半径为R，则在直角三角形BOE中，BO2=OE2+BE2=（PE-EO）2+BE2，即R2=(4-R)2+(3)2，解得：R=，故选C.
10．已知球内接正四面体，为棱的中点，是棱上的一点，且，则球与四面体的体积比为（ ）
A． B． C． D．
10、【答案】D
【解析】如图，正四面体中，顶点在底面的射影为，球心在上．
设正四面体的棱长为，则正四面体高．
设外接球半径为，在直角三角形中，，
即，解得．
令，在中，由余弦定理得①，
同理，在中，由余弦定理得②，
由题设，解得．
由于到平面的距离与到平面的距离相等，都等于，，
故，，
所以．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
11．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是　　．
11、【解析】显然正六棱锥的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，
又正六棱锥的高依题意可得为2，，斜高为：．
依此可求得正六棱锥的侧面积：，故答案为．
12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是,则这个三棱柱的体积为 .
12．【答案】
【解析】由球的体积公式得：,解得：，所以正三棱柱的高，
设正三棱柱的底面边长为a,则其内切圆的半径为：，得
所以该正三棱柱的体积为
13．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离是 ．
13、【答案】．
【解析】四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，如右上图，则正四面体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为．
14．正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最大值为 .
14、【答案】
【解析】截面图为长方形和其外接圆.球心为的中点，则设正四棱柱的侧棱长为,底面边长为，则
,则正四棱柱的侧面积:
故侧面积有最大值，为，当且仅当时等号成立.
15．表面积为的球面上有四点且是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若,则棱锥体积的最大值为 ．
15、【答案】27
【解析】因为表面积为的球，所以球的半径为，设的中心为D，则，所以，则，棱锥S-ABC的底面积为定值，欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面平面，所以S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而，点D到直线AB的距离为，则S到平面ABC的距离的最大值为，所以．
16．在三棱锥中， ，且，则该三棱锥外接球的表面积为________.
16、【解析】设顶点在底面中的射影为，由于，所以，即点是底面的外心，
又，所以为的中点，
因为，所以，
设外接球的球心为，半径为，则必在上，，
在中，，解得，所以.
17．在菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为　　．
17、【解析】取的中点，连接，，
在等边三角形中，，在等边三角形中，，
由平面平面，，平面平面，
可得平面，即有，为等腰直角三角形，
设三棱锥的外接球的球心为，半径设为，
底面的中心为，面的外心为，
则，，
在直角三角形中，．
而，解得，则，解得，
故答案为：．
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