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高中数学重难点突破
专题十二 立体几何客观题解题策略
典例分析
题型一　线面位置关系的判断
例1-1、(多选)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则(　　)
A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n　　　　　　B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β　　　　　　 D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β
例1-2、如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，
且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：
①BC⊥PC；②OM∥平面APC；
③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．
其中正确的是(　　)
A．①②　　　　　　　　 B．①②③　　　　　　　　
C．①　　　　　　　　 D．②③
例1-3、如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD．
例1-4、(多选题)如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1)．将四边形ADEF沿AD折起，连接AC，CF，BE，BF，CE(如图2)，在折起的过程中，下列说法错误的是(　　)
A．AC∥平面BEF　　　　　　　　　　　　　　
B．B，C，E，F四点不可能共面
C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD　　　
D．平面BCE与平面BEF可能垂直
题型二　截面问题
例2-1、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，
则作过E，F，G三点的截面图形为(　　)
A．四边形　　　　　　B．三角形　　　　　　
C．五边形　　　　　　D．六边形
例2-2、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱
B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且
平行于平面A1EF的截面图形为(　　)
A．矩形　　　　　　 　B．三角形　　　　　　　　
C．正方形　　　　　　 　D．等腰梯形
例2-3、如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．
例2-4、在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H．D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．
题型三　空间角的计算
例3-1、在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)
A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
例3-2、如图所示，在四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为________．
例3-3、(2022·全国甲理)在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则(　　)
A．　　　　　　　　　 　　　B．AB与平面所成的角为
C．　　　　　　　　　　　　　D．与平面所成的角为
例3-4、如图，正四棱锥P－ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为(　　)
A．60°　　　　　　　　B．30°　　　　　　　　C．45°　　　　　　　　D．90°
例3-5、如图，在三棱锥S－ABC中，若AC＝2，SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝4，E为棱SC的中点，则直线AC与BE所成角的余弦值为______，直线AC与平面SAB所成的角为_______．
例3-6、(多选题)“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（ ）
A．与所成的角是60°的棱共有8条
B．与平面BCD所成的角为30°
C．二面角的余弦值为
D．经过四个顶点的球面面积为
例3-7、(2022·浙江) 如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则(　　)
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
例3-8、已知在矩形ABCD中，AD＝AB，沿直线BD将△ABD 折成△A′BD，使得点A′在平面BCD上的射影在△BCD内(不含边界)，设二面角A′－BD－C的大小为θ，直线A′D，A′C与平面BCD所成的角分别为α，β，则(　　)
A．α<θ<β　　　　　　　B．β<θ<α　　　　　　　C．β<α<θ　　　　　　　D．α<β<θ
题型四　几何体的面积与体积的计算
例4-1、(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，
若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．
例4-2、(多选题)已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面均为正方形，其中AB＝2，A1B1＝，
AA1＝BB1＝CC1＝2，则下列叙述中正确的是(　　)
A．该四棱台的高为　　　　　　　B．AA1⊥CC1　　　　　
C．该四棱台的表面积为26　　　　　D．该四棱台外接球的表面积为16π
例4-3、(2022·新高考Ⅱ)如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则(　　)
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
例4-4、已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1—B1EDF
的体积为________．
例4-5、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，则四棱锥P－ABCD与三棱锥P－QBM的体积之比是________．
题型五　球的问题
例5-1、已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二面角A－EF－C的大小为120°，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为(　　)
A．6π　　　　　　　　B．5π　　　　　　　　C．4π　　　　　　　　D．3π
例5-2、已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为(　　)
A．4π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　　D．64π
例5-3、在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，若，三棱锥的各个顶点均在球上，则球的表面积为(　　)．
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
例5-4、已知三棱锥，，且、均为等边三角形，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积是________．
例5-5、已知边长为6的菱形中，，沿对角线折成二面角的大小为的四面体且，则四面体的外接球的表面积为________．
题型六　最值问题
例6-1、如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
例6-2、已知正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，
侧棱长为，为的中点，为中点，是的动点，
是平面上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
例6-3、已知三棱锥中，，二面角的余弦值为，点在棱上，且，过作三棱锥外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例6-4、已知四面体的所有棱长均为，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点．有下列结论：
①线段的长度为1；
②若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线；
③的余弦值的取值范围为；
④周长的最小值为．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例6-5、(多选题)点是平面内的两个定点，，点在平面的同一侧，且，，若与平面所成的角分别为，则下列关于四面体的说法中，正确的是（ ）
A．点在空间中的运动轨迹是一个圆
B．面积的最小值为2
C．四面体体积的最大值为
D．当四面体的体积达最大时，其外接球的表面积为
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高中数学重难点突破
专题十一 立体几何客观题解题策略
典例分析
题型一　线面位置关系的判断
例1-1、(多选)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则(　　)
A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n　　　　　　B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β　　　　　　D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β
例1-1、答案　BC　解析 对于A，若m∥α，n∥β，α∥β，则m与n相交、平行或异面，故错误；
对于B，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故正确；
对于C，若m∥n，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得α∥β，故正确；
对于D，若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β或m β，故错误．故选BC．
例1-2、如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是(　　)
A．①②　　　　　　　　B．①②③　　　　　　　　C．①　　　　　　　　D．②③
例1-2、答案　B　解析　对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵AC∩PA
＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC 平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA 平面PAC，OM 平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．
例1-3、如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD．
例1-3、答案　①②④　解析　由已知，在未折叠的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD，
所以四边形ABED为平行四边形，所以BE＝AD，折叠后如图所示．
①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连接NP．因为M，N分别是AD，BE的中点，
所以点P为AE的中点，故NP∥EC．又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，
所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；
②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，所以AE⊥MP，AE⊥NP，又MP∩NP＝P，
所以AE⊥平面MNP，又MN 平面MNP，所以MN⊥AE，②正确；
③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE 平面MNBA，
AD 平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，③错误；④当EC⊥ED时，EC⊥AD．
因为EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，所以EC⊥平面AED，AD 平面AED，所以EC⊥AD，④正确．
例1-4、(多选题)如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1)．将四边形ADEF沿AD折起，连接AC，CF，BE，BF，CE(如图2)，在折起的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．AC∥平面BEF　　　　　　　　　　　　　　B．B，C，E，F四点不可能共面
C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD　　　D．平面BCE与平面BEF可能垂直
例1-4、答案　ABC　解析　A选项，连接BD，交AC于点O，取BE的中点M，连接OM，FM，
则四边形AOMF是平行四边形，所以AO∥FM，因为FM 平面BEF，AC 平面BEF，
所以AC∥平面BEF；B选项，若B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，
所以BC∥平面ADEF，又BC 平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，
所以可推出BC∥EF，又BC∥AD，所以AD∥EF，矛盾；
C选项，连接FD，在平面ADEF内，由勾股定理可得EF⊥FD，
又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，所以EF⊥CD，
又CD⊥AD，EF与AD相交，所以CD⊥平面ADEF，
所以平面ADEF⊥平面ABCD；D选项，延长AF至G，使AF＝FG，
连接BG，EG，可得平面BCE⊥平面ABF，且平面BCE∩平面ABF＝BG，
过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，
则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾．
题型二　截面问题
例2-1、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，则作过E，F，G三点的截面图形为(　　)
A．四边形　　　　　　B．三角形　　　　　　
C．五边形　　　　　　D．六边形
例2-1、答案　C　解析　作法：①在底面AC内，过E，F作直线EF，分别与DA，DC的延长线交于L，M．②在侧面A1D内，连接LG交AA1于K．③在侧面D1C内，连接GM交CC1于H．④连接KE，FH．则五边形EFHGK即为所求的截面．
例2-2、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为(　　)
A．矩形　　　　　　　B．三角形　　　　　　　　
C．正方形　　　　　　　D．等腰梯形
例2-2、答案　D　解析　取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G，
由题意得GH∥EF，AH∥A1F，又GH 平面A1EF，EF 平面A1EF，
∴GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF，
又GH∩AH＝H，GH，AH 平面AHGD1，
∴平面AHGD1∥平面A1EF，
故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1，
显然为等腰梯形．
例2-3、如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．
例2-3、答案　S3设三边OA，OB，OC分别为a，b，c，且a>b>c，利用等体积法易得
S1＝a，S2＝b，S3＝c，∴S－S＝(a2b2＋a2c2)－(b2a2＋b2c2)＝c2(a2－b2)，又a>b，∴S－S>0，即S1>S2，同理，平方后作差可得，S2>S3，∴S3例2-4、在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H．D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．
例2-4、答案　　解析　如图，取AC的中点G，连接SG，BG．易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，SG，BG 平面SGB，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB．因为SB∥平面DEFH，SB 平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD．同理SB∥FE．又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HFACDE，所以四边形DEFH为平行四边形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝·＝．
题型三　空间角的计算
例3-1、在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)
A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
例3-1、答案　A　解析　如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，
FG，则EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角．易知FO∥AB，因为AB⊥平面BCD，所以FO⊥平面BCD，所以FO⊥OG，设AB＝2a，则EG＝EF＝a，FG＝＝a，所以∠FEG＝60°，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A．
例3-2、如图所示，在四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为________．
例3-2、答案　90°　解析　如图所示，延长DA至E，使AE＝DA，连接PE，BE．
∵∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，∴DE＝BC，DE∥BC．
∴四边形CBED为平行四边形，∴CD∥BE．
∴∠PBE就是异面直线CD与PB所成的角．
在△PAE中，AE＝PA，∠PAE＝120°，由余弦定理，
得PE＝
＝＝AE．
在△ABE中，AE＝AB，∠BAE＝90°，∴BE＝AE．
∵△PAB是等边三角形，∴PB＝AB＝AE，∴PB2＋BE2＝AE2＋2AE2＝3AE2＝PE2，∴∠PBE＝90°．
例3-3、(2022·全国甲理)在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则(　　)
A．　　　　　　　　　 　　　B．AB与平面所成的角为
C．　　　　　　　　　　　　　D．与平面所成的角为
例3-3、答案　D　解析　如图所示：不妨设，
依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，
与平面所成角为，
所以，即，，解得．
对于A，，，，A错误；
对于B，过作于，易知平面，
所以与平面所成角为，因为，
所以，B错误；
对于C，，，，C错误；
对于D，与平面所成角为，，而，
所以．D正确．故选D．
例3-4、如图，正四棱锥P－ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为(　　)
A．60°　　　　　　　　B．30°　　　　　　　　
C．45°　　　　　　　　D．90°
例3-4、答案　A　解析　如图，在正四棱锥P－ABCD中，
根据底面积为6可得，BC＝．连接BD交AC于点O，连接PO，
则PO为正四棱锥P－ABCD的高，根据体积公式可得，PO＝1．
因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD，又BD⊥AC，PO∩AC＝O，
所以BD⊥平面PAC，连接EO，则∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角．
在Rt△POA中，因为PO＝1，OA＝，所以PA＝2，OE＝PA＝1，
在Rt△BOE中，因为BO＝，所以tan∠BEO＝＝，即∠BEO＝60°．
例3-5、如图，在三棱锥S－ABC中，若AC＝2，SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝4，E为棱SC的中点，则直线AC与BE所成角的余弦值为______，直线AC与平面SAB所成的角为_______．
例3-5、答案　　60°　解析　取SA的中点M，连接ME，BM ，
则直线AC与BE所成的角等于直线ME与BE所成的角，
因为ME＝，BM＝BE＝2，cos∠MEB＝＝，
所以直线AC与BE所成角的余弦值为．取SB的中点N，连接AN，CN，
则AN⊥SB，CN⊥SB SB⊥平面ACN 平面SAB⊥平面ACN ，
因此直线AC与平面SAB所成的角为∠CAN，因为AN＝CN＝AC＝2 ，
所以∠CAN＝60°，因此直线AC与平面SAB所成的角为60°．
例3-6、（多选题）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（ ）
A．与所成的角是60°的棱共有8条
B．与平面BCD所成的角为30°
C．二面角的余弦值为
D．经过四个顶点的球面面积为
例3-6、【答案】CD
【详解】补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为a.
由题意，该半正多面体是由6个全等的正方形与8个全等的正三角形构成，
由半正多面体的表面积为，可得，解得a=1.
对于A，在与AB相交的6条棱中，与AB成60°角的棱有4条，
这4条棱中，每一条都有3条平行的棱，
故与AB所成的角是60°的棱共有16条，故A不正确；
对于B，因为AE⊥平面BCD，所以AB与平面BCD所成角为∠ABE=45°，故B不正确；
对于C，取BC中点F，连接EF，AF，则有AF⊥BC，EF⊥BC，
故二面角A-BC-D的补角为∠AFE.二面角A-BC-D的余弦值为-cos∠AFE，
在Rt△AEF中，，∴，
， ，故C正确;
对于D，由半正多面体的对称中心与相应的正方体的对称中心为同一点，
即为正方体对角线的中点O，点O在平面ABE的投影为投影点O1，则有，
∴，故经过A，B，C，D四个顶点的球面的半径为面积为，故D正确.
故选：CD
例3-7、(2022·浙江) 如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则(　　)
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
例3-7、答案　A　解析　如图所示，过点作于，过作于，连接，
则，，，，，，所以，故选A．
例3-8、已知在矩形ABCD中，AD＝AB，沿直线BD将△ABD 折成△A′BD，使得点A′在平面BCD上的射影在△BCD内(不含边界)，设二面角A′－BD－C的大小为θ，直线A′D，A′C与平面BCD所成的角分别为α，β，则(　　)
A．α<θ<β　　　　　　　B．β<θ<α　　　　　　　C．β<α<θ　　　　　　　D．α<β<θ
例3-8、答案　D　解析　如图，∵四边形ABCD为矩形，∴BA′⊥A′D，
当A′点在底面上的射影O落在BC上时，有平面A′BC⊥底面BCD，又DC⊥BC，平面A′BC∩平面BCD＝BC，DC 平面BCD，可得DC⊥平面A′BC，则DC⊥BA′，∴BA′⊥平面A′DC，在Rt△BA′C中，设BA′＝1，则BC＝，∴A′C＝1，说明O为BC的中点；当A′点在底面上的射影E落在BD上时，可知A′E⊥BD，设BA′＝1，则A′D＝，∴A′E＝，BE＝．要使点A′在平面BCD上的射影F在△BCD内(不含边界)，则点A′的射影F落在线段OE上(不含端点)．可知∠A′EF为二面角A′－BD－C的平面角θ，直线A′D与平面BCD所成的角为∠A′DF＝α，直线A′C与平面BCD所成的角为∠A′CF＝β，可求得DF＞CF，∴A′C＜A′D，且A′E＝<1，而A′C的最小值为1，∴sin∠A′DF＜sin∠A′CF＜sin∠A′EO，则α＜β＜θ．
题型四　几何体的面积与体积的计算
例4-1、(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，
若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．
例4-1、答案　40π　解析　如图，∵SA与底面成45°角，∴△SAO为等腰直角三角形．设OA＝r，则SO
＝r，SA＝SB＝r．在△SAB中，cos ∠ASB＝，∴sin ∠ASB＝，∴S△SAB＝SA·SB·sin ∠ASB＝×(r)2×＝5，解得r＝2，∴SA＝r＝4，即母线长l＝4，∴S圆锥侧＝πrl＝π×2×4＝40π．
例4-2、(多选)已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面均为正方形，其中AB＝2，A1B1＝，AA1＝BB1＝CC1＝2，则下列叙述中正确的是(　　)
A．该四棱台的高为　　　　　　　B．AA1⊥CC1　　　　　
C．该四棱台的表面积为26　　　　　D．该四棱台外接球的表面积为16π
例4-2、答案　AD　解析　由棱台的性质，画出切割前的四棱锥，如图所示．由于AB＝2，A1B1＝，可知△SA1B1与△SAB的相似比为1∶2，则SA＝2AA1＝4，AO＝2，则SO＝2，则OO1＝，故该四棱台的高为，A正确；因为SA＝SC＝AC＝4，则AA1与CC1的夹角为60°，不垂直，B错误；该四棱台的表面积为S＝S上底＋S下底＋S侧＝2＋8＋4××＝10＋6，C错误；由于上、下底面都是正方形，则四棱台外接球的球心在OO1上，在平面B1BOO1中，由于OO1＝，B1O1＝1，则OB1＝2＝OB，即点O到点B与点B1的距离相等，则四棱台外接球的半径r＝OB＝2，故该四棱台外接球的表面积为16π，D正确．故选AD．
例4-3、(2022·新高考Ⅱ)如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则(　　)
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
例4-3、答案　CD　解析　
设，因为平面，，则，
，连接交于点，连接，易得，又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，则，，，则，，，则，则，，，故A、B错误；C、D正确．故选CD．
例4-4、已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1—B1EDF
的体积为________．
例4-4、答案　a3　解析　方法一　如图所示，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过点O1作O1H⊥B1D于点H．因为EF∥A1C1，且A1C1 平面B1EDF，EF 平面B1EDF，所以A1C1∥平面B1EDF．所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离．易知平面B1D1D⊥平面B1EDF，又平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，所以O1H⊥平面B1EDF，所以O1H等于四棱锥C1—B1EDF的高．因为△B1O1H∽△B1DD1，所以O1H＝＝a．所以＝·O1H＝×·EF·B1D·O1H＝×·a·a·a＝a3．
方法二　连接EF，B1D．设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝a．由题意得，＝··(h1＋h2)＝a3．
例4-5、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，则四棱锥P－ABCD与三棱锥P－QBM的体积之比是________．
例4-5、答案　3∶1　解析　过点M作MH∥BC交PB于点H．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．∵PA＝PD＝AD＝AB＝2，∠BAD＝60°，∴PQ＝BQ＝．
∴VP ABCD＝PQ·S菱形ABCD＝××2×＝2．又PQ⊥BC，BQ⊥AD，AD∥BC．∴BQ⊥BC，又QB∩QP＝Q，∴BC⊥平面PQB，由MH∥BC，∴MH⊥平面PQB，＝＝，∵BC＝2，∴MH＝，∴VP QBM＝VM PQB＝××××＝，∴VP ABCD∶VP QBM＝3∶1．
题型五　球的问题
例5-1、已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二面角A－EF－C的大小为120°，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为(　　)
A．6π　　　　　　　　B．5π　　　　　　　　C．4π　　　　　　　　D．3π
例5-1、答案　B　解析　其中O1，O2分别为正方形AEFD和BCFE的中心，OO1，OO2分别垂直于这两个平
面．由于∠OGO2＝60°，O2G＝，所以OO2＝，而O2C＝CE＝，所以球的半径OC＝＝，所以球的表面积为4π·OC2＝5π．故选B．
例5-2、已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为(　　)
A．4π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　　D．64π
例5-2、答案　C　解析　在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，∴AC2＝AB2＋BC2，即AB⊥BC．又SA⊥平面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥BC，∴三棱锥S－ABC可补成分别以AB＝1，BC＝，SA＝2为长、宽、高的长方体，∴球O的直径为＝4，故球O的表面积为4π×22＝16π．
另解　取SC的中点E，连接AE，BE，依题意，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，∴AC2＝AB2
＋BC2，即AB⊥BC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，又SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，BC⊥SB，AE＝SC＝BE，∴点E是三棱锥S－ABC的外接球的球心，即点E与点O重合，OA＝SC＝＝2，故球O的表面积为4π×OA2＝16π．
例5-3、在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，若，三棱锥的各个顶点均在球上，则球的表面积为(　　)．
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
例5-3、答案　D　解析　记外接圆圆心为，外接圆圆心为，连结，，则平面，平面；取中点，连结，因为是边长为2的正三角形，所以过点，且；在中，，，设外接圆为，则，所以，故，所以有，因为为中点，所以，且；又平面平面，所以平面，平面；因此且，设三棱锥外接球半径为，则，因此，球的表面积为．故选D．
例5-4、已知三棱锥，，且、均为等边三角形，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积是________．
例5-4、答案　　解析　取的中点，连接、，则，且，所以，二面角的平面角为，且，则是边长为的正三角形，如下图所示，设和的外心分别为点、，则，过点、在平面内作和的垂线交于点，则为该三棱锥的外接球球心，易知，，所以，，，所以，球的半径为，因此，该三棱锥的外接球的表面积为．
例5-5、已知边长为6的菱形中，，沿对角线折成二面角的大小为的四面体且，则四面体的外接球的表面积为________．
例5-5、答案　　解析　由边长为6的菱形中，，可知，，在折起的四面体中，取 的中点，连接，，，则，，，面，为二面角的大小为，在，上分别取，，则，分别为三角形，的外接圆的圆心，过，分别做两个三角形的外接圆的垂线，交于，则为四面体外接球的球心，连接， 为外接球的半径．则，所以，所以，在三角形，，解得，在三角形中，余弦定理可得，即，所以外接球的表面积．
题型六　最值问题
例6-1、如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，
设点的新位置为，连接，则有.
当三点共线时，则即为的最小值.
在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即
在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.
同理可求：
因为，所以为等边三角形，所以，
所以在三角形中，,,
由余弦定理得：.
故选B.
例6-2、已知正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，为的中点，为中点，是的动点，是平面上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
例6-2、【答案】A
【详解】因为为上的动点，为平面上的动点，且两者的运动无关，所以采用一定一动的原则，
先固定，当在动的时候，显然，当平面时，取最小值，
为了确定垂直状态在哪里，具体给出下图：
作分别交、于点、，连接，
当点在上且时，平面，
以下证明此时平面，
，为的中点，则，同理可知，，
，平面，
所以，，所以，平面，
此时，再将平面绕着转动，使得、、、四点共面，
此时，释放点，当点在运动过程中，、、三点共线时，
，
已经找到最小状态，易知，，
，平面，则平面，则平面，
平面，，故，则，
，，则，则为等腰直角三角形，
故，，
因为.
故选：A.
例6-3、已知三棱锥中，，二面角的余弦值为，点在棱上，且，过作三棱锥外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例6-3、【答案】B
【详解】由已知可得，，都是边长为4的正三角形，
取的中点为，连接，则，
故为二面角的平面角，而，故，
故三棱锥是棱长为4的正四面体.
将该三棱锥放置在如图所示的棱长为的正方体中，
则正四面体的外接球即正方体的外接球，其半径为，故，
过且垂直于的平面截球面的面积最小.
又，∵，，
∴，
则截面圆的半径，∴截面面积的最小值为．
故选：B．
例6-4、已知四面体的所有棱长均为，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点．有下列结论：
①线段的长度为1；
②若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线；
③的余弦值的取值范围为；
④周长的最小值为．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例6-4、【答案】B
【分析】将正四面体放在正方体中观察，对于①，可根据分别为正方体前后两个面的中心可得出结论；
对于②，取为的中点，取为的中点，此时与相交；对于③，计算可得，由逼近思想可作出判断；对于④，空间问题平面化的技巧，将三角形与放在同一平面上，可计算出．
【解析】在棱长为的正方体上取如图所示的四个顶点依次连接，即可得到棱长为四面体，
显然，分别为正方体前后两个面的中心，故线段的长度为正方体棱长，故 ①对；
对于②：
如图，取为的中点，取为的中点，取为的中点，则由正方体的性质易知，该三点在一条直线上，故此时与相交于，故②错；
对于③，，，又有，
故，故点无限接近点时，会无限接近，故的余弦值的取值范围不为，③错误；
对于④，如图将等边三角形与铺平，放在同一平面上，故有，当且仅当为中点时取最小值，故在正方体中，故周长的最小值为，故④对，故选B．
例6-5、点是平面内的两个定点，，点在平面的同一侧，且，，若与平面所成的角分别为，则下列关于四面体的说法中，不正确的是（ ）
A．点在空间中的运动轨迹是一个圆 B．面积的最小值为2
C．四面体体积的最大值为 D．当四面体的体积达最大时，其外接球的表面积为
例6-5、【答案】C
【详解】如图所示，
对于A，因为与平面所成的角为，过作平面的垂线,则与所成的角为，
则A在以为轴线，以为母线的上底面圆周上，故A正确；
对于B，B在以为轴线，以为母线的上底面圆周上，则，由图可知，，即，则面积的最小值为，故B正确；
对于C，当最大，且平面时，四面体ABCD体积取得最大值为，故C错误；
对于D，当四面体ABCD体积取得最大值时，，，，利用余弦定理求得，满足，可得，则所在截面圆的圆心为中点，设四面体ABCD外接球的球心为，则平面，则，，在直角中，求得，即四面体ABCD外接球的半径为，其表面积为，故D正确；
故选：C
题型七　综合问题
例7-1、1．如图，已知四棱锥中，平面，，，为中点，在上，，，则下列结论正确的是　　
A． B．与平面所成角为
C．四面体的体积为 D．平面平面
例7-1、【解答】解：对于，连接，
，，
，，，
同理可得，故，为的中点，
又为的中点，，
又，则与不可能平行，选项错误；
对于，由于平面，则与平面所成角即为，
又，则，
，又，则，选项错误；
对于，，
又平面，，平面，
又，，选项正确；
对于，平面，平面，，
又，，，平面，平面，
又平面，平面平面，选项正确．
故选：．
例7-2、如图，是底面为矩形的直四棱柱，，，点，，分别为棱，，的中点，则下列结论中正确的有　　
A．与异面 B． C．平面 D．平面
例7-1、【解答】解：连接和，，点、、、共面，面，
又面，与异面，则选项正确；
连接和，四边形为正方形，，，，
又，面，面，，则选项正确；
作的中点，连接和，交于点，连接，
四边形为正方形，为的中点，，
，，
又面，平面，则选项正确；
连接，若平面，平面，则，
又，平面，，
如下图所示，由可知，，，
则，故和不垂直，则与平面不垂直，则选项不正确；
故选：．
例7-3、如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是　　
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．的取值范围是
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
例7-3、【解答】解：，，则侧面积为，故错误；
，，当且仅当时等号成立，
面积的最大值为1，故三棱锥体积的最大值为，故正确；
过作，垂足为，则，而，故，
当且仅当，重合时等号成立，而为锐角，故，故错误；
当时，，此时为等边三角形，为等腰直角三角形，
将、沿展开至同一个平面，得到如图所示的平面图形，
连接，其中，
则，，
而，当且仅当，，三点共线时等号成立，故正确．
故选：．
例7-4、一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，，，，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥，取中点与中点，则下列判断中正确的是　　
A．
B．与平面所成的角的余弦值为
C．平面与平面所成的二面角的平面角为
D．设平面平面，则有
例7-4、【解答】解：由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得，，，
面，，故正确；
面，与面所成角为，
与平面所成的角的余弦值为，故错误；
对于选项可以考虑特殊位置法，由面．得到面面，
点在平面内的射影在直线上，
不妨设点在平面内的射影为，过点作，
连接，由题意得平面，
则面，为平面与平面所成二面角的平面角，
设，，，，，
不等于，故错误；
设平面与平面的交线为，
又，面，面，
面，由线面平行的性质定理得，故正确．
故选：．
例7-5、已知正方形的边长是2，点、分别是边，的中点，将该正方形沿对角线折起，得到三棱锥，则在折起的过程中，以下结论正确的是　　
A．异面直线与所成的角为定值
B．存在某个位置，使得直线与直线垂直
C．当平面平面时，三棱锥内切球半径是
D．三棱锥的体积最大值为
例7-5、【解答】解：对于，设为中点，连接，，则，，
又，平面，
平面，，故正确；
对于，假设，又，且，
平面，
平面，，
由选项可知，，且，平面，
，则，
，，又，，
中有两个直角，不可能成立，故与不能垂直，故错误；
对于，，，是二面角的平面角，
当平面平面时，，
，为的中点，，，
设三棱锥内切球半径为，
则，
，
，，
当平面平面时，三棱锥内切球半径是，故正确；
对于，设到平面的距离为，则，
，
三棱锥的体积最大值为，故正确．
故选：．
例7-6、如图，两个底面为矩形的四棱锥，组合成一个新的多面体，其中，△为等边三角形，其余各面为全等的等腰直角三角形．平面平面，平面截多面体所得截面多边形的周长为，则下列结论正确的有　　
A． B．
C．多面体有外接球 D．为定值
例7-6、【解答】解：对于选项，因为，且，，则，
因为为等腰直角三角形，则，错；
对于选项，若，因为为等腰直角三角形，则，设，
从而，从而，
因为，则，故不为等腰直角三角形，矛盾，故，
若，则，则为等边三角形，矛盾，
故，因为为等腰直角三角形，则，
，，则平面，
平面，，对；
对于选项，连接、交于点，连接、，
因为，，，则平面，
平面，则，故，同理，
因此，多面体有外接球，对；
对于选项，设截面与多面体各棱的交点如下图所示：
因为平面平面，平面平面，
平面平面，故，
同理可证，，，，，
将侧面、、、、、延展成一个平面，如下图所示：
由上图可知，四边形为平行四边形，且，
且点、、、、、、共线，则，
因为，从而，又因为，
故四边形为平行四边形，
故，对，
故选：．
例7-7、如图，在正四棱锥中，，、分别为、的中点，平面与棱的交点为．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求平面与平面所成锐二面角的大小；
（3）求点的位置．
例7-7、【解答】解：（1）连接，，相交于点，
因为四边形是正方形，所以是正方形的中心，连接，
因为四棱锥是正四棱锥，则底面，连接，
因为为的中点，所以是的中位线，所以，
（或补角）即为异面直线与所成角的大小，
因为正四棱锥中，，所以是等边三角形，
所以，由勾股定理得：，所以，
因为，为的中点，所以，
在中，由余弦定理得：，
所以异面直线与所成角的大小为．
（2）连接，与相交于点，则为，的中点，
因为分别为的中点，所以是三角形的中位线，所以，
因为平面，平面，所以平面，
设平面与平面相交于直线，故，连接，
则因为，所以，又因为，
故即为平面与平面所成锐二面角，其中，，
所以，故，
即平面与平面所成锐二面角的大小为．
（3）延长，则由两平面相交的性质可得一定过点，
过点作交于点，因为底面，所以底面，
设，则，由第二问知：，
所以，即，解得：，
故，所以点的位置为线段靠近的三等分点．
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