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专题18　　动量定理和动量守恒定律
题型 选择题、解答题 命题趋势和备考策略
高考考点 动量定理的理解和应用； 动量守恒条件的理解和应用； 人船模型和类人船模型的理解和应用 【命题规律】 近3年新高考卷对于运动的描述考查共计25次，主要考查： 1. 动量定理的理解和应用； 2. 动量守恒条件的理解和应用； 3. 动量守恒定律在人船模型（或类人船模型）中的应用。 【备考策略】 掌握并区分动能定理和动量定理的异同点；掌握动量守恒条件；掌握动量守恒天津在反冲问题、人船模型中的应用。 【命题预测】 动量定理和动量守恒定律是高考必考的考点之一，常与动能定理，机械能相关知识结合一起考察，在磁场中同样应用较广。2024年考生需要熟练掌握动量定理和动量守恒定律的应用，多做与生产、生活相关的科技类题型。
新高考 2023 广东卷10题、天津卷12题、天津卷5题、山东卷18题、海南卷18题、上海卷20题、新课标卷6题、全国甲卷25题、
2022 重庆卷10题、北京卷12题、北京卷10题、江苏卷13题、天津卷11题、福建卷16题、福建卷1题、河北卷13题、
2021 天津卷10题、辽宁卷15题、河北卷15题、湖北卷3题、湖南卷8题、广东卷13题、全国乙卷14题、山东卷11题、浙江卷12题
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知识梳理
一、冲量、动量和动量定理 2
二、动量守恒定律 2
考点突破
考点一　动量定理的理解和应用 3
角度1：缓冲类问题 3
角度2：蹦极类问题 4
角度3：流量、流体类问题 7
考点二　动量守恒定律的理解和应用 8
角度1：动量守恒条件的理解 8
角度2：人船模型 10
考点过关
【素质基础练】 13
【能力提高练】 18
【高考通关练】 31
一、冲量、动量和动量定理
1．冲量
(1)定义：力和力的 的乘积．
(2)公式：I＝ ，适用于求恒力的冲量．
(3)方向：与 相同．
2．动量
(1)定义：物体的 与 的乘积．
(2)表达式：p＝ .
(3)单位：千克·米/秒；符号：kg·m/s.
(4)特征：动量是状态量，是 ，其方向和 方向相同．
3．动量定理
(1)内容：物体所受合力的冲量等于物体
(2)表达式：F合·t＝Δp＝p′－p.
(3)矢量性：动量变化量方向与 的方向相同，可以在力的方向上用动量定理．
(4)动能和动量的关系：Ek＝.
二、动量守恒定律
1．内容
如果一个系统 ，或者 ，这个系统的总动量保持不变．
2．表达式
(1)p＝p′，系统相互作用前总动量p等于相互作用后的总动量p′.
(2)m1v1＋m2v2＝ ，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和．
(3)Δp1＝ ，相互作用的两个物体动量的变化量等大反向．
(4)Δp＝ ，系统总动量的增量为零．
3．适用条件
(1)理想守恒：不受外力或所受外力的合力为
(2)近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力 它所受到的外力．
(3)某一方向守恒：如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则系统 动量守恒．
考点一　动量定理的理解和应用
1．动量定理理解的要点
(1)矢量式．
(2)F既可以是恒力也可以是变力．
(3)冲量是动量变化的原因．
(4)由Ft＝p′－p，得F＝＝，即物体所受的合力等于物体的动量对时间的变化率．
2．用动量定理解释现象
(1)Δp一定时，F的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小．
(2)F一定，此时力的作用时间越长，Δp就越大；力的作用时间越短，Δp就越小．
分析问题时，要把哪个量一定、哪个量变化搞清楚．
3．应用动量定理解题的步骤
(1)确定研究对象：可以是单个物体，也可以是几个物体组成的系统．
(2)进行受力分析：分析研究对象以外的物体施加给研究对象的力．
(3)分析运动过程，选取正方向，确定初、末状态的动量以及整个过程合力的冲量．
(4)列方程：根据动量定理列方程求解．
角度1：缓冲类问题
【典例1】（2022·北京·高考真题）“雪如意”是我国首座国际标准跳台滑雪场地。跳台滑雪运动中，裁判员主要根据运动员在空中的飞行距离和动作姿态评分。运动员在进行跳台滑雪时大致经过四个阶段：①助滑阶段，运动员两腿尽量深蹲，顺着助滑道的倾斜面下滑；②起跳阶段，当进入起跳区时，运动员两腿猛蹬滑道快速伸直，同时上体向前伸展；③飞行阶段，在空中运动员保持身体与雪板基本平行、两臂伸直贴放于身体两侧的姿态；④着陆阶段，运动员落地时两腿屈膝，两臂左右平伸。下列说法正确的是（　　）
A．助滑阶段，运动员深蹲是为了减小与滑道之间的摩擦力
B．起跳阶段，运动员猛蹬滑道主要是为了增加向上的速度
C．飞行阶段，运动员所采取的姿态是为了增加水平方向速度
D．着陆阶段，运动员两腿屈膝是为了减少与地面的作用时间
【变式】（多选）（2023·四川眉山·校考模拟预测）在篮球场某同学伸出双手迎接传来的篮球，接球时，两手随球迅速收缩至胸前。该同学这样做的目的是（　　）
A．延长球对手的作用力时间 B．减小球的动量变化量
C．减小球对手的冲量 D．减小球对手的作用力
角度2：蹦极类问题
【典例2】（2023·湖南长沙·校联考二模）蹦极是一项非常刺激的户外休闲活动。图甲为蹦极的场景，一游客从蹦极台下落的速度一位移图象如图乙所示。已知弹性轻绳的弹力与伸长量的关系符合胡克定律，游客及携带装备的总质量为，弹性轻绳原长为，若空气阻力恒定，游客下落至处时速度大小为，重力加速度取，下列正确的是（　　）
A．整个下落过程中，游客先处于失重后处于超重状态
B．游客及携带装备从静止开始下落的过程中重力的冲量为
C．游客在最低点时，弹性势能最大为
D．弹性绳长为时，游客的加速度大小为
【变式】（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图为某运动员完成蹦床运动时，利用传感器测得蹦床弹力随时间的变化图。假设运动员仅在竖直方向运动，且不计空气阻力，g取10m/s2。依据图像判断下列说法正确的是（　　）
A．在6.5s至8.5s的时间内运动员的速度为零
B．运动员的最大加速度大小40m/s2
C．运动员离开蹦床上升的最大高度为5m
D．在8.5s至9.5s的时间内运动员对蹦床的弹力平均值为1500N
角度3：流量、流体类问题
【典例3】（2021·福建·统考高考真题）福建属于台风频发地区，各类户外设施建设都要考虑台风影响。已知10级台风的风速范围为，16级台风的风速范围为。若台风迎面垂直吹向一固定的交通标志牌，则16级台风对该交通标志牌的作用力大小约为10级台风的（　　）
A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍
对于“连续”质点系发生持续作用，物体动量(或其他量)连续发生变化这类问题的处理思路是：正确选取研究对象，即选取很短时间Δt内动量(或其他量)发生变化的那部分物体作为研究对象，建立如下的“柱状模型”：在时间Δt内所选取的研究对象均分布在以S为截面积、长为vΔt的柱体内，这部分质点的质量为Δm＝ρSvΔt，以这部分质量为研究对象，研究它在Δt时间内动量(或其他量)的变化情况，再根据动量定理(或其他规律)求出有关的物理量．
【变式】（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）如图所示，质量为M的直-20武装直升机旋翼有4片桨叶，桨叶旋转形成的圆面面积为S。已知空气密度为ρ，重力加速度大小为g。当直升机悬停空中时，桨叶旋转推动空气，空气获得的速度为v0，则单位时间内桨叶旋转推动空气的质量可表示为（　　）

A． B． C． D．
考点二　动量守恒定律的理解和应用
1．动量守恒定律的“四性”
相对性 公式中v1、v2、v1′、v2′必须相对于同一个惯性系
同时性 公式中v1、v2是在相互作用前同一时刻的速度，v1′、v2′是在相互作用后同一时刻的速度
矢量性 应先选取正方向，凡是与选取的正方向一致的动量为正值，相反为负值
普适性 不仅适用于低速宏观系统，也适用于高速微观系统
2.解题步骤
(1)明确研究对象，确定系统的组成(系统包括哪几个物体及研究的过程)；
(2)进行受力分析，判断系统动量是否守恒(或某一方向上是否守恒)；
(3)规定正方向，确定初、末状态动量；
(4)由动量守恒定律列出方程；
(5)代入数据，求出结果，必要时讨论说明．
3．注意事项
(1)系统的动量是否守恒，与选择哪几个物体作为系统和分析哪一段运动过程有直接关系．
(2)分析系统内物体受力时，要弄清哪些力是系统的内力，哪些力是系统外的物体对系统的作用力．
角度1：动量守恒条件的理解
【典例4】（2021·全国·高考真题）如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统（　　）
A．动量守恒，机械能守恒 B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒 D．动量不守恒，机械能不守恒
【变式1】（2023·河南开封·统考二模）如图所示，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行且光滑的金属导轨，导体棒ab的质量为m、电阻为，导体棒cd的质量为、电阻为R，均静止在导轨上，现给导体棒ab以初速度向右滑动。运动过程中，导体棒ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，关于导体棒ab、cd组成的系统，下列说法正确的是（　　）
A．动量守恒，机械能守恒 B．动量不守恒，机械能守恒
C．动量守恒，机械能不守恒 D．动量不守恒，机械能不守恒
【变式2】（2023·江苏·模拟预测）如图，车静止在粗糙的水平地面上，一人站在车上抡起重锤从P处由静止砸向车的左端Q，锤下落的同时小车向左运动，锤瞬间砸在Q处后与小车保持相对静止，最终小车停止运动。取水平向右为正方向，不考虑空气阻力，此过程人、锤及小车组成的系统水平方向的动量随时间t变化的图像可能正确的是（　　）
A．B．C．D．
角度2：人船模型
条件：
①系统由两个物体组成且相互作用前静止，总动量为零；
②在相对运动过程中，至少一个方向动量守恒；
结论：
理解：
①s1和s2是两物体相对于同一参考系的位移（一般选择地面），两者方向相反，一正一负；
②由于组成系统的两物体受到大小相同、方向相反的一对力，故两物体速度大小与质量成反比，方向相反。这类问题的特点：两物体同时运动，同时停止。
人船模型中的动量与能量规律：由于系统不受外力作用，故而遵从动量守恒定律，又由于相互作用力做功，故系统或每个物体动能均发生变化：力对“人”做的功量度“人”动能的变化；力对“船”做的功量度“船”动能的变化。
【类人船模型】
【典例5】（多选）（2023·全国·模拟预测）如图所示，半径为R、质量为2m的光滑半圆轨道小车静止在光滑的水平地面上，将质量为m的小球（可视为质点）从A点正上方高为R处由静止释放，由A点经过半圆轨道后从B冲出，重力加速度为g，则（　　）
A．小球进入半圆轨道后，由小球和小车组成的系统总动量守恒 B．小球离开小车后做斜上抛运动
C．小车向左运动的最大距离为 D．小车获得的最大速度为
【变式1】（2023·全国·高三模拟题）滑板运动是青少年比较喜欢的一种户外运动。现有一个质量为m的小孩站在一辆质量为的滑板车上，小孩与滑板车一起在光滑的水平路面上以速度匀速运动，突然发现前面有一个小水坑，由于来不及转向和刹车，该小孩立即相对滑板车以速度向前跳离滑板车，滑板车速度大小变为原来的，但方向不变，则为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）2023年2月7日土耳其发生严重地震灾害，包括中国在内的各方救援力量紧急展开救援行动。一个载有救灾物资的热气球总质量为，在离水平地面高处保持静止，现将质量为的救灾物资以对地的速度水平抛出，假设热气球所受浮力始终不变，重力加速度为，不计一切阻力。当物资落到水平地面时，它与热气球间的距离为（　　）
A． B． C． D．
考点过关
【素质基础练】
1．（2022·海南·校联考三模）体育课上进行跳高训练时，训练者落地的一侧地面上要铺上厚厚的垫子，目的是（　　）
A．使训练者落到垫子上时的动量减小
B．使训练者落在垫子上的过程中，动量变化量减小
C．使训练者落在垫子上的过程中，所受的冲量减小
D．使训练者落在垫子上的过程中，与垫子的作用时间延长
2．（2023·山东济宁·统考三模）水火箭又称气压式喷水火箭，由饮料瓶、装入瓶内的水及高压气体（可视为理想气体）组成。如图所示，高压气体膨胀使水在短时间内从水火箭尾部的喷嘴向下高速喷出，水火箭受到反作用力而快速上升。在水喷出过程中，不考虑热传递，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　）

A．外界对气体做正功
B．气体的温度降低
C．水火箭和喷出的水组成的系统机械能守恒
D．喷出的水对水火箭的冲量与水火箭对喷出的水的冲量相同
3．（2023·河南郑州·统考一模）如图所示，轻弹簧的下端系着质量相等的a、b两球，两小球之间由轻质细线连接，系统静止时弹簧未超出弹性限度。现剪断a、b间细线，在接下来的运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．a、b两球组成的系统机械能守恒 B．a、b两球和轻弹簧组成的系统机械能守恒
C．a、b两球组成的系统动量守恒 D．a、b两球和轻弹簧组成的系统动量守恒
4．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）2022年，在卡塔尔举行的世界杯足球赛成为了人们所关注的盛事，在这一场场精彩绝伦的球赛中，蕴含了许多的物理知识。著名球星梅西在射门时把球踢偏了，球以12m/s的速度水平射中门框，之后球又以8m/s的速度水平弹回，球与门框的作用时间是0.1s，球的质量是0.3kg（忽略一切摩擦和空气阻力），下列说法正确的是（　　）
A．门框对球的冲量大小为6N s B．门框对球的冲量大小为1.2N s
C．门框对球的平均弹力大小为36N D．梅西对球做功21.6J
5．（2022·浙江温州·校考模拟预测）如图所示，质量为m的人立于平板车上，人与车的总质量为m0，人与车以速度v1在光滑水平面上向右匀速运动，当此人相对于车以速度v2竖直跳起时，车的速度变为（　　）
A．，向右 B．，向右
C．，向右 D．，向右
6．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）如图所示，气球下面有一根长绳，一个质量为的人抓住气球下方的长绳，气球和长绳的总质量为，长绳的下端刚好和水平面接触，当系统静止时人离地面的高度为。如果这个人开始沿绳向下滑，当他滑到绳下端时，气球上升的距离大约是（可以把人看作质点）（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·广东湛江·校联考模拟预测）不在同一直线上的动量问题同样可以用正交分解法处理。某同学自制了一款飞机模型，该飞机模型飞行过程中可通过喷气在极短时间内实现垂直转弯。若该飞机模型的质量为M（含气体），以大小为v的速度匀速飞行时，在极短时间内喷出质量为m的气体后垂直转弯，且转弯后的速度大小不变，则该飞机模型喷出的气体的速度大小为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2021·福建龙岩·统考三模）我国自行研制的第五代隐形战机“歼-20”以速度水平向右匀速飞行，到达目标地时，将质量为M的导弹自由释放，导弹向后喷出质量为m、对地速率为的燃气（方向水平向左），则喷气后导弹的速率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·内蒙古呼伦贝尔·校联考模拟预测）一装有柴油的船静止于水面上，船后舱进水，堵住漏洞后用一水泵把后舱中的水抽往前舱，如图所示。不计水的阻力，在抽水过程中船的运动情况是（　　）
A．向前运动 B．向后运动 C．静止 D．无法判断
10．（多选）（2023·河南·统考三模）如图所示，U型光滑导轨，水平放在光滑水平面上。一光滑细杆ab跨放在U型导轨上，且细杆ab始终与U型导轨垂直。一水平轻质弹簧，左端与U型导轨中点相连，右端与细杆ab中点相连，整体静止不动，轻质弹簧处于原长状态。现给细杆ab一个水平向右的初速度v，使其沿U型导轨向右开始运动，则从细杆ab沿U型导轨开始向右运动到弹簧伸长量最大的过程中（弹簧始终在弹性限度内），下列说法正确的是（　　）
A．U型导轨和细杆ab二者组成的系统机械能守恒
B．U型导轨和细杆ab二者组成的系统动量守恒
C．U型导轨、弹簧和细杆ab三者组成的系统能量守恒
D．细杆ab克服弹簧弹力做的功等于弹簧对U型导轨做的功
【能力提高练】
一、多选题
1．（2017·广东江门·江门市第一中学校考一模）如图所示，A、B两木块紧靠在一起且静止于光滑水平面上，木块C以一定的初速度v0从A的左端开始向右滑行，最后停在B木块的右端，A、B、C表面粗糙，对此过程，下列叙述正确的是（　　）

A．当C在B上滑行时，B、C组成的系统动量守恒
B．当C在A上滑行时，A、C组成的系统动量守恒
C．无论C是在A上滑行还是在B上滑行，A、B、C三木块组成的系统都动量守恒
D．当C在B上滑行时，A、B、C组成的系统动量不守恒
2．（2023·福建宁德·福建省福安市第一中学校考一模）如图所示，质量为2m，高为h，倾角为θ的光滑斜面体A放在光滑的水平面上。质量为m的细长直杆B，受固定的光滑套管C约束，只能在竖直方向上自由运动。初始时，A在水平推力F作用下处于静止状态，此时B杆下端正好压在A的顶端。现撤去推力F，A、B便开始运动。重力加速度为g，则（　　）

A．推力的大小为mgsinθ
B．运动过程中，B对A做正功
C．A、B组成的系统，水平方向上动量守恒
D．当杆的下端滑到斜面底端时，斜面体的速度大小
3．（2023·河北衡水·校联考二模）如图所示，高为、长为的斜面体静置于水平地面上，将质量为、可视为质点的小球从斜面体的顶端由静止释放后，斜面体沿水平地面做匀加速直线运动，经小球与斜面体分离，分离时斜面体的速度大小为，不计一切摩擦，取重力加速度大小，下列说法正确的是（　　）

A．斜面体的质量为
B．小球能达到的最大速度为
C．小球对斜面体的压力大小为
D．小球在斜面体上运动时，斜面体对地面的压力大小为
4．（2023·福建泉州·校考二模）如图甲所示，光滑水平面上放着长木板B，质量为m=2kg的木块A以速度v0=2m/s滑上原来静止的长木板B的上表面，由于A、B之间存在有摩擦，之后，A、B的速度随时间变化情况如图乙所示，重力加速度g=10m/s2.下列说法正确的是（　　）
A．A、B之间动摩擦因数为0.1 B．长木板的质量M=2kg
C．长木板长度至少为2m D．A、B组成的系统损失的机械能为4J
二、单选题
5．（2013·天津·校联考一模）如图所示，小车与木箱紧挨着静止放在光滑的水平冰面上，现有一男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱，关于上述过程，下列说法正确的是（ ）
A．男孩和木箱组成的系统动量守恒
B．小车与木箱组成的系统动量守恒
C．男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒
D．木箱的动量的变化量与男孩、小车的总动量的变化量相同
6．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）“独竹漂”是一项独特的黔北民间绝技。独竹漂高手们脚踩一根楠竹，漂行水上如履平地。如图甲所示，在平静的湖面上，一位女子脚踩竹竿抵达岸边，此时女子静立于竹竿A点，一位摄影爱好者使用连拍模式拍下了该女子在竹竿上行走过程的系列照片，并从中选取了两张进行对比，其简化图如下。经过测量发现，甲、乙两张照片中A、B两点的水平间距约为1cm，乙图中竹竿右端距离河岸约为1.8cm。照片的比例尺为1:40。已知竹竿的质量约为25kg，若不计水的阻力，则该女子的质量约为（　　）

A．41.5kg B．45kg C．47.5kg D．50kg
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考三模）如图所示，质量为的小车静止在光滑水平面上，小车段是半径为的四分之一光滑圆弧轨道，段是长为的粗糙水平轨道，两段轨道相切于点。一质量为的可视为质点的滑块从小车上的A点由静止开始沿轨道下滑，然后滑入轨道，最后恰好停在点，滑块与轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为，则（　　）

A．整个过程中滑块和小车组成的系统动量守恒 B．滑块由A滑到过程中，滑块的机械能守恒
C．段长 D．全过程小车相对地面的位移大小为
8．（2023·浙江金华·校联考一模）长春某特警支队的2019年反恐演练出现了一款多旋翼查打一体无人机，总质量为M，该无人机是中国最先进的警用12旋翼无人机，装备有攻击性武器，旋翼启动后恰能悬停在离水平地面高为H的空中，升力大小不变，向前方以水平速度v发射一枚质量为m的微型导弹，始终保持水平，不计空气阻力（　　）
A．发射微型导弹后，无人机将做匀变速直线运动
B．发射出微型导弹瞬间，无人机后退速度大小为
C．微型导弹落地时，无人机离地高度为
D．微型导弹落地时，无人机与导弹落地点的水平距离为
三、解答题
9．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，质量为M的小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是长为L的粗糙水平轨道，两段轨道相切于B点。一质量为m的滑块从小车上的A点由静止开始沿轨道下滑，然后滑入BC轨道，最后从C点滑出小车。已知滑块质量，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。
（1）若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力。
（2）若不固定小车，滑块仍从A点由静止下滑，求：
①滑块运动过程中，小车的最大速度大小；
②滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小s。
10．（2023·河南·校联考一模）如图甲所示，质量为的长木板ABC静止在足够长的光滑水平面上，长木板ABC的上表面由半径为R（未知）的光滑四分之一圆弧面AB和长为的粗糙水平面BC平滑连接而成，B为圆弧面AB的最低点且切线水平，水平面BC的C端固定一挡板。现将质量为的物块从A点由静止释放，物块与挡板碰撞后相对木板向左运动到B点时与长木板相对静止。已知物块在木板BC间运动的过程中，受到的摩擦力F随物块距B点的距离x变化规律如图乙所示，物块与挡板碰撞过程的时间极短且没有机械能损失，重力加速度大小g取10，不计物块的大小。求：
（1）圆弧面AB的半径；
（2）物块从A点由静止释放到与长木板相对静止于B点，长木板运动的位移大小；
（3）物块与挡板碰撞后的瞬间，物块与长木板的速度大小。
11．（2022·天津·模拟预测）北京举办第24届冬季奥运会，催生了许多室内冰雪项目。如图所示，为室内冰雪乐园中一个游玩项目，倾斜冰面与水平面夹角θ=30°，冰面长、宽均为L=40m，冰面两侧均安装有安全护网，底部有缓冲装置（未画出）。周末某父子俩前往游玩，设父亲与滑板总质量为M=80kg，儿子与滑板总质量为m=40kg，工作人员将载有人的凹形滑板由冰面顶端中点静止释放的瞬间，父亲沿水平方向推了一下儿子，父子俩迅速分开，并沿冰面滑下。假设运动中始终没有碰到护网，父子俩都能安全到达冰面底端（不计一切阻力，父子俩均视为质点，重力加速度g取10m/s2），求：
（1）父子俩下滑的时间t多长？
（2）父亲推儿子时最多做功W为多少？
【高考通关练】
一、多选题
1．（2023·广东·统考高考真题）某同学受电动窗帘的启发，设计了如图所示的简化模型．多个质量均为的滑块可在水平滑轨上滑动，忽略阻力．开窗帘过程中，电机对滑块1施加一个水平向右的恒力，推动滑块1以的速度与静止的滑块2碰撞，碰撞时间为，碰撞结束后瞬间两滑块的共同速度为．关于两滑块的碰撞过程，下列说法正确的有（ ）

A．该过程动量守恒
B．滑块1受到合外力的冲量大小为
C．滑块2受到合外力的冲量大小为
D．滑块2受到滑块1的平均作用力大小为
2．（2021·山东·高考真题）如图所示，载有物资的热气球静止于距水平地面H的高处，现将质量为m的物资以相对地面的速度水平投出，落地时物资与热气球的距离为d。已知投出物资后热气球的总质量为M，所受浮力不变，重力加速度为g，不计阻力，以下判断正确的是（　　）
A．投出物资后热气球做匀加速直线运动 B．投出物资后热气球所受合力大小为
C． D．
二、单选题
3．（2021·全国·高考真题）如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统（　　）
A．动量守恒，机械能守恒 B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒 D．动量不守恒，机械能不守恒
三、解答题
4．（2021·天津·高考真题）一玩具以初速度从水平地面竖直向上抛出，达到最高点时，用遥控器将玩具内压缩的轻弹簧弹开，该玩具沿水平方向分裂成质量之比为1∶4的两部分，此时它们的动能之和与玩具从地面抛出时的动能相等。弹簧弹开的时间极短，不计空气阻力。求
（1）玩具上升到最大高度时的速度大小；
（2）两部分落地时速度大小之比。
5．（2021·北京·高考真题）如图所示，小物块A、B的质量均为m = 0.10 kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h = 0.45 m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s = 0.30 m，取重力加速度g = 10 m/s2。求：
（1）两物块在空中运动的时间t；
（2）两物块碰前A的速度v0的大小；
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题18　　动量定理和动量守恒定律
题型 选择题、解答题 命题趋势和备考策略
高考考点 动量定理的理解和应用； 动量守恒条件的理解和应用； 人船模型和类人船模型的理解和应用 【命题规律】 近3年新高考卷对于运动的描述考查共计25次，主要考查： 1. 动量定理的理解和应用； 2. 动量守恒条件的理解和应用； 3. 动量守恒定律在人船模型（或类人船模型）中的应用。 【备考策略】 掌握并区分动能定理和动量定理的异同点；掌握动量守恒条件；掌握动量守恒天津在反冲问题、人船模型中的应用。 【命题预测】 动量定理和动量守恒定律是高考必考的考点之一，常与动能定理，机械能相关知识结合一起考察，在磁场中同样应用较广。2024年考生需要熟练掌握动量定理和动量守恒定律的应用，多做与生产、生活相关的科技类题型。
新高考 2023 广东卷10题、天津卷12题、天津卷5题、山东卷18题、海南卷18题、上海卷20题、新课标卷6题、全国甲卷25题、
2022 重庆卷10题、北京卷12题、北京卷10题、江苏卷13题、天津卷11题、福建卷16题、福建卷1题、河北卷13题、
2021 天津卷10题、辽宁卷15题、河北卷15题、湖北卷3题、湖南卷8题、广东卷13题、全国乙卷14题、山东卷11题、浙江卷12题
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知识梳理
一、冲量、动量和动量定理 2
二、动量守恒定律 2
考点突破
考点一　动量定理的理解和应用 3
角度1：缓冲类问题 3
角度2：蹦极类问题 4
角度3：流量、流体类问题 7
考点二　动量守恒定律的理解和应用 8
角度1：动量守恒条件的理解 8
角度2：人船模型 10
考点过关
【素质基础练】 13
【能力提高练】 18
【高考通关练】 31
一、冲量、动量和动量定理
1．冲量
(1)定义：力和力的作用时间的乘积．
(2)公式：I＝Ft，适用于求恒力的冲量．
(3)方向：与力的方向相同．
2．动量
(1)定义：物体的质量与速度的乘积．
(2)表达式：p＝mv.
(3)单位：千克·米/秒；符号：kg·m/s.
(4)特征：动量是状态量，是矢量，其方向和速度方向相同．
3．动量定理
(1)内容：物体所受合力的冲量等于物体动量的变化量．
(2)表达式：F合·t＝Δp＝p′－p.
(3)矢量性：动量变化量方向与合力的方向相同，可以在力的方向上用动量定理．
(4)动能和动量的关系：Ek＝.
二、动量守恒定律
1．内容
如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为零，这个系统的总动量保持不变．
2．表达式
(1)p＝p′，系统相互作用前总动量p等于相互作用后的总动量p′.
(2)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和．
(3)Δp1＝－Δp2，相互作用的两个物体动量的变化量等大反向．
(4)Δp＝0，系统总动量的增量为零．
3．适用条件
(1)理想守恒：不受外力或所受外力的合力为零．
(2)近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力．
(3)某一方向守恒：如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则系统在这一方向上动量守恒．
考点一　动量定理的理解和应用
1．动量定理理解的要点
(1)矢量式．
(2)F既可以是恒力也可以是变力．
(3)冲量是动量变化的原因．
(4)由Ft＝p′－p，得F＝＝，即物体所受的合力等于物体的动量对时间的变化率．
2．用动量定理解释现象
(1)Δp一定时，F的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小．
(2)F一定，此时力的作用时间越长，Δp就越大；力的作用时间越短，Δp就越小．
分析问题时，要把哪个量一定、哪个量变化搞清楚．
3．应用动量定理解题的步骤
(1)确定研究对象：可以是单个物体，也可以是几个物体组成的系统．
(2)进行受力分析：分析研究对象以外的物体施加给研究对象的力．
(3)分析运动过程，选取正方向，确定初、末状态的动量以及整个过程合力的冲量．
(4)列方程：根据动量定理列方程求解．
角度1：缓冲类问题
【典例1】（2022·北京·高考真题）“雪如意”是我国首座国际标准跳台滑雪场地。跳台滑雪运动中，裁判员主要根据运动员在空中的飞行距离和动作姿态评分。运动员在进行跳台滑雪时大致经过四个阶段：①助滑阶段，运动员两腿尽量深蹲，顺着助滑道的倾斜面下滑；②起跳阶段，当进入起跳区时，运动员两腿猛蹬滑道快速伸直，同时上体向前伸展；③飞行阶段，在空中运动员保持身体与雪板基本平行、两臂伸直贴放于身体两侧的姿态；④着陆阶段，运动员落地时两腿屈膝，两臂左右平伸。下列说法正确的是（　　）
A．助滑阶段，运动员深蹲是为了减小与滑道之间的摩擦力
B．起跳阶段，运动员猛蹬滑道主要是为了增加向上的速度
C．飞行阶段，运动员所采取的姿态是为了增加水平方向速度
D．着陆阶段，运动员两腿屈膝是为了减少与地面的作用时间
【答案】B
【详解】A．助滑阶段，运动员深蹲是为了减小与空气之间的摩擦力，A错误；
B．起跳阶段，运动员猛蹬滑道主要是通过增大滑道对人的作用力，根据动量定理可知，在相同时间内，为了增加向上的速度，B正确；
C．飞行阶段，运动员所采取的姿态是为了减小水平方向的阻力，从而减小水平方向的加速度，C错误；
D．着陆阶段，运动员两腿屈膝下蹲可以延长落地时间，根据动量定理可知，可以减少身体受到的平均冲击力，D错误。
故选B。
【变式】（多选）（2023·四川眉山·校考模拟预测）在篮球场某同学伸出双手迎接传来的篮球，接球时，两手随球迅速收缩至胸前。该同学这样做的目的是（　　）
A．延长球对手的作用力时间 B．减小球的动量变化量
C．减小球对手的冲量 D．减小球对手的作用力
【答案】AD
【详解】A．先伸出两臂迎接，手接触到球后，两臂随球引至胸前，这样可以增加球与手接触的时间，故A正确；
B．动量变化量为
由于初速度是定值，所以动量的变化量不变，故B错误；
C．球对手的冲量与手对球的冲量等大反向，大小等于球的动量变化量，也不变，故C错误；
D．根据动量定理得，解得，当时间增大时，动量的变化率减小，即作用力就减小，故D正确。
故选AD。
角度2：蹦极类问题
【典例2】（2023·湖南长沙·校联考二模）蹦极是一项非常刺激的户外休闲活动。图甲为蹦极的场景，一游客从蹦极台下落的速度一位移图象如图乙所示。已知弹性轻绳的弹力与伸长量的关系符合胡克定律，游客及携带装备的总质量为，弹性轻绳原长为，若空气阻力恒定，游客下落至处时速度大小为，重力加速度取，下列正确的是（　　）
A．整个下落过程中，游客先处于失重后处于超重状态
B．游客及携带装备从静止开始下落的过程中重力的冲量为
C．游客在最低点时，弹性势能最大为
D．弹性绳长为时，游客的加速度大小为
【答案】A
【详解】A．由题图乙可知游客从蹦极台下落过程先加速后减速，即先有向下的加速度后有向上的加速度，所以游客先处于失重后处于超重状态，故A正确；
B．以游客及携带装备为研究对象，从静止开始下落15m的过程中，由动量定理得
I合=IG－IF－If＝mv＝50×15N·s＝750N·s，故重力的冲量大于750N·s，故B错误；
C．游客在前5m做匀加速直线，根据动能定理，解得f=50N
从下落至最低点过程中能量守恒
解得=500×26-50×26=11700J，故C错误；
D．游客下落15m时合力为0时速度最大，此时弹性绳的弹力和阻力等于游客及携带装备的总重力，即f+kΔx＝mg，解得k＝＝45N/m
弹性绳长为20m时，弹性绳的弹力F＝kΔx′＝45×(20－10)N＝450N
根据牛顿第二定律得F+f－mg＝ma
解得a＝0m/s2，故D错误。
故选A。
【变式】（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图为某运动员完成蹦床运动时，利用传感器测得蹦床弹力随时间的变化图。假设运动员仅在竖直方向运动，且不计空气阻力，g取10m/s2。依据图像判断下列说法正确的是（　　）
A．在6.5s至8.5s的时间内运动员的速度为零
B．运动员的最大加速度大小40m/s2
C．运动员离开蹦床上升的最大高度为5m
D．在8.5s至9.5s的时间内运动员对蹦床的弹力平均值为1500N
【答案】CD
【详解】A．由图可知在6.5s至8.5s的时间内蹦床弹力为0，说明运动员在空中运动，速度不为零，选项A错误；
C．运动员在空中时间为t=8.5s-6.5s=2s
由运动的对称性可知，下落时间为t1=1s
运动员上升的最高高度为，选项C正确；
B．由图可知，运动员的重力为500N，质量为
运动员的最大加速度为，选项B错误；
D．8.5s至9.5s内，蹦床弹力由0增加到2000N再减小到0，可知运动员从接触蹦床到最低点的时间
运动员接触蹦床时的速度
根据动量定理有
解得，根据对称性可知在8.5s至9.5s的时间内运动员对蹦床的弹力平均值为1500N，选项D正确。
故选CD。
角度3：流量、流体类问题
【典例3】（2021·福建·统考高考真题）福建属于台风频发地区，各类户外设施建设都要考虑台风影响。已知10级台风的风速范围为，16级台风的风速范围为。若台风迎面垂直吹向一固定的交通标志牌，则16级台风对该交通标志牌的作用力大小约为10级台风的（　　）
A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍
【答案】B
【详解】设空气的密度为，风迎面垂直吹向一固定的交通标志牌的横截面积为，在时间的空气质量为
假定台风迎面垂直吹向一固定的交通标志牌的末速度变为零，对风由动量定理有，可得
10级台风的风速，16级台风的风速，则有
故选B。
对于“连续”质点系发生持续作用，物体动量(或其他量)连续发生变化这类问题的处理思路是：正确选取研究对象，即选取很短时间Δt内动量(或其他量)发生变化的那部分物体作为研究对象，建立如下的“柱状模型”：在时间Δt内所选取的研究对象均分布在以S为截面积、长为vΔt的柱体内，这部分质点的质量为Δm＝ρSvΔt，以这部分质量为研究对象，研究它在Δt时间内动量(或其他量)的变化情况，再根据动量定理(或其他规律)求出有关的物理量．
【变式】（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）如图所示，质量为M的直-20武装直升机旋翼有4片桨叶，桨叶旋转形成的圆面面积为S。已知空气密度为ρ，重力加速度大小为g。当直升机悬停空中时，桨叶旋转推动空气，空气获得的速度为v0，则单位时间内桨叶旋转推动空气的质量可表示为（　　）

A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】直升机处于平衡状态，记直升机与空气间的作用力为F，则
飞机对空气的力与空气对飞机的力为作用力与反作用力，即
AB．对空气由动量定理可得
解得，故A错误，B正确；
CD．由上式知，且，联立两式可得故C错误，D正确。
故选BD。
考点二　动量守恒定律的理解和应用
1．动量守恒定律的“四性”
相对性 公式中v1、v2、v1′、v2′必须相对于同一个惯性系
同时性 公式中v1、v2是在相互作用前同一时刻的速度，v1′、v2′是在相互作用后同一时刻的速度
矢量性 应先选取正方向，凡是与选取的正方向一致的动量为正值，相反为负值
普适性 不仅适用于低速宏观系统，也适用于高速微观系统
2.解题步骤
(1)明确研究对象，确定系统的组成(系统包括哪几个物体及研究的过程)；
(2)进行受力分析，判断系统动量是否守恒(或某一方向上是否守恒)；
(3)规定正方向，确定初、末状态动量；
(4)由动量守恒定律列出方程；
(5)代入数据，求出结果，必要时讨论说明．
3．注意事项
(1)系统的动量是否守恒，与选择哪几个物体作为系统和分析哪一段运动过程有直接关系．
(2)分析系统内物体受力时，要弄清哪些力是系统的内力，哪些力是系统外的物体对系统的作用力．
角度1：动量守恒条件的理解
【典例4】（2021·全国·高考真题）如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统（　　）
A．动量守恒，机械能守恒 B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒 D．动量不守恒，机械能不守恒
【答案】B
【详解】因为滑块与车厢水平底板间有摩擦，且撤去推力后滑块在车厢底板上有相对滑动，即摩擦力做功，而水平地面是光滑的；以小车、弹簧和滑块组成的系统，根据动量守恒和机械能守恒的条件可知撤去推力后该系统动量守恒，机械能不守恒。
故选B。
【变式1】（2023·河南开封·统考二模）如图所示，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行且光滑的金属导轨，导体棒ab的质量为m、电阻为，导体棒cd的质量为、电阻为R，均静止在导轨上，现给导体棒ab以初速度向右滑动。运动过程中，导体棒ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，关于导体棒ab、cd组成的系统，下列说法正确的是（　　）
A．动量守恒，机械能守恒 B．动量不守恒，机械能守恒
C．动量守恒，机械能不守恒 D．动量不守恒，机械能不守恒
【答案】C
【详解】由于系统不受外力，动量守恒，但导体棒在运动过程，整个回路会产生焦耳热，机械能不守恒。
故选C。
【变式2】（2023·江苏·模拟预测）如图，车静止在粗糙的水平地面上，一人站在车上抡起重锤从P处由静止砸向车的左端Q，锤下落的同时小车向左运动，锤瞬间砸在Q处后与小车保持相对静止，最终小车停止运动。取水平向右为正方向，不考虑空气阻力，此过程人、锤及小车组成的系统水平方向的动量随时间t变化的图像可能正确的是（　　）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】重锤从P处由静止下落的同时小车向左运动，系统受到向右的滑动摩擦力作用，重锤的加速度有竖直向下的分量且此分量逐渐减小，系统处于失重状态，地面对车的支持力逐渐增加，系统受到向右的滑动摩擦力逐渐增大，根据动量定理可知，系统受到的滑动摩擦力的冲量等于系统动量的增加量，故此过程系统动量的增加量逐渐增大且方向向右，px-t图像斜率逐渐变大；锤瞬间砸在Q处后与小车保持相对静止后（此时速度方向向左），系统受到向右的恒定滑动摩擦力作用而减速运动，根据动量定理可知，故此过程系统动量方向向右均匀减小，px-t图像斜率不变，故B正确，ACD错误。
故选B。
角度2：人船模型
条件：
①系统由两个物体组成且相互作用前静止，总动量为零；
②在相对运动过程中，至少一个方向动量守恒；
结论：
理解：
①s1和s2是两物体相对于同一参考系的位移（一般选择地面），两者方向相反，一正一负；
②由于组成系统的两物体受到大小相同、方向相反的一对力，故两物体速度大小与质量成反比，方向相反。这类问题的特点：两物体同时运动，同时停止。
人船模型中的动量与能量规律：由于系统不受外力作用，故而遵从动量守恒定律，又由于相互作用力做功，故系统或每个物体动能均发生变化：力对“人”做的功量度“人”动能的变化；力对“船”做的功量度“船”动能的变化。
【类人船模型】
【典例5】（多选）（2023·全国·模拟预测）如图所示，半径为R、质量为2m的光滑半圆轨道小车静止在光滑的水平地面上，将质量为m的小球（可视为质点）从A点正上方高为R处由静止释放，由A点经过半圆轨道后从B冲出，重力加速度为g，则（　　）
A．小球进入半圆轨道后，由小球和小车组成的系统总动量守恒 B．小球离开小车后做斜上抛运动
C．小车向左运动的最大距离为 D．小车获得的最大速度为
【答案】CD
【详解】A．小球与小车组成的系统在水平方向所受外力的合力为0，系统在水平方向的动量守恒，小球与小车组成的系统在竖直方向所受外力的合力不为0，因此球和小车组成的系统总动量不守恒，A错误；
B．小球与小车组成的系统在水平方向所受外力的合力为0，系统在水平方向的动量守恒，且系统水平方向总动量为0，则小球由B点离开小车时，小球与小车水平方向上的速度相同，则水平方向上有，解得
即小球由B点离开小车时，水平方向的分速度为0，所以离开小车后，小球做竖直上抛运动，B错误；
C．根据上述，小球由B点离开小车时，小车向左运动的距离达到最大，根据动量守恒定律，在水平方向上有，此过程有，解得，C正确；
D．根据分析可知，小球运动到圆弧最低点时，小车获得速度最大，则有，，解得，D正确。
故选CD。
【变式1】（2023·全国·高三模拟题）滑板运动是青少年比较喜欢的一种户外运动。现有一个质量为m的小孩站在一辆质量为的滑板车上，小孩与滑板车一起在光滑的水平路面上以速度匀速运动，突然发现前面有一个小水坑，由于来不及转向和刹车，该小孩立即相对滑板车以速度向前跳离滑板车，滑板车速度大小变为原来的，但方向不变，则为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】由题意，小孩在起跳过程中和滑板车组成的系统在水平方向动量守恒，根据动量守恒定律有
解得
故选A。
【变式2】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）2023年2月7日土耳其发生严重地震灾害，包括中国在内的各方救援力量紧急展开救援行动。一个载有救灾物资的热气球总质量为，在离水平地面高处保持静止，现将质量为的救灾物资以对地的速度水平抛出，假设热气球所受浮力始终不变，重力加速度为，不计一切阻力。当物资落到水平地面时，它与热气球间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】热气球开始携带物资时处于静止状态，所受合外力为0，水平投出重力为的物资瞬间，满足动量守恒定律
热气球和物资的动量等大反向，热气球和物资的运动示意图如图所示，热气球和物资所受合力大小均为，所以热气球在竖直方向上加速度大小为
物资落地H过程所用的时间t内，根据
解得落地时间为
热气球在竖直方向上运动的位移为
热气球和物资在水平方向均做匀速直线运动，水平位移为，
根据勾股定理可知热气球和物资的实际位移为
解得，故B正确。
考点过关
【素质基础练】
1．（2022·海南·校联考三模）体育课上进行跳高训练时，训练者落地的一侧地面上要铺上厚厚的垫子，目的是（　　）
A．使训练者落到垫子上时的动量减小
B．使训练者落在垫子上的过程中，动量变化量减小
C．使训练者落在垫子上的过程中，所受的冲量减小
D．使训练者落在垫子上的过程中，与垫子的作用时间延长
【答案】D
【详解】A．使训练者落到垫子上时速率不变，则动量大小不变，故A错误；
BCD．根据题意可知，跳高运动员在落地的过程中，动量变化一定，所受的冲量一定，跳高运动员跳到厚厚的垫子上可以延长着地过程的作用时间，由动量定理有，可知，延长时间可以减小运动员所受到的平均冲力，故BC错误，D正确。
故选D。
2．（2023·山东济宁·统考三模）水火箭又称气压式喷水火箭，由饮料瓶、装入瓶内的水及高压气体（可视为理想气体）组成。如图所示，高压气体膨胀使水在短时间内从水火箭尾部的喷嘴向下高速喷出，水火箭受到反作用力而快速上升。在水喷出过程中，不考虑热传递，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　）

A．外界对气体做正功
B．气体的温度降低
C．水火箭和喷出的水组成的系统机械能守恒
D．喷出的水对水火箭的冲量与水火箭对喷出的水的冲量相同
【答案】B
【详解】A．在水喷出过程中，气体体积增大，外界对气体做负功，故A错误；
B．在水喷出过程中，气体体积增大，外界对气体做负功，不考虑热传递，根据热力学第一定律可知，气体内能减小，气体温度降低，故B正确；
C．气体对水火箭和喷出的水组成的系统做功，所以系统机械能不守恒，故C错误；
D．根据牛顿第三定律可知，喷出的水对水火箭的冲量与水火箭对喷出的水的冲量大小相同，反向相反，故D错误。
故选B。
3．（2023·河南郑州·统考一模）如图所示，轻弹簧的下端系着质量相等的a、b两球，两小球之间由轻质细线连接，系统静止时弹簧未超出弹性限度。现剪断a、b间细线，在接下来的运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．a、b两球组成的系统机械能守恒 B．a、b两球和轻弹簧组成的系统机械能守恒
C．a、b两球组成的系统动量守恒 D．a、b两球和轻弹簧组成的系统动量守恒
【答案】B
【详解】A．剪断a、b间细线后，弹簧对a做功、a球的机械能发生变化，b球只有重力对它做功，机械能不变，所以a、b两球组成的系统机械能不守恒，故A错误；
B．剪断a、b间细线后，a、b两球和轻弹簧组成的系统，只有重力和弹簧弹力做功，系统的机械能守恒，故B正确；
C．剪断a、b间细线后，a、b两球组成的系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，故C错误；
D．剪断a、b间细线后，a、b两球和轻弹簧组成的系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，故D错误。
故选B。
4．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）2022年，在卡塔尔举行的世界杯足球赛成为了人们所关注的盛事，在这一场场精彩绝伦的球赛中，蕴含了许多的物理知识。著名球星梅西在射门时把球踢偏了，球以12m/s的速度水平射中门框，之后球又以8m/s的速度水平弹回，球与门框的作用时间是0.1s，球的质量是0.3kg（忽略一切摩擦和空气阻力），下列说法正确的是（　　）
A．门框对球的冲量大小为6N s B．门框对球的冲量大小为1.2N s
C．门框对球的平均弹力大小为36N D．梅西对球做功21.6J
【答案】A
【详解】ABC．取球水平弹回方向为正方向，根据动量定理得门框对球的冲量
解得
门框对球的平均弹力，故A正确，BC错误；
D．根据功能关系得梅西对球做的功等于球击中门框时的动能和重力势能之和，此时球的动能，则梅西对球做的功大于21.6J，故D错误。
故选A。
5．（2022·浙江温州·校考模拟预测）如图所示，质量为m的人立于平板车上，人与车的总质量为m0，人与车以速度v1在光滑水平面上向右匀速运动，当此人相对于车以速度v2竖直跳起时，车的速度变为（　　）
A．，向右 B．，向右
C．，向右 D．，向右
【答案】D
【详解】根据题意可知，人和车在水平方向上动量守恒，当人竖直跳起时，人和车之间在竖直方向上有相互作用，在水平方向上合力为零，动量仍然守恒，水平方向的速度不发生变化，所以车的速度仍为v1，方向向右。
故选D。
6．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）如图所示，气球下面有一根长绳，一个质量为的人抓住气球下方的长绳，气球和长绳的总质量为，长绳的下端刚好和水平面接触，当系统静止时人离地面的高度为。如果这个人开始沿绳向下滑，当他滑到绳下端时，气球上升的距离大约是（可以把人看作质点）（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设人的速度，气球的速度，根据人和气球动量守恒得，
则有
由几何关系
气球上升的距离为
故选C。
7．（2023·广东湛江·校联考模拟预测）不在同一直线上的动量问题同样可以用正交分解法处理。某同学自制了一款飞机模型，该飞机模型飞行过程中可通过喷气在极短时间内实现垂直转弯。若该飞机模型的质量为M（含气体），以大小为v的速度匀速飞行时，在极短时间内喷出质量为m的气体后垂直转弯，且转弯后的速度大小不变，则该飞机模型喷出的气体的速度大小为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，设喷出的气体沿飞机模型初速度方向的速度分量大小为，沿飞机模型末速度方向的速度分量大小为，在这两个方向上，根据动量守恒定律分别有，
该飞机模型喷出的气体的速度大小
解得
故选C。
8．（2021·福建龙岩·统考三模）我国自行研制的第五代隐形战机“歼-20”以速度水平向右匀速飞行，到达目标地时，将质量为M的导弹自由释放，导弹向后喷出质量为m、对地速率为的燃气（方向水平向左），则喷气后导弹的速率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设导弹飞行的方向为正方向，由动量守恒定律，
解得，
故选D。
9．（2022·内蒙古呼伦贝尔·校联考模拟预测）一装有柴油的船静止于水面上，船后舱进水，堵住漏洞后用一水泵把后舱中的水抽往前舱，如图所示。不计水的阻力，在抽水过程中船的运动情况是（　　）
A．向前运动 B．向后运动 C．静止 D．无法判断
【答案】B
【详解】不计水的阻力，则系统动量守恒，系统总动量为零，用一水泵把后舱的水抽往前舱，则水的重心前移，故船将向后运动（等效于人船模型）。
故选B。
10．（多选）（2023·河南·统考三模）如图所示，U型光滑导轨，水平放在光滑水平面上。一光滑细杆ab跨放在U型导轨上，且细杆ab始终与U型导轨垂直。一水平轻质弹簧，左端与U型导轨中点相连，右端与细杆ab中点相连，整体静止不动，轻质弹簧处于原长状态。现给细杆ab一个水平向右的初速度v，使其沿U型导轨向右开始运动，则从细杆ab沿U型导轨开始向右运动到弹簧伸长量最大的过程中（弹簧始终在弹性限度内），下列说法正确的是（　　）
A．U型导轨和细杆ab二者组成的系统机械能守恒
B．U型导轨和细杆ab二者组成的系统动量守恒
C．U型导轨、弹簧和细杆ab三者组成的系统能量守恒
D．细杆ab克服弹簧弹力做的功等于弹簧对U型导轨做的功
【答案】BC
【详解】AC．整个过程中，弹簧弹力也做功，弹簧伸长量最大时，弹簧的弹性势能最大，所以U型导轨、弹簧和细杆ab三者组成的系统能量守恒，故A错误，C正确；
B．水平面光滑，弹簧弹力对U型导轨和细杆ab二者的弹力大小相等，方向相反，所以U型导轨和细杆ab二者组成的系统所受外力之和为零，满足动量守恒，故B正确；
D．细杆ab克服弹簧弹力做的功等于细杆ab的动能减少量，弹簧对U型导轨做的功等于U型导轨的动能增加量，根据能量守恒可知，细杆ab的动能减少量等于U型导轨的动能增加量和弹性势能增加量之和，则细杆ab克服弹簧弹力做的功大于弹簧对U型导轨做的功，故D错误。
故选BC。
【能力提高练】
一、多选题
1．（2017·广东江门·江门市第一中学校考一模）如图所示，A、B两木块紧靠在一起且静止于光滑水平面上，木块C以一定的初速度v0从A的左端开始向右滑行，最后停在B木块的右端，A、B、C表面粗糙，对此过程，下列叙述正确的是（　　）

A．当C在B上滑行时，B、C组成的系统动量守恒
B．当C在A上滑行时，A、C组成的系统动量守恒
C．无论C是在A上滑行还是在B上滑行，A、B、C三木块组成的系统都动量守恒
D．当C在B上滑行时，A、B、C组成的系统动量不守恒
【答案】AC
【详解】A．C能由A滑上B，说明vC＞vA＝vB，滑上B后，B受C向右的摩擦力做加速运动，A、B分开，可知B、C系统所受外力为零，动量守恒，故A正确；
B．C在A上滑行时，A、B速度相等，且受C的摩擦力向右做加速运动，A、B间有相互作用力，A、C组成的系统动量不守恒，故B错误；
CD．无论C在A上还是在B上滑行，三者组成的系统符合动量守恒的条件，故C正确，D错误。
故选AC。
2．（2023·福建宁德·福建省福安市第一中学校考一模）如图所示，质量为2m，高为h，倾角为θ的光滑斜面体A放在光滑的水平面上。质量为m的细长直杆B，受固定的光滑套管C约束，只能在竖直方向上自由运动。初始时，A在水平推力F作用下处于静止状态，此时B杆下端正好压在A的顶端。现撤去推力F，A、B便开始运动。重力加速度为g，则（　　）

A．推力的大小为mgsinθ
B．运动过程中，B对A做正功
C．A、B组成的系统，水平方向上动量守恒
D．当杆的下端滑到斜面底端时，斜面体的速度大小
【答案】BD
【详解】A．静止时A对B只有垂直斜面向上的支持力，C对B有水平向右的作用力，对B受力分析，如图1所示

由平衡条件可知，竖直方向上有
可得
由牛顿第三定律可知，静止时B对A只有垂直斜面向下的压力，大小为
对A受力分析，如图2示，由平衡条件，水平方向上有
故A错误；
B．直杆B对斜面体A的作用力垂直斜面向下，而斜面体A的位移方向为水平向右，所以直杆B对斜面体A的作用力做正功，故B正确；
C．由于运动过程中直杆B受到光滑套管C的水平作用力，所以杆和斜面体组成的系统水平方向上动量不守恒，故C错误；
D．当在很短时间内光滑直杆下落高度，由几何知识可知，斜面体向右发生的位移大小为，所以光滑直杆与斜面体的速度大小之比为始终为，当杆滑到斜面底端时，设杆的速度大小为，斜面体的速度大小为，由系统机械能守恒有
由速度关系
解得
故D正确。
故选BD。
3．（2023·河北衡水·校联考二模）如图所示，高为、长为的斜面体静置于水平地面上，将质量为、可视为质点的小球从斜面体的顶端由静止释放后，斜面体沿水平地面做匀加速直线运动，经小球与斜面体分离，分离时斜面体的速度大小为，不计一切摩擦，取重力加速度大小，下列说法正确的是（　　）

A．斜面体的质量为
B．小球能达到的最大速度为
C．小球对斜面体的压力大小为
D．小球在斜面体上运动时，斜面体对地面的压力大小为
【答案】AC
【详解】A．斜面体的底边长内斜面体运动的位移大小为
所以小球从释放到与斜面体分离，沿水平方向运动的位移大小为
根据水平方向上动量守恒知
斜面体的质量为
选项A正确；
B．根据动量守恒定律知
即
小球与斜面体分离时的速度大小为
选项B错误；
C．对斜面体有
解得
选项C正确；
D．小球在竖直方向上满足
即
对整体在竖直方向上有
解得
选项D错误。
故选AC。
4．（2023·福建泉州·校考二模）如图甲所示，光滑水平面上放着长木板B，质量为m=2kg的木块A以速度v0=2m/s滑上原来静止的长木板B的上表面，由于A、B之间存在有摩擦，之后，A、B的速度随时间变化情况如图乙所示，重力加速度g=10m/s2.下列说法正确的是（　　）
A．A、B之间动摩擦因数为0.1 B．长木板的质量M=2kg
C．长木板长度至少为2m D．A、B组成的系统损失的机械能为4J
【答案】AB
【详解】B．从题图乙可以看出，A先做匀减速运动，B做匀加速运动，最后一起做匀速运动，共同速度为
v=1m/s
取向右为正方向，根据动量守恒定律得
mv0=（m＋M）v
解得
M=m=2kg
故B正确；
A．由图像可知，木板B匀加速运动的加速度为
=1m/s2
对B，根据牛顿第二定律得
μmg=Ma
解得动摩擦因数为
μ=0.1
故A正确；
C．由图像可知前1s内B的位移为
xB=×1×1m=0.5m
A的位移为
xA=×1m=1.5m
所以木板最小长度为
L=xA-xB=1m
故C错误；
D．A、B组成的系统损失的机械能为
ΔE=v2=2J
故D错误。
故选AB。
二、单选题
5．（2013·天津·校联考一模）如图所示，小车与木箱紧挨着静止放在光滑的水平冰面上，现有一男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱，关于上述过程，下列说法正确的是（ ）
A．男孩和木箱组成的系统动量守恒
B．小车与木箱组成的系统动量守恒
C．男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒
D．木箱的动量的变化量与男孩、小车的总动量的变化量相同
【答案】C
【详解】在男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱的过程中
A．男孩在水平方向受到小车的摩擦力，即男孩和木箱组成的系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，A错误；
B．小车在水平方向上受到男孩的摩擦力，即小车与木箱组成的系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，B错误；
C．男孩、小车与木箱三者组成的系统所受合力为零，系统动量守恒，C正确；
D．木箱、男孩、小车组成的系统动量守恒，木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量大小相同，方向相反，D错误。
故选C。
6．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）“独竹漂”是一项独特的黔北民间绝技。独竹漂高手们脚踩一根楠竹，漂行水上如履平地。如图甲所示，在平静的湖面上，一位女子脚踩竹竿抵达岸边，此时女子静立于竹竿A点，一位摄影爱好者使用连拍模式拍下了该女子在竹竿上行走过程的系列照片，并从中选取了两张进行对比，其简化图如下。经过测量发现，甲、乙两张照片中A、B两点的水平间距约为1cm，乙图中竹竿右端距离河岸约为1.8cm。照片的比例尺为1:40。已知竹竿的质量约为25kg，若不计水的阻力，则该女子的质量约为（　　）

A．41.5kg B．45kg C．47.5kg D．50kg
【答案】B
【详解】对人和竹竿组成的系统，可看成人船模型，所以
代入数据可得人的质量为
故选B。
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考三模）如图所示，质量为的小车静止在光滑水平面上，小车段是半径为的四分之一光滑圆弧轨道，段是长为的粗糙水平轨道，两段轨道相切于点。一质量为的可视为质点的滑块从小车上的A点由静止开始沿轨道下滑，然后滑入轨道，最后恰好停在点，滑块与轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为，则（　　）

A．整个过程中滑块和小车组成的系统动量守恒 B．滑块由A滑到过程中，滑块的机械能守恒
C．段长 D．全过程小车相对地面的位移大小为
【答案】D
【详解】A．滑块社圆弧上运动时有竖直方向的加速度，所以对系统而言竖直方向外力矢量和不为零，不满足动量守恒的条件，故A错误；
B．滑块由A滑到过程中，小车对滑块的弹力做负功，滑块的机械能不守恒，故B错误；
C．恰好停在对点时，二者均静止。根据能量守恒有
解得，，故C错误；
D．水平动量守恒有，通过相同的时间有，且有
解得，故D正确；
故选D。
8．（2023·浙江金华·校联考一模）长春某特警支队的2019年反恐演练出现了一款多旋翼查打一体无人机，总质量为M，该无人机是中国最先进的警用12旋翼无人机，装备有攻击性武器，旋翼启动后恰能悬停在离水平地面高为H的空中，升力大小不变，向前方以水平速度v发射一枚质量为m的微型导弹，始终保持水平，不计空气阻力（　　）
A．发射微型导弹后，无人机将做匀变速直线运动
B．发射出微型导弹瞬间，无人机后退速度大小为
C．微型导弹落地时，无人机离地高度为
D．微型导弹落地时，无人机与导弹落地点的水平距离为
【答案】D
【详解】A．发射微型导弹后，其重力减小，竖直方向做匀加速运动，水平方向因为动量守恒具有向后的速度，将做匀变速曲线运动，A错误；
B．根据动量守恒，得，B错误；
C．由于微型导弹落地过程中做平抛运动，则有
无人机上升的加速度为，高度为，联立得
无人机离地高度为，C错误；
D．微型导弹落地时经过的时间为
微型导弹落地时，无人机与导弹落地点的水平距离为，D正确。
故选D。
三、解答题
9．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，质量为M的小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是长为L的粗糙水平轨道，两段轨道相切于B点。一质量为m的滑块从小车上的A点由静止开始沿轨道下滑，然后滑入BC轨道，最后从C点滑出小车。已知滑块质量，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。
（1）若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力。
（2）若不固定小车，滑块仍从A点由静止下滑，求：
①滑块运动过程中，小车的最大速度大小；
②滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小s。
【答案】（1）3mg，方向竖直向下；（2）①，②
【详解】（1）若固定小车，滑块从A到B的运动中，由动能定理可得
解得
滑块在B点时，由牛顿第二定律可得
解得
此时在B点，圆弧轨道对滑块的支持力最大，由牛顿第三定律可知，滑块对小车的最大压力为3mg，方向竖直向下。
（2）①若不固定小车，因水平轨道粗糙，因此滑块滑至B点时，小车的速度最大，滑块与小车组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律可得
此过程系统的机械能守恒，则有
联立解得小车的最大速度大小为
②滑块从B到C运动过程中，滑块与小车组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律可得
则有
等式两边乘以时间t，则有
可知
解得
又
解得小车的位移大小为
10．（2023·河南·校联考一模）如图甲所示，质量为的长木板ABC静止在足够长的光滑水平面上，长木板ABC的上表面由半径为R（未知）的光滑四分之一圆弧面AB和长为的粗糙水平面BC平滑连接而成，B为圆弧面AB的最低点且切线水平，水平面BC的C端固定一挡板。现将质量为的物块从A点由静止释放，物块与挡板碰撞后相对木板向左运动到B点时与长木板相对静止。已知物块在木板BC间运动的过程中，受到的摩擦力F随物块距B点的距离x变化规律如图乙所示，物块与挡板碰撞过程的时间极短且没有机械能损失，重力加速度大小g取10，不计物块的大小。求：
（1）圆弧面AB的半径；
（2）物块从A点由静止释放到与长木板相对静止于B点，长木板运动的位移大小；
（3）物块与挡板碰撞后的瞬间，物块与长木板的速度大小。
【答案】（1）0.8m；（2）0.2m；（3），
【详解】（1）全程水平动量守恒，有
则
能量守恒，有
解得
（2）水平方向动量守恒，设向右为正，有
设极短时间为Δt，有
即
且
解得长木板运动的位移大小
（3）物块与挡板碰撞后的瞬间，水平动量守恒，有
由能量守恒，有
解得物块速度大小
长木板速度大小
11．（2022·天津·模拟预测）北京举办第24届冬季奥运会，催生了许多室内冰雪项目。如图所示，为室内冰雪乐园中一个游玩项目，倾斜冰面与水平面夹角θ=30°，冰面长、宽均为L=40m，冰面两侧均安装有安全护网，底部有缓冲装置（未画出）。周末某父子俩前往游玩，设父亲与滑板总质量为M=80kg，儿子与滑板总质量为m=40kg，工作人员将载有人的凹形滑板由冰面顶端中点静止释放的瞬间，父亲沿水平方向推了一下儿子，父子俩迅速分开，并沿冰面滑下。假设运动中始终没有碰到护网，父子俩都能安全到达冰面底端（不计一切阻力，父子俩均视为质点，重力加速度g取10m/s2），求：
（1）父子俩下滑的时间t多长？
（2）父亲推儿子时最多做功W为多少？
【答案】（1）4s；（2）750J
【详解】（1）父子俩都沿冰面做类平抛运动，沿冰面向下的加速度为
a＝gsinθ＝5m/s2
根据位移与时间关系
代入数据解得
t=4s
两者同时达到底端。
（2）推开后，设父亲获得初速度为vM，儿子获得初速度vm，父子俩水平动量守恒，则
因儿子质量小些，只要儿子安全即可，水平滑动距离为，根据位移与时间关系
代入数据解得
vm＝5m/s
代入动量守恒式，得
vM＝2.5m/s
根据功能关系
代入数据得最多做功
W＝750J
【高考通关练】
一、多选题
1．（2023·广东·统考高考真题）某同学受电动窗帘的启发，设计了如图所示的简化模型．多个质量均为的滑块可在水平滑轨上滑动，忽略阻力．开窗帘过程中，电机对滑块1施加一个水平向右的恒力，推动滑块1以的速度与静止的滑块2碰撞，碰撞时间为，碰撞结束后瞬间两滑块的共同速度为．关于两滑块的碰撞过程，下列说法正确的有（ ）

A．该过程动量守恒
B．滑块1受到合外力的冲量大小为
C．滑块2受到合外力的冲量大小为
D．滑块2受到滑块1的平均作用力大小为
【答案】BD
【详解】A．取向右为正方向，滑块1和滑块2组成的系统的初动量为
碰撞后的动量为，则滑块的碰撞过程动量不守恒，故A错误；
B．对滑块1，取向右为正方向，则有，负号表示方向水平向左，故B正确；
C．对滑块2，取向右为正方向，则有，故C错误；
D．对滑块2根据动量定理有，解得，则滑块2受到滑块1的平均作用力大小为，故D正确。
故选BD。
2．（2021·山东·高考真题）如图所示，载有物资的热气球静止于距水平地面H的高处，现将质量为m的物资以相对地面的速度水平投出，落地时物资与热气球的距离为d。已知投出物资后热气球的总质量为M，所受浮力不变，重力加速度为g，不计阻力，以下判断正确的是（　　）
A．投出物资后热气球做匀加速直线运动 B．投出物资后热气球所受合力大小为
C． D．
【答案】BC
【详解】AB．热气球开始携带物资时处于静止状态，所受合外力为0，初动量为0，水平投出重力为的物资瞬间，满足动量守恒定律
则热气球和物资的动量等大反向，热气球获得水平向左的速度，热气球所受合外力恒为，竖直向上，所以热气球做匀加速曲线运动，故A错误，B正确；
CD．热气球和物资的运动示意图如图所示
热气球和物资所受合力大小均为，所以热气球在竖直方向上加速度大小为
物资落地过程所用的时间内，根据解得落地时间为
热气球在竖直方向上运动的位移为
热气球和物资在水平方向均做匀速直线运动，水平位移为
根据勾股定理可知热气球和物资的实际位移为
故C正确，D错误。
故选BC。
二、单选题
3．（2021·全国·高考真题）如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统（　　）
A．动量守恒，机械能守恒 B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒 D．动量不守恒，机械能不守恒
【答案】B
【详解】因为滑块与车厢水平底板间有摩擦，且撤去推力后滑块在车厢底板上有相对滑动，即摩擦力做功，而水平地面是光滑的；以小车、弹簧和滑块组成的系统，根据动量守恒和机械能守恒的条件可知撤去推力后该系统动量守恒，机械能不守恒。
故选B。
三、解答题
4．（2021·天津·高考真题）一玩具以初速度从水平地面竖直向上抛出，达到最高点时，用遥控器将玩具内压缩的轻弹簧弹开，该玩具沿水平方向分裂成质量之比为1∶4的两部分，此时它们的动能之和与玩具从地面抛出时的动能相等。弹簧弹开的时间极短，不计空气阻力。求
（1）玩具上升到最大高度时的速度大小；
（2）两部分落地时速度大小之比。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设玩具上升的最大高度为h，玩具上升到高度时的速度大小为v，重力加速度大小为g，以初速度方向为正，整个运动过程有
玩具上升到最大高度有，
两式联立解得，
（2）设玩具分开时两部分的质量分别为、，水平速度大小分别为、。依题意，动能关系为
玩具达到最高点时速度为零，两部分分开时速度方向相反，水平方向动量守恒，有，
分开后两部分做平抛运动，由运动学关系，两部分落回地面时，竖直方向分速度大小为，设两部分落地时的速度大小分别为、，由速度合成公式，有，
结合，解得
5．（2021·北京·高考真题）如图所示，小物块A、B的质量均为m = 0.10 kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h = 0.45 m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s = 0.30 m，取重力加速度g = 10 m/s2。求：
（1）两物块在空中运动的时间t；
（2）两物块碰前A的速度v0的大小；
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能。
【答案】（1）0.30 s；（2）；（3）
【详解】（1）竖直方向为自由落体运动，由，得 t = 0.30 s
（2）设A、B碰后速度为，水平方向为匀速运动，由，得
根据动量守恒定律，由，得
（3）两物体碰撞过程中损失的机械能，得
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