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人教A版（2019）选择性必修第一册《2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系》提升训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为
A. B. C. D.
2.（5分）已知直线：和圆：，若存在三点，，，其中点在直线上，点和在圆上，使得四边形是正方形，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
3.（5分）圆上的点到直线的距离的最小值是
A. B. C. D.
4.（5分）：与：外切，则
A. B. C. D.
5.（5分）若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
6.（5分）已知圆：与圆：相交于，两点点与点在直线两侧，且，则的最大值是
A. B. C. D.
7.（5分）圆截直线所得的弦长为，则实数
A. B. C. D.
8.（5分）直线上的点到圆的最近距离为
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆：相切，则下列结论正确的是
A. 圆上点到直线的最小距离为
B. 圆上点到直线的最大距离为
C. 圆上到直线的距离为的点有且仅有个
D. 圆与圆有公共点，则的范围是
10.（5分）已知，为正实数，直线与圆相切，则
A. 直线与直线的距离是定值
B. 点一定在该圆外
C. 的最小值是
D. 的取值范围是
11.（5分）设有一组圆，，下命题正确的是
A. 不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B. 所有圆均不经过点
C. 存在一条定直线始终与圆相切
D. 若，若圆上总存在两点到原点的距离为
12.（5分）过点且与圆相切的直线方程为
A. B. C. D.
13.（5分）已知，，，且，则
A. B.
C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知圆：，过圆心的直线交圆于，两点，交轴于点若恰为的中点，则直线的斜率为______．
15.（5分）若圆上有且只有两个点到直线的距离为，则半径的取值范围是______.
16.（5分）在平面直角坐标系中，已知直线：和圆：若直线上存在点，使，则实数的取值范围是______．
17.（5分）已知圆：，直线：和：，与圆相切于点，与圆相交于，两点，若，则到的距离为 ______ .
18.（5分）在圆内，过点的最短弦的弦长为______；
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知圆，点是圆上一点，自点向圆作切线，是切点，求切线的方程．
20.（12分）已知过点的直线被圆：所截得的弦长为
写出圆的标准方程及圆心坐标、半径；
求直线的方程．
21.（12分）如图，在平面直角坐标系中，圆：与轴的正半轴交于点，以点为圆心的圆：与圆交于，两点．
当时，求的长；
当变化时，求的最小值；
过点的直线与圆切于点，与圆分别交于点，，若点是的中点，试求直线的方程．
22.（12分）已知圆的圆心在轴的正半轴上，且轴和直线均与圆相切．
求圆的标准方程；
设点，若直线与圆相交于，两点，且为锐角，求实数的取值范围．
23.（12分）已知圆的圆心在直线上，且经过点，
求圆的标准方程；
直线过点且与圆相交，所得弦长为，求直线的方程；
设为圆上一动点，为坐标原点，点，试求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】

此题主要考查基本不等式，圆的方程，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、基本不等式的性质的合理运用．
由已知得直线经过圆心，从而，由此利用基本不等式性质能求出的最小值．
解：直线始终平分圆的周长，
圆的圆心为，
直线经过圆心，
，即，
，，

，当且仅当且时取等号，
的最小值为
故选
2.【答案】C;
【解析】解：圆的半径为，所以，即正方形的边长为，对角线为，即
设点到直线的距离为
存在点在直线上，点和在圆上，使得四边形是正方形，相当于存在点使
所以
即，解得：
故选：
先判断出正方形的边长为，对角线为把题意转化为存在点使利用点到直线的距离公式即可求解．
此题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式及其应用等知识，属于基础题．
3.【答案】B;
【解析】解：圆的圆心坐标，到直线的距离是，所以圆上的点到直线的距离的最小值是
故选B．
先求圆心到直线的距离，再减去半径即可．
该题考查直线和圆的位置关系，数形结合的思想，是基础题．
4.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了圆与圆的位置关系，属于基础题.
根据题意，可得，即可得解.

解：圆：的圆心为，半径圆：可化为，所以，，又因为圆：与圆：外切，所以，即，解得，故选
5.【答案】D;
【解析】
此题主要考查用解析几何法来解决方程根的情况，考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式等知识点，关键是能够转化为直线与圆的位置关系才能用数形结合求解.
根据题意可知“方程有且只有两个不同的实数根”，即为“半圆与直线有两个不同交点”，画出图象，数形结合即可求解.
解：将方程有且只有两个不同的实数根，
转化为：半圆与直线有两个不同交点．

直线过定点，
当直线与半圆相切时，有，，
由图象知直线过时直线的斜率取最大值为
半圆与直线有两个不同交点时，
故选
6.【答案】C;
【解析】解：由题意，得圆的圆心为、半径为；
圆的圆心为、半径为；
连接、、，

则，
因为，所以；
则；
所以，
即关于的方程有实根，
则，
即，即，
所以的最大值为
故选：
先利用两圆的相交弦长及平面几何知识得到，利用两点间的距离公式得到关于的一元二次方程，再利用判别式进行求解．
此题主要考查圆与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
7.【答案】A;
【解析】
此题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，正确运用勾股定理是解答该题的关键．
由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．

解：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，
由点到直线的距离公式得：
，
解得
故选

8.【答案】B;
【解析】
此题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
将圆化为标准方程，求出圆心与半径，由点到直线的距离公式易得结果．
解：由题设知圆的圆心为，半径，
而圆心到直线距离为，
因此圆上点到直线的最短距离为
故选
9.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查直线与圆相切及相交的性质，和圆与圆之间的位置关系，属于中档题.
由的坐标及及题意可得三角形的欧拉线为线段的中垂线，由欧拉线与圆相切可得，圆心到欧拉线的距离等于半径可得的值，由圆上的点到直线的距离的最小值最大值为圆心到直线的距离减半径或加半径可得的正确与否求得直线的方程，圆心到直线的距离，通过比较的大小，可判断选项中两个圆有公共点可得圆心距在两个半径之差到两个半径之和之间可得的取值范围.

解：因为，由题意可得三角形的欧拉线为的中垂线，
由，点可得的中点为，且，
所以线段的中垂线方程为：，即，
因为三角形的“欧拉线”与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
所以圆的方程为：，
因为圆心到直线的距离，
中：圆上的点到直线的距离的最小值为，所以正确
中：圆上的点到直线的距离的最大值为，所以不正确
中：过点，的直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
圆的方程为：，
则圆心到直线的距离，
且圆的半径，
若使圆上到直线的距离为，
又，故此点有四个，故错；
中：圆心坐标，半径为，
圆的的圆心坐标为，半径为，
要使圆与圆有公共点，
所以，
解得：，
解得，所以正确
故选：
10.【答案】ACD;
【解析】解：与圆相切，，
则，即为正实数，
直线与直线的距离是定值，故正确；
，点一定在该圆内，故错误；
表示直线上的点到原点的距离，最小为原点到直线的距离等于，故正确；
，
当且仅当，即时取等号，
为正实数，，则上式等号不成立．
的取值范围是，故正确．
故选：
由圆心到已知直线的距离等于圆的半径可得为正实数，再由两平行线间的距离公式判断；把点的坐标代入圆的方程判断；由点到直线的距离公式判断；利用基本不等式求最值判断
此题主要考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式、两平行线间的距离公式的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题，
11.【答案】ABCD;
【解析】
此题主要考查圆的综合应用，难度一般.
逐项分析即可.

解：对于，圆心在直线上，正确；
对于，若，化简得，，无解，正确；
对于，存在定直线始终与圆相切，正确；
对于，若圆上总存在两点到原点的距离为，问题转化为圆与圆有个交点，则，
解得
故正确.
故选
12.【答案】AB;
【解析】解：设切线的斜率为，
则切线方程为，
即
根据圆心到切线的距离等于半径可得，
，
解得，
故切线方程为，
当直线的斜率不存在时，
直线方程为与已知圆相切，
综上可得，与已知圆相切的圆的方程为：
或，
故选：
用点斜式设出切线方程，根据圆心到切线的距离等于半径列方程求出斜率，即得切线方程；注意检验斜率不存在时时候满足题意．
此题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，但要注意结论：过圆外一点作已知圆的切线有两条，当所求的直线的斜率只要一个时，说明另一条切线的斜率不存在．
13.【答案】AC;
【解析】解：：，，，，当且仅当时等号成立，错误，
：，，当且仅当时等号成立，错误，
：，当且仅当时等号成立，正确，
：当时，，错误，
故选：
由判断，由判断，由举实例判断
此题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
14.【答案】±2;
【解析】解：根据题意，圆：，圆心，
则直线的斜率存在，可设直线的方程为，
令可得，即，设，，
联立直线与圆的方程，消去可得，
由方程的根与系数关系可得，，，
为的中点，
②，
把②代入①可得，，则，
解可得：，
即直线的斜率为；
故答案为：．
由题意可设直线的方程为，，设，，联立直线与圆的方程，然后由方程的根与系数关系可得，，，由为的中点可得，联立可求，，进而可求，即可得答案．
此题主要考查直线和圆的位置关系，方程的根与系数关系的应用，注意根与系数关系的应用．
15.【答案】;
【解析】
此题主要考查了直线与圆的位置关系，先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由题意得，解此不等式求得半径的取值范围．

解：圆心到直线的距离等于由，解得：，则半径的范围为故答案为
16.【答案】[，];
【解析】解：圆：的圆心，
设，
即为，
可得，
化为，
由题意可得，即，
化为，
解得．
故答案为：
求得圆心，设，运用向量的坐标和向量数量积的坐标表示，以及二次不等式有解的条件，解不等式可得所求范围．
该题考查圆的方程的应用，以及向量的数量积的坐标表示，以及二次不等式有解的条件，考查运算能力，属于基础题．
17.【答案】或;
【解析】解：直线：与圆：相切，
，解得，
：，
联立，解得或，
不妨取
设圆心到直线的距离为，
，，，
，解得，则：
时，到直线的距离为；
时，到直线的距离为
故答案为：或
由与圆相切求得的方程，进一步求得的坐标，利用圆的性质求得圆心到直线的距离，利用垂径定理列式求的值，可得的方程，再由点到直线的距离公式列式求解．
此题主要考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】2;
【解析】解：圆化为标准方程为：，
圆心坐标，半径，
当时，直线与圆的弦长最最短为：．
故答案为：．
圆的标准方程，过点的最短弦为与直径垂直的弦，可得结论．
该题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．
19.【答案】解：当切线方程的斜率不存在时，切线方程为：x=；
当切线方程的斜率存在时，
由+=，可知圆心为原点（0，0），所以直线OP的斜率k=，
根据所求切线与直线OP垂直得到切线的斜率k′=-，
则切线方程为y-=-（x-）；
即x+y-2-2=0，
综上，所求切线方程为x+y=．;
【解析】
分两种情况考虑：当切线方程的斜率不存在时，显然切线方程为；当切线方程的斜率存在时，要求过的切线方程，就要求直线的斜率，先根据和的坐标求出直线的斜率，根据直线与圆相切时切线垂直与经过切点的半径得到直线与切线垂直，即可求出切线的斜率，得到切线方程．
考查学生灵活运用圆切线的性质定理，掌握两直线垂直时所满足的条件，会根据一点坐标与斜率写出直线的方程．
20.【答案】解：（I）整理圆的方程得（x+2）2+（y-6）2=16，
圆心（-2，6），半径r=4；
（II）由圆C：++4x-12y+24=0得圆心坐标为（-2，6），半径为4
又∵直线l被圆C截得的线段长为4，∴直线l与圆心的距离为2，
当直线斜率存在时，设l的斜率是k，过P（0，5），设直线l：y=kx+5，即kx-y+5=0；
∵直线l与圆C的圆心相距为2，∴d==2，解得k=，此时直线的方程为3x-4y+20=0；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，也符合题意．
故所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0．;
【解析】
整理出圆的标准方程，确定圆的圆心与半径；
分类讨论，利用直线被圆截得的线段长为，可得直线与圆心的距离为，由此可得结论．
此题主要考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）当r=时，
由得，，，BC=，
（2）由对称性，设B（，），C（，），则2+2=4，
所以 =（-2）2-2=（-2）2-（4-2）=2（-1）2-2，
因为-2＜＜2，所以当=1时， 的最小值为-2；
（3）取EF的中点G，连结OG，AD，OF，则AD∥OG，
则===，从而OG=r，不妨记DE=2EG=2GF=2t，PD=6t，
在Rt△OFG中OF2=OG2+FG2即22=（）2+①
Rt△ADP中AP2=AD2+DP2即42=+（6t）2，②
由①②解得r=，
由题直线λ的斜率不为0，可设直线λ的方程为：x=my+6，由点A到直线λ的距离等于r，
则=，所以m=±3，从而直线λ的方程为x±3y-6=0．;
【解析】
构造方程组，求出点，的坐标，根据两点之间的距离公式即可求出，
根据对称性，可得，即可求出最小值，
根据比例的性质和勾股定理，可求出半径，再设可设直线的方程为：，根据点到直线的距离公式即可求出．
该题考查了直线与圆的位置关系的应用及化简运算的能力，两点之间的距离公式，勾股定理，点到直线的距离，属于中档题．
22.【答案】解：（1）设圆C：（x-a）2+（y-b）2=r，（r＞0），
故由题意得，解得a=2，b=0，r=2，
则圆C 的标准方程为：（x-2）2+=4．（6分）
（2）将y=x+m代入圆C的方程，消去y并整理得2+2（m-2）x+=0．
令△=4（m-2）2-8＞0，得-2-2＜m＜-2+2，（8分）
设M（，），N（，），
则+=2-m，=．
则=（，-1），=（，-1）
若∠MPN为锐角，得 ＞0，
即+（+m-1）（+m-1）＞0，
即2+（m-1）（+）+（m-1）2＞0，
即+（m-1）（2-m）+（m-1）2＞0，
即+m-1＞0，
解得m＞或m＜．
∵-2-2＜m＜-2+2，
∴（，-2+2）∪（-2-2，）．
故实数m的取值范围是（，-2+2）∪（-2-2，）（12分）;
【解析】
根据条件建立方程关系求出圆心坐标和半径即可．
联立直线和圆的方程，利用消元法转化为根与系数之间的关系，进行求解即可．
这道题主要考查圆的方程的求解以及直线和圆位置关系的应用，利用转化法结合根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
23.【答案】解：（1）∵圆C的圆心在直线2x-y-3=0上，设C（a，2a-3），
由圆经过点A（5，2），B（3，2），可得|CA|2=|CB|2，
即（a-5）2+（2a-3-2）2=（a-3）2+（2a-3-2）2，解得a=4．
故圆心C（4，5），半径为，
故圆C的标准方程为（x-4）2+（y-5）2=10．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，弦心距等于2，满足弦长为，符合；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-1=k（x-2），即kx-y+1-2k=0．
此时，弦心距，
由解得，故直线l的方程为．
综上可得，所求的直线l的方程为x=2或．
（3）直线OP的方程为，即x-2y=0，故圆心到直线的距离为，
故圆上的点到直线OP的距离最大为．再由，
可得△OPQ面积的最大值为．;
【解析】
求由题意可知，圆心应在线段的中垂线上，求出圆心与半径，即可求圆的标准方程；
直线过点且与圆相交，所得弦长为，分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线的方程．
求出直线的方程为 ，圆心到直线的距离的值，根据面积的最大值为运算求得结果．
此题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．

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