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山东省聊城市临清市京华中学2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试题
一、单选题
1．（2022九上·临清开学考）下面各组图形中，不是相似形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2017九下·钦州港期中）两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为（　　）
A． B． C． D．
3．（2022九上·临清开学考）如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠A的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022九上·临清开学考）如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2021九上·瓦房店月考）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝ ，则BC的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．9
6．（2022九上·临清开学考）在中，，，则值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022九上·临清开学考）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
8．如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BE=2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE=（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
9．（2020八下·牡丹江期末）如图，在 中， ，则 的长是（　　）
A． B． C． D．
10．（2020·苏家屯模拟）如图，A，B两景点相距20km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距（　　）
A．10km B．10 km C．10 km D． km
11．（2022九上·临清开学考）如图，在中，已知是边上的高，，，，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．7
12．（2022九上·临清开学考）如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，如果∽，，，那么的周长等于（　　）
A． B． C． D．
13．（2022九上·临清开学考）如图，在平面直角坐标系中的第一象限内，的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，作出的位似图形，若与的相似比为2∶1则点的坐标为（　　）
A．（2，4） B．（2，2） C．（6，2） D．（7，2）
14．（2022九上·临清开学考）在中，若，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
15．（2021九上·东港期中）如图，P是直角△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过点P作一条直线，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（　　）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
16．（2022九上·临清开学考）如图，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3， BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
17．（2021·杭州）在 中， ，则 的正弦值为（　　）
A． B． C．2 D．
18．（2022九上·临清开学考）如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（　　）
A．米 B．米 C．50sin40°米 D．50cos40°米
二、解答题
19．（2022九上·临清开学考）计算
（1）；
（2）．
20．（2022九上·临清开学考）如图，A、B两点被池塘隔开，在外任选一点C，分别在、上取点D、E，如果测得，，，，且，求的长？
21．（2023·达州模拟）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1：，且AB=26米．
（1）求坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．学校计划将斜坡AB改造成AF(如图所示)，那么BF至少是多少米？(结果精确到1米)(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33)．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：只有B选项中两个等腰三角形的顶角不一样，则两个图形不相似，
故答案为：B.
【分析】根据相似图形的形状相同，逐项分析判断，即可求解．
2．【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由题意得，两个相似多边形的一组对应边的比为3：4.5= ，
∴它们的相似比为 .
故答案为：A.
【分析】两个相似多边形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】选项中D选项分母为61
【解答】解：如图所示，找到格点D，连接BD，AD
∵，
∴
故答案为：D.
【分析】根据网格的特点以及勾股定理求得AB的长，进而根据正弦的定义，即可求解．
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，
∴DE//BC，DE=BC，
∴△DEF～△BCF
∴
故答案为：D.
【分析】根据题意可得DE是△ABC的中位线，则DE//BC，进而可得△DEF～△BCF，根据相似三角形的性质，即可求解．
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝ ，
∴cosA＝ ＝ ＝ ，
∴AB＝10，
∴BC＝ ＝ ＝8．
故答案为：B．
【分析】先求出cosA＝ ＝ ＝ ，再利用勾股定理计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 在中，，， 设AC=4k，则AB=5k，
∴BC=3k
∴
故答案为：A.
【分析】根据余弦的定义，设AC=4k，则AB=5k，勾股定理求得BC=3k，根据正切的定义即可求解．
7．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴
∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，
∴
解得：DE=
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，代入数据即可求得DE的长
8．【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设CE=x，
∵四边形EFDC与四边形BEFA相似，
∴ ，
∵AB=3，BE=2，EF=AB，
∴ ，
解得：x=4.5，
故答案为：D
【分析】设CE=x，由四边形EFDC与四边形BEFA相似，可得出对应边成比例，建立关于x的方程，求解即可。
9．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点C作 ，交 的延长线于点D，
，
，
，
，
，
由勾股定理得， ，
在 中， ，
故答案为：B．
【分析】过点C作 ，交 的延长线于点D，利用平角的定义求出∠DAC=60°，利用三角形内角和得出∠ACD=30°，从而得出，继而得出BD=AB+AD=7，利用勾股定理先求出CD的长，再求出BC的长即可.
10．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意可知：
∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝90°，AB＝20km，
∴AC＝AB×cos30°＝20× ＝ （km）.
∴A，C两景点相距 km.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，∠CAB=30°，∠CBA=60°，所以∠ACB=90°，根据AB=20km，和特殊角三角函数即可求出A，C两景点距离.
11．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵已知是边上的高，，，，
∴，
∴BD=AC=2
∴
在Rt△ABD中，
故答案为：B.
【分析】根据正切与余弦的定义，得出，可得BD=AC=2，进而勾股定理得出AD的长，然后勾股定理，即可求解．
12．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB=1：4
∴其周长比为1：4，
∵BC=8cm，三角形ABC为等边三角形
∴△ABC的周长为：24cm
∴的周长等于
答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，即可求解．
13．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：依题意， C（3，1），与的相似比为2∶1
∴点的坐标为 （6，2）
故答案为：C.
【分析】根据位似的性质，将C点的横纵坐标都乘以2，即可求解．
14．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的三角函数值求得∠A，∠B，进而即可求解．
15．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，过点P可作PE∥BC或PE″∥AC，
∴△APE∽△ABC、△PBE″∽△ABC；
过点P还可作PE′⊥AB，可得：∠EPA＝∠C＝90°，∠A＝∠A
∴△APE∽△ACB；
∴满足这样条件的直线的作法共有3种．
故答案为：B
【分析】过点P可作PE∥BC或PE″∥AC，再利用平行线判断三角形相似的方法可得相似三角形。
16．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A，B，选项中阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等， 剪下的阴影三角形与原三角形相似 ，故本选项不符合题意；
C选项中，对应边不成比例，剪下的阴影三角形与原三角形不相似，故该选项正确，符合题意；
D选项中，，对应边成比例，且夹角相等，则剪下的阴影三角形与原三角形相似 ，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可
17．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由题意画出图形，用勾股定理可表示出AB，再根据锐角三角函数sin∠A=可求解.
18．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵BC⊥AC于点C，∠A=40°，BC=50
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据正弦的定义，即可求解．
19．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值进行混合运算，即可求解；
（2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
20．【答案】解：∵，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的长为．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据已知数据可得又，证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
21．【答案】（1）解：设AE=5x米，
∵斜坡AB的坡比为，
∴BE=12x米，
由勾股定理得，AE2+BE2=AB2，即(5x)2+(12x)2=262，
解得，x=2或x=-2(舍去) ，
∴BE=12x=24(米)；
（2）解：如图：过点F作FG⊥AD于G，
则四边形FGEB为矩形，
∴FG=BE=24米，BF=GE，
在Rt△AFG中，∠FAG=53°，
∴(米)，
由(1)可知，AE=10米，
∴BF=GE=AG﹣AE≈8(米)，
答：BF至少是8米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）设AE=5x米，根据斜坡AB的坡比可得BE=12x米，利用勾股定理求出x的值，进而可得BE的长；
（2）过点F作FG⊥AD于G，则四边形FGEB为矩形，FG=BE=24米，BF=GE，由三角函数的概念可得AG，然后根据BF=GE=AG-AE进行计算.
1 / 1山东省聊城市临清市京华中学2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试题
一、单选题
1．（2022九上·临清开学考）下面各组图形中，不是相似形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：只有B选项中两个等腰三角形的顶角不一样，则两个图形不相似，
故答案为：B.
【分析】根据相似图形的形状相同，逐项分析判断，即可求解．
2．（2017九下·钦州港期中）两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由题意得，两个相似多边形的一组对应边的比为3：4.5= ，
∴它们的相似比为 .
故答案为：A.
【分析】两个相似多边形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例.
3．（2022九上·临清开学考）如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠A的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】选项中D选项分母为61
【解答】解：如图所示，找到格点D，连接BD，AD
∵，
∴
故答案为：D.
【分析】根据网格的特点以及勾股定理求得AB的长，进而根据正弦的定义，即可求解．
4．（2022九上·临清开学考）如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，
∴DE//BC，DE=BC，
∴△DEF～△BCF
∴
故答案为：D.
【分析】根据题意可得DE是△ABC的中位线，则DE//BC，进而可得△DEF～△BCF，根据相似三角形的性质，即可求解．
5．（2021九上·瓦房店月考）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝ ，则BC的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．9
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝ ，
∴cosA＝ ＝ ＝ ，
∴AB＝10，
∴BC＝ ＝ ＝8．
故答案为：B．
【分析】先求出cosA＝ ＝ ＝ ，再利用勾股定理计算求解即可。
6．（2022九上·临清开学考）在中，，，则值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 在中，，， 设AC=4k，则AB=5k，
∴BC=3k
∴
故答案为：A.
【分析】根据余弦的定义，设AC=4k，则AB=5k，勾股定理求得BC=3k，根据正切的定义即可求解．
7．（2022九上·临清开学考）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴
∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，
∴
解得：DE=
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，代入数据即可求得DE的长
8．如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BE=2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE=（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设CE=x，
∵四边形EFDC与四边形BEFA相似，
∴ ，
∵AB=3，BE=2，EF=AB，
∴ ，
解得：x=4.5，
故答案为：D
【分析】设CE=x，由四边形EFDC与四边形BEFA相似，可得出对应边成比例，建立关于x的方程，求解即可。
9．（2020八下·牡丹江期末）如图，在 中， ，则 的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点C作 ，交 的延长线于点D，
，
，
，
，
，
由勾股定理得， ，
在 中， ，
故答案为：B．
【分析】过点C作 ，交 的延长线于点D，利用平角的定义求出∠DAC=60°，利用三角形内角和得出∠ACD=30°，从而得出，继而得出BD=AB+AD=7，利用勾股定理先求出CD的长，再求出BC的长即可.
10．（2020·苏家屯模拟）如图，A，B两景点相距20km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距（　　）
A．10km B．10 km C．10 km D． km
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意可知：
∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝90°，AB＝20km，
∴AC＝AB×cos30°＝20× ＝ （km）.
∴A，C两景点相距 km.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，∠CAB=30°，∠CBA=60°，所以∠ACB=90°，根据AB=20km，和特殊角三角函数即可求出A，C两景点距离.
11．（2022九上·临清开学考）如图，在中，已知是边上的高，，，，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．7
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵已知是边上的高，，，，
∴，
∴BD=AC=2
∴
在Rt△ABD中，
故答案为：B.
【分析】根据正切与余弦的定义，得出，可得BD=AC=2，进而勾股定理得出AD的长，然后勾股定理，即可求解．
12．（2022九上·临清开学考）如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，如果∽，，，那么的周长等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB=1：4
∴其周长比为1：4，
∵BC=8cm，三角形ABC为等边三角形
∴△ABC的周长为：24cm
∴的周长等于
答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，即可求解．
13．（2022九上·临清开学考）如图，在平面直角坐标系中的第一象限内，的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，作出的位似图形，若与的相似比为2∶1则点的坐标为（　　）
A．（2，4） B．（2，2） C．（6，2） D．（7，2）
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：依题意， C（3，1），与的相似比为2∶1
∴点的坐标为 （6，2）
故答案为：C.
【分析】根据位似的性质，将C点的横纵坐标都乘以2，即可求解．
14．（2022九上·临清开学考）在中，若，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的三角函数值求得∠A，∠B，进而即可求解．
15．（2021九上·东港期中）如图，P是直角△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过点P作一条直线，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（　　）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，过点P可作PE∥BC或PE″∥AC，
∴△APE∽△ABC、△PBE″∽△ABC；
过点P还可作PE′⊥AB，可得：∠EPA＝∠C＝90°，∠A＝∠A
∴△APE∽△ACB；
∴满足这样条件的直线的作法共有3种．
故答案为：B
【分析】过点P可作PE∥BC或PE″∥AC，再利用平行线判断三角形相似的方法可得相似三角形。
16．（2022九上·临清开学考）如图，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3， BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A，B，选项中阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等， 剪下的阴影三角形与原三角形相似 ，故本选项不符合题意；
C选项中，对应边不成比例，剪下的阴影三角形与原三角形不相似，故该选项正确，符合题意；
D选项中，，对应边成比例，且夹角相等，则剪下的阴影三角形与原三角形相似 ，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可
17．（2021·杭州）在 中， ，则 的正弦值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由题意画出图形，用勾股定理可表示出AB，再根据锐角三角函数sin∠A=可求解.
18．（2022九上·临清开学考）如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（　　）
A．米 B．米 C．50sin40°米 D．50cos40°米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵BC⊥AC于点C，∠A=40°，BC=50
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据正弦的定义，即可求解．
二、解答题
19．（2022九上·临清开学考）计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值进行混合运算，即可求解；
（2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
20．（2022九上·临清开学考）如图，A、B两点被池塘隔开，在外任选一点C，分别在、上取点D、E，如果测得，，，，且，求的长？
【答案】解：∵，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的长为．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据已知数据可得又，证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
21．（2023·达州模拟）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1：，且AB=26米．
（1）求坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．学校计划将斜坡AB改造成AF(如图所示)，那么BF至少是多少米？(结果精确到1米)(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33)．
【答案】（1）解：设AE=5x米，
∵斜坡AB的坡比为，
∴BE=12x米，
由勾股定理得，AE2+BE2=AB2，即(5x)2+(12x)2=262，
解得，x=2或x=-2(舍去) ，
∴BE=12x=24(米)；
（2）解：如图：过点F作FG⊥AD于G，
则四边形FGEB为矩形，
∴FG=BE=24米，BF=GE，
在Rt△AFG中，∠FAG=53°，
∴(米)，
由(1)可知，AE=10米，
∴BF=GE=AG﹣AE≈8(米)，
答：BF至少是8米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）设AE=5x米，根据斜坡AB的坡比可得BE=12x米，利用勾股定理求出x的值，进而可得BE的长；
（2）过点F作FG⊥AD于G，则四边形FGEB为矩形，FG=BE=24米，BF=GE，由三角函数的概念可得AG，然后根据BF=GE=AG-AE进行计算.
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