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一元二次方程
知识点梳理
1一元二次方程的概念 .只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)ax2称为二次项,
a 称为二次项系数.
bx称为一次项, b称为一次项系数.
c 称为常数项.
3.一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
一般的，对于可化为方程 x2 = p,
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根， ；
当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根=0；
当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根.
4.二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
用配方法解一元二次方程的一般步骤
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
5.配方法：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则(x+n)=,方程的两个根为
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
6.公式法
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“”表示，即= b2-4ac.
7.判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
8.因式分解法的概念
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法。
因式分解法的基本步骤
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
9.解法选择基本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么，
题型一 一元二次方程的定义
1.判断下列方程，是一元二次方程的有____________.
（1）； （2）； （3）；
（4）；（5）；（6）.
2.若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
3.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是____一次项系数是____常数项是____
4.若方程 是一元二次方程，则m的值为
A．0 B．±1 C．1 D．–1
5.已知是方程的根，则式子的值为__________
题型二 一元二次方程的根的应用
1.若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m=______
2.一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为_______.
题型三 一元二次方程的解法
1.用配方法解方程x2+2x﹣1=0时，配方结果正确的是（　　）
（x+2）2=2 B．（x+1）2=2 C．（x+2）2=3 D．（x+1）2=3
2.方程 正确解法是（ ）
A、直接开方得
B、化为一般形式
C、分解因式得
D、直接得 或
3.用公式法和配方法解x2-4x-1=0
4.解一元二次方程
（x﹣5）2﹣9=0． x2﹣2x﹣4=0． 3x2﹣6x﹣2=0．
x2+x﹣2=0． （x+3）2=2x+6．
5.用因式分解法解下列方程：
(1)； (2)；
； (4)．
题型四 一元二次方程的根的判别式的应用
1.已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）A.m>- B. m<2 C. m ≥0 D. m<0
2.关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）A．k＜ B．k＞ C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0
题型五 一元二次方程的根与系数的关系
1.已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝_______．
2.已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值等于（ ）
7 B. -2 C. D.-
已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（　　）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6
4.已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么的值为______．
5.设x1，x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，不解方程，求下列各式的值．
（1）（x1﹣1）（x2﹣1）；
（2）+．
巩固练习
1．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
2．若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ）
A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0
3．一元二次方程（x﹣2）=x（x﹣2）的解是（ 　　）
A．x=1 B．x=0 C．x1=2，x2=0 D．x1=2，x2=1
4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
5．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（　　）
A．（x+2）2=9 B．（x﹣2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x﹣2）2=1
6．下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋l＝0
7．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　 　）
A．144（1﹣x）2=100 B．100（1﹣x）2=144
C．144（1+x）2=100 D．100（1+x）2=144
8．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（　 　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
9．关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（　 　）
A．m≤ B．m≤且m≠0 C．m＜1 D．m＜1且m≠0
10．若是方程的两根，则（）
A．2006 B．2005 C．2004 D．2002
二、填空题（每题3分，共18分）
11．方程x2﹣2x=0的解为
12．已知关于的方程的两个根是0和，则= ，= ．
13．已知关于的方程有两个相同的实数根，则的值是 ．
14．已知一元二次方程的两根为，则___________．
16．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
三、解答题（共112分）
17．（共24分，每小题6分）解下列一元二次方程．
（1）x2﹣5x+1=0； （2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）．
(3) (4)
18．（12分）在实数范围内定义一种新运算“”，其规则为：ab＝a2－b2，根据这个规则：
(1)求43的值； (2)求(x＋2)5＝0中x的值．
19．（12分）已知x1=-1是方程的一个根，求m的值及方程的另一根x2。
20. （12分）已知一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为，，且+3=3，求m的值。
21.(12分)已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根和m的取值。
22．（12分）已知关于x的方程x2－2（k－1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值.
23．（12分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根为x1,x2．
（1）求k的取值范围;
（2）设y=x1+x2,当y取得最小值时,求相应k的值,并求出最小值．
24.下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：2x2+4x﹣8＝0
二次系数化为1，得x2+2x﹣4＝0…第一步
移项，得x2+2x＝4…第二步
配方，得x2+2x+4＝4+4，即（x+2）2＝8…第三步
由此，可得…第四步
所以，，…第五步
（1）小明同学解题过程中，从第 　 　步开始出现错误．
（2）请给出正确的解题过程．
25.阅读理解：
已知m2+n2﹣10m+4n+29＝0，求m，n的值．
解：∵m2+n2﹣10m+4n+29＝0，
∴（m2﹣10m+25）+（n2+4n+4）＝0，
∴（m﹣5）2+（n+2）2＝0，
又∵（m﹣5）2＝0，（n+2）2≥0，
∴（m﹣5）2＝0，（n+2）2＝0，
∴m＝5，n＝﹣2．
学以致用：
（1）若t2﹣2t+1＝0，求t的值；
（2）已知x2﹣2xy+2y2+8y+16＝0，求x，y的值；
（3）已知a+4b＝4，且ab﹣c2﹣6c＝10，求ba+c的值．

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