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人教B版（2019）必修第二册第四章指数函数、对数函数与幂函
（共20题）
一、选择题（共13题）
已知函数 在 上可导，则
A． B． C． D．
已知 ，，，则 ，， 的大小关系为
A． B． C． D．
已知 ，，，则 ，， 的大小关系为
A． B． C． D．
集合 ，， 是实数集，则 等于
A． B．
C． D．
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿度长为 ，头顶至脖子下端的长度为 ，则其身高可能是
A． B． C． D．
设函数 ，则 是
A．奇函数，且在 上是增函数
B．奇函数，且在 上是减函数
C．偶函数，且在 上是增函数
D．偶函数，且在 上是减函数
设函数 ，若 ，则 的取值范围为
A． B．
C． D．
已知函数 （其中 ），若 的图象如图所示，则函数 的图象是
A．
B．
C．
D．
设 ，，，则
A． B． C． D．
已知函数 的定义域是 ，那么函数 在区间 上
A．有最小值无最大值 B．有最大值无最小值
C．既有最小值也有最大值 D．没有最小值也没有最大值
已知 ，，，则 ，， 的大小关系是
A． B． C． D．
小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为 元，每束花的进价为 元，若日均销售量 （单位：束）与销售单价 （单位：元）的关系为 ，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
已知函数 ，对于任意 ，且 ，均存在唯一实数 ，使得 ，且 ，若关于 的方程 有 个不相等的实数根，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
二、填空题（共4题）
已知 ，若幂函数 为奇函数，且在 上递减，则 ．
已知函数 是奇函数，则不等式 的解集是 ．
已知函数 是幂函数，且该函数是偶函数，则 的值是 ．
已知函数 ，若 的值域是 则实数 的取值范围是 ．
三、解答题（共3题）
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 ，，山区边界曲线为 ，计划修建的公路为 ，如图所示，， 为 的两个端点，测得点 到 ， 的距离分别为 千米和 千米，点 到 ， 的距离分别为 千米和 千米，以 ， 所在的直线分别为 ， 轴，建立平面直角坐标系 ，假设曲线 符合函数 （其中 ， 为常数）模型．求 ， 的值．
已知函数 ，判断并证明 的单调性．
如图，已知底角为 的等腰梯形 ，底边 长为 ，腰长为 ，当一条垂直于底边 （垂足为点 ）的直线 从左至右移动（与梯形 有公共点）时，直线 把梯形分成两部分，令 ，试写出直线 左边部分的面积 关于 的函数．
答案
一、选择题（共13题）
1. 【答案】D
【解析】根据导数的定义，
2. 【答案】B
3. 【答案】D
【解析】 ，但 ，
，
，
．
4. 【答案】D
【解析】因为 ，，
所以 ，
则 ．
5. 【答案】B
【解析】由人体特征可知，头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的长度，故咽喉至肚脐的长度应小于 ，可得到此人的身高应小于 ；
同理，肚脐至足底的长度应大于腿长 ，故此人的身高应大于 ，结合选项可知，只有B选项符合题意，故选B．
6. 【答案】A
【解析】因为 所以定义域为 ．
又因为 ，所以 为奇函数，
又由复合函数的单调性知， 为单调增函数．
7. 【答案】D
【解析】因为函数 ，
所以 时，，即 ，所以 ；
时，，即 ，解得 ．
所以 的取值范围为：．
8. 【答案】A
【解析】由题图得 ，．
9. 【答案】A
【解析】因为 ，
，
，
可得 ，所以 ．
10. 【答案】A
11. 【答案】B
12. 【答案】B
【解析】设该店每天获利 元，则 ，
由 ，，得 ，
故当 时，该店每天获利最大．
13. 【答案】A
【解析】由题意可知 在 上单调递增，值域为 ，
因为对于任意 ，且 ，均存在唯一实数 ，使得 ，且 ，
所以 在 上是减函数，值域为 ，
所以 ，且 ，即 ．
因为 有 个不相等的实数根，
所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以则 的取值范围是 ．
二、填空题（共4题）
14. 【答案】
【解析】因为幂函数 为奇函数，
所以 可取 ，，，
又 在 上递减，
所以 ，故 ．
15. 【答案】
16. 【答案】
【解析】因为函数 是幂函数，
所以 ，
解得 或 ．
当 时，函数 是奇函数，不符合题意；
当 时，函数 是偶函数，符合题意，
所以 的值是 ．
17. 【答案】
三、解答题（共3题）
18. 【答案】由题意知，点 ， 的坐标分别为 ，，
将其分别代入 ，
得
解得
19. 【答案】 在 上为减函数，
证明如下：
由 ，
得 ，即 ．
所以 的定义域为 ．
任取 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
故 在 上为减函数．
20. 【答案】如图所示，分别过点 ， 作 ，，垂足分别是点 ，．
因为四边形 是等腰梯形，底角为 ，，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
①当点 在 上，即 时，；
②当点 在 上，即 时，；
③当点 在 上，即 时，
所以函数的解析式为 ．

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