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高中数学重难点突破
专题七 椭圆的方程及其性质
知识归纳
1、椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．
2、椭圆的方程、图形与性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围 且 且
顶点 、、 、、
轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
准线方程
点和椭圆的关系
切线方程 （为切点） （为切点）
对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得
切点弦所在的直线方程
焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点）②③焦点三角形中一般要用到的关系是
焦半径 左焦半径：又焦半径： 上焦半径：下焦半径：
焦半径最大值，最小值
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，，则弦长（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
[常用结论]
1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.
5．椭圆 与直线 相切的条件是．
典例分析
题型一　椭圆的定义
【例1-1】中，为动点，，且满足，则点的轨迹方程为______．
【答案】.
根据正弦定理，由，
所以点A点的轨迹是以，为焦点的椭圆，不包括两点，
由，
所以A点的轨迹方程为
【例1-2】已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为______________．
【答案】
如图所示，圆的圆心坐标为，半径，
因为是线段的垂直平分线上的点，所以，则，
根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以为焦点的椭圆，
其中，，则有，
故点P的轨迹方程为．
【例1-3】已知两圆，动圆在圆内部且和圆相内切．和圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为_________．
【答案】
圆，
圆心，圆，圆心，
动圆设圆心，半径为r，动圆M在圆内部，且动圆M与圆相内切，与圆相外切，
所以，
①＋②可得，又，
所以，
则动点M满足椭圆定义，，
焦点，
所以椭圆方程为．
故答案为：
【例1-4】在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数，使得，则顶点C的轨迹方程为________．
【答案】
【分析】设，先说明是的重心，点为的内心，求出，得到即得解.
【详解】解：设，因为，所以是的重心，
因为，所以，
所以, 所以点在的角平分线上，
因为∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，所以点为的内心.
所以点，即，
又，所以与轴平行，又，
所以,
所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，，
当是椭圆的长轴的端点时，不能构成三角形，所以不能取到椭圆的长轴的端点；
当是椭圆的短轴的端点时，与已知存在非零实数，使得矛盾，所以不能取到椭圆的短轴的端点.
又椭圆的焦距为2，所以椭圆的方程为.
所以点的轨迹方程为.
题型二 椭圆的方程
【例2-1】一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为(　　)
A．＋＝1　　　　B．＋＝1　　　　C．＋＝1　　　　D．＋＝1
答案　A　解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由点P(2，)在椭圆上，知＋＝1．又|PF1|，
|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，则＝.又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，故椭圆的方程为＋＝1．
【例2-2】已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若
AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　)
A．＋＝1　　　　B．＋＝1　　　　C．＋＝1　　　　D．＋＝1
答案　D　解析　由题意知直线AB的斜率k＝＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①－②整理得＝－·，即k＝－×＝，∴＝．又a2－b2＝c2＝9，∴a2＝18，b2＝9．∴椭圆E的方程为＋＝1．
【例2-3】(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1　　　　　B．＋＝1　　　　　C．＋＝1 　　　　　D．＋＝1
答案　B　解析　解法一　由题意设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|
＝2m，|BF1|＝3m．由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝．在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝＝，所以＝1－2，得a2＝3．又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1．故选B．
解法二　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a．∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a．又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴点A是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，＝2，得B．由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2．∴椭圆C的方程为＋＝1．故选B．
【例2-4】已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，点F关于直线y＝x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为________________．
7．答案　＋＝1　解析　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可知c＝1，即a2－b2＝1①，设点
F(1，0)关于直线y＝x的对称点为(m，n)，可得＝－2②．又因为点F与其对称点的中点坐标为，且中点在直线y＝x上，所以有＝×③，联立②③，解得即对称点为，代入椭圆方程可得＋＝1④，联立①④，解得a2＝，b2＝，所以椭圆方程为＋＝1．
【例2-5】已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋＝1　　　　B．＋＝1　　　　C．＋＝1　　　　D．＋＝1
答案　A　解析　因为点A在椭圆上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，对其平方，得|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1||AF2|
＝4a2，又AF1⊥AF2，所以|AF1|2＋|AF2|2＝4c2，则2|AF1||AF2|＝4a2－4c2＝4b2，即|AF1|·|AF2|＝2b2，所以S△F1AF2＝|AF1||AF2|＝b2＝2．又△AF1F2是直角三角形，∠F1AF2＝90°，且O为F1F2的中点，所以|OA|＝|F1F2|＝c，由已知不妨设A点在第一象限，则∠AOF2＝30°，所以A(c，c)，则S＝|F1F2|·c＝c2＝2，c2＝4，故a2＝b2＋c2＝6，所以椭圆方程为＋＝1，故选A．
题型三　椭圆的焦点三角形
【例3-1】(多选题)已知P是椭圆E：＋＝1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是 (　　)
A. P点纵坐标为3 B. ∠F1PF2>
C. △F1PF2的周长为4(＋1) D. △F1PF2的内切圆半径为(－1)
【解析】由已知a＝2，b＝2，c＝2，不妨设P(m，n)，m>0，n>0，则S△F1PF2＝×2c×n＝3，
所以n＝，故A错误；当点P为椭圆的上、下顶点时，∠F1PF2最大，此时由b＝c＝2知，∠F1PF2＝，故B错误；
由椭圆定义，△F1PF2的周长为2a＋2c＝4＋4，故C正确；设△F1PF2的内切圆半径为r，则r·(4＋4)＝3，所以r＝(－1). 故D正确. 故选CD.
【例3-2】设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】B
解：由椭圆的方程可得，
所以，得且，，
在中，由余弦定理可得
，
而，所以，，又因为，，所以，
所以，
【例3-3】设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由椭圆的定义，，
由余弦定理有：
，
化简整理得：，又，
由以上两式可得：
由，得，∴，
又，所以F1PQ为等边三角形，由椭圆对称性可知轴，所以.
题型四 椭圆离心率
【例4-1】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆
与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　A　解析　秒杀　由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a．又直线bx－ay＋2ab
＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，∴＝，∴e＝＝＝．故选A．
【例4-2】已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A
且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　D　解析　由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角
形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴点P坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点P(2c，c)．∵点P在过点A，且斜率为的直线上，∴＝，解得＝，∴e＝，故选D.
【例4-3】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆
交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
答案　　解析　由已知条件易得B，C，F(c，0)，∴＝c＋a，－，＝
c－a，－，由∠BFC＝90°，可得·＝0，所以＋2＝0，c2－a2＋b2＝0，即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2，所以＝，则e＝＝．
【例4-4】椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题知直线AB的方程为，即，
∴到直线AB的距离，
又三角形的内切圆的面积为，则半径为1，
由等面积可得，.
故选：C.
【例4-5】第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，
∴，设切线为，切线为，
∴，整理得，由知：
，整理得，
同理，，可得，
∴，即，故.
故选：B.
【例4-6】已知分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，可根据条件做出下图：
因为，令，
所以，，由椭圆的定义可知，
所以，所以，，，，
由椭圆的定义可知，
在中，，所以,
在中， ，所以
所以.
所以的离心率是.
故选：D.
【例4-7】已知椭圆的左 右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限的交点为，的平分线与轴交于点，若四边形的面积为，则椭圆的离心率___________.
【答案】
【解析】如图，设与轴的交点为，连接，
因为平行于轴，故为的中点，且，
故，又，故，
因为，故，所以，
故四边形为：
，
故即离心率为
【例4-8】已知椭圆＋＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．
答案　　解析　因为|PT|＝(b>c)，而|PF2|的最小值为a－c，所以|PT|的最
小值为．依题意，有≥(a－c)，所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0，①．又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，所以2e2<1，②．联立①②，得≤e<．
【例4-9】已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．
【答案】
【解析】由椭圆的定义可知：，
在△中，由余弦定理得：，
所以，又，即，当且仅当时等号成立，
故，所以，，解得：.
【例4-10】已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
如图，在上取一点M，使得，连接，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，
所以，
设，则，
由椭圆定义可知：，即，所以，
所以，，故点A与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：，
在中，，解得：，
所以椭圆离心率为.
【例4-12】已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由椭圆的几何性质，知，
所以且，
所以且，
即且，
结合，可解得．
故答案为：.
【例4-12】若椭圆上存在两点到点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记中点为，则，
由题意点在线段的中垂线上，
将坐标代入椭圆方程得
两式相减可得，所以，得，
所以的中垂线的方程为，令得，
由题意，，故，所以
所以
题型五 椭圆中的最值与范围
【例5-1】已知点F为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4，3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．
答案　(0，－1)　解析　设椭圆的右焦点为E，|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋2a－|PE|＝|PQ|－|PE|＋2．当P
为线段QE的延长线与椭圆的交点时，|PQ|＋|PF|取最大值，此时，直线PQ的方程为y＝x－1，QE的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P的坐标为(0，－1)．
【例5-2】设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________．
答案　－5　解析　由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|，∴|PM|－|PF1|
＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝＝5，2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5．
【例5-3】点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为____________
【答案】
【解析】记椭圆的左焦点为，
由椭圆的定义可得，，所以，
由得，
即圆的圆心为，半径为，
由圆的性质可得，，
（当且仅当四点共线时，等号成立.）
故答案为：.
【例5-4】已知椭圆：，为椭圆上的一个动点，以为圆心，为半径作圆，为圆的两条切线，为切点，则的取值范围是 ．
【解析】由椭圆方程可得，则，
如图所示：设锐角，在中，，
因为，即，故，
所以.
【例5-5】为椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由题意，圆心为椭圆的右焦点，圆的半径为，因为为圆的任意一条直径，
，由椭圆的定义可得，所以．
故答案为：
【例5-6】已知椭圆C：＋y2＝1，P(a，0)为x轴上一动点．若存在以点P为圆心的圆O，使得椭圆C与圆O有四个不同的公共点，则a的取值范围是________．
答案　　解析　因为圆O的圆心在x轴上，则由椭圆和圆的对称性得椭圆C与圆O的四个
不同的公共点两两关于x轴对称，设在x轴上方的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b，与椭圆方程联立消去y化简得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，由Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＞0，得b2＜4k2＋1，此时x1＋x2＝－，则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝，则AB的中点坐标为，线段AB的垂直平分线方程为y－＝－，令y＝0，得点P的横坐标a＝－，则a2＝＜＝＜，所以－＜a＜．
【例5-7】已知点P是椭圆＋＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若点M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是________．
答案　(0，4)　解析　解法一：由椭圆的对称性，只需研究动点P在第一象限内的情况，当点P趋近
于椭圆的上顶点时，点M趋近于点O，此时|OM|趋近于0；当点P趋近于椭圆的右顶点时，点M趋近于点F1，此时|OM|趋近于＝4，所以|OM|的取值范围为(0，4)．
解法二：如图，延长PF2，F1M，交于点N，∵PM是∠F1PF2的角平分线，且F1M⊥MP，
∴|PN|＝|PF1|，M为F1N的中点，又O为F1F2的中点，∴|OM|＝|F2N|＝||PN|－|PF2||＝(|PF1|－|PF2|)，又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|OM|＝．|2|PF1|－10|＝|PF1－5|，又|PF1|∈(1，5)∪(5，9)，∴|OM|∈(0，4)，故|OM|的取值范围是(0，4)．
【例5-7】（2022·江西景德镇·三模（文））是椭圆的右焦点，其中.点、分别为椭圆的左、右顶点，圆过点与坐标原点，是椭圆上异于、的动点，且的周长小于.
(1)求的标准方程；
(2)连接与圆交于点，若与交于点，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由已知可得出，由椭圆的定义结合三点共线可得出的周长小于，可得出关于的不等式，结合可求得，即可求得、的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）设，可得出，求出点、的横坐标，利用三角形的面积公式可得出关于的表达式，结合可求得结果.
(1)解：因为圆过点与坐标原点，.
设的左焦点为，则的周长
，
所以，，则，且，故，所以，，.
因此，椭圆的坐标方程为.
(2)解：设，其中，其中，且，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
同理可知直线的方程为，
又，所以，直线的方程为.
联立直线、的方程，
可得，解得，
联立直线、的方程，
可得，解得.
所以，
.
课后练习
1．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|
＝6，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋＝1　　　　B．＋＝1　　　　C．＋＝1　　　　D．＋＝1
答案　C　解析　由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，
∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，∴椭圆C的方程为＋＝1，故选C．
2．若椭圆的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
答案　A　解析　因为一条切线为x＝1，且直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右
焦点为(1，0)，即c＝1，设点P（1，），连结OP，则OP⊥AB，因为，所以，又因为直线AB过点(1，0)，所以直线AB的方程为，因为点(0，b)在直线AB上,，所以b＝2，又因为c＝1，所以，故椭圆方程是．
3．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的
面积是(　　)
A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D．
答案　C　解析　如图所示，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′．因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|
＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．此时|MN|＝＝，又c＝＝＝1，所以此时△FMN的面积S＝×2×＝．故选C．
4．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的
离心率e的取值范围为(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
答案　A　解析　由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则整
理得解得＜e＜．
5．设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为可得，即，
而在三角形中，，所以上式可得
而，
所以可得，即，
由题意可得，，设，，
可得，由椭圆的对称性设在第一象限，如图所示：
在中，，在中，，
所以，所以可得，
所以离心率
6．(多选题)双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】AC
【解析】由双曲线可得.根据双曲线的对称性只需考虑或.
当时，将代入可得，所以的面积为.
当时，由双曲线的定义可知，
，由勾股定理可得.
因为，
所以，此时的面积为
综上所述，的面积为4或.
7．(多选题)已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，．P是椭圆上异于，的点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长为4 B．面积的最大值为
C．的最小值为 D．若面积为2，则点P横坐标为
【答案】BC
【分析】根据椭圆的定义判断A，利用椭圆的性质可得面积最大值判断B，由可判断C，由三角形面积求得点坐标后可判断D．
【详解】由题意，，，短轴一个端点，
对于A，由题知，故周长为，故A错误；
对于B，利用椭圆的性质可知面积最大值为，故B正确；
对于C，，设，从而,所以，故C正确；
对于D，因为，，
则，，故D错误．
8．(多选题)已知椭圆的左、右焦点分别为，（如图），离心率为，过的直线垂直于x轴，且在第二象限中交E于点A，直线交E于点B（异于点A），则下列说法正确的是（ ）
A．若椭圆E的焦距为2，则短轴长为
B．的周长为4a
C．若的面积为12，则椭圆E的方程为
D．与的面积的比值为
【答案】BCD
【详解】对：若椭圆E的焦距为2，则，由离心率，则，
所以，则短轴长为，故A错误；
对B：根据椭圆的定义，的周长为4a，故B正确；
对：由，故可得，，所以椭圆的方程可写为，
易知，则，则，
所以，，，则椭圆E的方程为，故C正确；
对：因为，所以，过点B作，
则，，即，
设，，，则，
代入椭圆方程，整理得，
解得或（舍），
所以，故正确.
故选：BCD．
9．(多选题)设椭圆C：的左 右焦点分别为 ，上 下顶点分别为 ，点P是C上异于 的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若C的离心率为，则直线与的斜率之积为
B．若，则的面积为
C．若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是
D．若恒成立，则C的离心率的范围是
【答案】BD
【详解】解：A. 设，所以，因为，
所以.所以，所以该选项错误；
B. 若，则所以则的面积为所以该选项正确；
C. 若C上存在四个点P使得，即C上存在四个点P使得的面积为，所以，所以该选项错误；
D. 若恒成立，所以，所以，所以该选项正确.
10．已知椭圆：的焦点为，．过且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则______．
【答案】
【解析】依题意可知，设，，
因为四边形为平行四边形，所以，又因为，，所以，
因为，且直线的倾斜角为60°，所以，所以，，，所以，
将其代入，得，又因为，所以，．
故答案为：
11．设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2
为等腰三角形，则M的坐标为____________．
答案　(3，)　解析　设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，
即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆＋＝1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)．
12．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于、两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为______．
【答案】10
解：椭圆的方程为，∴，，，
连接，，则由椭圆的中心对称性可得
的周长，
当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为，
．
13．已知椭圆的左、右焦点为，，点为椭圆上动点，则的值是______；的取值范围是______．
【答案】
对椭圆，其，焦点坐标分别为，
由椭圆定义可得：；
设点的坐标为，则，且，
故，
又，故，即的取值范围为：.
14．已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为________．
【答案】
【解析】由题, 设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.
则椭圆的焦点为.又,.
故,当且仅当分别在的延长线上时取等号.
此时最大值为.
15．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质．比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点．设椭圆方程为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，则该椭圆的离心率为_________．
【答案】
【解析】由椭圆的光学性质可知，都经过，且在中，，如图，
所以，
由椭圆的定义可知，即，又，
可得，在中，，
所以，所以.
16．已知椭圆满足，长轴上2021个等分点从左至右依次为点，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；以此类推，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；则4042条直线的斜率乘积为___________．
【答案】
【解析】由椭圆的对称性可知：，
同理可得：，
所以4042条直线的斜率乘积为.
故答案为：
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高中数学重难点突破
专题七 椭圆的方程及其性质
知识归纳
1、椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．
2、椭圆的方程、图形与性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围 且 且
顶点 、、 、、
轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
准线方程
点和椭圆的关系
切线方程 （为切点） （为切点）
对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得
切点弦所在的直线方程
焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点）②③焦点三角形中一般要用到的关系是
焦半径 左焦半径：又焦半径： 上焦半径：下焦半径：
焦半径最大值，最小值
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，，则弦长（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
[常用结论]
1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.
5．椭圆 与直线 相切的条件是．
典例分析
题型一　椭圆的定义
【例1-1】中，为动点，，且满足，则点的轨迹方程为______．
【例1-2】已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为______________．
【例1-3】已知两圆，动圆在圆内部且和圆相内切．和圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为_________．
【例1-4】在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数，使得，则顶点C的轨迹方程为
______ __．
题型二 椭圆的方程
【例2-1】一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为(　　)
A．＋＝1　　　　B．＋＝1　　　　C．＋＝1　　　　D．＋＝1
【例2-2】已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若
AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　)
A．＋＝1　　　　B．＋＝1　　　　C．＋＝1　　　　D．＋＝1
【例2-3】(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1　　　　　B．＋＝1　　　　　C．＋＝1 　　　　　D．＋＝1
【例2-4】已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，点F关于直线y＝x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为________________．
【例2-5】已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋＝1　　　　B．＋＝1　　　　C．＋＝1　　　　D．＋＝1
题型三　椭圆的焦点三角形
【例3-1】(多选题)已知P是椭圆E：＋＝1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是 (　　)
A. P点纵坐标为3 B. ∠F1PF2>
C. △F1PF2的周长为4(＋1) D. △F1PF2的内切圆半径为(－1)
【例3-2】设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（ ）
A．6 B． C．8 D．
【例3-3】设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（ ）
A． B． C． D．
题型四 椭圆的离心率
【例4-1】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆
与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
【例4-2】已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A
且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
【例4-3】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的
右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的
离心率是________．
【例4-4】椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例4-5】第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例4-6】已知分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【例4-7】已知椭圆的左 右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限的交点为，的平分线与轴交于点，若四边形的面积为，则椭圆的离心率___________.
【例4-8】已知椭圆＋＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．
【例4-9】已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．
【例4-10】已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【例4-12】已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．
【例4-12】若椭圆上存在两点到点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五 椭圆中的最值与范围
【例5-1】已知点F为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4，3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．
【例5-2】设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________．
【例5-3】点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为____________
【例5-4】已知椭圆：，为椭圆上的一个动点，以为圆心，为半径作圆，为圆的两条切线，为切点，则的取值范围是 ．
【例5-5】为椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是____________．
【例5-6】已知椭圆C：＋y2＝1，P(a，0)为x轴上一动点．若存在以点P为圆心的圆O，使得椭圆C与圆O有四个不同的公共点，则a的取值范围是________．
【例5-7】已知点P是椭圆＋＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若点M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是________．
【例5-8】是椭圆的右焦点，其中.点、分别为椭圆的左、右顶点，圆过点与坐标原点，是椭圆上异于、的动点，且的周长小于.
(1)求的标准方程；
(2)连接与圆交于点，若与交于点，求的取值范围.
课后练习
1．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，
满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋＝1　　　　B．＋＝1　　　　C．＋＝1　　　　D．＋＝1
2．若椭圆的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
3．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的
面积是(　　)
A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D．
4．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的
离心率e的取值范围为(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
5．设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．(多选题)双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（ ）
A． B． C．4 D．2
7．(多选题)已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，．P是椭圆上异于，的点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长为4 B．面积的最大值为
C．的最小值为 D．若面积为2，则点P横坐标为
8．(多选题)已知椭圆的左、右焦点分别为，（如图），离心率为，过的直线垂直于x轴，且在第二象限中交E于点A，直线交E于点B（异于点A），则下列说法正确的是（ ）
A．若椭圆E的焦距为2，则短轴长为
B．的周长为4a
C．若的面积为12，则椭圆E的方程为
D．与的面积的比值为
9．(多选题)设椭圆C：的左 右焦点分别为 ，上 下顶点分别为 ，点P是C上异于 的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若C的离心率为，则直线与的斜率之积为
B．若，则的面积为
C．若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是
D．若恒成立，则C的离心率的范围是
10．已知椭圆：的焦点为，．过且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则______．
11．设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．
12．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于、两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为______．
13．已知椭圆的左、右焦点为，，点为椭圆上动点，则的值是______；的取值范围是______．
14．已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为________．
15．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质．比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点．设椭圆方程为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，则该椭圆的离心率为_________．
16．已知椭圆满足，长轴上2021个等分点从左至右依次为点，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；以此类推，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；则4042条直线的斜率乘积为___________．
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