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高中数学重难点突破
专题十四 圆锥曲线中的二级定理及其应用
知识归纳
一、椭圆与双曲线焦点三角形的性质
1、椭圆焦点三角形的性质
(1)椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，
则；
(2)．
(3)．（注意：r为内切圆半径）
2、双曲线焦点三角形性质
(1)双曲线焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，
则
(2)
(3)
(4)内切圆的圆心横坐标一定等于；
证明：如图，；
3、共焦点的椭圆与双曲线的焦点三角形
已知椭圆C1：＋＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：－＝1(其中m＞0，n＞0)共焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，M是C1，C2的一个交点，θ＝∠F1ＭF2，则
(1)|MF1|＝a＋m，|MF2|＝a－m；(2)eq \f(sin2,e12)＋eq \f(cos2,e22)＝1，当θ＝时，
4、椭圆与双曲线的焦点弦性质
过椭圆或双曲线的焦点F作倾斜角为θ直线与椭圆或双曲线相交A、B两点，且＝λ，则有．(其中θ为直线的倾斜角，F在线段AB上)
典例分析
例1-1、已知P是椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点,若的内切圆半径为,则的值为（ ）
A． B． C． D．
例1-2、在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝x
C．y＝x D．y＝±x
例1-3、倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为(　　)
A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　
C． 　　　　　　　　 D．
例1-4、如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，则C1与C2的离心率之和为(　　)
A．2　　　　　　　 　B．4　　　　　　　　
C．2　　　　　　　 　D．2
例1-5、已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值为(　　)
A．6　　　　　　　 　B．3　　　　　　　　
C．　　　　　　　　 D．
例1-6、(多选题)已知点是双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，△的面积为20，则下列说法正确的个数是　　
A．点的横坐标为
B．△的周长为
C．小于
D．△的内切圆半径为
二、圆锥曲线中的定值问题
知识归纳
1、双曲线中的距离的定值
(1)定理一：双曲线C：的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数
(2)定理二：双曲线C：上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是ax－by＝0和ax＋by＝0，点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是乘积．
2、圆锥曲线中斜率之积的定值
在椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)中:
(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=－＝e2－1．
(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=－＝e2－1．
(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=－＝e2－1．
在双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)中,类比上述结论有:
k0·k= ＝e2－1. (2)k1·k2= ＝e2－1. (3)k0·k= ＝e2－1.
若椭圆和双曲线的焦点在y轴上，以上的斜率之积为
3、圆锥曲线的斜率定值
图示 条件 结论
已知椭圆+=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA ，kPB ，且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值.
已知双曲线-=1(a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,设A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA ，kPB ，且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值－.
已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上，设A，B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA ，kPB ，且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值－.
典例分析
例2-1、已知双曲线C：，P是C上的任意点．则点P到双曲线C的两条渐近线的距离的
乘积是 ．
例2-2、已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
例2-3、(多选题)已知双曲线的上、下两个顶点分别是，，上、下两个焦点分别是，，是双曲线上异于，的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有　　
A．渐近线方程为
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使△为等腰三角形的点有且仅有4个
D．焦点到渐近线的距离等于
三、极点与极线问题
知识归纳
1、极点和极线的定义（代数定义）
已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．
以上代数定义表面，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点的极线方程．
特别的：
(1)对于椭圆，与点对应的极线方程为；
(2)对于双曲线，与点对应的极线方程为；
(3)对于抛物线，与点对应的极线方程为．当为其焦点时，极线变为，恰为抛物线的准线．
2、极点与极线的性质
(1)当点在圆锥曲线上时，其极线时曲线在点点处的切线；
(2)当点在外时，其极线时曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在的直线）；
(3)当点在内时，其极线时曲线过点的任一割线两端点处的切线交点的轨迹．
典例分析
例3-1、过点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
例3-2、过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
例3-3、已知椭圆，圆，过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线，切点分别为，直线与轴，轴分别交于点，则（　　）
A． B．
C． D．
例3-4(多选题)如图，为椭圆上的动点，过作切线交圆于，，过，作切线交于，则　　
A．的最大值为
B．的最大值为
C．的轨迹是
D．的轨迹是
四、抛物线中的重要结论
知识归纳
1、抛物线焦长公式及性质
关于抛物线的焦长公式及定理（A为直线与抛物线右交点，B为左交点，为AB倾斜角）
(1)．
(2)．
(3)．
(4)设,则．
(5)设AB交准线于点P，则；．
(6)＋＝.
关于抛物线的焦长公式及定理（A为直线与抛物线右交点，B为左交点，为AB倾斜角）
(1)；
(2)
(3)；
(4)设，则；
(5)设AB交准线于点P，．
(6)＋＝.
2、抛物线的焦点弦
如图1，已知AB是过抛物线焦点F的弦，M是AB的中点，是抛物线的准线，，N为垂足．则：
(1)以AB为直径的圆与准线l相切．
(2)
(3)则
(4)设，D为垂足，则A、O、D三点在一条直线上
(5)
3、 阿基米德三角形与焦点弦
AB是抛物线x2＝2py(p>0)的过焦点的一条弦(焦点弦)，分别过A，B作抛物线的切线，交于点P，连接PF，则有以下结论：
(1)点P的轨迹是一条直线，即抛物线的准线l：y＝－；
(2)两切线互相垂直，即PA⊥PB；
(3)PF⊥AB；④点P的坐标为．
4、抛物线中的三类直线与圆相切问题
(1)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；如图(1)
(2)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；如图(2，3)
(3)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；如图(4)
图(1)　　　　　　　　图(2)　 　图(3) 　图(4)
典例分析
例4-1、已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线与抛物线交于、两点，且，为坐标原点，则的面积和的面积之比为（　　）
A． B．
C． D．2
例4-2、已知点P在抛物线C：的准线上，过点P的直线与抛物线C相切于A，B两点，则直线AB的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
例4-3、(多选题)过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是　　
A．以线段为直径的圆与直线相交
B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时，
D．的最小值为4
例4-4、(多选题)已知抛物线的焦点为，、在抛物线上，且，过，分别引抛物线两切线交于点，则下列结论正确的是　　
A．点位于抛物线的准线上 B．
C． D．
例4-5、(多选题)已知抛物线的准线为，焦点为，原点为，过的直线交抛物线于点、，在第一象限，分别过、作准线的垂线于、，直线的倾斜角为．则下列说法正确的是　　
A． B．
C．、、三点共线 D．以为直径的圆与轴相切
例4-6、如图所示，抛物线y＝x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则：①若AB的斜率为1，则|AB|＝4；②|AB|min＝2；③yM＝－1；④若AB的斜率为1，则xM＝1；⑤xA·xB＝－4．以上结论正确的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4
例4-7、如图，已知抛物线的焦点为F，过点的直线交抛物线于AB两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M、N，记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，则________．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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高中数学重难点突破
专题十四 圆锥曲线中的二级定理及其应用
知识归纳
一、椭圆与双曲线焦点三角形的性质
1、椭圆焦点三角形的性质
(1)椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，
则；
(2)．
(3)．（注意：r为内切圆半径）
2、双曲线焦点三角形性质
(1)双曲线焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，
则
(2)
(3)
(4)内切圆的圆心横坐标一定等于；
证明：如图，；
3、共焦点的椭圆与双曲线的焦点三角形
已知椭圆C1：＋＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：－＝1(其中m＞0，n＞0)共焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，M是C1，C2的一个交点，θ＝∠F1ＭF2，则
(1)|MF1|＝a＋m，|MF2|＝a－m；(2)eq \f(sin2,e12)＋eq \f(cos2,e22)＝1，当θ＝时，
4、椭圆与双曲线的焦点弦性质
过椭圆或双曲线的焦点F作倾斜角为θ直线与椭圆或双曲线相交A、B两点，且＝λ，则有．(其中θ为直线的倾斜角，F在线段AB上)
典例分析
例1-1、已知P是椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点,若的内切圆半径为,则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】利用等面积法：；
；．
例1-2、在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x
【答案】D
【详解】由△PF1F2的外心M，知：，
∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，在△中，，而，
∴，即，
∴，
而，∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：．
例1-3、倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D．
答案　B　解析　秒杀　由题可知，，所以e＝，故选B．
通法　由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得，所以(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有两个交点，则Δ>0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，又＝2，所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－y2＝\f(－2b2c,a2＋b2),－2y＝\f(－b4,a2＋b2)))，所以＝，所以e＝，故选B．
例1-4、如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，则C1与C2的离心率之和为(　　)
A．2　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．2
答案　A　解析　秒杀　连接AF2，椭圆C1的离心率e1＝＝＝－1．双曲线C2的离心率e2＝＝＝＋1．∴e＋e1＝2．
通法　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由双曲线和椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，又AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，故|AF1|＝|OF1|＝|OA|＝|OB|＝c，∴A，代入椭圆方程＋＝1，结合b2＝a2－c2及e＝，整理可得，e4－8e2＋4＝0，∵0例1-5、已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值为(　　)
A．6　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　A　通解　设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a′，半焦距为c，依题意知
∴2a＝2a′＋4c，∴＋＝＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝6，当且仅当c＝2a′时取“＝”，故选A．
秒杀　设椭圆方程为：＋＝1(a>b>0)，双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，根据题意，a－m＝2c，∴a＝m＋2c，∴＋＝＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝6，当且仅当c＝2m时取“＝”，故选A．
例1-6、(多选题)已知点是双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，△的面积为20，则下列说法正确的个数是　　
A．点的横坐标为
B．△的周长为
C．小于
D．△的内切圆半径为
【解答】解：设△的内心为，连接，，，
双曲线中的，，，不妨设，，，
由△的面积为20，可得，即，
由，可得，故A正确；
由，，且，，可得，，
则，则，故C正确；
由，则△的周长为，故B正确；
设△的内切圆半径为，可得，
可得，解得，故D不正确．
故选：ABC．
二、圆锥曲线中的定值问题
知识归纳
1、双曲线中的距离的定值
(1)定理一：双曲线C：的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数
(2)定理二：双曲线C：上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是ax－by＝0和ax＋by＝0，点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是乘积．
2、圆锥曲线中斜率之积的定值
在椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)中:
(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=－＝e2－1．
(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=－＝e2－1．
(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=－＝e2－1．
在双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)中,类比上述结论有:
k0·k= ＝e2－1. (2)k1·k2= ＝e2－1. (3)k0·k= ＝e2－1.
若椭圆和双曲线的焦点在y轴上，以上的斜率之积为
3、圆锥曲线的斜率定值
图示 条件 结论
已知椭圆+=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA ，kPB ，且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值.
已知双曲线-=1(a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,设A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA ，kPB ，且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值－.
已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上，设A，B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA ，kPB ，且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值－.
典例分析
例2-1、已知双曲线C：，P是C上的任意点．则点P到双曲线C的两条渐近线的距离的
乘积是 ．
【证明】设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0，
点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和.它们的乘积是·＝.
∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．
例2-2、已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则，，则，两式相减得：，∴===，
又==，∴，联立，得.∴椭圆方程为.
例2-3、(多选题)已知双曲线的上、下两个顶点分别是，，上、下两个焦点分别是，，是双曲线上异于，的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有　　
A．渐近线方程为
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使△为等腰三角形的点有且仅有4个
D．焦点到渐近线的距离等于
【解答】解：．双曲线的渐近线方程为：，所以错误；
．设，，则，所以，故正确；
．如图，在双曲线的上支，第一象限有2个满足题意的，由双曲线的对称性，可知点有且仅有8个，故错误；
．设焦点坐标为：，渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离，故正确；
故选：．
三、极点与极线问题
知识归纳
1、极点和极线的定义（代数定义）
已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．
以上代数定义表面，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点的极线方程．
特别的：
(1)对于椭圆，与点对应的极线方程为；
(2)对于双曲线，与点对应的极线方程为；
(3)对于抛物线，与点对应的极线方程为．当为其焦点时，极线变为，恰为抛物线的准线．
2、极点与极线的性质
(1)当点在圆锥曲线上时，其极线时曲线在点点处的切线；
(2)当点在外时，其极线时曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在的直线）；
(3)当点在内时，其极线时曲线过点的任一割线两端点处的切线交点的轨迹．
典例分析
例3-1、过点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则直线PA的方程为，直线PB的方程为，
点均在两直线上，故，直线AB的方程为3x+4y=4.点到直线AB的距离，则.本题选择D选项.
例3-2、过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即.
例3-3、已知椭圆，圆，过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线，切点分别为，直线与轴，轴分别交于点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则切线的方程为，切线的方程为，因为点在切线上，所以，，所以直线的方程为，所以，因为点在椭圆上，
所以，所以，
例3-4、(多选题)如图，为椭圆上的动点，过作切线交圆于，，过，作切线交于，则　　
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的轨迹是 D．的轨迹是
【解答】解：设，，，，则，即，
过，作切线交于，则，所以，，即，，
因为点为椭圆上的动点，所以，
可得点的轨迹方程为，故错误，正确；
因为，，，，
所以
，
因为，所以，
所以，即的最大值为，故正确，错误．
故选：．
四、抛物线中的重要结论
知识归纳
1、抛物线焦长公式及性质
关于抛物线的焦长公式及定理（A为直线与抛物线右交点，B为左交点，为AB倾斜角）
(1)．
(2)．
(3)．
(4)设,则．
(5)设AB交准线于点P，则；．
(6)＋＝.
关于抛物线的焦长公式及定理（A为直线与抛物线右交点，B为左交点，为AB倾斜角）
(1)；
(2)
(3)；
(4)设，则；
(5)设AB交准线于点P，．
(6)＋＝.
2、抛物线的焦点弦
如图1，已知AB是过抛物线焦点F的弦，M是AB的中点，是抛物线的准线，，N为垂足．则：
(1)以AB为直径的圆与准线l相切．
(2)
(3)则
(4)设，D为垂足，则A、O、D三点在一条直线上
(5)
3、 阿基米德三角形与焦点弦
AB是抛物线x2＝2py(p>0)的过焦点的一条弦(焦点弦)，分别过A，B作抛物线的切线，交于点P，连接PF，则有以下结论：
(1)点P的轨迹是一条直线，即抛物线的准线l：y＝－；
(2)两切线互相垂直，即PA⊥PB；
(3)PF⊥AB；④点P的坐标为．
4、抛物线中的三类直线与圆相切问题
(1)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；如图(1)
(2)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；如图(2，3)
(3)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；如图(4)
图(1)　　　　　　　　图(2)　 　图(3) 　图(4)
典例分析
例4-1、已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线与抛物线交于、两点，且，为坐标原点，则的面积和的面积之比为（　　）
A． B． C． D．2
【解析】，故选D．
例4-2、已知点P在抛物线C：的准线上，过点P的直线与抛物线C相切于A，B两点，则直线AB的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】P（﹣3，2）在抛物线C：的准线上，故p=6，抛物线
C：y2=12x，根据秘籍中的性质（1）可知，AB中点的纵坐标与P点纵坐标相等
（如图），即，且AB过抛物线的焦点；设AB方程为，代入抛物线方程得：，，故直线AB的斜率为3．
例4-3、(多选题)过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是　　
A．以线段为直径的圆与直线相交
B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时，
D．的最小值为4
【解答】解：的焦点，准线方程为，
设，，在准线上的射影为，，，
由，，，
可得线段为直径的圆与准线相切，则与相交，故对；
当直线的斜率不存在时，显然以线段为直径的圆与轴相切；
当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得，设，，，，
可得，，设，，
可得的横坐标为，的中点的横坐标为，，
当时，的中点的横坐标为，，显然以线段为直径的圆与轴相交，故错；
以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，
设，，，，可得，，
可得，又，可得，，则，故正确；
显然当直线垂直于轴，可得取得最小值4，故正确．
故选：．
例4-4、(多选题)已知抛物线的焦点为，、在抛物线上，且，过，分别引抛物线两切线交于点，则下列结论正确的是　　
A．点位于抛物线的准线上 B．
C． D．
【解答】解：由抛物线，则，准线方程为，
设直线的方程为，，，，，
则，因为，所以，
联立，消整理得：，则，，
所以，则，（正值舍去），所以，，
由，则，，
所以切线得斜率，则切线得方程为，即，
所以切线得斜率，则切线得方程为，即，
所以，所以，故，故正确，
联立，解得，所以，所以点位于抛物线的准线上，故正确，
，所以，所以，故正确，
，故错误．
故选：．
例4-5、(多选题)已知抛物线的准线为，焦点为，原点为，过的直线交抛物线于点、，在第一象限，分别过、作准线的垂线于、，直线的倾斜角为．则下列说法正确的是　　
A． B．
C．、、三点共线 D．以为直径的圆与轴相切
【解答】解：设，，，，由题意知，直线的方程为，且，
将其与联立，消去得，，
①，②，，，即③，
由②③解得，，，
代入①得，，解得，，，即选项正确；
把，分别代入中，可得，，，，
，，
由选项可知，，，，即选项错误；
准线于，，，，，
、、三点共线，即选项正确；
，，，，，线段的中点坐标为，
线段的中点横坐标恰为的一半，以为直径的圆与轴相切，即选项正确．
故选：．
例4-6、如图所示，抛物线y＝x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则：①若AB的斜率为1，则|AB|＝4；②|AB|min＝2；③yM＝－1；④若AB的斜率为1，则xM＝1；⑤xA·xB＝－4．以上结论正确的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4
答案　B　解析　由题意得，焦点F(0,1)，对于①，lAB的方程为y＝x＋1，与抛物线的方程联立，得
消去x，得y2－6y＋1＝0，所以yA＋yB＝6，则|AB|＝yA＋yB＋p＝8，则①错误；对于②，|AB|min＝2p＝4，则②错误；因为y′＝，则lAM：y－yA＝(x－xA)，即y＝xAx－，lBM：y－yB＝(x－xB)，即y＝xBx－，联立lAM与lBM的方程得解得M．设lAB的方程为y＝kx＋1，与抛物线的方程联立，得消去y，得x2－4kx－4＝0，所以xA＋xB＝4k，xA·xB＝－4，所以yM＝－1，③和⑤均正确；对于④，当AB的斜率为1时，xM＝2，则④错误，故选B．
例4-7、如图，已知抛物线的焦点为F，过点的直线交抛物线于AB两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M、N，记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，则________．
【答案】2
【详解】，，，，
则，设直线的方程为，将其代入，消去，整理得，∴，同理可得，
有，设直线的方程为，代入，整理得，∴，∴.
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