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高中数学重难点突破
专题四 直线与直线方程
知识归纳
一、直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
二、斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan α．
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝．
三、直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面内所有直线都适用
1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
如图，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
2．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
3．截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点．
四、两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2．
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 k1·k2＝－1．
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
五、两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
六、三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝．
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝．
由一般式方程确定两直线位置关系的方法
直线方程l1与l2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0
平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0)
相交的充分条件 ≠(A2B2≠0)
重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0)
七、直线系方程
(1)过定点的直线系
①斜率为k且过定点的直线系方程为：；
②过两条直线, 的交点的直线系方程为：
(2)平行的直线系
与平行的直线为：
与垂直的直线为：
八、对称问题
(1)关于点对称
若点及 关于点对称，则由中点坐标公式得
(2)关于直线对称
若点P(x0，y0)关于直线l：y=kx+b(k≠0)的对称点P1的坐标(x，y)，
则由直线PP1与l垂直及线段PP1的中点在l上，可得：
解得：
注意：
(1)关于直线对称的解法：
当时，得：，；当时，得：，
把结果代入原方程即可.
(2)曲线关于点的对称曲线方程是：
典例分析
题型一、直线的倾斜角与斜率
例1、(1)将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为(　　)
A． B． C．－ D．－
(2)设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
例1、答案(1)C (2)B
解析 (1)设点P(a，b)是直线l上任意一点，当直线l按题中要求平移后，P的坐标为(a＋4，b－5)，
由题意知这两点都在直线l上，∴直线l的斜率为k＝＝－.
(2)直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，斜率为－a，
∵kMA＝＝－，kMB＝＝，
画图可知－a>－且－a<，∴a∈.
题型二、直线平行与垂直的判定
例2、(1)已知直线l1：2x＋(λ＋1)y－2＝0，l2：λx＋y－1＝0，若l1∥l2，则λ的值是(　　)
A．－2 B．－ C．－2或1 D．1
(2)已知直线与直线互相垂直，则a等于(　　)
A．1 B．0 C．1或0 D．1或-1
例2、答案（1）A（2）C
解析 (1)若l1∥l2，因l2的斜率存在，故－＝－λ.解得λ＝－2或λ＝1.
因为当λ＝1时两直线重合，故λ＝－2.
(2)∵l1┴l2，∴a(2a-1)+(-1)a=0即：2a2-2a=0，∴a=0或a=1
题型三、直线的几种方程
例3、(1)若，，则直线不通过(　　)
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
(2)两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)
例3、答案 (1)C (2)A
解析 (1)把一般式方程Ax＋By＋C＝0化成截距式方程得：
直线在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，
故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限．
(2)化为截距式 ＋＝1，＋＝1.
假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．
例4、(1)直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线(　　)
A、 　　 B、 C、 　　 D、
(2)过点的直线与两点、的距离相等，则直线的方程为(　　)
A、 B、
C、或 D、或
例4、答案 (1)A (2)C
解析(1)旋转后与原来的直线垂直，所以斜率变为
平移1个单位后变为即：
(2)到A、B两点距离相等的直线有两种情况，
1、与直线AB平行
则直线斜率,过点方程为：
2、过A、B两点的中点过点方程为：
.
题型四、直线过定点
例5、(1)直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点(　　)
A．(0,0) B．(0,1) C．(3,1) D．(2,1)
(2)直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点(　　)
A. B. C. D.
例5、答案 (1)C (2)D
解析(1)将直线方程化为y－1＝k(x－3)可得过定点(3,1)．
(2)∵(2x＋1)－m(y＋3)＝0恒成立，∴2x＋1＝0，y＋3＝0，
∴x＝－，y＝－3，定点为
题型五、有关对称问题
例6、(1)已知点和点是关于直线对称的两点，则直线的方程为( )
A、 B、 C、 D、
(2)如图，已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到
直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是( )
A、 B、 C、 D、
例6、答案（1)D (2)A
解析(1)的中点过直线
∵，∴直线的斜率
∴直线的方程为
故选D
(2)
例7、(1)设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x,则被y=x反射后,反射光线所在的直线方程是 ；
(2)若直线和直线关于点对称，则
a= ,b= .
例7、答案 (1) x-2y-1=0 (2)2 -14
解析(1)反射光线与入射光线关于y=x,
所以反射光线为x=2y+1即：x-2y-1=0
(2)∵两直线平行，∴a=2
在上关于的对称点在上
∴b=-14
题型六、直线方程求解
例8、求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；
(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直；
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；
(4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；
(5)经过点N(-1,3)且在轴的截距与它在y轴上的截距的和为零.
例8、答案解析
(1)2x+3y-1=0
(2)2x-y+5=0
(3)x+y-1=0或3x+2y=0
(4)4x+y-6=0或3x+2y-7=0
(5)3x+y=0或x-y+4=0
如图，已知正方形ABCD的中心为E(-1,0)，一边AB所在的直线方程为x-3y-5=0，求其他各边所在 的直线方程。
例9、答案x+3y=7=0 3x-y+9=0 3x-y-3=0
解析
例10、在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为 ，∠A的平分线所在直线的方程为，若点B的坐标为(1，2)，求点 A和点 C的坐标．
答案A（－1，0）C（5，－6）
解析： 由 ∴A（－1，0），又KAB=，∵x轴为∠A的平分线，
故KAC=－1，∴AC：y=－(x+1) ，
∵BC边上的高的方程为：x－2y+1=0，∴KBC=－2
∴BC：y－2=－2（x－1），即：2x+y－4=0 ，
由 ，解得C（5，－6）
例11、过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．
例11、答案8x－y－24＝0
解析方法一　设点A(x，y)在l1上，由题意知，∴点B(6－x，－y)，
解方程组得，k＝＝8.
∴所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.
方法三　设所求的直线方程y＝k(x－3)，则，解得
由，解得∵P(3,0)是线段AB的中点，
∴yA＋yB＝0，即＋＝0，∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8.
又∵当k＝0时，xA＝1，xB＝－3，此时＝≠3，∴k＝0舍去，
∴所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0
题型七、直线中的最值问题
例12、 (1)已知A(2，0)，B(－2，2)，在直线L：x＋y－3 = 0上求一点P使|PA|+| PB|最小.
(2)直线l：y=2x＋3，A(3，4)，B(11，0)，在l上找一点P，使P到A、B距离之差
最大.
例12、解析
同步练习
1、如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 (　　)
A.k11、解：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以02、直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足 (　　)
A.ab>0，bc<0 B.ab>0，bc>0 C.ab<0，bc>0 D.ab<0，bc<0
2、解：由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，
所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.
故选A.
3、设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－]∪ B.(－，) C. D.(－∞，－]∪
3、解：直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，
因为kMA＝＝－，kMB＝＝，
画图可知－a>－且－a<，所以a∈(－，)．
故选B.
4、若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为
(　　)
A.1 B.4 C.2 D.8
4、解：因为直线ax＋by＝ab过点(1，1)，所以a＋b＝ab，＋＝1，因为直线在x轴的截距为b，在y轴上的截距为a，所以直线在x轴、y轴上的截距之和为a＋b，a＋b＝(a＋b)·(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，所以当a＝b＝2时取最小值，最小值为4.故选B.
5、已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝ (　　)
A.2 B.－2 C. D.－
5、解：因为l1⊥l2，所以＝－1，解得a＝－2.故选B.
6、已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则a的值为(　　)
A.0或3或－1 B.0或3 C.3或－1 D.0或－1
6、解：由题意知1×3a－a2(a－2)＝0，即a(a2－2a－3)＝0，所以a＝0，a＝－1或a＝3，经验证当a＝3时，两直线重合．
故选D.
7．已知坐标原点关于直线l1：x－y＋1＝0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为 (　　)
A.2x＋3y＋5＝0 B.3x－2y＋5＝0 C.3x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝0
7、解：设A(x0，y0)，依题意可得解得即A(－1，1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－＝，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.故选B.
8．已知a≠0，直线ax＋(b＋2)y＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相垂直，则ab的最大值为 (　　)
A.0 B.2 C.4 D.
8、解：由已知得a2＋(b＋2)(b－2)＝0，即a2＋b2＝4.因为a2＋b2＝4≥2ab，所以ab≤2，当且仅当a＝b＝±时取“＝”，即ab的最大值为2.故选B.
9、(2019·运城二模)在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝(　　)
A. B. C.5 D.10
9、解：由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，因为直线ax＋y－1＝0与直线x－ay＋3＝0垂直，所以MP⊥MQ，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10.故选D.
10、【多选题】下列说法正确的是 (　　)
A.截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示 B.方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C.经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝(x－1)tanθ
D.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
10、解：对于A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程＋＝1表示，所以A不正确；
对于B，当m＝0时，平行于y轴的直线方程形式为x＝2，所以B正确；
对于C，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝(x－1)tanθ表示，所以C不正确；
对于D，设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据∥可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以D正确．
故选BD.
11、【多选题】下列说法正确的是 (　　)
A.动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为3
B.点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，1)
C.当点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为1
D.过点(2，1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为3x＋2y－8＝0
11、解：A项中点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，
根据平行线间的距离公式得＝ |m＋7|＝|m＋5| m＝－6，即l：x＋y－6＝0，
根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3，所以A正确．
B项中(，)在直线y＝x＋1上，且(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以B正确．C项中直线mx－y＋1－2m＝0过定点Q(2，1)，所以点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，PQ垂直该直线，即m·＝－1，所以m＝－1故错误．D选项，设要求的直线方程为2x＋3y＋m＝0，把点(2，1)代入可得4＋3＋m＝0，解得m＝－7.可得要求的直线方程为2x＋3y－7＝0.故选AB.
12、已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为 ．
12、解：BC的中点坐标为(，－)，所以BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.故填x＋13y＋5＝0.
13、已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是 ．
13、解：令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k.故直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2.由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以实数k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
故填(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
14、若O(0，0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________．
14、解：由题意，得＝，即4a－a2＋6＝±6，解得a＝0或－2或4或6.检验得a＝0不合题意，所以a＝－2或4或6.故填－2或4或6.
15、著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为 ．
15、解：因为f(x)＝＋＝＋，所以f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和，设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A′，则A′为(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为|MA|＋|MB|的最小值，
利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，即f(x)＝＋的最小值为5.故填5.
16、已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围； (2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
16、解：(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，且a2＋1≠3.
则b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－＋，因为a2≥0，所以b≤0.又因为a2＋1≠3，所以b≠－6.
故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]．
(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，又若a＝0，不满足l1⊥l2，则a≠0，
所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.
17．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标； (2)直线MN的方程．
17、解：(1)设点C的坐标为(x，y)，则有＝0，＝0.
所以x＝－5，y＝－3，即点C的坐标为(－5，－3)．
(2)由题意知，M(0，－)，N(1，0)，所以直线MN的方程为x－＝1，即5x－2y－5＝0.
18、已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围．
18、解：(1)证明：将直线l的方程变形得k(x＋2)＋(1－y)＝0，令解得
所以无论k取何值，直线l过定点(－2，1)．
(2)当直线l的倾斜角θ∈[0°，90°]时，直线l不经过第四象限，所以k≥0.
19、(2019·福建华安月考)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若a>－1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时直线l的方程．
19、解：(1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a＋2＝0，解得a＝ －2，此时直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0；当直线l不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得＝2＋a，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
(2)由直线方程可得M(，0)，N(0，2＋a)，因为a>－1，
所以S△OMN＝××(2＋a)＝×
＝≥×[2＋2]＝2，当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立．
此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
20、已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．
20、解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3.解得λ＝2或λ＝.
所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由解得交点P(2，1)，
如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
所以dmax＝|PA|＝.
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高中数学重难点突破
专题四 直线与直线方程
知识归纳
一、直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
二、斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan α．
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝．
三、直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面内所有直线都适用
1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
如图，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
2．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
3．截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点．
四、两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2．
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 k1·k2＝－1．
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
五、两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
六、三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝．
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝．
由一般式方程确定两直线位置关系的方法
直线方程l1与l2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0
平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0)
相交的充分条件 ≠(A2B2≠0)
重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0)
七、直线系方程
(1)过定点的直线系
①斜率为k且过定点的直线系方程为：；
②过两条直线, 的交点的直线系方程为：
(2)平行的直线系
与平行的直线为：
与垂直的直线为：
八、对称问题
(1)关于点对称
若点及 关于点对称，则由中点坐标公式得
(2)关于直线对称
若点P(x0，y0)关于直线l：y=kx+b(k≠0)的对称点P1的坐标(x，y)，
则由直线PP1与l垂直及线段PP1的中点在l上，可得：
解得：
注意：
(1)关于直线对称的解法：
当时，得：，；当时，得：，
把结果代入原方程即可.
(2)曲线关于点的对称曲线方程是：
典例分析
题型一、直线的倾斜角与斜率
例1、(1)将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为(　　)
A． B． C．－ D．－
(2)设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
题型二、直线平行与垂直的判定
例2、(1)已知直线l1：2x＋(λ＋1)y－2＝0，l2：λx＋y－1＝0，若l1∥l2，则λ的值是(　　)
A．－2 B．－ C．－2或1 D．1
(2)已知直线与直线互相垂直，则a等于(　　)
A．1 B．0 C．1或0 D．1或-1
题型三、直线的几种方程
例3、(1)若，，则直线不通过(　　)
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
(2)两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)
例4、(1)直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线(　　)
A、 　　 B、 C、 　　 D、
(2)过点的直线与两点、的距离相等，则直线的方程为(　　)
A、 B、
C、或 D、或
题型四、直线过定点
例5、(1)直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点(　　)
A．(0,0) B．(0,1) C．(3,1) D．(2,1)
(2)直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点(　　)
A. B. C. D.
题型五、有关对称问题
例6、(1)已知点和点是关于直线对称的两点，则直线的方程为( )
A、 B、 C、 D、
(2)如图，已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到
直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是( )
A、 B、 C、 D、
例7、(1)设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x,则被y=x反射后,反射光线所在的直线方程是 ；
(2)若直线和直线关于点对称，则a= ,b= .
题型六、直线方程求解
例8、求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；
(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直；
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；
(4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；
(5)经过点N(-1,3)且在轴的截距与它在y轴上的截距的和为零.
如图，已知正方形ABCD的中心为E(-1,0)，一边AB所在的直线方程为x-3y-5=0，求其他各边所在 的直线方程。
例10、在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为 ，∠A的平分线所在直线的方程为，若点B的坐标为(1，2)，求点 A和点 C的坐标．
例11、过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．
题型七、直线中的最值问题
例12、(1)已知A(2，0)，B(－2，2)，在直线L：x＋y－3 = 0上求一点P使|PA|+| PB|最小.
(2)直线l：y=2x＋3，A(3，4)，B(11，0)，在l上找一点P，使P到A、B距离之差最大.
同步练习
1、如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 (　　)
A.k1C.k32、直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　　)
A.ab>0，bc<0 B.ab>0，bc>0 C.ab<0，bc>0 D.ab<0，bc<0
3、设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－]∪ B.(－，) C. D.(－∞，－]∪
4、若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为(　　)
A.1 B.4 C.2 D.8
5、已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝(　　)
A.2 B.－2 C. D.－
6、已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则a的值为(　　)
A.0或3或－1 B.0或3 C.3或－1 D.0或－1
7．已知坐标原点关于直线l1：x－y＋1＝0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为 (　　)
A.2x＋3y＋5＝0 B.3x－2y＋5＝0 C.3x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝0
8．已知a≠0，直线ax＋(b＋2)y＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相垂直，则ab的最大值为 (　　)
A.0 B.2 C.4 D.
9、在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝(　　)
A. B. C.5 D.10
10、【多选题】下列说法正确的是(　　)
A.截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示 B.方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C.经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝(x－1)tanθ
D.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
11、【多选题】下列说法正确的是 (　　)
A.动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为3
B.点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，1)
C.当点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为1
D.过点(2，1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为3x＋2y－8＝0
12、已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为 ．
13、已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是 ．
14、若O(0，0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________．
15、著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为 ．
16、已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围； (2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
17．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标； (2)直线MN的方程．
18、已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围．
19、设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若a>－1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时直线l的方程．
20、已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．
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