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高中数学重难点突破
专题一 空间向量在立体几何中的应用
知识归纳
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．两个向量的数量积
(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
5.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm
α⊥β n⊥m n·m＝0
1．对空间任一点O，若＝x＋y(x＋y＝1)，则P，A，B三点共线．
2．对空间任一点O，若＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则P，A，B，C四点共面．
3．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为
3.异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
a与b的夹角β l1与l2所成的角θ
范围 (0，π)
求法 cos β＝ cos θ＝|cos β|＝
4.求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
5.求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉.
(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
6.点到平面的距离
用向量方法求点B到平面距离基本思路：确定平面法向量， 在平面内取一点A，求向量到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n，点B到平面α的距离d＝.
典例分析
题型一、空间向量基本量的运算
例1、在四面体中，以上说法正确的有（ ）
A．若，则可知
B．若Q为的重心，则
C．若，，则
D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为，的中点，则
【答案】ABC
【详解】对于，，，
，，即，故正确；
对于，若Q为的重心，则，
即，故正确；
对于，若，，则
，
，
，
，.故正确；
对于，
，
，故错误.
变式1、(1)如图，三棱锥中，，，，分别是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以向量，，为基底表示向量，，利用向量，夹角的余弦值去求异面直线与所成角的余弦值
【详解】由题意可得，
，
由
可得
则异面直线与所成角的余弦值为
故选：C
(2)若,,则为邻边的平行四边形的面积为 ．
【答案】
【解析】因为,所以,故所求的平行四边形的面积为.
题型二、平行、垂直位置关系的判定
例2、在正三棱柱中，，点满足，其中
，，，，则　　
A．当时，△的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
【答案】．
【解答】解：对于，当时，，即，所以，
故点在线段上，此时△的周长为，
当点为的中点时，△的周长为，
当点在点处时，△的周长为，
故周长不为定值，故选项错误；
对于，当时，，即，所以，
故点在线段上，
因为平面，
所以直线上的点到平面的距离相等，
又△的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故选项正确；
对于，当时，取线段，的中点分别为，，连结，
因为，即，所以，
则点在线段上，
当点在处时，，，
又，所以平面，
又平面，所以，即，
同理，当点在处，，故选项错误；
对于，当时，取的中点，的中点，
因为，即，所以，
则点在线的上，
当点在点处时，取的中点，连结，，
因为平面，又平面，所以，
在正方形中，，
又，，平面，
故平面，又平面，所以，
在正方体形中，，
又，，平面，所以平面，
因为过定点与定直线垂直的平面有且只有一个，
故有且仅有一个点，使得平面，故选项正确．
变式2、在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)
A.垂直 B.平行
C.异面 D.相交但不垂直
【答案】B
【解析】由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，
∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点.
∴AB∥CD.
例3、在正四棱锥中，，，O为底面正方形的中心，点E，F分别为，的中点，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．四棱锥外接球的表面积为 D．点E到平面的距离为
【答案】ACD
【分析】以O为原点，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法进行求解：对于A：判断出两平面的法向量，即可得到平面平面；对于B：判断出两平面的法向量不垂直，所以平面平面不垂直；对于C：设外接球的球心为.由,解得：.求出球的半径，即可求出球的表面积.对于D：利用向量法求出E到平面PBC的距离.
【详解】在正四棱锥，O为正方形ABCD的中心，
所以平面ABCD, .
所以CA、BD、OP两两垂直.以O为原点，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.
因为，所以,所以.
因为，所以.
所以,,,,,,.所以,.,.
设平面OEF的法向量为，所以，
不妨令，则.
同理可求：平面PDC的一个法向量为；平面PBC的一个法向量为.
对于A：因为，，所以，所以，
所以平面平面.故A正确；
对于B：因为，，所以，所以不垂直，所以平面平面不垂直.故B不正确；
对于C：因为正四棱锥，所以外接球的球心落在直线OP上.设外接球的球心为.由,则，解得：.
所以球的半径.
所以球的表面积为
故C正确；
对于D：因为.
所以E到平面PBC的距离为.
故D正确.
故选：ACD.
题型三、空间中的角度与距离的计算
例4、如图，已知点、、G、分别是正方体中棱、、、的中点，记二面角的平面角为，直线与平面所成角为，直线与直线所成角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，，，，，
显然面的法向量为，设面的法向量为，则，即 EMBED Equation.DSMT4 ，令则、，所以
所以，，
所以，
因为，即，所以
例5、如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面，点在线段上，，交于点，则下列结论正确的是　　
A．若平面，则为的中点
B．若为的中点，则三棱锥的体积为
C．锐二面角的大小为
D．若，则直线与平面所成角的余弦值为
【答案】．
【解答】解：对于，连接，当平面，根据线面平行的性质可得，从而得到为的中点．故正确；
为的中点，，
取中点，连接，因为为等边三角形，所以，又平面平面，
由面面垂直性质可得底面，
，，所以正确．
连接，因为底面，又平面，所以，
在中，，
取中点，连接，，，，
为锐二面角的平面角，
在中，，，
由余弦定理可得，所以，故错误．
对于，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，
因为，所以，
设平面 的法向量，则，即，取，
解得，所以，
，故正确．
例6、在直三棱柱中，，，为的中点，点是线段上的点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得直线与所成的角是
C．当点是线段的中点时，三棱锥外接球的表面积是
D．当点是线段的中点时，直线与平面所成角的正切值为．
【答案】AD
【详解】易知AB、BC、两两垂直，如图建立空间直角坐标系
则
所以，，，
记
因为，所以，A正确；
因为
记直线与所成的角为，则，
因为，所以，故B错误；
当点是线段的中点时，点P坐标为
易知的外心坐标为，故设三棱锥外接球的球心为，
则，即，解得，
所以三棱锥外接球的半径，表面积，C错误；
当点是线段的中点时，，
易知为平面的一个法向量，记直线与平面所成角为，
则，
因为，所以，
所以，D正确.
故选：AD
题型四、空间中的动点问题
例7、在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，不妨设，
则，0，，，2，，，2，，，2，，，2，，
设，，，，，
在正方体中，因为平面，所以，
又，所以平面，即是平面 的法向量，
，则
，
因为，所以．
例8、如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．对任意点，则有、、、四点共面
B．存在点，使得、、、四点共面
C．对任意点，则有平面
D．存在点，使得平面
【答案】BD
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可判断各选项的正误.
【详解】因为底面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、、、，
设，其中，则，
，，设，
则，解得，故存在点，使得、、、四点共面，B对；
，，，
设，所以，，解得，不合乎题意，A错；
，，
若平面，平面，则，解得，C错；
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
，
若平面，则，解得，
故当点与点重合时，平面，D对.
故选：BD.
例9、已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，点在面内（包含边界），且，则　　
A．点的轨迹的长度为
B．存在，使得
C．直线与平面所成角的正弦值最大为
D．沿线段的轨迹将正方体切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表面积为
【答案】．
【解答】解：取的中点，则平面，又平面，
所以，因为，
所以，
故点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆位于正方形内部的部分，如图1所示．
以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系如图2所示，
则，0，，，4，，，2，，
设，，，
对于，点的轨迹长度为，故选项正确；
对于，，
所以，故选项错误；
对于，取平面的法向量为，
则，
当且仅当时取等号，故选项正确；
对于，如图1，挖去部分为半圆锥，原正方体的表面积为，
挖去部分面积为，
新增部分面积为，
所以新几何体的表面积为，故选项正确．
题型五、折叠问题
例10、如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到，连接，，且，平面与平面的交线为l，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面平面 B．
C．ВС与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】A.利用面面垂直的判定定理判断；B.利用线面平面的判定定理和性质定理判断；C、D.利用空间向量夹角进行求解判断即可.
【详解】在菱形ABCD中，E为边AB的中点，所以，因为，
所以ED⊥DC，因为A′D⊥DC， ，所以平面A′DE，
因为，所以平面A′DE，因为平面A′BE，
所以平面A′DE⊥平面A′BE ，故A正确；
因为，平面A′BE，平面A′BE ，所以平面A′BE，又平面A′BE与平面A′CD的交线为l，所以CD∥l ，故B正确；
由A知，平面A′DE，则A′E，又菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，所以A′E，又BE∩DE=E，所以A′E平面BED,，以E为原点，分别以EB，ED,E A′为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
由上可知：平面A′DE，
设平面的一个法向量为：，
则，
所以有，因此选项C不正确；
显然平面的一个法向量为：，
设平面的一个法向量为：
则有则，即，所以
所以，所以选项D正确，
故选：ABD
例11、如图所示，正三角形中，，分别为边，的中点，其中，把沿着翻折至位置，使得二面角为，则下列选项中正确的是　　
A．点到平面的距离为3
B．直线与直线所成的角的余弦值为
C．
D．四棱锥的外接球半径为
【答案】．
【解答】解：对于选项．在平面上的投影为，作，垂足为，所以，
因为，分别为边，的中点，其中，
所以，所以，
所以，所以，故正确．
对于选项．如图建立直角坐标系得：
，，，，0，，，，，，，，，，，
所以，，，，，，
所以，，故正确，
对于选项，，，，，．
所以，
所以与不垂直，故错误，
对于选项．设球心，，，，
，
，
，
由，解得，，
所以，所以，故正确．
题型六、立体几何中的范围与最值问题
例12、如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求得Q运动轨迹，进而求得面积的取值范围
【详解】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
由二面角的平面角大小为，可知Q的轨迹是过点D的一条直线，
又Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），则Q的轨迹是过点D的一条线段.
设Q的轨迹与y轴的交点坐标为，由题意可知，，，所以，，．
易知平面APD的一个法向量为，
设平面PDG的法向量为，
则，即，
令，得，，所以是平面PDG的一个法向量，
则二面角的平面角的余弦值为
，
解得或（舍去），
所以Q在DG上运动，所以面积的取值范围为．
故选：B．
例13、在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，．当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为　　
A． B． C． D．
【答案】．
【解答】解：在三棱锥中，，，两两垂直，
平面，与平面所成角为，，
当取得最小值时，取得最大值，
在等腰中，当为的中点时，取最小值，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，0，，，1，，
则，1，，，2，，，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，3，，
，
当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为．
例14、如图所示，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP＝2，点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，则线段BQ的长度是 ．
(2)[解]　①因为PA⊥平面ADE，AD 平面ADE，AB 平面ADE，所以PA⊥AD，PA⊥AB，
又因为AB⊥AD，所以PA，AD，AB两两垂直．
以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系A xyz，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．
＝(－1，0，2)，故可设＝λ＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)．
又＝(0，－1，0)，所以＝＋＝(－λ，－1，2λ)．
又＝(0，－2，2)，
所以cos〈，〉＝＝.
设1＋2λ＝t，t∈[1，3]，则cos2〈，〉＝＝≤，
当且仅当t＝，即λ＝时，|cos〈，〉|的最大值为.
因为y＝cos x在上是减函数，所以当λ＝时直线CQ与DP所成角取得最小值．
又因为BP＝＝，所以BQ＝BP＝.
例15、如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连接PC，构成三棱锥． 设二面角为，直线和直线所成角为，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．PC与平面BCD所成的最大角为45°
B．存在某个位置，使得PB⊥CD
C．当时，的最大值为
D．存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为
【答案】BC
【分析】取BD的中点O，由题可得平面，进而可得PC与平面BCD所成的角为∠PCO，，利用特值可判断A，利用向量法可得，结合条件可判断BC，若B到平面PDC的距离为，则有平面PCD，进而判断D．
【详解】取BD的中点O，连接，则，
又，可得平面，平面，
所以平面平面，PC与平面BCD所成的角为∠PCO，
当PC时，△OPC为等边三角形，此时∠PCO＝60°＞45°，故A错误；
由上可知为的平面角，即，
因为，
所以，
当时，，即，故B正确；
又，
当时，，
所以，即的最大值为，故C正确；
∵点B到PD的距离为，点B到CD的距离为，
∴若B到平面PDC的距离为，则平面PBD⊥平面PCD．平面CBD⊥平面PCD，
则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾，故D错误．
故选：BC．
例16、如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得异面直线与所成的角为
C．三棱锥体积的最大值是
D．当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大
【答案】AD
【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，根据向量垂直的坐标表示和异面直线所成角的向量求法可确定是否有解，从而知AB正误；利用体积桥可知，设，可求得的最大值，由此可求得体积的最大值，知C错误；利用向量法求二面角余弦关于参数m的表达式，结合二次函数、余弦函数的性质判断二面角的变化情况，判断D.
【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
设，则；
，，，，，，，；
对于A，假设存在点，使得，
则，又，
，解得：，
即点与重合时，，A正确；
对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，
，，
，方程无解；
不存在点，使得异面直线与所成的角为，B错误；
对于C，连接；
设，
，
当，即点与点重合时，取得最大值；
又点到平面的距离，
，C错误；
对于D，由上分析知：，，
若是面的法向量，则，
令，则，
而面的法向量，
所以，令，
则，而，
由从到的过程，由小变大，则由大变小，即由小变大，
所以先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，
故二面角先变小后变大，D正确.
故选：AD.
例17、已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，为直角,且，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．四面体外接球的表面积为
B．若直线与底面所成角为，则的取值范围为[,]
C．若，则异面直线与所成的角为
D．若过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值
【答案】ABD
【分析】将四面体外接球转换为以为邻边的长方体的外接球，进而求解即可判断A；根据题意，建立空间直角坐标系，进而得，再根据向量法求解即可判断B；当时，，进而利用坐标法求解异面直线所成角即可判断C；将问题转化为求三棱锥的体积的最大值，进而取中点，连接在四边形中，以为直径作半圆，与一定交于点，进而求得三棱锥的体积的最大值即可判断D
【详解】解：对于A选项，四面体外接球即为直三棱柱的外接球，即是以为邻边的长方体的外接球，故，所以四面体外接球的表面积为，故A选项正确；
对于B选项，根据题意，以点为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图1，故，
所以，底面的一个法向量为，直线与底面所成角为满足，
所以，当时，取得最小值，当时，取得最大值，故的取值范围为[,]，B选项正确；
对于C选项，当时，，此时，，所以，故面直线与所成的角不为，故错误；
对于D选项，由于，
故要使三棱锥的体积的最小，则需三棱锥的体积的最大，
故取中点，连接，如图1，
易知，过且与垂直的截面与交于点，则恒满足，
故在四边形中，以为直径作半圆，与一定交于点（如图2），此时恒满足，
此时三棱锥的体积的最大值为，
所以三棱锥的体积的最小值，故D选项正确.
故选：ABD
课后作业
1、已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于(　　)
A. B.－2 C.0 D.或－2
【答案】B
【解析】∵a∥b，∴＝＝，解得m＝－2.
2、已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（　　）
A．1 B. C. D.
【答案】D【解析】与互相垂直，
解得，故选D．
3、已知平面的法向量为,点不在内,则直线与平面的位置关系为
A． B． C．与相交不垂直 D．
【答案】D
【解析】,而点不在内,故
4、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
【答案】　C
【解析】　如图，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
＝(a＋b)，＝c，∴·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
5、若，，是平面的一个法向量，且，2，，，，与平面都平行，则向量等于　　
A． B． C． D．
【答案】．
【解答】因为，，是平面的一个法向量，且，2，，，，与平面都平行，则，即，解得，所以．
6、在长方体中，，，设交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，，
所以，，，，
，，则.
7、如图，长方体的底面是边长为2的正方形，，点、分别为棱、的中点．若平面平面，则直线与平面所成角的正切值为　　
A． B． C． D．
【答案】．
【解答】解：平面平面，
平面平面，平面平面，
，
直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，0，，，2，，，2，，
，2，，，2，，，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
则直线与平面所成角的正弦值为
，，
直线与平面所成角的正切值为．
8、如图，已知、分别是棱长为1的正方体的棱，的中点，则截面与底面的夹角的余弦值是　　
A． B． C． D．
【答案】．
【解答】解：正方体的棱长为1，
，
又、分别是棱，的中点，，
而，，到的距离，
则，
设截面与底面的夹角为，
则．
9、如图，在侧棱垂直底面的三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，是棱上的一动点，记二面角的大小为，则在从运动到的过程中，的变化情况为　　
A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大
【答案】．
【解答】解：如图，平面固定，
由向平面作垂线，垂足在边的四等分点处，
只需考虑清楚垂足到直线的变化情况，
如下图所示，当垂直交于正方形外的时候，距离先变大，
再到垂直相交于正方形内的时候，距离变小，
记二面角的大小为，
则在从运动到的过程中，的变化情况为先减小再增大．
10、已知动点在正方体的对角线（不含端点）上．设，若为钝角，则实数的取值范围为　　
A． B． C．， D．，
【答案】．
【解答】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则有，0，，，1，，，1，，，0，
，1，，设，，，
，，，0，，，，
，，，1，，，，
由图知不是平角，为钝角等价于，
，
，
解得
的取值范围是，
11、下列命题中正确的是（ ）
A．是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为
【答案】ABD
【详解】对于A，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面，则共面，故A对；
对于B，已知为空间的一个基底，则不共面，若，则也不共面，则也是空间的基底，故B对；
对于C，因为，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故C错；
对于D，∵，则则直线与平面所成角的正弦值为，故D对；
故选：ABD．
12、在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，在线段上，则下面说法中正确的有　　
A．平面
B．若是上的中点，则
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．直线与直线所成角最小时，线段长为
【答案】．
【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
由题意可得，，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，，1，，
设，，，故，
直三棱柱中，，
所以为平面的一个法向量，是平面的一个法向量，
对于，，所以，即，
又平面，所以，故选项正确；
对于，若是上的中点，则，所以，
所以与不垂直，故选项错误；
对于，因为是平面的一个法向量，，
设直线与平面所成的角为，
则，故选项正确；
对于，设，
故，
所以，
所以，
故当，即时，取得最大值，
即直线与直线所成的角最小，此时，
所以，故选项正确．
13、在长方体中，，，，以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是　　
A．，，
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．平面的一个法向量为，，
D．二面角的余弦值为
【答案】．
【解答】解：在长方体中，，，，
以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
对于，，2，，，0，，，，，故正确；
对于，，0，，，0，，，0，，，，，
设异面直线与所成角为，
则异面直线与所成角的余弦值为：
，故错误；
对于，，2，，，0，，，2，，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，
得平面的一个法向量为，，，故正确；
对于，平面的一个法向量为，，，
平面的一个法向量为，1，，
二面角的余弦值为：
，故正确．
14、如图，平面，，，，，，下面选项正确的有　　
A．平面
B．求直线与平面所成角的正弦值
C．若二面角的余弦值为，求线段的长
D．求直线与平面所成角的正弦值
【解答】解：由题意知，、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，2，，
对于，，2，，平面的法向量为，0，，
因为，所以平面，所以对；
对于，平面的法向量为，2，，，，，
直线与平面所成角的正弦值为，所以对；
对于，，1，，，2，，设平面的法向量为，，，
，令，，，，
二面角的余弦值为，解得，所以对；
对于，由知错；
故选：．
15、已知图1中，，，，是正方形各边的中点，分别沿着，，，把，，，向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图2所示的多面体，则　　
A．是正三角形
B．平面平面
C．直线与平面所成角的正切值为
D．当时，多面体的体积为
【解答】解：取，的中点，，连结，，
在图1中，因为，，，是正方形各边的中点，
则，
因为为的中点，
所以，因为平面平面，平面平面，
所以平面，
所以平面，
在图1中，设正方形的边长为，可得四边形的边长为，
在图1中，和均为等腰直角三角形，可得，
所以，故四边形是边长为的正方形，
因为，分别为，的中点，
则且，，
所以四边形为矩形，所以，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，，，
，，，，0，，，，，，0，，
对于选项，由空间中两点间的距离公式可得，
所以是正三角形，
故选项正确；
对于选项，，
设平面的法向量为，
则由，取，则，
，
设平面的法向量为，
则有，
取，则，
所以，
所以平面与平面不垂直，
故选项错误；
对于选项，，
设直线与平面所成的角为，则，
所以，
故，
故选项正确；
对于选项，以为底面，以为高将几何体补成长方体，
则，，，分别为，，，的中点，
因为，即，则，
长方体的体积为，
，
因此多面体的体积为，
故选项错误．
故选：．
16、已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.
【答案】　2
【解析】　a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0，∴x＝2，
∴|b|＝＝2.
17、O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________.
【答案】　
【解析】　∵P，A，B，C四点共面，∴＋＋t＝1，∴t＝.
18、已知a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a＋b与a－b的夹角是________.
【答案】　
【解析】　a＋b＝(cos θ＋sin θ，2，cos θ＋sin θ)，
a－b＝(cos θ－sin θ，0，sin θ－cos θ)，
∴(a＋b)·(a－b)＝(cos2 θ－sin2 θ)＋(sin2 θ－cos2 θ)＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)，则a＋b与a－b的夹角是.
19、正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________.
【答案】　
【解析】　||2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)
＝2，∴||＝，∴EF的长为.
20、已知O点为空间直角坐标系的原点，向量＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是__________.
【答案】　
【解析】　∵点Q在直线OP上，∴设点Q(λ，λ，2λ)，
则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6－.
即当λ＝时，·取得最小值－.
此时＝.
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高中数学重难点突破
专题一 空间向量在立体几何中的应用
知识归纳
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．两个向量的数量积
(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
5.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm
α⊥β n⊥m n·m＝0
1．对空间任一点O，若＝x＋y(x＋y＝1)，则P，A，B三点共线．
2．对空间任一点O，若＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则P，A，B，C四点共面．
3．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为
3.异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
a与b的夹角β l1与l2所成的角θ
范围 (0，π)
求法 cos β＝ cos θ＝|cos β|＝
4.求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
5.求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉.
(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
6.点到平面的距离
用向量方法求点B到平面距离基本思路：确定平面法向量， 在平面内取一点A，求向量到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n，点B到平面α的距离d＝.
典例分析
题型一、空间向量基本量的运算
例1、在四面体中，以上说法正确的有（ ）
A．若，则可知
B．若Q为的重心，则
C．若，，则
D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为，的中点，则
变式1、(1)如图，三棱锥中，，，，分别是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值等于（ ）
A． B．
C． D．
(2)若,,则为邻边的平行四边形的面积为 ．
题型二、平行、垂直位置关系的判定
例2、在正三棱柱中，，点满足，其中
，，，，则　　
A．当时，△的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
变式2、在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)
A.垂直 B.平行
C.异面 D.相交但不垂直
例3、在正四棱锥中，，，O为底面正方形的中心，点E，F分别为，的中点，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．四棱锥外接球的表面积为 D．点E到平面的距离为
题型三、空间中的角度与距离的计算
例4、如图，已知点、、G、分别是正方体中棱、、、的中点，记二面角的平面角为，直线与平面所成角为，直线与直线所成角为，则（ ）
A． B． C． D．
例5、如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面，点在线段上，，交于点，则下列结论正确的是　　
A．若平面，则为的中点
B．若为的中点，则三棱锥的体积为
C．锐二面角的大小为
D．若，则直线与平面所成角的余弦值为
例6、在直三棱柱中，，，为的中点，点是线段上的点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得直线与所成的角是
C．当点是线段的中点时，三棱锥外接球的表面积是
D．当点是线段的中点时，直线与平面所成角的正切值为．
题型四、空间中的动点问题
例7、在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
例8、如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．对任意点，则有、、、四点共面
B．存在点，使得、、、四点共面
C．对任意点，则有平面
D．存在点，使得平面
例9、已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，点在面内（包含边界），且，则　　
A．点的轨迹的长度为
B．存在，使得
C．直线与平面所成角的正弦值最大为
D．沿线段的轨迹将正方体切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表面积为
题型五、折叠问题
例10、如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到，连接，，且，平面与平面的交线为l，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面平面 B．
C．ВС与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为
例11、如图所示，正三角形中，，分别为边，的中点，其中，把沿着翻折至位置，使得二面角为，则下列选项中正确的是　　
A．点到平面的距离为3 B．直线与直线所成的角的余弦值为
C． D．四棱锥的外接球半径为
题型六、立体几何中的范围与最值问题
例12、如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例13、在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，．当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为　　
A． B． C． D．
例14、如图所示，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP＝2，点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，则线段BQ的长度是 ．
例15、如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连接PC，构成三棱锥． 设二面角为，直线和直线所成角为，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．PC与平面BCD所成的最大角为45° B．存在某个位置，使得PB⊥CD
C．当时，的最大值为 D．存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为
例16、如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得异面直线与所成的角为
C．三棱锥体积的最大值是
D．当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大
例17、已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，为直角,且，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．四面体外接球的表面积为
B．若直线与底面所成角为，则的取值范围为[,]
C．若，则异面直线与所成的角为
D．若过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值
课后作业
1、已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于(　　)
A． B．－2 C．0 D．或－2
2、已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（　　）
A．1 B. C． D.
3、已知平面的法向量为,点不在内,则直线与平面的位置关系为
A． B．
C．与相交不垂直 D．
4、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
5、若，，是平面的一个法向量，
且，2，，，，与平面都平行，则向量等于　　
A．B． C． D．
6、在长方体中，，，设交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7、如图，长方体的底面是边长为2的正方形，，点、分别为棱、的中点．若平面平面，则直线与平面所成角的正切值为　　
A． B． C． D．
8、如图，已知、分别是棱长为1的正方体的棱，的中点，则截面与底面的夹角的余弦值是　　
A． B． C． D．
9、如图，在侧棱垂直底面的三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，是棱上的一动点，记二面角的大小为，则在从运动到的过程中，的变化情况为　　
A．增大 B．减小
C．先增大再减小 D．先减小再增大
10、已知动点在正方体的对角线（不含端点）上．设，若为钝角，则实数的取值范围为　　
A． B． C．， D．，
11、下列命题中正确的是（ ）
A．是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为
12、在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，在线段上，则下面说法中正确的有　　
A．平面
B．若是上的中点，则
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．直线与直线所成角最小时，线段长为
13、在长方体中，，，，以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是　　
A．，，
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．平面的一个法向量为，，
D．二面角的余弦值为
14、如图，平面，，，，，，下面选项正确的有　　
A．平面
B．求直线与平面所成角的正弦值
C．若二面角的余弦值为，求线段的长
D．求直线与平面所成角的正弦值
15、已知图1中，，，，是正方形各边的中点，分别沿着，，，把，，，向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图2所示的多面体，则　　
A．是正三角形
B．平面平面
C．直线与平面所成角的正切值为
D．当时，多面体的体积为
16、已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.
17、O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________.
18、已知a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a＋b与a－b的夹角是________.
19、正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________.
20、已知O点为空间直角坐标系的原点，向量＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是__________.
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