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高中数学重难点突破
专题八 双曲线的方程及其性质
知识归纳
知识点一：双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．
（3）时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．
知识点二：双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
标准方程
图形
焦点坐标 ， ，
对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标 ， ，
范围
实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程 令，焦点到渐近线的距离为 令，焦点到渐近线的距离为
点和双曲线的位置关系
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
切线方程 为切点 为切点
切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．
切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点
点为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，．则弦长，，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则，，焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．
典例分析
题型一、双曲线的定义与标准方程
【例1-1】已知双曲线：的左、右焦点分别为，.双曲线上有一点，若，则______.
【例1-2】已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．(x≤－1)
【例1-3】已知，分别是双曲线的左 右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【例1-4】已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A． B． C． D．
【例1-5】已知双曲线的左 右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【例1-6】（多选题）（2022·全国·高三专题练习）若曲线C的方程为，则（ ）
A．当时，曲线C表示椭圆，离心率为
B．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为
C．当时，曲线C表示圆，半径为1
D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4
题型二、双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
【例2-1】已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是________.
【例2-2】已知 是双曲线的左 右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】设双曲线，是它的左焦点，直线l通过它的右焦点，且与双曲线的右支交于A，B两点，则的最小值为________.
【例2-4】已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是___________.
题型三、双曲线上线段的和差最值问题
【例3-1】已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则（ ）
A．的实轴长为6
B．的渐近线为
C．的最小值为
D．的最小值为
【例3-2】已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为______，最小值为______．
【例3-4】已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【例3-5】过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为
A． B． C． D．
题型四、双曲线的离心率
【例4-1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．2
【例4-2】如图，已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【例4-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限的交点为A，直线与C的左支交于点B，且．设C的离心率为e，则（ ）
A． B．
C． D．
【例4-4】如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是________．
【例4-5】己知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例4-6】已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【例4-7】已知双曲线的左、右焦点分别为、，、是圆与位于轴上方的两个交点（在左支，在右支，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【例4-8】已知、分别为双曲线C：的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足，且，则该双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【例4-9】（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （ ）
A． B． C． D．2
【例4-10】已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离心率为______．
【例4-11】已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【例4-12】已知双曲线的左 右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例4-13】在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________．
【例4-14】已知双曲线的左 右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为___________.
【例4-15】已知双曲线的左 右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.
【例4-16】如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的部分的旋转体．若该双曲线上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为______．
题型五、双曲线的渐近线
【例5-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】已知双曲线的渐近线方程为，过该双曲线的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，则　　
A． B． C． D．
【例5-3】已知双曲线的右焦点为，直线、是双曲线的两渐近线，，是垂足．点在双曲线上，经过分别与、平行的直线与、相交于、两点，是坐标原点，的面积为，四边形的面积为则　　
A． B． C． D．
【例5-4】已知双曲线的左，右焦点分别为，，过双曲线上的一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则　　
A．双曲线的离心率为
B．四边形的面积为为坐标原点）
C．双曲线的渐近线方程为
D．直线与直线的斜率之积为定值
题型六、双曲线的综合问题
【例6-1】（多选题）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点，，，为双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是　　
A．若双曲线上一点到它的焦点的距离等于16，则点到另一个焦点的距离为10
B．过点的直线与双曲线有唯一公共点，则直线的方程为
C．若是双曲线左支上的点，且，则△的面积为16
D．过点的直线与双曲线相交于，两点，且为弦的中点，则直线的方程为
【例6-2】（多选题）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于，两点，记△的内切圆的半径为，△的内切圆的半径为，圆的面积为，圆的面积为，则　　
A．的取值范围是，
B．直线与轴垂直
C．若，则
D．的取值范围是，
【例6-3】（多选题）已知双曲线方程为，为双曲线右支上任意一点，，为左、右焦点，△的内切圆圆心为，与轴切于点，线段的延长线与轴交于点，．则以下结论正确的有　　
A．为定值
B．的横坐标为定值
C．的范围是
D．半径的最大值为4
【例6-4】（多选题）已知是椭圆（）和双曲线（）的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．的最小值为
【例6-5】（多选题）已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为，点D,G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（ ）
A．当时，点的轨迹为圆
B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为
C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为
D．当时，面积的最大值为3
课后练习
1、－＝4表示的曲线方程为（ ）
A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)
C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)
2、若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3、已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上位于第二象限内的一点，点在轴上运动，若的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4、已知双曲线的左右焦点为，，点为双曲线上任意一点，则的最小值为
A．1 B． C．2 D．3
5、已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与的左、右两支分别交于两点，且是以为顶角的等腰直角三角形，若的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
6、已知，为双曲线的左、右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左、右两支于，两点（如图）．若，则双曲线的渐近线方程为　　
A． B．
C． D．
7、过双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．＋1 D．
8、已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的左、右两支分别交于点，若是边长为的等边三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9、过双曲线：（，）的右焦点作直线的垂线，垂足为点，交的左支于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．
10、已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11、已知、分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
12、如图，已知，分别为双曲线：的左右焦点，过的直线与双曲线的左支交于、两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．
D．
13、设双曲线的左 右焦点分别为 ，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14、已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为，，记它们其中的一个交点为P，且，则该椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
15、已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，且在第一象限内相交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
16、（多选题）已知，是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C交于，M、N两点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形 B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为 D．点到直线的距离为
17、（多选题）（2022·河北秦皇岛·高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（ ）
A．
B．双曲线C的离心率为
C．直线倾斜角的取值范围为
D．若，则三角形的面积为2
18、（多选题）（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）已知双曲线：的左焦点为，过点作的一条渐近线的平行线交于点，交另一条渐近线于点.若，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．点到两渐近线的距离的乘积为
D．为坐标原点，则
19、（多选题）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A1、A2，左、右两个焦点分别是F1、F2，P是双曲线上异于A1、A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A．
B．直线PA1、PA2的斜率之积等于定值
C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个
D．△PF1F2的面积为
20、过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为__________.
21、已知、是双曲线与椭圆的公共焦点，点、分别是曲线、在第一、第三象限的交点，四边形的面积为，设双曲线与椭圆的离心率依次为、，则___________.
22、已知双曲线，为左焦点，若，则双曲线离心率为_____；若对于双曲线上任意一点，线段长度的最小值为，则实数的值为_____.
23、设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为________.
24、已知 为双曲线的左 右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若内切圆的圆心为，则圆心到圆上任意一点的距离的最小值为____________.
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专题八 双曲线的方程及其性质
知识归纳
知识点一：双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．
（3）时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．
知识点二：双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
标准方程
图形
焦点坐标 ， ，
对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标 ， ，
范围
实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程 令，焦点到渐近线的距离为 令，焦点到渐近线的距离为
点和双曲线的位置关系
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
切线方程 为切点 为切点
切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．
切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点
点为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，．则弦长，，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则，，焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．
典例分析
题型一、双曲线的定义与标准方程
【例1-1】已知双曲线：的左、右焦点分别为，.双曲线上有一点，若，则______.
【答案】1或13
【解析】因为双曲线：，所以a=3，所以，
又因为，所以或，
【例1-2】已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．(x≤－1)
【答案】D
【解析】设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，
由动圆M与圆C1和圆C2均外切可得|MC1|＝r+1，|MC2|＝r+3，
相减可得|MC2|﹣|MC1|＝2＜|C1C2|，
故点M的轨迹是以C1、C2 为焦点的双曲线的左支．
由题意可得 2a＝2，c＝3，∴b＝，
故点M的轨迹方程为 x2﹣＝1（x≤﹣1），
【例1-3】已知，分别是双曲线的左 右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点为双曲线右支上一点，则，
因为，且，
所以，，
由题，因为，则，所以为最小角，故，
所以在中，由余弦定理可得，，解得，所以，
所以双曲线的标准方程为.
【例1-4】已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，，若，即为，
可得，即有，
由双曲线的定义可知，可得，
由于过F2的直线斜率为，所以在等腰三角形中，，则，
由余弦定理得：，化简得：，
即，，可得，，
所以此双曲线的标准方程可能为：.
【例1-5】已知双曲线的左 右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，则双曲线方程为，，，
所以直线为，
设，由，得，
则，所以，
因为，，所以，
因为的周长为36，所以，所以，得，
所以双曲线方程为 ，
【例1-6】（多选题）（2022·全国·高三专题练习）若曲线C的方程为，则（ ）
A．当时，曲线C表示椭圆，离心率为
B．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为
C．当时，曲线C表示圆，半径为1
D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4
【答案】BC
【解析】选项A，时，曲线方程为，表示椭圆，其中，，则，离心率为，A错；
选项B，时曲线方程为表示双曲线，渐近线方程为，即，B正确；
选项C，时，曲线方程为，表示圆，半径为1，C正确；
选项D，曲线C表示椭圆时，或，
时，，，，
时，，，，
所以，即，无最大值．D错．
题型二、双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
【例2-1】已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是________.
【答案】
【解析】不妨令在双曲线右支，依题意可得，，，
解得，，又，
由余弦定理
即，解得，
所以，
所以的面积．
【例2-2】已知 是双曲线的左 右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一：设，，则.
由双曲线定义知，，又，故，
由于在以为直径的圆上，所以，故有
从而
解法二：同解法一，得到，，则，
从而得到双曲线方程为.
设，
联立，
解得，即.
因此，选项A正确.
【例2-3】设双曲线，是它的左焦点，直线l通过它的右焦点，且与双曲线的右支交于A，B两点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】双曲线的右焦点为
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
代入双曲线方程，消去y 得
设 由韦达定理得
根据双曲线的第二定义得：
当直线的斜率不存在时，
根据双曲线的第一定义得：
综上：的最小值为
【例2-4】已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是___________.
【答案】
【解析】 焦点在x上
焦点坐标为
由双曲线的对称性可得，设，，
又∵，， ，
，
又 ， ，
又，
而， ，
当时，，
EMBED Equation.DSMT4 ，，
，
整理得 ，
又 ， ，
又的渐近线方程为 ，，
又，
的取值范围为 ．
题型三、双曲线上线段的和差最值问题
【例3-1】已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则（ ）
A．的实轴长为6
B．的渐近线为
C．的最小值为
D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】A：由双曲线方程知：，则的实轴长为6，正确；
B：由双曲线方程知：的渐近线为，错误；
C：双曲线、圆如下：为左焦点，当且仅当为x轴交点，为x轴右交点时，最小为，正确；
D：由为右焦点，，则，要使最小只需共线，此时，正确.
【例3-2】已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ，又，故 ，
所以 ，则双曲线方程为 ，
结合双曲线定义可得，
如图示，连接,交双曲线右支于点M，即当三点共线，
即Q在M位置时，取最小值，
此时直线方程为 ，联立，
解得点Q的坐标为,( Q为双曲线右支上的一点)，
故，
【例3-3】设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为______，最小值为______．
【答案】 9
【解析】设双曲线的左、右焦点分别为，，
则点为圆的圆心，
点为圆的圆心，
连接，．当点在双曲线的左支上时（如图），
由双曲线的定义，可得，
由圆的几何性质，得，，
所以，即，
此时的最大值为9，最小值为3．
同理可得，当点在双曲线的右支上时，的最大值为，最小值为．
综上，的最大值为9，最小值为．
【例3-4】已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】过作垂直于双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则，
连接与双曲线的另一个焦点，如下所示：
由双曲线的定义可知，，
又双曲线方程为，故，
又点坐标为，双曲线的渐近线为，
故点到渐近线的距离为，
故.
【例3-5】过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2；
圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，
设双曲线x21的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），
连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得
|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）
＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）
＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3
＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2 2c﹣3＝2 8﹣3＝13．
当且仅当P为右顶点时，取得等号，
即最小值13．
题型四、双曲线的离心率
【例4-1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．2
【答案】C
【解析】依题意，，令，，则有，
由得：，即有，
而，所以.
【例4-2】如图，已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】如图，因为，所以为线段的中点；
由于，即,所以，
所以为等腰三角形，且有
连接，又，点Q在双曲线C上，
由双曲线的定义，可得，故;
所以在中，有，即，
整理得，所以离心率，
【例4-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限的交点为A，直线与C的左支交于点B，且．设C的离心率为e，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线定义可知
∵，∴，
又∵，则
∵A在以为直径的圆上，则 ∴，
由，
得，
故．
【例4-4】如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是________．
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为，连接，，
由条件可得，
则，，，
所以，
即，
即，
所以双曲线的离心率为：，
故答案为.
【例4-5】己知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图示，
因为，，是中点，
所以是中点且，则，，
因为直线是双曲线的渐近线，
所以，，直线的方程为，
联立，解得，则，整理得，
因为，所以，.
故选：A
【例4-6】已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】如图所示：
由题意得：，
则，
由圆的切线长定理和双曲线的定义得，
所以，则，
因为与轴平行，
所以，即，
则，即，
解得，
故选：B
【例4-7】已知双曲线的左、右焦点分别为、，、是圆与位于轴上方的两个交点（在左支，在右支，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】连接、，则，如下图所示：
由双曲线的定义可得，，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
因为，所以，即，
即，即，
，解得.
故选：C.
【例4-8】已知、分别为双曲线C：的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足，且，则该双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】因为，分别为双曲线的左右焦点，
由正弦定理得到，
又因为得，又∵，∴，，
在中，，，，∴，，
在中，，所以，
化简得.
故选：D.
【例4-9】（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】BC
【解析】∵，则离心率，则排除A；
记，，，
则，
由正弦定理结合分比定理可知：，
则，
所以B，C是正确的，D不正确.
故选：BC.
【例4-10】已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】如图，根据题意，，，
∴，，
设直线的倾斜角为，
∴，
当且仅当时等号成立，
即，，，又
∴，
故答案为：．
【例4-11】已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，的斜率为，
而的渐近线为，
由于直线与双曲线没有公共交点，如图，
所以，即，故，即，所以，
故，即.
故选：C.
【例4-12】已知双曲线的左 右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在以为直径的圆上，，
，，，，
由双曲线定义知：，即，
；
，，，
则，，
即双曲线离心率的取值范围为.
故选：D.
【例4-13】在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】设点，其中，易知点、，且有，则，
，
当点在第一象限时，，，则，，且，
由基本不等式可得，
因为存在点，使得直线、的斜率之和为，则，即，
.
故答案为：.
【例4-14】已知双曲线的左 右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为___________.
【答案】
【解析】依题意，点在双曲线的右支，P不与双曲线顶点重合，
在中，由正弦定理得：
，因，于是得，
而点P在双曲线M的右支上，即，从而有，
点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有，
因此，而，整理得，即，
解得，又，故有，
所以双曲线M的离心率的取值范围为.
故答案为：
【例4-15】已知双曲线的左 右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】设，，，
，则，
，则，，
，则，，点在渐近线上，
所以，，
由得，所以，又，
所以，所以．
故答案为：．
【例4-16】如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的部分的旋转体．若该双曲线上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为______．
【答案】
【解析】设点，其中，
易知点，，且有，则，
，
当点P在第一象限时，，，
则，，且，
由基本不等式可得，
∵存在点P，使得直线PA，PB的斜率之和为4，
则，即，
∴.
故答案为：．
题型五、双曲线的渐近线
【例5-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，作于点于点B，
因为与圆相切，
所以，
在中，，所以．
又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：
所以，
整理得：，所以，
所以双曲线的渐近线方程为．故选C．
【例5-2】已知双曲线的渐近线方程为，过该双曲线的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由已知可得，，
如图，到直线的距离为，
则，故，可得直线的斜率为，
则，
联立，解得，则；
联立，解得，则．
则．
故选：．
【例5-3】已知双曲线的右焦点为，直线、是双曲线的两渐近线，，是垂足．点在双曲线上，经过分别与、平行的直线与、相交于、两点，是坐标原点，的面积为，四边形的面积为则　　
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线渐近线方程为，不妨取，，
，设，，过与平行的直线方程为，
过与平行的直线方程为，
与的交点，联立，解得；
与的交点为，联立，解得．
则，同理，
则；
又，，为等腰直角三角形，
，则．
．
故选：．
【例5-4】已知双曲线的左，右焦点分别为，，过双曲线上的一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则　　
A．双曲线的离心率为
B．四边形的面积为为坐标原点）
C．双曲线的渐近线方程为
D．直线与直线的斜率之积为定值
【分析】先根据可得到，进而可判断，，，四个选项．
【解答】解：双曲线的两条渐近线分别为和，
设，，则
所以，
又点在双曲线上，则，
所以，
因为，所以，
即，
又，所以，故正确；
因为，
所以，所以，所以四边形是矩形，
故四边形的面积为，故正确；
因为，所以双曲线的渐近线方程为，故错误；
，故正确．
故选：．
题型六、双曲线的综合问题
【例6-1】（多选题）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点，，，为双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是　　
A．若双曲线上一点到它的焦点的距离等于16，则点到另一个焦点的距离为10
B．过点的直线与双曲线有唯一公共点，则直线的方程为
C．若是双曲线左支上的点，且，则△的面积为16
D．过点的直线与双曲线相交于，两点，且为弦的中点，则直线的方程为
【解答】解：由题意设双曲线的方程为，则，
将点代入得，解得，
双曲线的方程为，则，，．
对于，由双曲线的定义知，，即，
解得或22，故错误；
对于，点为双曲线的右顶点，过点与双曲线相切时，
直线与双曲线有唯一公共点，直线的方程为；当直线与双曲线的渐近线平行时，
直线与双曲线有唯一公共点，此时直线的斜率为，
直线的方程为，即或，故错误；
对于，是双曲线左支上的点，则，
则，将代入，
可得，即，
可得△为直角三角形，
，故正确；
对于，由题意得双曲线为，
设，，，，则，，
两式作差可得：，
即，
为弦的中点，，，且直线的斜率存在，
，得直线的斜率，
则直线的方程为，故正确．
故选：．
【例6-2】（多选题）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于，两点，记△的内切圆的半径为，△的内切圆的半径为，圆的面积为，圆的面积为，则　　
A．的取值范围是，
B．直线与轴垂直
C．若，则
D．的取值范围是，
【解答】解：双曲线的，，，
渐近线方程为，
其倾斜角为或，
而过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于，两点，
可得，，故错误；
由双曲线的定义和圆的切线长定理可得，的横坐标均为，即直线与轴垂直，故正确；
因为为直角三角形的斜边上的高，
由直角三角形的射影定理可得，
即，又，
解得，即垂直于轴，
，，，故正确；
设内切圆与与轴的切点为，
因为，，所以，，，，
所以，，
又，所以，，可得，．
故选：．
【例6-3】（多选题）已知双曲线方程为，为双曲线右支上任意一点，，为左、右焦点，△的内切圆圆心为，与轴切于点，线段的延长线与轴交于点，．则以下结论正确的有　　
A．为定值 B．的横坐标为定值
C．的范围是 D．半径的最大值为4
【解答】解：双曲线方程为的，，，
与轴切于点，与切于点，与切于点，
因为的横坐标与的横坐标相等，设，，
由切线长相等，可得，，，
由双曲线的定义可得，即有，
又，解得，可得，
则，都正确；
由内角平分线的性质定理可得，
即有，解得，故正确；
可设，，，△的内切圆的半径为，
则，①
又，
即为，
化为，
若，则，②
联立①②，可得方程组无解．
故错误．
故选：．
【例6-4】（多选题）已知是椭圆（）和双曲线（）的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．的最小值为
【答案】BD
【解析】由题意可得，所以错误；
可设是第一象限的点，，，
由椭圆的定义可得，，
解得，，又，
因为，
在△中，由余弦定理可得，
化为，则，故正确；
由，可得，即有，故错误；
由，当且仅当，
取得等号，即有的最小值为，故正确．
故选：
【例6-5】（多选题）已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为，点D,G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（ ）
A．当时，点的轨迹为圆
B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为
C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为
D．当时，面积的最大值为3
【答案】BCD
【解析】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则
当时，线段为圆B的弦，则的中垂线过圆心B，点即点B，A错误；
当时，如图1，点在线段AB上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的椭圆，即
则椭圆的离心率，B正确；
当为椭圆短轴顶点时，面积的最大
若时，则，最大面积为，D正确；
当时，过点作圆的切线，切点为
若点在劣弧（不包括端点）上，如图2，点在BA的延长线上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的左半支
若点在优弧（不包括端点）上，如图3，点在AB的延长线上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的右半支
则点的轨迹为双曲线
∴，渐近线方程为，C正确；
故选：BCD．
课后练习
1、－＝4表示的曲线方程为（ ）
A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)
C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)
【答案】C
【解析】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合.
根据双曲线定义可知， 所以
由焦点在y轴上，所以 ，且到点 的距离比较大，所以
即曲线方程为
故选：C.
2、若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，
记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，
所以，.
故选：B.
3、已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上位于第二象限内的一点，点在轴上运动，若的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：连接，因为，
当且仅当，，三点共线时等号成立，
所以的最小值为，
所以，
解得．
由题意知，
∴，
故选：B．
4、已知双曲线的左右焦点为，，点为双曲线上任意一点，则的最小值为
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】由题意知，，，不妨设点在双曲线右支上，则，设，所以，所以当时，的值最小，最小为1，故选：A.
5、已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与的左、右两支分别交于两点，且是以为顶角的等腰直角三角形，若的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，
由双曲线的定义得，又，∴.
又,所以，
所以.
故选：C
6、已知，为双曲线的左、右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左、右两支于，两点（如图）．若，则双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由可设，由得，，所以，，
又得，
，令，化简得：，得，
所以渐近线方程为，
故选：．
7、过双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C．＋1 D．
【答案】A
【解析】不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，
如图所示:
因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，
又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，
又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，
根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，
所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，
在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，
即a2＋4a2＝c2，所以e＝，
故选A.
8、已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的左、右两支分别交于点，若是边长为的等边三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，，
又，，解得：，，
在中，由余弦定理得：，
解得：，即，，
双曲线的离心率.
故选：B.
9、过双曲线：（，）的右焦点作直线的垂线，垂足为点，交的左支于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】由已知得，，，
所以，．
设左焦点为，由双曲线的定义得．
在中，，分别为，的中点，得，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率（舍负）.
故选：D．
10、已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设，则．
又，所以，所以．
又，所以，由，得
，则，而，则，化简得，所以．
11、已知、分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】如图延长交于点，
∵是的平分线，
∴，，又是中点，
所以，且，
又，
∴，，
∴．
故选：A．
12、如图，已知，分别为双曲线：的左右焦点，过的直线与双曲线的左支交于、两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，由双曲线的定义可得，
由，可得，即有，
因为为等腰三角形，
所以，
解得，
在△中，，
化为，即有．
故选：．
13、设双曲线的左 右焦点分别为 ，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得，
又，所以，即，则，
因为双曲线中，，
即，则，即，
又双曲线的离心率大于，所以.
故选：A.
14、已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为，，记它们其中的一个交点为P，且，则该椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义，，
设，
则在中由余弦定理得，
化简，该式变成.
故选：C.
15、已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，且在第一象限内相交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设共同的焦点为，，
设，，
由椭圆和双曲线的定义可得，，
解得，，
在中，，
可得，
即为，
即有，
即为，
由，
可得，当且仅当时，取得最小值，
16、（多选题）已知，是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C交于，M、N两点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形 B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为 D．点到直线的距离为
【答案】ABCD
【解析】设，，则，
由双曲线的定义的得
所以，，
所以是等边三角形，选项A正确；
在中，，
即，，所以选项B正确，
由得，所以双曲线C的渐近线方程为所以选项B正确，
渐近线方程为，所以选项C正确，
点到直线的距离为，
所以选项D正确．
故选：ABCD．
17、（多选题）（2022·河北秦皇岛·高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（ ）
A．
B．双曲线C的离心率为
C．直线倾斜角的取值范围为
D．若，则三角形的面积为2
【答案】ABD
【解析】设焦距为，则，设，
则，，作差得，即，
，
故，又，所以，A正确；
而离心率，B正确；
双曲线C的渐近线方程为，直线过原点，由题可知直线与C有两个不同的交点，
所以直线倾斜角的取值范围为，C错误；
若，则，由双曲线的定义以及选项A的结论可得
，故，
又，可得，
所以三角形的面积为，D正确．
故选：ABD.
18、（多选题）（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）已知双曲线：的左焦点为，过点作的一条渐近线的平行线交于点，交另一条渐近线于点.若，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．点到两渐近线的距离的乘积为
D．为坐标原点，则
【答案】ABD
【解析】双曲线的渐近线方程为，不妨设过左焦点F的直线与直线平行，交C于点A.
对于A：设双曲线半焦距为c，过点与直线平行的直线的方程为，与联立，解得，
设，由，可得，
所以，
所以，即，
所以双曲线的离心率为，故选项A正确；
对于B：由，可得，所以，
所以渐近线方程为，故选项B正确；
对于C：A到两渐近线距离的乘积，故选项C错误；
对于D：，
所以，
所以，故选项D正确．
故选：ABD.
19、（多选题）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A1、A2，左、右两个焦点分别是F1、F2，P是双曲线上异于A1、A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A．
B．直线PA1、PA2的斜率之积等于定值
C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个
D．△PF1F2的面积为
【答案】BC
【解析】根据双曲线的定义可得：，A错误；
设，则，即
∵，则
∴，B正确；
不妨P在第一象限，根据双曲线的定义可知
若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一
若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一
根据双曲线的对称性可知使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个，C正确；
不妨P在第一象限，则
∴
则
D不正确；
故选：BC．
20、（2022·全国·高三专题练习）过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为__________.
【答案】1
【解析】椭圆，，所以.
设以为直径的圆圆心为，如图所示：
因为圆与圆外切，所以，
因为，，
所以，
所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支.
即，曲线.
所以为曲线上的一动点，则长度最小值为.
故答案为：1
21、已知、是双曲线与椭圆的公共焦点，点、分别是曲线、在第一、第三象限的交点，四边形的面积为，设双曲线与椭圆的离心率依次为、，则___________.
【答案】
【解析】由于双曲线、椭圆均关于原点对称，则点、也关于原点对称，
则、的中点均为坐标原点，所以，四边形为平行四边形，
设点，在椭圆中，，，，
，可得，则，即点，
，
，
所以，，则，，所以，，
因此，.
故答案为：.
22、已知双曲线，为左焦点，若，则双曲线离心率为_____；若对于双曲线上任意一点，线段长度的最小值为，则实数的值为_____.
【答案】
【解析】因为双曲线，
若，则，所以，因此双曲线的离心率为；
因为为左焦点，所以，其中，
若对于双曲线上任意一点，为使线段的长度最小，则点必在该双曲线的左支上，设，则，，
所以
，因此，解得.
故答案为：；.
23、设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为________.
【答案】9
【解析】由双曲线定义可知：，，
由已知，因为，所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，故，
即，又，
所以，
解得:，所以
故答案为：9
24、已知 为双曲线的左 右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若内切圆的圆心为，则圆心到圆上任意一点的距离的最小值为____________.
【答案】1
【解析】由双曲线，则 .
设内切圆与的三边 的切点分别为 ，
根据圆的切线性质，可得，
又因为，∴，即，
∴内切圆圆心在直线上.又因为圆的圆心为，半径，
∴圆心到圆上任意一点的距离的最小值为.
故答案为：1
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