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高中数学重难点突破
专题九 抛物线的方程及其性质
知识归纳
知识点一、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．
知识点二、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
图形
标准方程
顶点
范围 ， ， ， ，
对称轴 轴 轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径
【方法技巧与总结】
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，
则焦半径，．
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）． （2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
7、切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程为，为切点
切点弦方程为，点在抛物线外
与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
8、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
9、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
10、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
典例分析
题型一、抛物线的定义与方程
【例1-1】在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以，轨迹方程为，
故选：D
【例1-2】点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】将转化为,
当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；
当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.
所以抛物线的方程为或
故选：D
【例1-3】已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，过点作，垂足为.
由题得,所以.
因为，所以是等边三角形.
因为是的中点，所以，
所以，所以.
所以.
所以
所以抛物线的方程是.
故选：C
题型二、与抛物线有关的距离和最值问题
【例2-1】若抛物线上一点到焦点的距离为6，P、Q分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为______．
【答案】【解析】由题设及抛物线定义知：，可得，故，
而的圆心为，半径为1，
所以最小，则共线且，故只需最小，
令，则，且，
当时，，故的最小值为.
故答案为：
【例2-2】已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________.
【答案】4
【解析】如图所示：
设点M在准线上的射影为D，
由抛物线的定义知，
∴要求的最小值，即求的最小值，
当D，M，P三点共线时，最小，
最小值为.
故答案为：4
【例2-3】已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.
【答案】【解析】由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
圆的圆心坐标为，半径为，
设点到抛物线准线的距离为，则，故，
所以当动点位于线段上时，点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和最小，
此时.
故答案为：.
【例2-4】已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值为_______.
【答案】
【解析】由题意知：，；
因为，，
所以；
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为，
故答案为：.
【例2-5】已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取最大值时，直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点作与准线垂直，垂足为，，如图：
当最大时，取最大值，此时与抛物线相切.
∵抛物线的焦点，∴，
设切线方程为，则，∴，
由解得，，
∵点M在第一象限内，∴，直线方程为：.
故选：C.
【例2-6】（多选题）已知抛物线，圆为圆心），点在抛物线上，点在圆上，点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．当最大时，
D．当最小时，
【答案】ABC
【解析】A. 的最小值是的最小值减去圆的半径，又的最小值是1，所以的最小值是1-=，故正确；
B. 设，则，
，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是，故正确；
C.如图所示：
当最大时，直线AQ与圆相切，则，故正确；
D.当最小时为，即P，A，Q共线，则，故错误；
故选：ABC
题型三、抛物线中三角形，四边形的面积问题
【例3-1】设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为__________．
【答案】
【解析】如图所示，由已知，．得．
因为轴，， ，
所以四边形ABCD为平行四边形，且，
所以，解得，
代入得，
所以．
故答案为：.
【例3-2】已知抛物线的焦点为，过点的直线交拋物线于、两点，延长交准线于点，分别过点、作准线的垂线，垂足分别记为、，若，则的面积为________.
【答案】
【解析】由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线，设抛物线的准线交轴于点，
不妨设直线的倾斜角为锐角，由抛物线的定义可得，，
因为，则，从而，故是等边三角形，
且，，则，所以，，
故是边长为的等边三角形，故.
故答案为：.
【例3-3】如图，已知点F为抛物线的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则的面积S的取值范围为______．
【答案】
【解析】由抛物线可得焦点，准线方程为，，
设，，直线AB的方程为，
由，可得，则，，
所以，
直线AB的一般方程为，
点到直线AB的距离，
所以，
所以的面积S的取值范围为，
故答案为：
题型四、焦半径问题
【例4-1】已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解析】由抛物线的方程，得，焦点坐标为，
设，，的横坐标分别是，，，
由，所以，即，
因为为抛物线的焦点，
由抛物线的定义可得，，，，
即，
故选：B．
【例4-2】已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点A满足，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由抛物线得，准线为，
设，则由抛物线的定义可得即，
将代入抛物线可得，即或，
当的坐标为时，则的斜率；
当的坐标为时，则的斜率；
故选：C．
【例4-3】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．
【答案】
【解析】
如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，
在直角三角形中，因为，，所以，从而得，
设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.
故答案为：.
【例4-4】过抛物线，的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于__________.
【答案】60°或120°
【解析】如图是抛物线的准线，作，，为垂足，
设，则，
由抛物线定义知，，
过作，垂足为，则易得，所以，
直角三角形中，，，
此时直线倾斜角为60°，由对称性，直线倾斜角也可为120°.
故答案为：60°或120°
【例4-5】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A．23 B．26 C．36 D．62
【答案】B
【解析】解法一：设抛物线的方程，则，得，
所以抛物线方程为，焦点，圆，圆心，半径，可得圆心恰好是抛物线的焦点，即直线l过焦点F.
设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，
由联立，得，∴，
，∴，，
，当且仅当，即，时取等号.
解法二：，又，
，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：B.
【例4-6】（多选题）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线过焦点时，最小值为4
B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），
C．若中点的横坐标为3，则最大值为8
D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：
【答案】ACD
【解析】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确；
对于B选项，由题意，作图如下：
则，轴，轴，即，，
，，即，，
，，，
，故错误；
对于C选项，由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确；
对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确.
故选：ACD.
【例4-7】已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题：
①；②；③//；
④与的交点在轴上；⑤与交于原点.
其中真命题是__________．（写出所有真命题的序号）
【答案】①②③④⑤
【解析】根据题意，作图如下：
因为在抛物线上，由抛物线的定义，
得，又分别为在上的射影，
所以，即①正确；
取的中点，则，
所以，即②正确；
由②得平分，所以，又因为，
所以//，即③正确；
取轴，则四边形为矩形，则与的交点在轴上，
且与交于原点，即④⑤正确；
故答案为：①②③④⑤.
题型五、抛物线中的综合性问题
【例5-1】如图圆锥PO，轴截面PAB是边长为2的等边三角形，过底面圆心O作平行于母线PA的平面，与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点E的距离为( )
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
过底面圆心O作平行于母线PA的平面，与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，平面PAB, 平面PAB与圆锥的侧面交于OE, 所以OE||PA.
因为OA=OB，所以OE=1=OC,
因为OP⊥底面ABC,所以OP⊥OC,
因为OC⊥OE,OP,OE平面PAB,OP∩OE=0,
所以OC⊥平面PAB,所以OC⊥OB.
在平面内建立直角坐标系．设抛物线的方程为，
，
所以该抛物线的焦点到其顶点E的距离为
故选：D
【例5-2】已知抛物线y2＝2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为(　　)
A．x＋2y＋1＝0 B．3x＋6y＋4＝0
C．2x＋6y＋3＝0 D．x＋3y＋2＝0
解析　A(2,2)在抛物线y2＝2px上，故22＝2×2p，即p＝1，抛物线方程为y2＝2x。
解法一：设B，C，则直线AB的方程为y－2＝(x－2)，即lAB：2x－(y1＋2)y＋2y1＝0。又因为直线AB与圆(x－2)2＋y2＝1相切，所以d＝r＝＝1，所以3y＋12y1＋8＝0，即6x1＋12y1＋8＝0，即3x1＋6y1＋4＝0。同理3x2＋6y2＋4＝0，所以B(x1，y1)，C(x2，y2)都在直线3x＋6y＋4＝0上。故选B。
解法二：设过点A(2,2)与圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，则圆心(2,0)到切线的距离d＝＝1，解得k＝±，如图，直线AB：y－2＝(x－2)，直线AC：y－2＝－(x－2)。
联立得3x2＋(4－14)x＋16－8＝0，故xAxB＝，由xA＝2得xB＝，故yB＝，联立得3x2－(4＋14)x＋16＋8＝0，故xAxC＝，由xA＝2得xC＝，故yC＝，故yB＋yC＝＋＝－4，又由B，C在抛物线上可知，直线BC的斜率为kBC＝＝＝＝＝－，故直线BC的方程为y－＝－，即3x＋6y＋4＝0。故选B。
答案　B
【例5-3】(多选题)设M，N是抛物线y2＝x上的两个不同的点，O是坐标原点。若直线OM与ON的斜率之积为－，则下列结论正确的是(　　)
A．|OM|＋|ON|≥4
B．以MN为直径的圆的面积大于4π
C．直线MN过定点(2,0)
D．点O到直线MN的距离不大于2
解析　不妨设M为第一象限内的点。当直线MN⊥x轴时，kOM＝－kON，由kOM·kON＝－，得kOM＝，kON＝－，所以直线OM，ON的方程分别为y＝x，y＝－x，与抛物线方程联立，得M(2，)，N(2，－)，所以直线MN的方程为x＝2，此时|OM|＋|ON|＝2，以MN为直径的圆的面积S＝2π，AB错误。当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立消去x，得ky2－y＋m＝0，则Δ＝1－4km>0。设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝。因为kOM·kON＝－，所以·＝－，则2y2y1＝－x2x1＝－yy，则y1y2＝－2，所以＝－2，即m＝－2k，所以直线MN的方程为y＝kx－2k，即y＝k(x－2)。综上可知，直线MN为恒过定点Q(2，0)的动直线，C正确；易知当OQ⊥MN时，原点O到直线MN的距离最大，最大距离为2，即原点O到直线MN的距离不大于2，D正确。
答案　CD
【例5-4】(多选题)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，则下列结论正确的是(　 )
A．点P到抛物线焦点的距离为
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为
C．过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0
D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值
解析：选BCD　由题意得p＝，所以抛物线方程为y2＝x，焦点坐标为F.对于A，|PF|＝1＋＝，错误；对于B，kPF＝，所以lPF：y＝，与y2＝x联立得4y2－3y－1＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－，所以S△OPQ＝|OF|·|y1－y2|＝×× ＝，正确；对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，Δ＝1－4k(1－k)＝0，即4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切线方程为x－2y＋1＝0，正确；对于D，依题意斜率存在，设lPM：y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，所以yM＋1＝，即yM＝－1，则xM＝2，所以点M，同理N，所以kMN＝＝＝－，正确．故选B、C、D.
课后练习
1、已知点在抛物线上，若以点为圆心半径为5的圆与抛物线的准线相切，且与轴相交的弦长为6，则（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．6
【答案】C
【解析】设，因为点在抛物线上，所以，又抛物线的准线为，
以点为圆心的圆与的准线相切，所以，
圆与轴相交的弦长为6，所以，
所以，解得或.
故选：C.
2、设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．13
【答案】B
【解析】因为，则准线方程为，
依题意，点到该抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，即.
故选: B.
所以的最小值为.
故选：A
3、在曲线上有两个动点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】由已知，
因为，所以，所以，
因为动点在曲线上，所以设，
所以，
又因为，所以.
故选：C.
4、已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【解析】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，
由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，
解法1：因为轴，所以直线斜率，所以，
由解得，舍去，
所以.
解法2：在中，，则.
解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.
故选：D.
5、抛物线C：的焦点为F，P是其上一动点，点，直线l与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．动点P到点的距离最小值为3
C．存在直线l，使得A，B两点关于直线对称
D．与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点，则点N在抛物线C的准线上
【答案】A
【解析】A：过点作垂直准线交准线于点，当在与抛物线的交点时，的值最小，
由抛物线的性质：到焦点的距离等于到准线的距离即，
所以，所以A正确；
B：设则，所以，当时，的最小值为，所以B不正确；
C：假设存在这样的直线，由题意设直线的方程为：，设，，，，
联立可得：，
，所以，
所以，，
所以，的中点为，
由题意可得在直线上，所以，解得，不满足，所以C不正确；
D：设，，，，由，则，
设直线的方程为：，
所以，切线方程分别为：，即，
同理可得：，
两式联立求出，可得，
因为，在抛物线上，
，整理可得：，
所以，
所以，不在准线上，所以D不正确．
故选：A．
6、（多选题）设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的面积为（为坐标原点）
【答案】BC
【解析】
如图，设，
，
，
，
又，
，即，
解得：；
故选项A不正确；
由上述分析可知，
又容易知，
则，，
故成立；
故选项B正确；
；
故选项C正确；
，
故选项D不正确；
故选：BC．
7、（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线上，则（ ）
A．当时，最小值为1
B．当时，的最小值为3
C．当时，的最小值为4
D．当时，的最大值为2
【答案】ACD
【解析】当时，为抛物线的焦点，设，
则，故的最小值为1，A正确；
设抛物线的准线为，过点P作PN⊥l于点N，
此时，
故当N，P，M三点共线时，取得最小值，
此时，C正确；
当时，，
连接AM，并延长AM交抛物线于点，
此时为的最大值，
当在其他位置时，根据三角形两边之差小于第三边，可知均小于，
因为，故D正确；
此时
当时，，B错误.
故选：ACD
8、（多选题）（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则 （ ）
A．点的轨迹为抛物线
B．圆面积最小值为
C．当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为
D．存在点，使得，其中为坐标原点
【答案】ACD
【解析】对于A，由题意知：点到点与到定直线的距离相等，且点不在直线上，符合抛物线定义，点的轨迹为抛物线，A正确；
对于B，由A知，点的轨迹为抛物线，则当为坐标原点时，点到直线距离最小，即此时圆的半径最小，即，圆面积的最小值为，B错误；
对于C，由A得：点的轨迹方程为，设，则圆的半径，点到轴的距离，，解得：，
圆的半径，C正确；
对于D，假设存在点，使得，
设，则，整理可得：，
解得：，，或，D正确.
故选：ACD.
9、已知抛物线的焦点在轴上，直线与抛物线交于点，且.写出抛物线的一个标准方程___________.
【答案】或或或（写出一个即可）
【解析】设所求焦点在轴上的抛物线的方程为，，
由抛物线定义得.
又∵或，
故所求抛物线方程为或.
故答案为：或或或．（写出一个即可）
10、已知抛物线上一点到y轴的距离与到点的距离之和的最小值为2，则实数p的值为_____，
【答案】6
【解析】因为抛物线上的点到y轴的距离等于到准线的距离减去，而由抛物线的定义知点到准线的距离等于到焦点的距离，所以只需点到Q与到焦点F的距离之和最小，如图所示：
当P，Q，F共线时，到y轴的距离与到点的距离之和最小，
因为点到y轴的距离与到点的距离之和的最小值为2，
所以，即，解得.
故答案为：
11、已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则__________.
【答案】【解析】过作准线的垂线，垂足为，易知：，
可得，如图所示：
在中，可得，，
由抛物线的性质可得，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以.
故答案为：
12、已知F为抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，点，则的最小值为______．
【答案】22
【解析】设，则，因为，，
所以，，
则，令，则，
所以，
当时，因为，所以当时，取得最小值，此时最小值为22，
故答案为：22
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高中数学重难点突破
专题九 抛物线的方程及其性质
知识归纳
知识点一、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．
知识点二、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
图形
标准方程
顶点
范围 ， ， ， ，
对称轴 轴 轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径
【方法技巧与总结】
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，
则焦半径，．
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）． （2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
7、切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程为，为切点
切点弦方程为，点在抛物线外
与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
8、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
9、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
10、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
典例分析
题型一、抛物线的定义与方程
【例1-1】在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以，轨迹方程为，
故选：D
【例1-2】点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】将转化为,
当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；
当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.
所以抛物线的方程为或
故选：D
【例1-3】已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，过点作，垂足为.
由题得,所以.
因为，所以是等边三角形.
因为是的中点，所以，
所以，所以.
所以.
所以
所以抛物线的方程是.
故选：C
题型二、与抛物线有关的距离和最值问题
【例2-1】若抛物线上一点到焦点的距离为6，P、Q分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为______．
【答案】【解析】由题设及抛物线定义知：，可得，故，
而的圆心为，半径为1，
所以最小，则共线且，故只需最小，
令，则，且，
当时，，故的最小值为.
故答案为：
【例2-2】已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________.
【答案】4
【解析】如图所示：
设点M在准线上的射影为D，
由抛物线的定义知，
∴要求的最小值，即求的最小值，
当D，M，P三点共线时，最小，
最小值为.
故答案为：4
【例2-3】已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.
【答案】【解析】由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
圆的圆心坐标为，半径为，
设点到抛物线准线的距离为，则，故，
所以当动点位于线段上时，点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和最小，
此时.
故答案为：.
【例2-4】已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值为_______.
【答案】
【解析】由题意知：，；
因为，，
所以；
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为，
故答案为：.
【例2-5】已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取最大值时，直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点作与准线垂直，垂足为，，如图：
当最大时，取最大值，此时与抛物线相切.
∵抛物线的焦点，∴，
设切线方程为，则，∴，
由解得，，
∵点M在第一象限内，∴，直线方程为：.
故选：C.
【例2-6】（多选题）已知抛物线，圆为圆心），点在抛物线上，点在圆上，点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．当最大时，
D．当最小时，
【答案】ABC
【解析】A. 的最小值是的最小值减去圆的半径，又的最小值是1，所以的最小值是1-=，故正确；
B. 设，则，
，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是，故正确；
C.如图所示：
当最大时，直线AQ与圆相切，则，故正确；
D.当最小时为，即P，A，Q共线，则，故错误；
故选：ABC
题型三、抛物线中三角形，四边形的面积问题
【例3-1】设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为__________．
【答案】
【解析】如图所示，由已知，．得．
因为轴，， ，
所以四边形ABCD为平行四边形，且，
所以，解得，
代入得，
所以．
故答案为：.
【例3-2】已知抛物线的焦点为，过点的直线交拋物线于、两点，延长交准线于点，分别过点、作准线的垂线，垂足分别记为、，若，则的面积为________.
【答案】
【解析】由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线，设抛物线的准线交轴于点，
不妨设直线的倾斜角为锐角，由抛物线的定义可得，，
因为，则，从而，故是等边三角形，
且，，则，所以，，
故是边长为的等边三角形，故.
故答案为：.
【例3-3】如图，已知点F为抛物线的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则的面积S的取值范围为______．
【答案】
【解析】由抛物线可得焦点，准线方程为，，
设，，直线AB的方程为，
由，可得，则，，
所以，
直线AB的一般方程为，
点到直线AB的距离，
所以，
所以的面积S的取值范围为，
故答案为：
题型四、焦半径问题
【例4-1】已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解析】由抛物线的方程，得，焦点坐标为，
设，，的横坐标分别是，，，
由，所以，即，
因为为抛物线的焦点，
由抛物线的定义可得，，，，
即，
故选：B．
【例4-2】已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点A满足，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由抛物线得，准线为，
设，则由抛物线的定义可得即，
将代入抛物线可得，即或，
当的坐标为时，则的斜率；
当的坐标为时，则的斜率；
故选：C．
【例4-3】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．
【答案】
【解析】
如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，
在直角三角形中，因为，，所以，从而得，
设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.
故答案为：.
【例4-4】过抛物线，的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于__________.
【答案】60°或120°
【解析】如图是抛物线的准线，作，，为垂足，
设，则，
由抛物线定义知，，
过作，垂足为，则易得，所以，
直角三角形中，，，
此时直线倾斜角为60°，由对称性，直线倾斜角也可为120°.
故答案为：60°或120°
【例4-5】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A．23 B．26 C．36 D．62
【答案】B
【解析】解法一：设抛物线的方程，则，得，
所以抛物线方程为，焦点，圆，圆心，半径，可得圆心恰好是抛物线的焦点，即直线l过焦点F.
设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，
由联立，得，∴，
，∴，，
，当且仅当，即，时取等号.
解法二：，又，
，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：B.
【例4-6】（多选题）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线过焦点时，最小值为4
B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），
C．若中点的横坐标为3，则最大值为8
D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：
【答案】ACD
【解析】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确；
对于B选项，由题意，作图如下：
则，轴，轴，即，，
，，即，，
，，，
，故错误；
对于C选项，由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确；
对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确.
故选：ACD.
【例4-7】已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题：
①；②；③//；
④与的交点在轴上；⑤与交于原点.
其中真命题是__________．（写出所有真命题的序号）
【答案】①②③④⑤
【解析】根据题意，作图如下：
因为在抛物线上，由抛物线的定义，
得，又分别为在上的射影，
所以，即①正确；
取的中点，则，
所以，即②正确；
由②得平分，所以，又因为，
所以//，即③正确；
取轴，则四边形为矩形，则与的交点在轴上，
且与交于原点，即④⑤正确；
故答案为：①②③④⑤.
题型五、抛物线中的综合性问题
【例5-1】如图圆锥PO，轴截面PAB是边长为2的等边三角形，过底面圆心O作平行于母线PA的平面，与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点E的距离为( )
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
过底面圆心O作平行于母线PA的平面，与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，平面PAB, 平面PAB与圆锥的侧面交于OE, 所以OE||PA.
因为OA=OB，所以OE=1=OC,
因为OP⊥底面ABC,所以OP⊥OC,
因为OC⊥OE,OP,OE平面PAB,OP∩OE=0,
所以OC⊥平面PAB,所以OC⊥OB.
在平面内建立直角坐标系．设抛物线的方程为，
，
所以该抛物线的焦点到其顶点E的距离为
故选：D
【例5-2】已知抛物线y2＝2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为(　　)
A．x＋2y＋1＝0 B．3x＋6y＋4＝0
C．2x＋6y＋3＝0 D．x＋3y＋2＝0
解析　A(2,2)在抛物线y2＝2px上，故22＝2×2p，即p＝1，抛物线方程为y2＝2x。
解法一：设B，C，则直线AB的方程为y－2＝(x－2)，即lAB：2x－(y1＋2)y＋2y1＝0。又因为直线AB与圆(x－2)2＋y2＝1相切，所以d＝r＝＝1，所以3y＋12y1＋8＝0，即6x1＋12y1＋8＝0，即3x1＋6y1＋4＝0。同理3x2＋6y2＋4＝0，所以B(x1，y1)，C(x2，y2)都在直线3x＋6y＋4＝0上。故选B。
解法二：设过点A(2,2)与圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，则圆心(2,0)到切线的距离d＝＝1，解得k＝±，如图，直线AB：y－2＝(x－2)，直线AC：y－2＝－(x－2)。
联立得3x2＋(4－14)x＋16－8＝0，故xAxB＝，由xA＝2得xB＝，故yB＝，联立得3x2－(4＋14)x＋16＋8＝0，故xAxC＝，由xA＝2得xC＝，故yC＝，故yB＋yC＝＋＝－4，又由B，C在抛物线上可知，直线BC的斜率为kBC＝＝＝＝＝－，故直线BC的方程为y－＝－，即3x＋6y＋4＝0。故选B。
答案　B
【例5-3】(多选题)设M，N是抛物线y2＝x上的两个不同的点，O是坐标原点。若直线OM与ON的斜率之积为－，则下列结论正确的是(　　)
A．|OM|＋|ON|≥4
B．以MN为直径的圆的面积大于4π
C．直线MN过定点(2,0)
D．点O到直线MN的距离不大于2
解析　不妨设M为第一象限内的点。当直线MN⊥x轴时，kOM＝－kON，由kOM·kON＝－，得kOM＝，kON＝－，所以直线OM，ON的方程分别为y＝x，y＝－x，与抛物线方程联立，得M(2，)，N(2，－)，所以直线MN的方程为x＝2，此时|OM|＋|ON|＝2，以MN为直径的圆的面积S＝2π，AB错误。当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立消去x，得ky2－y＋m＝0，则Δ＝1－4km>0。设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝。因为kOM·kON＝－，所以·＝－，则2y2y1＝－x2x1＝－yy，则y1y2＝－2，所以＝－2，即m＝－2k，所以直线MN的方程为y＝kx－2k，即y＝k(x－2)。综上可知，直线MN为恒过定点Q(2，0)的动直线，C正确；易知当OQ⊥MN时，原点O到直线MN的距离最大，最大距离为2，即原点O到直线MN的距离不大于2，D正确。
答案　CD
【例5-4】(多选题)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，则下列结论正确的是(　 )
A．点P到抛物线焦点的距离为
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为
C．过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0
D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值
解析：选BCD　由题意得p＝，所以抛物线方程为y2＝x，焦点坐标为F.对于A，|PF|＝1＋＝，错误；对于B，kPF＝，所以lPF：y＝，与y2＝x联立得4y2－3y－1＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－，所以S△OPQ＝|OF|·|y1－y2|＝×× ＝，正确；对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，Δ＝1－4k(1－k)＝0，即4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切线方程为x－2y＋1＝0，正确；对于D，依题意斜率存在，设lPM：y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，所以yM＋1＝，即yM＝－1，则xM＝2，所以点M，同理N，所以kMN＝＝＝－，正确．故选B、C、D.
课后练习
1、已知点在抛物线上，若以点为圆心半径为5的圆与抛物线的准线相切，且与轴相交的弦长为6，则（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．6
【答案】C
【解析】设，因为点在抛物线上，所以，又抛物线的准线为，
以点为圆心的圆与的准线相切，所以，
圆与轴相交的弦长为6，所以，
所以，解得或.
故选：C.
2、设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．13
【答案】B
【解析】因为，则准线方程为，
依题意，点到该抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，即.
故选: B.
所以的最小值为.
故选：A
3、在曲线上有两个动点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】由已知，
因为，所以，所以，
因为动点在曲线上，所以设，
所以，
又因为，所以.
故选：C.
4、已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【解析】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，
由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，
解法1：因为轴，所以直线斜率，所以，
由解得，舍去，
所以.
解法2：在中，，则.
解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.
故选：D.
5、抛物线C：的焦点为F，P是其上一动点，点，直线l与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．动点P到点的距离最小值为3
C．存在直线l，使得A，B两点关于直线对称
D．与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点，则点N在抛物线C的准线上
【答案】A
【解析】A：过点作垂直准线交准线于点，当在与抛物线的交点时，的值最小，
由抛物线的性质：到焦点的距离等于到准线的距离即，
所以，所以A正确；
B：设则，所以，当时，的最小值为，所以B不正确；
C：假设存在这样的直线，由题意设直线的方程为：，设，，，，
联立可得：，
，所以，
所以，，
所以，的中点为，
由题意可得在直线上，所以，解得，不满足，所以C不正确；
D：设，，，，由，则，
设直线的方程为：，
所以，切线方程分别为：，即，
同理可得：，
两式联立求出，可得，
因为，在抛物线上，
，整理可得：，
所以，
所以，不在准线上，所以D不正确．
故选：A．
6、（多选题）设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的面积为（为坐标原点）
【答案】BC
【解析】
如图，设，
，
，
，
又，
，即，
解得：；
故选项A不正确；
由上述分析可知，
又容易知，
则，，
故成立；
故选项B正确；
；
故选项C正确；
，
故选项D不正确；
故选：BC．
7、（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线上，则（ ）
A．当时，最小值为1
B．当时，的最小值为3
C．当时，的最小值为4
D．当时，的最大值为2
【答案】ACD
【解析】当时，为抛物线的焦点，设，
则，故的最小值为1，A正确；
设抛物线的准线为，过点P作PN⊥l于点N，
此时，
故当N，P，M三点共线时，取得最小值，
此时，C正确；
当时，，
连接AM，并延长AM交抛物线于点，
此时为的最大值，
当在其他位置时，根据三角形两边之差小于第三边，可知均小于，
因为，故D正确；
此时
当时，，B错误.
故选：ACD
8、（多选题）（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则 （ ）
A．点的轨迹为抛物线
B．圆面积最小值为
C．当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为
D．存在点，使得，其中为坐标原点
【答案】ACD
【解析】对于A，由题意知：点到点与到定直线的距离相等，且点不在直线上，符合抛物线定义，点的轨迹为抛物线，A正确；
对于B，由A知，点的轨迹为抛物线，则当为坐标原点时，点到直线距离最小，即此时圆的半径最小，即，圆面积的最小值为，B错误；
对于C，由A得：点的轨迹方程为，设，则圆的半径，点到轴的距离，，解得：，
圆的半径，C正确；
对于D，假设存在点，使得，
设，则，整理可得：，
解得：，，或，D正确.
故选：ACD.
9、已知抛物线的焦点在轴上，直线与抛物线交于点，且.写出抛物线的一个标准方程___________.
【答案】或或或（写出一个即可）
【解析】设所求焦点在轴上的抛物线的方程为，，
由抛物线定义得.
又∵或，
故所求抛物线方程为或.
故答案为：或或或．（写出一个即可）
10、已知抛物线上一点到y轴的距离与到点的距离之和的最小值为2，则实数p的值为_____，
【答案】6
【解析】因为抛物线上的点到y轴的距离等于到准线的距离减去，而由抛物线的定义知点到准线的距离等于到焦点的距离，所以只需点到Q与到焦点F的距离之和最小，如图所示：
当P，Q，F共线时，到y轴的距离与到点的距离之和最小，
因为点到y轴的距离与到点的距离之和的最小值为2，
所以，即，解得.
故答案为：
11、已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则__________.
【答案】【解析】过作准线的垂线，垂足为，易知：，
可得，如图所示：
在中，可得，，
由抛物线的性质可得，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以.
故答案为：
12、已知F为抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，点，则的最小值为______．
【答案】22
【解析】设，则，因为，，
所以，，
则，令，则，
所以，
当时，因为，所以当时，取得最小值，此时最小值为22，
故答案为：22
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