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高中数学重难点突破
专题六 直线与圆的综合问题
知识归纳
一、直线的倾斜角
1、定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
2、范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
二、斜率公式
1、直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan α．
2、P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝．
三、直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面内所有直线都适用
1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
如图，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
2．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
3．截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点．
四、两条直线平行与垂直的判定
1、两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2．
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
2、两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 k1·k2＝－1．
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
五、两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
六、三种距离公式
1、平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝．
2、点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
3、两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝．
由一般式方程确定两直线位置关系的方法
直线方程l1与l2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0
平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0)
相交的充分条件 ≠(A2B2≠0)
重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0)
七、圆的定义与方程
定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心(a，b)，半径r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0) 圆心，半径
八、点与圆的位置关系
1、根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断:
d>r 点在圆外; d=r 点在圆上; d2、根据点M(x0,y0)的坐标与圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的关系判断:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在圆外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆上; (x0-a)2+(y0-b)2九、直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则
十、圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R,r(R>r)，则
十一、圆的切线与弦的相关问题
1、设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0　①圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0　②
若两圆相交,则有一条公共弦, 由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0③
方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.
2、圆的弦长的计算：常用弦心距d，弦长的一半l及圆的半径r所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(l)2.
3、圆重要的几何性质：①切线垂直于经过切点的半径；②圆心与弦的中点连线垂直于弦；③相交弦定理割线定理、切割线定理；④直径所对的圆周角是直角；⑤同弧所对的圆周角是圆心角的一半.
4、在圆上一点的切线方程为： ；
5、在圆上一点的切线方程为：；
6、过圆外一点作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：；
7、过圆外一点作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：；
8、过圆外一点作圆的切线，其切线长公式为：
。
七、与圆相关最值问题
1、求圆上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离，
dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；
求圆上的点到某条直线的最大距离、最小距离，设圆心到直线的距离为m，
则dmax＝m＋r，dmin＝m－r；
3、已知点P(x,y)是圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，上的一个动点
①形如μ＝ 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如z=(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
典例分析
题型一、直线的倾斜角与斜率
例1、(1)直线l过不同的两点A(cosθ，sin2θ)，B(0，1)，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．
(2)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－4]∪ 　　B.
C.∪ 　 　D.
(1)答案：∪
解析：当cosθ＝0时，sin2θ＝1，∴A(0，1)，与点B重合，故cosθ≠0；
当cosθ≠0时，tanα＝＝－＝－cosθ.
∵－1≤cosθ＜0或0∴直线l的倾斜角α的取值范围是∪.
(2)答案：A
解析：(法一)由题意得kPA＝＝－4，kPB＝＝.∵直线l过点P(1，1)且与线段AB有交点，∴结合图形，可得k≥或k≤－4，∴k的取值范围是(－∞，－4]∪.故选A.
(法二)设过点P(1，1)的直线方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y－k＋1＝0.∵直线l过点P(1，1)且与线段AB有交点，∴(2k＋3－k＋1)(－3k＋2－k＋1)≤0，
即(k＋4)(4k－3)≥0，解得k≥或k≤－4，∴k的取值范围是(－∞，－4]∪.故选A.
题型二、直线的方程
例2、(1)已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________；
(2)经过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线l的方程是________；
(3)已知点A(1，2)，B(－1，4)，C(5，2)，则△ABC的边AB上的中线所在的直线方程是________；
(4)已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程是________；
(5)已知点P(2，1)到直线l的距离为2，且直线l过原点，则直线l的方程是______________．
答案：(1)4x－3y－4＝0　(2)x＋3y＝0或x＋y－2＝0　(3)x＋5y－15＝0　(4)x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0　(5)x＝0或3x＋4y＝0
解析：(1)依题意设直线x－2y－2＝0和直线l的倾斜角分别为α，2α，则tanα＝，∴直线l的斜率k＝tan2α＝＝，∴由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.
(2)(法一)当直线l在y轴上的截距为0时，由题意可得l在x轴上的截距也为0，∴直线l过点(0，0)，(3，－1)，
则直线l的斜率k＝＝－，∴由点斜式可得直线l的方程是y＝－x，即x＋3y＝0 ；当直线l在y轴上的截距为a，且a≠0时，由题意可得在x轴上的截距也为a，则可设直线l的方程是＋＝1.∵直线l经过点P(3，－1)，∴－＝1，解得a＝2，∴直线l的方程是x＋y＝2，即x＋y－2＝0，综上可知，直线l的方程为x＋3y＝0或x＋y－2＝0.
(法二)由题意可知直线l的斜率必然存在，且不为零，
∴可设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)．令x＝0，得y＝－3k－1；令y＝0，得x＝＋3.∵直线l在x轴上的截距等于在y轴上的截距，∴＋3＝－3k－1，即3k2＋4k＋1＝0，解得k＝－1或k＝－，经验证两解均为原分式方程的解．∴直线l的方程为y＋1＝－(x－3)或y＋1＝－(x－3)，即直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋3y＝0.
(3)(法一)设边AB的中点为D(x，y)，则由中点坐标公式可得，x＝＝0，y＝＝3，∴点D的坐标为(0，3)，∴边AB上的中线CD所在直线的斜率k＝＝－，∴由点斜式可得直线的方程为 y－3＝－(x－0)，即x＋5y－15＝0.
(法二)由法一得D(0，3)，∴边AB上的中线CD所在的直线方程为＝，即x＋5y－15＝0.
(4)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b.令y＝0，则x＝－6b.
∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，∴|－6b|·|b|＝3，解得b＝±1，∴直线l的方程是y＝x＋1或y＝x－1，即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
(5)∵直线l过原点，∴可设直线l的方程为Ax＋By＝0(A2＋B2≠0)．又点P(2，1)到直线l的距离为2，∴＝2，化简得4AB－3B2＝0，解得B＝0或4A＝3B，∴直线l的方程是x＝0或3x＋4y＝0.
题型三、圆的方程
例3、(1)以线段AB：4x＋3y－2＝0(－1≤x≤5)为直径的圆的标准方程为________________．
(2)若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________________．
(3)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．(2016天津)
(4)过点A(4，1)的圆C与直线x－y＝1相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________________．
(5)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，且圆上存在两点关于直线x＋y＝0对称，则圆C的方程为________________．
(6)圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为________________．
答案：(1)(x－2)2＋(y＋2)2＝25　(2)(x－2)2＋2＝　(3)(x－2)2＋y2＝9　(4)(x－3)2＋y2＝2　(5)(x－1)2＋(y＋1)2＝2　(6)(x－1)2＋(y－2)2＝5
解析：(1)(法一)依题意得A(－1，2)，B(5，－6)为直径的两个端点，
∴圆心坐标为线段AB的中点坐标，即(2，－2)，所求圆的半径r＝|AB|＝＝5，∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
(法二)设P(x，y)为所求圆上任意一点，∵该圆以AB为直径，∴PA⊥PB或P与A重合或P与B重合，∴·＝0，∴(－1－x，2－y)·(5－x，－6－y)＝(x＋1)·(x－5)＋(y－2)(y＋6)＝0，即x2＋y2－4x＋4y－17＝0，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
(2)(法一)∵圆C经过坐标原点和点(4，0)，设O(0，0)，A(4，0)，则圆心在线段OA的垂直平分线上，∴可设圆心坐标为(2，y0)，半径为r.
又∵圆C与直线y＝1相切，
∴解得
∴圆C的方程为(x－2)2＋2＝.
(法二)设圆C的半径为r，根据题意画出圆C，过点C作CD⊥x轴于点D，连接CO，如图所示．
在Rt△ODC中，r2＝(r－1)2＋22，解得r＝，
则圆心坐标为，
∴圆C的标准方程为(x－2)2＋2＝.
(3)∵圆C的圆心在x轴的正半轴上，∴可设C(a，0)，a>0.又∵圆C的圆心到直线2x－y＝0的距离为，∴＝，解得a＝2或a＝－2(舍去)，
∴C(2，0)．又∵点M(0，)在圆C上，∴圆的半径r＝＝3，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
(4)∵圆C与直线x－y＝1相切于点B(2，1)，∴圆心C在直线y－1＝－(x－2)上，即在直线y＝－x＋3上．
∵点A(4，1)，B(2，1)在圆C上，
∴圆心C在直线x＝3上．
联立解得
∴圆心C(3，0)，∴圆C的半径r＝＝，
∴圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.
(5)(法一)∵圆C的两条切线x－y＝0和x－y－4＝0平行，∴两条切线之间的距离即为圆C的直径，∴2r＝＝2，∴r＝.∵圆上存在两点关于直线x＋y＝0对称，∴圆心在直线x＋y＝0上，∴可设圆心坐标为C(a，－a)，∴点C到两条切线的距离都等于半径，即＝且＝，解得a＝1，∴C(1，－1)，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
(法二)到两条切线x－y＝0和x－y－4＝0距离相等的直线方程为x－y－2＝0.
又∵圆上存在两点关于直线x＋y＝0对称，
∴圆心在直线x＋y＝0上，
联立得解得
∴C(1，－1)．由法一知圆C的半径r＝，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
(6)由圆心在曲线y＝(x>0)上，可设圆心坐标为，a＞0.∵圆与直线2x＋y＋1＝0相切，∴圆心到直线的距离d等于圆的半径r.
∵a＞0，∴d＝≥＝＝，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号，即d的最小值为，∴圆的半径的最小值为.∴所求圆的圆心坐标为(1，2)，半径为，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
题型四、直线与圆的位置关系
例4、(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切　　　　　　　　　　　　B．相交
C．相离 D．不确定
(2)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则 (　　)
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
(1)答案：B
解析：∵点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，∴a2＋b2>1，∴圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝<1，∴直线ax＋by＝1与圆O相交．故选B.
(2)答案：A
解析：将圆C的方程x2＋y2－4x＝0化为标准方程，得(x－2)2＋y2＝4，∴圆心C(2，0)，半径r＝2.又P(3，0)与圆心的距离d＝＝1<2 ，∴点P在圆C内．又直线l过P点，∴直线l与圆C相交，故选A.
例5、(1)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________________________________________．
(2)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
(3)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若＝2，则＝________．(2016全国Ⅲ)
(4)过直线2x－y＋3＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程是____________________．
答案：(1)y＝2x　(2)4±　(3)4 (4)(x＋)2＋2＝(或5x2＋5y2＋6x－18y－1＝0)
解析：(1)将圆的一般方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－2)2＝1，∴圆心坐标为(1，2)，半径为1.∵直线被圆截得的弦长为2，∴该直线过圆心，∴该直线的方程为＝，即y＝2x.
(2)由题易得圆C的圆心坐标为(1，a)，半径为2.∵△ABC为等边三角形，∴点C到直线ax＋y－2＝0的距离为，即＝，解得a＝4±.
(3)∵|AB|＝2，且圆的半径为r＝2，∴圆心(0，0)到直线mx＋y＋3m－＝0的距离为.又由点到直线的距离公式，可得，解得m＝－，∴直线l的斜率k＝－m＝，∴直线l的倾斜角为30°.如图，过点C作CH⊥BD，垂足为H，则|CH|＝|AB|＝2.在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，∴|CD|＝＝4.
(4)(法一)由题意易得以直线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)的连线为直径的圆C是面积最小的圆．联立直线与圆的方程消元得5x2＋6x－2＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，∴AB中点的横坐标为＝－，纵坐标为2×＋3＝，∴圆心C.又∵半径r＝|AB|＝·|x1－x2|＝＝，故所求面积最小的圆的方程为2＋2＝.
(法二)设圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x－y＋3)＝0，
配方得(x＋1＋λ)2＋2＝(1＋λ)2＋2－3λ－1，
∴r2＝(1＋λ)2＋2－3λ－1＝λ2＋λ＋4＝2＋，∴当λ＝－时，半径取得最小值，
∴所求面积最小的圆的方程为5x2＋5y2＋6x－18y－1＝0.
例6、已知函数是定义域为的偶函数，，当时，，则函数与函数交点的个数为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．14
解：∵是偶函数，且当时，
∴当时，设，整理得
又∵
∴关于直线对称，的周期为2
故当时，，即，
在时，，即，
∵与均为偶函数
∵直线过点，且点也在上，当以点为圆心，1为半径的部分圆与直线相切时，满足，解得（显然不符合题意）
∴在时，有7个交点
∴共14个交点
故选：D．
题型五、圆与圆的位置关系
例7、(1)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a，b∈R，且ab≠0，则＋的最小值为(　　)
A．1 B．3
C. D.
(2)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心C在l上．若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围是 ．
(1)答案：A
解析：由题意可知两圆的标准方程分别为(x＋a)2＋y2＝4和x2＋(y－2b)2＝1，圆心分别为(－a，0)和(0，2b)，半径分别为2和1.
∵两圆恰有三条公切线，
∴两圆外切，故有＝3，即a2＋4b2＝9，
∴＋＝·＝≥＝1，
当且仅当＝，即|a|＝|b|时取等号．故选A.
(2)答案：
解析：∵圆C的圆心在直线y＝2x－4上，半径为1，圆心C的横坐标为a，
∴圆C的标准方程为(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1.设点M(x，y)，∵|MA|＝2|MO|，
∴＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，(3分)
∴点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
又∵点M(x，y)在圆C上，
∴圆C与圆D有公共点，则2－1≤|CD|≤2＋1，
∴1≤≤3，即1≤5a2－12a＋9≤9.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤，∴点C的横坐标a的取值范围为.
题型六、直线与圆的中的最值与范围问题
例8、过点P(2，1)作直线l，分别与 x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点．
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程；
(3)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l的方程．
解：(1)由题，可设直线l的方程为y－1＝t(x－2)，t＜0.令x＝0，得y＝1－2t；令y＝0，得x＝－＋2，
∴A，B(0，1－2t)，
∴＝－＋2，＝1－2t，
∴S△AOB＝＝(1－2t)＝.
∵t＜0，∴－t＞0，∴－－4t≥2＝4，当且仅当－＝－4t，即t＝－时取等号，
∴S△AOB≥×(4＋4)＝4.当S△AOB＝4时，直线l的方程是y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.(5分)
(2)(法一)由题，可设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则由点P(2，1)在直线l上，得＋＝1，∴＋＝a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝且＋＝1，即a＝2＋，b＝1＋时取等号，∴直线l的方程为＋＝1，即x＋y－(2＋)＝0.(10分)
(法二)由题，可设直线l的方程为y－1＝t(x－2)，t＜0.由(Ⅰ)得＝－＋2，＝1－2t.又∵t＜0，∴－t＞0，∴＋＝－＋2＋1－2t＝＋(－2t)＋3≥2＋3＝2＋3，当且仅当－＝－2t，即t＝－时取等号，此时直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－(2＋)＝0.(10分)
(3)过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N，设∠BAO＝α.在Rt△PAM中，∵＝1，∴＝；在Rt△PBN中，∵＝2，∴＝，∴·＝·＝.
又∵0<α<，∴0<2α<π，∴当2α＝，即α＝时，·取得最小值4，此时直线l的斜率为－1，直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.(15分)
例9、已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值；
(4)2x2＋y2的最大值和最小值．
解：(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，它表示以(2，0)为圆心，为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，∴设＝k，则y＝kx.(2分)
当直线y＝kx与圆相切时，如图所示，斜率k取得最大值或最小值，此时圆心(2，0)到直线y＝kx的距离d＝＝，解得k＝±，∴的最大值为，最小值为－.(5分)
(2)令z＝y－x，则y－x看作是直线y＝x＋z在y轴上的截距．(7分)
当直线y＝x＋z与圆相切时，纵截距z取得最大值或最小值，此时圆心(2，0)到直线y＝x＋z的距离d＝＝，解得z＝－2±，∴y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.(10分)
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何的知识可知，x2＋y2在原点和圆心的连线与圆的交点处取得最大值和最小值，如图所示．(12分)
∵圆心到原点的距离为2，∴x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，最小值为(2－)2＝7－4.(15分)
(4)(法一)由x2＋y2－4x＋1＝0得y2 ＝－x2 ＋4x－1，
∴2x2＋y2＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5.(4分)
方程x2＋y2－4x＋1＝0可变形为(x－2)2＋y2＝3，
∴－≤x－2≤，∴2－≤x≤2＋，(6分)
∴14－8≤(x＋2)2－5≤14＋8，∴2x2＋y2的最小值为14－8，最大值为14＋8.(10分)
(法二)将圆的方程x2＋y2－4x＋1＝0化为标准方程，得(x－2)2＋y2＝3，设x＝cosθ＋2，y＝sinθ，θ∈[0，2π)，则2x2＋y2＝2(cosθ＋2)2＋(sinθ)2＝3cos2θ＋8cosθ＋11＝32－5.(6分)
∵－1≤cosθ≤1，∴－1＋ ≤cosθ＋ ≤1＋ ，∴14－8≤32－5≤14＋8，
∴2x2＋y2的最小值为14－8，最大值为14＋8.
例10、(1)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2，6] B．[4，8]
C．[，3] D．[2，3]
答案：A
解析：因为直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，所以A(－2，0)，B(0，－2)，则＝2.
圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C(2，0)，半径r＝，
圆心C(2，0)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝2.
设点P到直线x＋y＋2＝0的距离为h，显然，当PC⊥AB时，h取得最值．过点C作直线AB的垂线，垂足为F，当点P为线段CF与圆C的交点时，h最小，hmin＝d－r＝2－＝，则(S△ABP)min＝··hmin＝×2×＝2；
当点P为线段FC的延长线与圆C的交点时，h最大，
hmax＝d＋r＝2＋＝3，则(S△ABP)max＝··hmax＝×2×3＝6.
综上，△ABP面积的取值范围是[2，6]．故选A.
(2)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
答案：B
解析：易得圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心C(3，4)，半径为1，如图所示．
∵圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，
∴|PO|＝|AB|＝m.
∵圆心C到O(0，0)的距离为＝5，
∴圆C上的点到点O的距离的最大值为5＋1＝6，
∴|PO|＝m≤6.故选B.
(3)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5－4 B.－1
C．6－2 D.
答案：A
解析：∵M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，
∴|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，
∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4.
作点C1(2，3)关于x轴的对称点C′1(2，－3)，连接C′1C2，与x轴交于点P，连接PC1.根据三角形两边之和大于第三边可得|PC1|＋|PC2|的最小值为|C′1C2|＝＝5.取PC1与圆C1的交点为M，PC2与圆C2的交点为N，此时|PM|＋|PN|取得最小值5－4.故选A.
　
例11、(1)已知点P(x，y)是直线l：kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为 ．
(2)设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
(3)已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
解：(1)答案：2
解析：将圆C的方程x2＋y2－2y＝0化为标准方程，得x2＋(y－1)2＝1，则圆心为C(0，1)，半径为1
易得△PCA≌△PCB，
∴S四边形PACB＝2×|PA|·|CA|＝|PA|.
∵S四边形PACB的最小值是2，∴|PA|的最小值是2.
又∵|PC|＝＝＝，
∴|PC|的最小值为，即点C到直线l的距离d＝＝，解得k＝±2.
又∵k＞0，∴k＝2.
(2)答案：[－1，1]
解析：(法一)当x0＝0时，M(0，1)，由圆的几何性质得，在圆上存在点N(－1，0)或N(1，0)，使得∠OMN＝45°.当x0≠0时，过M作圆的两条切线，切点分别为A，B，如图所示．若在圆上存在N，使得∠OMN＝45°，应有∠OMA＝∠OMB≥∠OMN＝45°，∴0<|AM|≤|OA|＝1，解得－1≤x0<0或0(法二)如图，过O作OP⊥MN，P为垂足，
则OP＝OM·sin45°≤1，∴OM≤，∴OM 2≤2，∴x＋1≤2，∴x≤1，∴－1≤x0≤1.
(3)【答案】A
【详解】由，则动圆心的轨迹方程为.
为圆上的动点，又，∴，
∵，，，
∴，
∴当最小时，最小，当最大时，最大.
当时，取最大值，△的外接圆以线段为直径，而中点，即中点为，
∴外接圆方程为，即.
故选：A
题型七、隐形圆问题
例12、(1)已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范围是________．
(2)若实数a，b，c成等差数列，点P(－1，0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为M，点N(3，3)，则线段MN长度的最大值为________．
(3)在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴的正半轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
(1)答案：
解析：由题意易得∠APO=∠APB=30°，，∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上，∴此圆与圆M有公共点，∴2-1≤≤2+1，即1≤|OM|2≤9.∵|OM|2＝a2＋(a－4)2＝2a2－8a＋16，∴1≤2a2－8a＋16≤9，即
解得2－≤a≤2＋，
∴a的取值范围是[2－，2＋]．
(2)答案：5＋
解析：∵实数a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，∴动直线ax＋by＋c＝0可转化为2ax＋(a＋c)y＋2c＝0，即a(2x＋y)＋c(y＋2)＝0，由解得∴动直线ax＋by＋c＝0过定点A(1，－2)，如图所示．
设M(x，y)，∵M为点P在直线ax＋by＋c＝0上的射影， ∴PM⊥AM，或M与A重合，或M与P重合，∴点M的轨迹是以线段PA为直径的圆Q.
∵点P(－1，0)，A(1，－2)，∴Q(0，－1)，∴圆Q的半径为＝，∴圆Q的方程为x2＋(y＋1)2＝2.
∴线段MN的长度的最大值转化为点N(3，3)和圆Q上任意一点之间距离的最大值，
∴线段MN长度的最大值为|QN|＋r＝＋＝5＋.
(3)【答案】C
【详解】当过、两点的圆与轴相切时，切点即为所求点.
易得过、两点的直线方程为，其与轴交点为，易得，，由切割线定理得，所以，进而可得，点的横坐标为3.
故选：C.
例13、(1)已知，，是平面向量，与是单位向量，且，向量满足，则的最大值与最小值之和是（ ）
A． B． C． D．
(2)已知是矩形，且满足.其所在平面内点满足：，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(1)【答案】A
【详解】由得，．
不妨设，则的终点在以为圆心，以为半径的圆周上．
因为与是单位向量，所以的最大值是与圆心距离加，
即，最小值是与圆心距离减，即，故和为.
故选：A．
(2)【答案】B
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，则
设，由，所以，化简得：
，记为圆，
设，由，所以，化简得：
，记为圆,即为，
两圆圆心距为：，半径和为：，
所以，则两圆相离，
如图所示，对圆，令y=0，得：，
令圆，令y=0，得：，
所以，，又，
结合平面向量数量积的定义可知，的最小值为，
的最大值为.
故选：B.
题型八、直线与圆的综合问题
例14、(多选题)已知点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点分别为，，连接，，则（ ）
A．若直线，则 B．的最小值为
C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为
【答案】ACD
【分析】
设点，则，设切点，，根据题意得点四点共圆，进而得其圆的方程，再与圆的方程联立得直线的方程：，再根据题意依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：设点，则，设切点，，
易知点四点共圆，圆心为中点，半径为，
故点四点所在圆的方程为：，
与圆的方程联立得：，
所以直线的方程为：，即：
对于A选项，当直线时，，
再结合解得，此时直线的方程为：，
圆心到直线的距离为：，故，故A选项正确；
对于B选项，
，
将直线与圆方程联立得：
，，
所以，，
所以，
由于，
故当时，取得最小值.故B选项错误；
对于C选项，将点代入直线的方程为：得恒成立，故直线过定点.故C选项正确；
对于D选项，因为，
所以点到直线的距离为：，故D选项正确.
故选：ACD
例15、(多选题)已知曲线上的点满足方程，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线的长度为
B．当时，的最大值为1，最小值为
C．曲线与轴、轴所围成的封闭图形的面积和为
D．若平行于轴的直线与曲线交于，，三个不同的点，其横坐标分别为，，，则的取值范围是
【答案】ACD
【详解】对于方程，
① 当，时，方程变为，即，表示半圆弧；
② 当，时，方程变为，即，表示射线；
③ 当，时，方程变为，该圆不在，范围内，故舍去；
④当，时，方程变为，即，表示射线.
综上可知，曲线由三段构成：射线，半圆弧和射线.
对于选项A，当时，曲线由三段构成：线段，半圆弧和线段. 其长度为，故A正确；
对于选项B，令，其表示曲线上的动点与定点连线的斜率，由图可知，，但是其最小值是过点且与半圆弧相切的切线斜率，显然，，故B错误；
对于选项C，由图可知，曲线与轴、轴围成的封闭图形为两个相同的弓形，其面积和为，故C正确；
对于选项D，设平行于轴的直线为，要使与曲线有三个交点，则，不妨设与半圆弧的交点为，，显然，，两点横坐标之和，与射线的交点为，则点的横坐标，所以，故D正确.
故选：ACD.
例16、已知圆，直线，点，点.给出下列4个结论：
①当时，直线与圆相离；
②若直线是圆的一条对称轴，则；
③若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为；
④为圆上的一动点，若，则的最大值为.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①②④
【详解】对于①：当时，直线，圆心，半径，直线与圆相离，故表述①正确；
对于②：若直线圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，故，故表述②正确；
本题的难点主要聚焦于③、④，如图所示：
设的中点为，以为直径作圆，连接．则
对于③：由垂径定理，，设.
一方面，若，则.
当且仅当，且三点共线时，等号成立，此时直线的斜率为.
另一方面，当时，直线.
故点到直线的距离.此时.
当且仅当为点在直线上的射影时等号成立，此时直线的斜率为.
对比发现，，但两处等号无法同时取到，矛盾.故表述③错误.
对于④：为圆上的一个动点.若，设，
则.
注意到，
故
当且仅当且点在点正上方时，等号成立.故表述④正确.
故答案为：①②④.
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高中数学重难点突破
专题六 直线与圆的综合问题
知识归纳
一、直线的倾斜角
1、定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
2、范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
二、斜率公式
1、直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan α．
2、P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝．
三、直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面内所有直线都适用
1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
如图，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
2．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
3．截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点．
四、两条直线平行与垂直的判定
1、两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2．
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
2、两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 k1·k2＝－1．
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
五、两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
六、三种距离公式
1、平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝．
2、点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
3、两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝．
由一般式方程确定两直线位置关系的方法
直线方程l1与l2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0
平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0)
相交的充分条件 ≠(A2B2≠0)
重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0)
七、圆的定义与方程
定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心(a，b)，半径r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0) 圆心，半径
八、点与圆的位置关系
1、根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断:
d>r 点在圆外; d=r 点在圆上; d2、根据点M(x0,y0)的坐标与圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的关系判断:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在圆外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆上; (x0-a)2+(y0-b)2九、直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则
十、圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R,r(R>r)，则
十一、圆的切线与弦的相关问题
1、设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0　①圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0　②
若两圆相交,则有一条公共弦, 由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0③
方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.
2、圆的弦长的计算：常用弦心距d，弦长的一半l及圆的半径r所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(l)2.
3、圆重要的几何性质：①切线垂直于经过切点的半径；②圆心与弦的中点连线垂直于弦；③相交弦定理割线定理、切割线定理；④直径所对的圆周角是直角；⑤同弧所对的圆周角是圆心角的一半.
4、在圆上一点的切线方程为： ；
5、在圆上一点的切线方程为：；
6、过圆外一点作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：；
7、过圆外一点作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：；
8、过圆外一点作圆的切线，其切线长公式为：
。
七、与圆相关最值问题
1、求圆上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离，
dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；
求圆上的点到某条直线的最大距离、最小距离，设圆心到直线的距离为m，
则dmax＝m＋r，dmin＝m－r；
3、已知点P(x,y)是圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，上的一个动点
①形如μ＝ 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如z=(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
典例分析
题型一、直线的倾斜角与斜率
例1-1、直线l过不同的两点A(cosθ，sin2θ)，B(0，1)，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．
(2)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－4]∪ 　　 B．
C．∪ 　 　D．
题型二、直线的方程
例2、(1)已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________；
(2)经过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线l的方程是________；
(3)已知点A(1，2)，B(－1，4)，C(5，2)，则△ABC的边AB上的中线所在的直线方程是________；
(4)已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程是________；
(5)已知点P(2，1)到直线l的距离为2，且直线l过原点，则直线l的方程是______________．
题型三、圆的方程
例3、(1)以线段AB：4x＋3y－2＝0(－1≤x≤5)为直径的圆的标准方程为________________．
(2)若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________________．
(3)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．
(4)过点A(4，1)的圆C与直线x－y＝1相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________________．
(5)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，且圆上存在两点关于直线x＋y＝0对称，则圆C
的方程为________________．
(6)圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为________________．
题型四、直线与圆的位置关系
例4、(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切　　　　　　　　　　　　B．相交
C．相离 D．不确定
(2)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则 (　　)
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
例5、(1)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________________________________________．
(2)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
(3)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若＝2，则＝________．
(4)过直线2x－y＋3＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程是____________________．
例6、已知函数是定义域为的偶函数，，当时，，则函数与函数交点的个数为（ ）
A．6 B．7
C．12 D．14
题型五、圆与圆的位置关系
例7、(1)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a，b∈R，且ab≠0，则＋的最小值为(　　)
A．1 B．3
C． D．
(2)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心C在l上．若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围是 ．
题型六、直线与圆的中的最值与范围问题
例8、过点P(2，1)作直线l，分别与 x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点．
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程；
(3)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l的方程．
例9、已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值； (4)2x2＋y2的最大值和最小值．
例10、(1)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2，6] B．[4，8]
C．[，3] D．[2，3]
(2)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
(3)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5－4 B．－1
C．6－2 D．
例11、(1)已知点P(x，y)是直线l：kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为 ．
(2)设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
(3)已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型七、隐形圆问题
例12、(1)已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范围是________．
(2)若实数a，b，c成等差数列，点P(－1，0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为M，点N(3，3)，则线段MN长度的最大值为________．
(3)在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴的正半轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为（ ）
A． B．
C． D．
例13、(1)已知，，是平面向量，与是单位向量，且，向量满足，则的最大值与最小值之和是（ ）
A． B．
C． D．
(2)已知是矩形，且满足.其所在平面内点满足：，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型八、直线与圆的综合问题
例14、(多选题)已知点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点分别为，，连接，，则（ ）
A．若直线，则
B．的最小值为
C．直线过定点
D．点到直线距离的最大值为
例15、(多选题)已知曲线上的点满足方程，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线的长度为
B．当时，的最大值为1，最小值为
C．曲线与轴、轴所围成的封闭图形的面积和为
D．若平行于轴的直线与曲线交于，，三个不同的点，其横坐标分别为，，，则的取值范围是
例16、已知圆，直线，点，点.给出下列4个结论：
①当时，直线与圆相离；
②若直线是圆的一条对称轴，则；
③若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为；
④为圆上的一动点，若，则的最大值为.
其中所有正确结论的序号是__________.
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