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《电工基础》 电子教案
相量法
序号 内　　　　　容 学　时
1 第一节　复数的概念 1
2 第二节　复数的四则运算 1
3 第三节　正弦量的复数表示法 1
4 第四节　复数形式的欧姆定律 2
5 第五节　复阻抗的连接 2
6 本章小结与习题 1
7 本章总学时 8
第一节 复数的概念
一、虚数单位
参见图9-1给出的直角坐标系复数平面。在这个
复数平面上定义虚数单位为
即
j2 = 1，j3 = j，j4 = 1
虚数单位j又叫做90旋转因子。
二、复数的表达式
　　一个复数Z有以下四种表达式。
1．直角坐标式(代数式)
Z = a + jb
式中，a叫做复数Z的实部，b叫做复数Z的虚部。
在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。任意一个复数都可以在复平面上表示出来。例如复数A = 3 + j2在复平面上的表示如图9-1所示。
2．三角函数式
在图9-1中，复数Z与x轴的夹角为 ，因此可以写成
Z = a + jb = |Z|(cos jsin)
式中|Z|叫做复数Z的模，又称为Z的绝对值，也可用r表示，即
叫作复数Z的辐角，从图9-1中可以看出
复数Z的实部a、虚部b与模|Z|构成一个直角三角形。
3．指数式
利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即
Z =|Z|(cos jsin) =|Z|ej
4．极坐标式(相量式)
复数的指数式还可以改写成极坐标式，即
Z =|Z|/
以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其它三种式子。
解：利用关系式Z = a + jb =|Z|/ ，|Z|=， = arctan，计算如下：
(1) Z1= 2 = 2/0
(2) Z2 = j5 = 5/90 (j代表90旋转因子，即将“5”作反时针旋转90)
　 (3) Z3 = j9 = 9/90 (－j代表－90旋转因子，即将“9”作顺时针旋转90)
　　(4) Z4= 10 = 10/180或10/180 (“”号代表 180)
(5) Z5 = 3 + j4 = 5/53.1
(6) Z6 = 8 j6 = 10/36.9
(7) Z7 = 6 + j8 = (6 j8) = (10/ 53.1) = 10/180 53.1 = 10/126.9
(8) Z8 = 8 j6 = (8 + j6) = (10/36.9) = 10/180 + 36.9 = 10/143.1。
解：利用关系式Z = |Z|/ =|Z|(cos + jsin) = a + jb计算：
Z1= 20/53.1 = 20(cos53.1 + jsin53.1) = 20(0.6 + j0.8) = 12 + j16
Z2 = 10/36.9 = 10(cos36.9 jsin36.9) = 10(0.8 j0.6) = 8 j6
Z3 = 50/120 = 50(cos120 + jsin120) = 50( 0.5 + j0.866) = 25 + j43.3
Z4 = 8/ 120 = 8(cos120 jsin120) = 8( 0.5 j0.866) = 4 j6.928　
第二节 复数的四则运算
设Z1= a + jb =|Z1|/ ，Z2 = c + jd = |Z2|/ ，复数的运算规则为
1．加减法 Z1 Z2 = (a c) + j(b d)
2．乘法 Z1 · Z2 = |Z1| · |Z2|/ +
3．除法 /
4．乘方 /n
　　
解：(1) Z1 + Z2 = (8 j6) + (3 + j4) = 11 j2 = 11.18/10.3
　　(2) Z1 Z2 = (8 j6) (3 j4) = 5 j10 = 11.18/ 63.4
　　(3) Z1 · Z2 = (10/ 36.9) (5/53.1) = 50/16.2
(4) Z1 / Z2 = (10/ 36.9) (5/53.1) = 2/ 90　
第三节　正弦量的复数表示法
正弦量可以用复数表示，即可用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是用正弦量的有效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。
正弦电流i = Imsin( t i)的相量表达式为
I/i
正弦电压u = Umsin( t u)的相量表达式为
= U/u
解：(1) 正弦电压u的有效值为U = 0.7071 311 = 220 V，初相 u = 30，所以它的相量为
U/u = 220/30 V
　 (2) 正弦电流i的有效值为I = 0.7071 4.24 = 3 A，初相i = 45，所以它的相量为
I=I/i = 3/45 A
解: u =sin( t 37) V，i = 5sin( t + 60) A　。
解: 首先用复数相量表示正弦量i1、i2，即
3/30 A = 3(cos30 + jsin30) = 2.598 j1.5 A
4/60 A = 4(cos60 jsin60) = 2 j3.464 A
然后作复数加法：4.598 j1.964 = 5/23.1 A
　　最后将结果还原成正弦量：i1 i2 =sin( t 23.1) A
第四节　复数形式的欧姆定律
一、复数形式的欧姆定律
定义复阻抗为
|Z|/
其中为阻抗大小， = u i为阻抗角，即电压u与电流i的相位差。则复数形式的欧姆定律为
图9-2所示为复数形式的欧姆定律的示意图。
二、电阻、电感和电容的复阻抗
1．电阻R的复阻抗
ZR = R = R/ 0
　2．电感L的复阻抗
ZL = XL/ 90 = jXL = jL
　3．电容C的复阻抗
ZC = XC/90 = j XC =
第五节　复阻抗的连接
一、阻抗的串联
如图9-3所示阻抗串联电路。
n个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗
Z = Z1 Z2 … Zn
例如R-L-C串联电路可以等效一只阻抗Z，根据ZR = R，
ZL = jXL，ZC = jXC，则
即 Z =|Z|/
其中电抗X = XL XC，阻抗大小为
为阻抗角，代表路端电压u与电流i的相位差，即
解:等效复阻抗Z = ZR + ZL = R + jXL = R + jL = 3 + j4 = 5/53.1 ，其中XL = 4 ，
正弦交流电压u的相量为220/30 V，
电路中电流相量为
/30－53.1= 44/23.1 A
电阻上的电压相量和瞬时值分别为
132/23.1 V，
sin(314t 23.1) V
电感上的电压相量和瞬时值分别为
176/90 23.1 = 176/66.9 V，
sin(314t + 66.9) V
二、阻抗的并联
阻抗并联电路如图9-4所示。
n只阻抗Z1、Z2、…、Zn并联电路，对电源来说可以等效为一只阻抗，即
即等效复阻抗Z的倒数，等于各个复阻抗的倒数之和。
为便于表达阻抗并联电路，定义复阻抗Z的倒数叫做复导纳，用符号Y表示，即
导纳Y的单位为西门子(S)。于是有
Y = Y1 + Y2 + … + Yn
即几只并联导纳的等效导纳Y等于所有导纳之和。
欧姆定律的相量形式为
解:由Z1= (10 + j20) 可得
由Z2 = (10 j10) 可得
即 Z1 = 10 + j20 = 22.36/63.4 ， Z2 = 10 j10 = 14.14/45
由可得并联后的等效复阻抗为
于是总电流的相量
即I = 15.6 A。总电流瞬时值表达式为
本　章　小　结
本章学习了应用复数相量法表示正弦交流电压、电流、阻抗，并运用相量法分析计算阻抗串联与并联电路。
一、复数及其运算法则
　　1．复数的表达式
(1) 直角坐标式(代数式)： Z = a + jb
(2) 三角函数式：　
(3) 指数式：　 Z =|Z|ej
(4) 极坐标式(相量式)： Z =|Z|/
2．复数的运算法则
设 Z1 = a + jb = |Z1|/ ，Z2 = c + jd =|Z1|/
(1) 加减法： Z1 Z2 = (a c) j(b d)
(2) 乘法： Z1 · Z2 =|Z1|/ ·|Z2|/ = |Z1|·|Z2|/
(3) 除法： /
(4) 乘方： /n
二、正弦量的复数表示法
正弦交流电流i = Imsin( t i)的相量表达式为
I/i
正弦交流电压u = Umsin( t u)的相量表达式为
U/u
三、欧姆定律与复阻抗
1．复数形式的欧姆定律
2. 电阻R的复阻抗 ZR = R = R/0
　3. 电感L的复阻抗 ZL = XL/90 = j XL = jL
　4. 电容C的复阻抗 ZC = XC/90 = j XC =
　　5. 阻抗的串联
n个复阻抗串联可以等效为一只复阻抗
Z = Z1 + Z2 + … + Zn
6. 阻抗的并联
n只阻抗Z1、Z2、…、Zn并联可以等效为一只复阻抗Z
定义复阻抗Z的倒数叫做复导纳，用符号Y表示，即，于是
Y = Y1 + Y2 + … + Yn
1．了解复数的各种表达式和相互转换关系，掌握复数的四则运算。
2．掌握正弦量的复数表示法，以及复数(相量)形式的欧姆定律。
3．掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流电路。
1．掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转换。
2．掌握运用相量法分析计算正弦交流电路。
图9-1　在复平面上表示复数
【例9-1】将下列复数改写成极坐标式：
(1) Z1 = 2；(2) Z2 = j5；(3) Z 3 = j9；(4) Z4 = 10；(5) Z 5 = 3 j4；(6) Z6 = 8 j6；(7) Z7 = 6 j8；(8) Z8 = 8 j6。
【例9-2】将下列复数改写成代数式(直角坐标式)：
(1) Z1= 20/53.1；(2) Z2 = 10/ 36.9；(3) Z3 = 50/120；(4) Z4 = 8/ 120。
【例9-3】已知 Z1= 8 j6， Z2 = 3 j4。试求：(1) Z1 Z2；(2) Z1 Z2；(3) Z1 · Z2；(4) Z1 / Z2。
【例9-4】把正弦量u = 311sin(314t 30) V，
i = 4.24sin(314t 45) A用相量表示。
【例9-5】 把下列正弦相量用三角函数的瞬时值表达式表示，设角频率均为：
(1) 120/37 V ； (2) 5/60 A 。
【例9-6】已知 i1 =sin( t 30) A，
i2 = sin( t 60) A。 试求：i1 i2。
图9-2 复数形式的欧姆定律
图9-3 阻抗串联电路
【例9-7】 在R-L串联电路中，已知：R = 3 ，
L = 12.7 mH，设外加工频电压 sin(314t 30) V。
试求：电阻和电感上的电压瞬时值uR、uL。
图9-4 阻抗并联电路
【例9-8】两个复阻抗分别是Z1 = (10 j20) ，Z2 = (10 j10) ，并联后接在的交流电源
上，试求：电路中的总电流I和它的瞬时值表达式i。
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