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《电工基础》 电子教案
第十三章 瞬态过程
序号 内 容 学时
1 第一节 换路定律 2
2 第二节 RC电路的瞬态过程 1
3 第三节 RL电路的瞬态过程 1
4 第四节 一阶电路的三要素法 2
5 本章小结及习题 2
6 本章总学时 8
第一节 瞬态过程的基本概念
一、瞬态过程
1．瞬态过程
瞬态过程又叫做过渡过程。如图13-1所示的RC直流电路，当开关S闭合时，电源E通过电阻R对电容器C进行充电，电容器两端的电压由零逐渐上升到E，只要保持电路状态不变，电容器两端的电压E就保持不变。电容器的这种充电过程就是一个瞬态过程。
2．电路产生瞬态过程的原因
由上可知，电路产生瞬态过程的原因是：
(1) 电路中必须含有储能元件(电感或电容)。
(2) 电路状态的改变或电路参数的变化。电路的这些变化称
为换路。
二、换路定律
换路使电路的能量发生变化，但不跳变。电容所储存的电场能量为，电场能量
不能跳变反映在电容器上的电压uC不能跳变。电感元件所储存的磁场能量为，磁场能量不能跳变反映在通过电感线圈中的电流iL不能跳变。
设t = 0为换路瞬间，则以t = 0– 表示换路前一瞬间，t = 0+ 表示换路后一瞬间，换路的时间间隔为零。从t = 0– 到t = 0+ 瞬间，电容元件上的电压和电感元件中的电流不能跃变，这称为换路定律。
用公式表示为 uC(0–) = uC(0+)
iL(0+) = iL(0–)
三、电压、电流初始值的计算
电路瞬态过程初始值的计算按下面步骤进行：
根据换路前的电路求出换路前瞬间，即t = 0– 时的uC(0–)和iL(0–)值；
根据换路定律求出换路后瞬间，即t = 0+ 时的uC(0+)和iL(0+)值；
根据基尔霍夫定律求电路其他电压和电流在t = 0+ 时的值(把uC(0+)等效为电压源，
iL(0+)等效为电流源)。
解：选定有关电流和电压的参考方向，如图13-2所示，S闭合前
uC(0–) = 0
开关闭合后根据换路定律
uC(0+) = uC(0) = 0
在t = 0+ 时刻，应用基尔霍夫定律，有
uR1(0+) = E = 12V
uR2(0+) + uC(0+) = E
uR2(0+) = 12V
所以
则
解：选定有关电流和电压的参考方向，如图13-3所示。
闭合前，电路处于稳态，电感相当于短路，则
S闭合后，R2被短接，根据换路定律，有
i2(0+) = 0
iL(0+) = iL(0–) = 4A
在0+ 时刻，应用基尔霍夫定律有
iL(0+) = i2(0+) + i3(0+)
R1iL(0+) + uL(0+) = E
所以 i3(0+) = iL(0+) = 4A
uL(0+) = E – R1iL(0+) = (100 – 10 4) V = 60 V
第二节 RC电路的瞬态过程
一、RC电路的充电
如图13-4中，开关S刚合上时，由于uC(0) = 0，所以uC(0+) = 0，uR(0+) = E，该瞬间电路中的电流为
电路中电流开始对电容器充电，uC逐渐上升充电电流i逐渐减小，uR也逐渐减小。当uC趋近于E，充电电流i趋近于0，充电过程基本结束。理论和实践证明，RC电路的充电电流按指数规律变化。
其数学表达式为
则
式中 = RC 称为时间常数，单位是秒(s)，它反映电容器的充电速率。 越大，充电过程越慢。当t = (3 ~ 5) 时，uC为(0.95 ~ 0.99)E，认为充电过程结束。
uC和i的函数曲线如图13-5所示。
解： =RC = 50 s
则
i(0+)的一半为
即
查指数函数表，
t = 50 0.693 34.7 s
二、RC电路的放电
如图13-6所示，电容器充电至uC =E后，将S扳到2，电
容器通过电阻R放电。电路中的电流及都按指数规律变化，其
数学表达式为
=RC是放电的时间常数。
uC和i的函数曲线如图13-7所示。
解：
= R2C = 50 103 0.5 106 s = 25 ms
求得 t/ = 1
t = = 25 ms
第三节RL电路的瞬态过程
一、RL电路接通电源
在图13-9所示的RL串联电路中，S刚闭合时电路的方程为
i 、uR、uL变化的数学表达式为
所以
式中，称为RL电路的时间常数，单位为秒(s)，意义和RC电路的时间常数 相同。
i、uR和uL随时间变化的曲线如图13-10所示。
二、RL电路切断电源
在图13-11所示的电路中，S闭合稳定后，断开S的等效电路如图13-12所示。
i ，uR ，uL的数学表达式为
式中
是开关断开瞬时电感线圈中的初始电流。
解：S未闭合前，继电器中电流为
S闭合后，继电器所在回路的时间常数为
继电器所在回路的电流为：
当iL等于释放电流时，继电器开始释放，即
解得 t 0.25 s
即S闭合后0.25 s，继电器开始释放。
第四节 一阶电路的三要素法
一阶电路是指含有一个储能元件的电路。一阶电路的瞬态过程是电路变量有初始值按指数规律趋向新的稳态值，趋向新稳态值的速度与时间常数有关。其瞬态过程的通式为
f (t) = f (∞) + [ f (0+) – f (∞)]
式中：
f (0+) —— 瞬态变量的初始值；
f (∞) —— 瞬态变量的稳态值；
—— 电路的时间常数。
可见，只要求出f (0+)、f (∞)和 就可写出瞬态过程的表达式。
把f (0+)、f (∞)和 称为三要素，这种方法称三要素法。
如RC串联电路的电容充电过程，uC(0+) = 0， uC(∞) = E， = RC，则
uC(t)= uC(∞)+[ uC(0+) uC (∞)]
结果与理论推导的完全相同，关键是三要素的计算。
f (0+)由换路定律求得，f (∞)是电容相当于开路，电感相当于短路时求得的新稳态值。
= RC或，R为换路后从储能元件两端看进去的电阻。
解：uC(0+) = uC (0) = 0
uC(∞)=
等效电阻
则通解为
解：(1) 确定初始值：
iC(0+) = iL(0–) = 4 mA
(2) 确定稳态值
(3) 确定时间常数
R = R1 = 2 k
则通解为
本 章 小 结
一、在具有储能元件的电路中，换路后电路由一种稳态到另一种稳态的过程为过渡过程。
二、换路时电容两端的电压和电感中的电流不能突变即
uC(0–) = uC(0+)
iL(0+) = iL(0–)
称为换路定律。
三、一阶电路的三要素是初试值f (0+)，稳态值f (∞)和时间常数 ，由三要素法可以很方便地写出一阶电路的瞬态过程的表达式。
f (t)= f (∞) + [ f (0+) – f (∞)]
1．瞬态过程和换路定律。
2．三要素法确定RC和RL电路的瞬态过程表达式。
确定三要素。
图13-1 电路的过渡过程
【例13-1】如图13-2所示的电路中，已知E = 12 V，R1 = 3 k，R2 = 6 k，开关S闭合前，电容两端电压为零，求开关S闭合后各元件电压和各支路电流的初始值。
图13-2 例13-1图
【例13-2】如图13-3所示电路中，已知电源电动势E = 100 V，R1 = 10 ，R2 = 15 ，开关S闭合前电路处于稳态，求开关闭合后各电流及电感上电压的初始值。
图13-3 例13-2图
图13-5 uC、、i随时间变化曲线
图13-4 RC电路
【例13-3】在图13-4所示的电路中，已知E = 100 V，R = 1 M，C = 50 F。问：当闭合后经过多少时间电流减小到其初始值的一半。
图13-6 电容通过电阻放电电路
图13-7 电容放电时uC ，I
变化曲线
【例13-4】图13-8所示电路中，已知C = 0.5 F，R1 = 100 ，R2 = 50 k，E = 200 V当电容器充电至200 V，将开关S由接点1转向接点2，求初始电流、时间常数以及接通后经多长时间电容器电压降至74 V？
图13-8 例13-4图
图13-9 RL电路接通电源
图13-10 RL电路接通电源时，电流、电压曲线
图13-12 RL电路切断电源的等效电路
图13-11 RL电路
【例13-5】图13-13中，K是电阻为R = 250 ，电感L = 25 H的继电器，R1 = 230 ，电源电动势E = 24 V。设这种继电器的释放电流为0.004 A。
问：当S闭合后多少时间继电器开始释放？
图13-13 例13-5图
【例13-6】如图13-14所示的电路中，已知E = 6 V，R1 = 10 k，R2 = 20 k，C = 30 F，开关S闭合前，电容两端电压为零。求：S闭合后电容元件上的电压比
图13-14 例13-7图
【例13-7】图13-15所示电路中，已知E = 20 V，R1 = 2 k ，R2 = 3 k ，L = 4 mH。S闭合前，电路处于稳态，求开关闭合后，电路中的电流。
图13-15 例13-7图
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