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人教A版（2019）选择性必修第三册《6.2 排列与组合》提升训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）【年高考四川理数】用数字，，，，组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A. B. C. D.
2.（5分）岳阳高铁站进站口有个闸机检票通道口，高考完后某班个同学从该检票进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个同学的不同进站方式有种
A. B. C. D.
3.（5分）A、、、、五个人站成一排，、恰好在两端的不同排法数是
A. B. C. D.
4.（5分）某年级共有男生人，女生人，预备从该年级抽取人调査他们的身高，考虑到性别对身高发育的影响，则应抽取的男生人数为
A. B. C. D.
5.（5分）有编号分别为，，，的个红球和个黑球，随机取出个，则取出的球的编号互不相同的概率是
A. B. C. D.
6.（5分）有位学生排成一排照相，其中甲不能在首位，乙和丙必须相邻，则共有多少种排队方法
A. B. C. D.
7.（5分）某单位安排位员工在月日至日值班，每天人，每人值班天，若位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在月日，丁不排在月日，则不同的安排方案共有种
A. B. C. D.
8.（5分）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、物理科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、物理不安排在同一节，则不同的安排方法共有
A. 种 B. 种
C. 种 D. 种
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）在件产品中，有件合格品，件不合格品，从这件产品中任意抽出件，则
A. 抽出的件中恰好有件是不合格品的抽法有种
B. 抽出的件中恰好有件是不合格品的抽法有种
C. 抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有种
D. 抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有种
10.（5分）如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处，今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止，则下列说法错误的是
A. 甲从必须经过到达处的方法有种
B. 甲乙两人在处相遇的概率为
C. 甲、乙两人相遇的概率为
D. 甲从到达处的方法有种
11.（5分）从，，，，，中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所有组成的数中
A. 奇数有个 B. 包含数字的数有个
C. 个位和百位数字之和为的数有个 D. 能被整除的数有个
12.（5分）某企业有个分厂，新培训了一批名技术人员，将这名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少人，则不同的分配方案种数为

A.
B.
C.
D.
13.（5分）用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是
A. 可组成个不重复的四位数
B. 可组成个不重复的四位偶数
C. 可组成个能被整除的不重复四位数
D. 若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第个数字为
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）我国首艘国产航母号“山东舰”已进行了次海试，近期将交付中国海军服役，在某次海试舰载机起降飞行训练中，有架歼一飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法种数为______用数字作答
15.（5分）为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了个小队在校园最具有代表性的个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有支小队拍摄，则不同的分配方法有______种用数字作答
16.（5分）若，则的值为______．
17.（5分）一排共个座位，，，三人按如下方式入座：任意两人之间至少间隔个空座位，且三人的顺序是必须在与之间，则不同的坐法共有 ______种．
18.（5分）为做好社区新冠疫情防控工作，需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有______种．用数字作答
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）一天的课表有节课，其中上午节，下午节，要排语文，数学，外语，微机，体育，地理，物理节课．
语文课排第节课，共有多少种不同的排课方法？用数字作答
数学课不排第节课，共有多少种不同的排课方法？用数字作答
体育课不排第节课，微机课不排第节课，共有多少种不同的排课方法？用数字作答
20.（12分）一条长椅上有个座位，个人坐，若相邻人之间至少有个空椅子，共有几种不同的坐法
一条长椅上有个座位，个人坐，要求个空位中，恰有个空位相邻，共有多少种不同的坐法
21.（12分）从，，，中任取个数字，从，，中任取个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
由数字，，，，，，可以组成多少个没有重复数字，并且比大的正整数？
22.（12分）从包含甲、乙人的人中选人参加米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
甲、乙人都被选中且必须跑中间两棒；
甲、乙人只有人被选中且不能跑中间两棒；
甲、乙人都被选中且必须跑相邻两棒．
23.（12分）从个男生和个女生中选人担任门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法种数.
女生人数少于男生人数；
某女生一定选中且担任语文课代表，某男生也必须选中且不担任数学课代表.
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．
在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．.

解：由题意，要组成没有重复的五位奇数，
则个位数应该为、、中之一，其他位置共有随便排共种可能，
所以其中奇数的个数为，
故选

2.【答案】D;
【解析】

三名同学可以选择个或个或个不同的检票通道口进站，三种情况分别计算进站方式即可得到总的进站方式.
此题主要考查排列组合问题，属于中档题，解题注意合理分类讨论，而且还要注意从同一个进站口进入的学生的不同次序.

解：若三名同学从个不同的检票通道口进站，则有种；
若三名同学从个不同的检票通道口进站，则有种；
若三名同学从个不同的检票通道口进站，则有种；
综上，这个同学的不同进站方式有种，
故选
3.【答案】B;
【解析】解：根据题意，分步分析：
①，将、安排在两端，有种情况，
②，将、、安排在中间，有种情况，
则、恰好在两端的不同排法数种；
故选：．
根据题意，分步分析：①，将、安排在两端，②，将、、全排列，安排在中间，由分步计数原理计算可得答案．
该题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．
4.【答案】B;
【解析】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为，
则应抽取的男生人数是人，
故选：．
根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数．
本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．
5.【答案】A;
【解析】解：从个球中随机取出个的取法有种；其中取出的球的编号互不相同的取法有种，
则取出的球的编号互不相同的概率．
故选：．
显然取法总数为，要取出的球的编号互不相同可先选编号数，再定颜色有，则有种取法，相比即可．
该题考查乘法原理，组合数公式与概率相结合，属于基础题．
6.【答案】C;
【解析】
此题主要考查排列以及分步计数原理的应用，属于基础题 .
由题意，利用利用捆绑法，结合分步乘法计数原理求解即可.
解：依题意，①将乙和丙看成一个整体，有种排法；
②甲不在首位，共有种排法；
③剩下个位置全排列，有种排法；
综上按照分步乘法计数原理可得种排法；
故选：
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查两个计数原理与排列组合的综合运用，属于中档题.
约束条件较多，可先排甲乙再排丙和丁．根据甲乙位置分为两种情况，根据题意求两种情况排列种数即可求解.

解：分两类：
第一类：
甲乙排、号或、号共有种方法；
第二类：
甲乙排中间，丙排号或不排号，共有种方法；
所以，故共有种不同的排法．
故选
8.【答案】B;
【解析】
此题主要考查排列组合及简单的计数问题，采用间接法是解决问题的关键，属中档题．
间接法：先从个中任选个看作整体，然后做个元素的全排列，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，可得结论．

解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，
先从个中任选个看作整体，然后做个元素的全排列，共种方法，
再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共种方法，
故总的方法种数为：
故选：
9.【答案】ACD;
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，抽出的件中恰好有件是不合格品，即两件合格品，件不合格品，有种抽取方法，A正确，
对于，由的结论，B错误，
对于，抽出的件中至少有件是不合格品即两件合格品，件不合格品或件合格品，件不合格品，有种抽取方法，C正确，
对于，用间接法分析，抽出的件中没有不合格品的抽取方法有种，则抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有种，D正确，
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
10.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查分步乘法计数原理，组合与组合数公式，古典概型的计算与应用，考查分析解决问题的能力，属于较难题.
利用分步乘法计数原理，组合与组合数公式，古典概型的计算与应用对选项逐一判断即可.

解：选项，甲经过到达处，可分为两步：
第一步，甲从经过需要走步，其中步向右走，步向上走，方法数为种；
第二步，甲从到需要走步，其中步向上走，步向右走，方法数为种.
甲经过到达的方法数为种，选项正确；
选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种，
甲、乙两人在处相遇的方法数为，
甲、乙两人在处相遇的概率为，选项正确；
选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，
若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为种；
若甲、乙两人在处相遇，由选项可知，走法种数为种；
若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有步向右走，后三步只有步向右走，
乙到处，前三步有步向下走，后三步只有步向下走，
所以，两人在处相遇的走法种数为种；
若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为种；
故甲、乙两人相遇的概率，选项错误；
选项，甲从到达处，需要走步，其中有步向上走，步向右走，
则甲从到达处的方法有种，选项错误.
故选
11.【答案】AD;
【解析】解：对于：先确定个位，有种选择方法，再确定百位和十位，故有个，故正确；
对于：从，，，，中任选个和全排，故有个，故错误；
对于：个位和百位数字之和为有，，个，故错误；
对于：能把整除，则三个数字之和为的倍数，共有，，，，，，，八种选择，
故能被整除的数有个，故正确．
故选：
对于：先确定个位，再确定百位和十位，问题得以判断；
对于：根据分步计数原理可得，问题得以判断；
对于：先求出个位和百位数字之和为有种，再排列即可判断；
对于：能把整除，则三个数字之和为的倍数，即可求出判断．
此题主要考查了排列组合的应用，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．
12.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查组合知识的运用，属于中档题.
先把名技术人员分成组，每组至少一人，再把这个组的人分给个分厂，利用乘法原理，即可得出结论.

解：先把名技术人员分成组，每组至少一人，
若个组的人数按、、、分配，则不同的分配方案有种不同的方法，
若个组的人数为、、、分配，则不同的分配方案有种不同的方法，
再把个组的人分给个分厂，不同的方法有种.
另解：先按分配，选出人，放入一个厂，再将剩下人与厂匹配，共有，
再按分配，选出人和人的分组后，从厂中选厂放入，再将剩下人与厂匹配，共有，
故共有方法，
故选
13.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查了排列组合的综合应用，属于较难题.
可组成个不重复的四位数有个，可判断，
可组成个不重复的四位偶数分为两类：在末位和不在末位，有种，可判断，
可组成个能被整除的不重复四位数共有：种，可判断，
第个数字前共有个，可判断

解：选项，有个，错；
选项，分为两类：在末位，则有种，
不在末位，则有种，共有种，对；
选项，先把四个相加能被整除的四个数从小到大列举出来，
即先选：，、、、，
它们排列出来的数一定可以被整除，共有：种，对；
选项，首位为的有个，前两位为的有个，
前两位为的有个，此时共有个，
因而第个数字是前两位为的最小数，即为，错.
故选：
14.【答案】24;
【解析】解：对甲，乙两机进行排列为，
把甲乙两机捆绑在一起与除丙丁外的一辆进行排列为，
则有三个空给丙丁去插有种，
根据分步计数原理可得满足要求的一共有种
故答案为：．
对相邻的甲乙捆绑，对不相邻的丙丁插空，再对甲乙内部排，分三步完成．
该题考查了分步计数原理以及捆绑插空法，属于基础题．
15.【答案】540;
【解析】解：若按照：：进行分配，则有种；
若按照：：进行分配，则有种；
若按照：：进行分配，则有种，
故共有种分配方法．
若按照：：进行分配，则有种；若按照：：进行分配，则有种；若按照：：进行分配，则有种，继而得出结果．
该题考查排列组合知识，分类计数原理等，属于中档题．
16.【答案】1或3;
【解析】解：，
或，
解或；
的值为或．
故答案为：或．
根据组合数的公式，列出方程或，解方程即可．
该题考查了组合数公式的应用问题，是基础题目．
17.【答案】160;
【解析】解：任意两人之间至少间隔个空座位，且三人的顺序是必须在与之间，
若中间有和个空位时，则还剩个空座位，将个空位分别在的两边，则有种，
若中间有和个空位时，则还剩个空座位，将个空位分别在的两边，则有种，
若中间有和个空位时，则还剩个空座位，将个空位分别在的两边，则有种，
若中间有和个空位时，则还剩个空座位，将个空位分别在的两边，则有种，
若中间有和个空位时，则还剩个空座位，将个空位分别在的两边，则有种，
若中间有和个空位时，则还剩个空座位，将个空位分别在的两边，则有种，
若中间有和个空位时，则还剩个空座位，将个空位分别在的两边，则有种，
若中间有和个空位时，则还剩个空座位，将个空位分别在的两边，则有种，
若中间有和个空位时，则还剩个空座位，将个空位分别在的两边，则有种，
若中间有和个空位时，则还剩个空座位，则有种，
则共有种．
故答案为：
根据间隔空座位的数目进行分类，根据分类计数原理可得．
此题主要考查了分类计数原理，考查了运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】660;
【解析】解：根据题意，将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，
则甲、乙、丙、丁四个小区分配人数依次为，，，或，，，，
若甲小区分人，甲小区有种情况，剩下的个小区有种情况，此时有种分配方法，
若甲小区分人，甲小区有种情况，剩下的个小区有种情况，此时有种分配方法，
则有种不同的分配方法；
故答案为：
根据题意，分析可得甲、乙、丙、丁四个小区分配人数依次为，，，或，，，，据此分种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
此题主要考查排列组合的简单应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
19.【答案】解：（1）语文课排第一节，相当于其余六节课全排列，即有A=720种；
（2）数学课不排第7节课，先从前六节课中选一节给数学，有6种选法，其余6节课全排，利用分步计数原理得6A=4320种；
（3）当体育课排在第7节课时有A种排法，当体育课排在中间5节课时，有5种排法，微机课也有5种排法，其余五节课全排列，有25A种排法，之后应用分类加法计数原理，有A+25A=3720种．;
【解析】
语文课排第一节，相当于其余六节课全排列即可得结果；
数学课不排第节课，先从前六节课中选一节给数学，有种选法，其余节课全排，利用分步计数原理求得结果；
当体育课排在第节课时有种排法，当体育课排在中间节课时，有种排法，微机课也有种排法，其余五节课全排列，有种排法，之后应用分类加法计数原理求得结果．
此题主要考查的是有关排列的综合题，涉及到的知识点有具有特殊元素的排列数的求解，分步计数原理，分类计数原理，属于简单题目．
20.【答案】解：解法一：先将人用表示与张空椅子用表示排列，如图，这时共占据了张椅子，还有张空椅子，一是分开插入，如图中箭头表示，从个空当中选个插入，有种插法二是张同时插入，有种插法，再考虑人可交换有种方法所以，共有种
解法二：先将人与张空椅子排成一排，从个位置中选出个位置排人，另个位置排空椅子，有种排法，再将张空椅子中的每两张插入每两人之间，只有种插法，所以所求的坐法种数为
可先让人坐在个位置上，有种排法，再让个“元素”一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位插入个人形成的个“空当”之间，有种插法，所以所求的坐法种数为;
【解析】此题主要考查排列、组合的综合应用，属于中档题，
解法一：根据题意，用插空法，先将人与张空椅子排好， 再将剩余的两把椅子插入， 分“分别插入两个空位”与“插入同一个空”两种情况分析， 进而考虑个人之间的排列， 由种不同的坐法， 有分步计数原理，可得答案，
解法二：将人与椅子排成一排，根据位置派人和椅子，最后排空椅子，可得答案。
可先让人坐在个位置上，有种排法，再把“两个相邻的空位”与“单独的空位”视为两个元素，插入个人形成的个“空当”之间，由排列公式，计算可得答案.
21.【答案】解：（Ⅰ）①从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，当含数字0时，可以组成=864个没有重复数字的五位数，
②从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，当不含数字0时，可以组成=360个没有重复数字的五位数，
则一共可以组成864+360=1224个没有重复数字的五位数；
（Ⅱ）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成=1440个没有重复数字，并且比5000000大的正整数．;
【解析】
分种情况讨论：①从，，，中任取个数字，当含数字时，②从，，，中任取个数字，当不含数字时，然后求和即可得解；
由数字，，，，，，组成没有重复数字，并且比大的正整数，只需最高数位上的数字为或即可．
此题主要考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题．
22.【答案】解：（1）甲、乙两人必须跑中间两棒，甲和乙两个人本身有一个排列，
余下的两个位置需要在6个人中选2个排列
根据分步计数原理知道共有A22A62=60
（2）甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒，
需要从甲和乙两个人中选出一个有C21种结果，
需要在第一和第四棒中选一棒，有C21种结果，
另外6个人要选三个在三个位置排列，根据计数原理共有C21C21A63=480
（3）∵甲、乙两名同学必须入选，而且必须跑相邻两棒
∴首先甲和乙两个人在相邻的位置本身有A22种结果，
其余6名同学选两人三个元素在三个位置排列共有C62A33种结果，
根据分步计数原理得到共有A22C62A33=180，;
【解析】
甲、乙两人必须跑中间两棒，甲和乙两个人本身有一个排列，余下的两个位置需要在个人中选个排列
甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒，需要从甲和乙两个人中选出一个有种结果，需要在第一和第四棒中选一棒，有种结果，另外个人要选三个在三个位置排列．
首先甲和乙两个人在相邻的位置本身有种结果，其余名同学选两人三个元素在三个位置排列共有种结果，根据计数原理得到结果．
此题主要考查的是排列、组合的实际应用问题，解答该题的关键认真分析题意，把实际问题转化为数学问题，进而进行分步、分类分析讨论，结合排列、组合公式进行计算．
23.【答案】解：（1）从8人中选5人，分3种情况：
①男生5人，女生0人，有=1种选法；
②男生4人，女生1人，有=15种选法；
③男生3人，女生2人，有=30种选法，
∴从8人中选5人，共有1+15+30=46种选法，
再分配到担任5门不同学科的课代表，有46 =5520种选法．
（2）某女生和某男生都一定选中，则剩余3人有=20种选法，
再分配到担任5门不同学科的课代表，有20 =360种选法．;
【解析】
分两步：第一步，从人中选人，再分三类；第二步，选出的人担任门不同学科的课代表；
分两步：第一步，从人中选人；第二步，从无限制的三门学科中选一门让某男生担任，剩余的全排列．
此题主要考查排列组合与计数原理的综合运用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

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