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九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
导学案
【知识清单】
1. 的性质：左加右减。
2. 的性质：
【典型例题】
考点1：y=a(x-h)2的图象和性质
例1．下列函数图象中，当时，随的增大而减小的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数和二次函数的性质进行判断即可．
【详解】解：A．中，
∴随的增大而增大，故A不符合题意；
B．中，
∴随的增大而增大，故B不符合题意；
C．的对称轴为直线，，在对称轴的右侧，即时，随的增大而增大，故C不符合题意；
D．的对称轴为直线，，在对称轴的右侧，即时，随的增大而减小，
∴函数的图象中，当时，随的增大而减小，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数和二次函数的增减性．
考点2：y=a(x-h)2+k的图象和性质
例2．二次函数的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质，求解即可．
【详解】解：由二次函数的性质可得，二次函数的顶点坐标为，
故选：A
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，二次函数的顶点坐标为．
【巩固提升】
选择题
1．设函数，直线的图象与函数的图象分别交于点，得（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．已知某二次函数，当时，随的增大而减小当时，随的增大而增大，则该二次函数的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
3．对于二次函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图像开口向下 B．图像的对称轴是直线
C．函数最大值为0 D．y随x的增大而增大
4．若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．着，则
6．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．对于的性质，下列叙述正确的是（　　）
A．顶点坐标为 B．当时，y随x增大而减小
C．当时，y有最大值2 D．对称轴为直线
8．二次函数的顶点是（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线的解析式是，则该抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．请写出一个开口向下，对称轴为直线的抛物线的解析式 ．
12．已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，则的值为 ．
13．已知点，为二次函数图像上的两点，那么 （填“”，“”或“”）．
14．已知是抛物线上的两点，则的大小关系是 ．（用“”、“”或“”填空）
15．抛物线的顶点坐标是 ．
三、解答题
16．写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)．
17．在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
18．已知函数，和．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象；
(4)分别说出各个函数的性质．
19．设二次函数，的图像的顶点坐标分别为，．若，，且开口方向相同，则称是的“反倍顶二次函数”．
(1)请写出二次函数的“反倍顶二次函数”；
(2)已知关于的二次函数和二次函数．若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求的值．
20．已知抛物线（a，h，是常数，a≠0），与y轴交于点C，点M为抛物线顶点．
(1)若，点C的坐标为，求h的值；
(2)若，当时，对应函数值y的最小值是，求此时抛物线的解析式；
(3)直线经过点M，且与抛物线交于另一点D．当轴时，求抛物线的解析式．
21．在平面直角坐标系中画出函数的图像．
(1)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(2)说明该函数图像与二次函数的图像的关系．
(3)根据图像说明，何时随的增大而减小．
参考答案
1．C
【分析】根据二次函数的图象，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵直线的图象与函数的图象分别交于点，
A、若，如图所示，
则，故A选项不合题意；
B．若，如图所示，

则或故B选项不合题意，
C．若，如图所示，

∴，故C选项正确，D选项不正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
2．D
【分析】根据题意可得抛物线开口方向和对称轴．
【详解】解：当时，随的增大而减小当时，随的增大而增大，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
抛物线满足条件．
【点睛】本题考查抛物线的增减性．抛物线的增减性与开口方向、对称轴有关．
3．D
【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：二次函数，，
∴该函数的图象开口向下，故选项A正确，
图象的对称轴是直线，故选项B正确，
函数的最小值是，故选项C正确，
当时，y随x的的增大而增大，故选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．A
【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出的大小关系．
【详解】解：二次函数的图像开口向下，对称轴为，
∴正好是抛物线的顶点坐标，
∴是二次函数的最大值，
∵在对称轴左侧，随的增大而增大，
又∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越大．
5．C
【分析】根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解．
【详解】解：如图所示，若，则，
故A选项错误；
如图所示，若，则或，
故B选项错误；
如图所示，若，则，
故C选项正确，D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．
6．A
【分析】根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】解：，
的顶点坐标为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．D
【分析】根据的图象与性质逐一分析判断即可．
【详解】解：的开口向上，顶点坐标为，
当时，y随x增大而增大，
当时，y有最小值2，对称轴为直线，
故D符合题意，A，B，C不符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记的图象与性质是解本题的关键．
8．C
【分析】根据二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴该二次函数的顶点坐标为，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于熟知二次函数的顶点坐标为．
9．C
【分析】抛物线的顶点坐标是，据此求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质——求顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
10．A
【分析】根据抛物线的顶点式可直接得出答案．
【详解】解：，
当时，y取最小值，最小值为，
因此该抛物线的对称轴为直线，
故选A．
【点睛】本题考查求抛物线的对称轴，解题的关键是掌握抛物线的顶点式的性质．
11．
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合已知条件的二次函数解析式即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二函数的图象和性质的应用，注意：当二次项系数时，抛物线的开口向下．
12．
【分析】根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得的值，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得的值．
【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线，
故，
把代入二次函数可得，
当时，，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线．
13．
【分析】根据题意可知次函数的对称轴为，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；根据函数的增减性即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的增减性，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
14．
【分析】根据抛物线开口向上，对称轴为，判定在对称轴的右侧，随的增大而增大，即可求解．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴抛物线上与点关于对称的点的坐标为，
∴当时，随的增大而增大，
∵ ，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了抛物线的开口，对称轴，函数的增减性，熟练确定函数的增减性，判断点与对称轴的位置关系是解题的关键．
15．
【分析】根据抛物线的顶点公式求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力．
16．(1)开口向下，对称轴是，顶点坐标为
(2)开口向上，对称轴是，顶点坐标为
(3)开口向上，对称轴是，顶点坐标为
【分析】（1）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（2）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为；
（3）解：∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．见解析
【分析】利用描点法即可画出函数的图象，再根据图象填写表格。
【详解】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．
先列表：
x … 0 1 2 3 …
… 0 …
… 0 …
… 0 …
描点、连线，画出这三个函数的图象:
根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
开口向下 y轴 当时，y随x的增大而减大；当时，y随x的增大而增小．
开口向下 当时，y随x的增大而减大；当时，y随x的增大而增小．
开口向下 当时，y随x的增大而减大；当时，y随x的增大而增小．
【点睛】本题主要考查描点法画函数图象，并通过函数图象得到抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性．熟练画出函数图象并得到抛物线的性质是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位；
(4)见解析
【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象；
（2）根据二次函数的性质可进行求解；
（3）根据二次函数的平移可进行求解；
（4）根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为；
（3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位；
（4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大，
当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大，
当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据“反倍顶二次函数”的定义，求出顶点坐标即可解决问题；
（2）根据“反倍顶二次函数”的定义，列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：，
二次函数的顶点坐标为，
二次函数的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为，
这个“反倍顶二次函数”的解析式为；
（2），顶点坐标为，
，顶点坐标为，
函数恰好是的“反倍顶二次函数”，
，
解得．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握配方法确定顶点坐标是解题的基础，属于中考常考题型．
20．(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）把，点代入函数，即可求出h的值；
（2）把代入函数得，根据当时，对应函数值y的最小值是，则分三种情况讨论：①若在对称轴的左边，则y随x的增大而减小，此时，且，，代入函数即可求出h的值；②若在对称轴的右边，则y随x的增大而增大，此时，且，，代入函数即可求出h的值；③若对称轴在内，则抛物线在顶点处取得最小值，为，不合题意，舍去．综上所述可得抛物线的解析式；
（3）根据抛物线解析式可得顶点坐标为，又直线经过点M，从而可，抛物线解析式为：，抛物线与y轴交点C的坐标为，根据轴，且点D在抛物线上可得点D的坐标为．又直线经过点D，从而求得，因此抛物线解析式为．
【详解】（1）解：把，点代入函数，得
，
解得：．
（2）解：∵，
∴抛物线为，抛物线开口向上，对称轴为．
∵当时，对应函数值y的最小值是，
∴分三种情况讨论：
①若对称轴，则在对称轴的左边，y随x的增大而减小．
∴，，
∴，
解得：（舍去）或，
∴抛物线的解析式为：．
②若对称轴，则在对称轴的右边，y随x的增大而增大．
∴，，
∴
解得：（舍去）或
∴抛物线的解析式为：．
③若，则为抛物线在顶点处取得最小值，即当时，函数最小值为，不合题意，舍去．
综上所述，抛物线的解析式为：或．
（3）解：∵抛物线的顶点为，直线经过点M，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：．
当时，，
∴点C的坐标为，
∵轴，
∴点D的纵坐标为为，
把代入抛物线中，得
，
解得或，
∴点D的坐标为．
∵直线经过点D，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法，掌握分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．
21．(1)向下；；
(2)二次函数的图象是由二次函数的图象向右平移3个单位长度得到的
(3)时，随的增大而减小
【分析】（1）根据即可得到答案；
（2）根据图象即可得到答案；
（3）根据图象即可得到答案．
【详解】（1）解：列表如下：
… 0 1 2 …
… 0 …
… 1 2 3 4 5 …
… 0 …
描点连线，画出二次函数和的函数图象如图所示：
，
，
该函数图象的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：由图象可知：
二次函数的图象是由二次函数的图象向右平移3个单位长度得到的；
（3）解：由图象可知：
当时，随的增大而减小．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质，采用数形结合的解题方法是解题的关键．
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