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九年级数学上册 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
导学案
【知识清单】
1.二次函数图象的画法：
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
2.二次函数的性质
（1） 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
（2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
3.二次函数解析式的表示方法
（1）一般式：（，，为常数，）；
（2）顶点式：（，，为常数，）；
（3）两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
【典型例题】
考点1：y=ax2+bx+c的图象和性质
例1．二次函数图象经过点，点，点，点是其图象上的任意一点，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质可得，对称轴，，，则，用表示出，代入求解即可．
【详解】解：∵点是其图象上的任意一点，且满足
可知为二次函数的最大值，
则，对称轴
则，二次函数为：
二次函数图象经过点，点，点
则，则
又∵
∴
即
故选：A
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，二次函数求最大值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，用正确的表示出．
考点2：一次函数、二次函数图象综合判断
例2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分四种情况讨论，再判断图像即可．
【详解】当，时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点在y轴正半轴；
一次函数图像经过第一，二，三象限，且经过点.
当，时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点在y轴负半轴；
一次函数图像经过第一，三，四象限，且经过点，
所以A不符合题意，C符合题意；
当，时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点在y轴负半轴；
一次函数图像经过第二，三，四象限，且经过点．
当，时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点在y轴正半轴；
一次函数图像经过第一，二，四象限，且经过点，
所以B不符合题意，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像，一次函数的图像，掌握函数关系式中系数与图像的位置的关系是解题的关键．
考点3：y=ax2+bx+c的最值
例3．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（　　）
A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6
【答案】D
【分析】由题意，二次函数的对称轴为，且开口向下，则可分为三种情况进行分析，分别求出h的值，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
将代入得，
解得或1，
当时，，函数最大值为0，不符合题意，
当时，时，y随x增大而减小，时，函数取最大值，符合题意，
当时，，
解得或，
当时，，不符合题意，
当时，时，y随x增大而减小，时，函数取最大值，符合题意，
∴或6，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，确定对称轴的位置，进行分类讨论．
考点4：待定系数法求二次函数解析式
例4．是的二次函数，其对应值如下表：
|… 0 1 2 3 4 …
… 4 0 1 4 9 …
下列叙述不正确的是（ ）
A．该二次函数的图象的对称轴是直线
B．
C．当时，随的增大而增大
D．图象与轴有两个公共点
【答案】D
【分析】由待定系数法求出二次函数的解析式，求出对称轴，可以判断A，当时，求出的值，可以判断B，根据的值和对称轴确定随的变化情况，可以判断C，根据根的判别式确定与轴的交点个数，可以判断D，从而得到答案．
【详解】解：设二次函数为，
则，
解得：，
二次函数的解析式为：，
对称轴为：，故选项A正确，
当时，，
，故选项B正确，
，
图象开口向上，
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而增大，故选项C正确，
，
图象与轴有一个公共点，故选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是采用待定系数法，求出二次函数的解析式．
考点5：二次函数综合
例5．二次函数与动直线交于，两点，线段中点为，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，则是联立两个函数解析式所得方程的两个根，求出，，进而可得，可得点H在直线上运动，这是典型的“将军饮马”问题，然后设点A关于直线的对称点为C，连接交直线于点H，则此时最小，即为的长，勾股定理求出即可.
【详解】解：当时，整理可得：，
设，
则是上述方程的两个根，
∴，
，
∵线段中点为，
∴，
∴点H在直线上运动，
如图，设点A关于直线的对称点为C，连接交直线于点H，则此时最小，即为的长，
∵，
∴，
∵，
∴此时；
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点、一元二次方程根与系数的关系、利用轴对称的性质求两线段和的最小值等知识，熟练掌握上述知识、得出点H的运动轨迹是解题的关键.
【巩固提升】
选择题
1．已知抛物线，则下列结论错误的是（ ）
A．该抛物线的开口向下 B．该抛物线的顶点坐标为
C．该抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点，且点为顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为C点，则平移后抛物线的表达式为（ ）

A． B．
C． D．
3．如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，则下列四个结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于x的方程有一个根为，其中正确的结论个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ）
A． B． C． D．
6．如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
7．二次函数的图像如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．二次函数的图象上有两点，．若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．与的大小不确定
9．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
10．已知二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如下表：
x 0 1 3
y 3
下列各选项中，错误的是（ ）
A．这个函数的图象开口向上 B．当时，
C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．这个函数的最小值为
11．如图，二次函数 的图象与x轴负半轴交于对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若点，，均在函数图象上，则；④若方程的两根为，且则；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得，则a的范围为；其中结论正确的有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
12．若直线经过第一、二、三象限，那么抛物线顶点在第 象限．
13．二次函数的图像如图所示，且，则的大小关系为 ．

14．二次函数的图象如图，则一次函数的图象不经过第 象限．
15．如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，则 0（填“”“”或“”）．
16．已知，是二次函数的图象上两点，当时，二次函数的值是 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为 ．

三、解答题
18．将下列各二次函数解析式化为的形式，并写出顶点坐标及其最值．
①；②．
19．如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点D在直线上方时，作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点Q的坐标．
20．已知二次函数图象的对称轴为直线，与y轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）．

(1)求该二次函数的表达式；
(2)是x轴上方抛物线上的一动点，且与点不重合，设点的横坐标为，过点作轴，交于点，设的长为，当随的增大而减小时，求的取值范围．
21．在平面直角坐标系中，设二次函数．
(1)求二次函数对称轴；
(2)若当时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标；
(3)在（2）的条件下，若点与点在抛物线上，且，直接写出m的取值范围．
22．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，比物线经过点，与轴的另一个交点为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线下方拋物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标．
参考答案
1．D
【分析】先化为顶点式，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性后即可得出答案．
【详解】解：中，抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，当时，随的增大而减小．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是抛物线的性质，能正确的说出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标是解此题的关键．
2．A
【分析】根据二次函数的表达式求出点A的坐标为，根据正方形的性质可以求出点C的坐标，进而求出点C的坐标，进而求解．
【详解】解：当时，，故A点坐标为，
过点C作交于D，

则，
∴C点坐标为
∵二次函数的图象经过正方形的顶点C，
∴ ，
解得或（舍去）
∴C点坐标为，
∴平移后抛物线的表达式为，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，解题的关键是求出b的值．
3．D
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置及与y轴的交点判断a、b、c的大小，即可判断选项A；根据抛物线与x轴的交点个数即可判断选项B；根据对称轴为直线和过点求出抛物线与x轴的另一个交点，当时，二次函数的值，据此判断选项C；根据对称轴得出a、b之间的关系，并代入中，据此判断选项D．
【详解】抛物线开口向上，
，
对称轴为直线，
，
，
，
抛物线与y轴交于负半轴，
，
，故选项A错误；
抛物线与x轴有2个交点，
，
，故选项B错误；
抛物线的对称轴为直线且过点，
抛物线与x轴的另一个交点为，
当时，，
故选项C错误；
，且，
，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．B
【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点坐标，可判断，，与的大小关系；②将代入二次函数，可得；③根据题意可得，结合点的坐标为，点位于轴负半轴，即可判断该结论是否正确；④求得点的坐标为，可得，结合，可求得点的坐标，进而求得点的坐标．
【详解】①∵抛物线开口向下，
∴．
将代入二次函数解析式，得
．
∴点的坐标为．
∵点位于轴负半轴，
∴．
∵对称轴，
∴．
∴．
结论①正确．
②将代入二次函数，得
．
根据二次函数图象可知．
结论②错误．
③∵，，
∴．
又点的坐标为，点位于轴负半轴，
∴．
∴．
结论③错误．
④∵，点的坐标为，点位于轴负半轴，点位于轴正半轴，
∴点的坐标为．
因为二次函数的图象过点，可得
．
化简，得
．
因为对称轴，
所以，．
将代入，得
．
可得
．
所以，点的坐标为．
设点的坐标为．
根据题意可得
．
则．
所以，点的坐标为．
所以，关于的方程的两个解为，．
结论④正确．
综上所述，结论正确的为①④．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键．
5．A
【分析】由一次函数的图象经过的象限可确定k的正负，进而验证二次函数图象与y轴交点的位置，结合二次函数图象的开口方向进行判断，即可求解．
【详解】解：A、由图象得：，，由得：，抛物线的开口向上，交于轴负半轴，符合题意，故此项正确；
B、由得：，抛物线的开口向上，故此项错误；
C、由图象得：，，的图象应交于轴正半轴，故此项错误；
D、由得：图象交于轴的，故此项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．
6．B
【分析】根据二次函数图像的特点进一步求解即可.
【详解】∵二次函数的图像为抛物线，
∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关概念是解题关键.
7．B
【分析】由图象可确定，对称轴为直线，，根据抛物线的对称轴公式可得出，从而可求出和，可判断①和②错误；由图象可知当时，，即得出，可判断③正确；由图象可知当时，，且对称轴为直线，即可判断当时，，即得出，可判断④错误；由，，即得，可判断⑤正确．
【详解】解：∵该抛物线开口向下，
∴．
∵对称轴为直线，
∴，
∴．
∵抛物线与y轴的交点位于x轴上方，
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，故②错误；
由图象可知当时，，
∴，故③正确；
∵当时，，对称轴为直线，
∴当时，，
∴，故④错误；
∵，，
∴，即，故⑤正确．
综上可知正确的个数为2个．
故选B．
【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子的值．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
8．B
【分析】根据可判断函数大致图象：对称轴为直线，图象开口向下，结合即可求解．
【详解】解：，
对称轴为直线，函数图象开口向下，
，，
且，
，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数取值范围及比较函数值大小，关键是要根据函数关系式判断函数大致图象，数形结合解决问题．
9．D
【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，
∵，令，
即，
解得：，
∴,
令，解得，
∴，
∵点是对称轴上的一个动点，
∴，
∵
∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键．
10．D
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，从而可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【详解】解：将代入得：，
解得：，
∴，
∴函数的图象开口向上，故A正确；
将代入得，故B正确；
∵抛物线经过，
∴抛物线对称轴为直线，
把代入得，
∴函数的最小值为，故D错误；
∵抛物线对称轴为直线，
∴当时，y的值随x值的增大而减小，故C正确；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
11．C
【分析】根据抛物线开口方向可判断a的取值范围，由对称轴的位置及a的符号可判断b的符合，由抛物线与y轴交点位置可判断c的符号，从而可判断①错误；由图象过 及对称轴可判断②正确；由抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y越大，可判断③错误；由抛物线对称性可知，抛物线与x轴另一个交点为，令，则，作，由图象与抛物线的交点可判断④正确；由M，N到对称轴的距离为，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得，即，再结合，得可判断⑤正确．
【详解】解：∵对称轴为直线，函数图象与x轴负半轴交于，
，
，
由图象可知，，
，
，故①错误；
由图可知，当时，
，即，故②正确；
抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y越大；
又，，，
；故③错误；
由抛物线对称性可知，抛物线与x轴另一个交点为
抛物线解析式为：，
令，
则，
如图，作，

由图形可知，；故④正确；
由题意可知：M，N到对称轴的距离为，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得，
即，
，
，，
，
解得：，故⑤正确；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中考常考题．
12．三
【分析】将抛物线表达式化为顶点式，得出顶点坐标为，根据直线经过第一、二、三象限，得出，进而得出，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线顶点坐标为，
∵直线经过第一、二、三象限，
∴，
∴，
∴点在第三象限，
故答案为：三．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的顶点，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，以及将二次函数表达式化为顶点式的方法和步骤．
13．
【分析】根据二次函数图像可知，，对称轴是直线，由此可确定的大小．
【详解】解：二次函数的图像过原点，
∴，
∵对称轴是直线，
∴，则有，
∴，
∴，即；
当时，，函数的图像在轴的上方，
∴，即；
当时，，函数的图像在轴的下方，
∴，即，
∴，
∵函数图像开口向下，
∴，且，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，理解二次函数图像与系数的符号，掌握二次函数函数图像的性质，绝对值的化简方法是解题的关键．
14．二/2
【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．
【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限，
∴
则一次函数经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故答案为：二．
【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键．
15．
【分析】先由对称性求得，由图形知时，，即．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，对称轴为，
∴．
∴时，，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，理解抛物线的对称性，掌握数形结合的基本思想是解题的关键．
16．
【分析】根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入函数关系式求得．
【详解】解：∵，是二次函数的图象上的两点，
又∵点A、B的纵坐标相同，
∴A、B关于对称轴对称，
∴
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点一定满足该函数的解析式．
17．
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，根据题意得出，从而得出的纵坐标为8，设点坐标为，将点坐标代入解析式求解．
【详解】解：把代入中得，
解得，
，
点，四边形为正方形，
，
设点横坐标为，则，
代入得，
解得或（舍去）．
．
故答案为
【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．
18．①，顶点；②，顶点
【分析】先配方，然后根据顶点式写出顶点坐标，即可求解．
【详解】解：①
，
∴顶点；
②
，
∴顶点.
【点睛】本题考查的是二次函数一般式与顶点式的转化，能够熟练掌握配方法是解题的关键.
19．(1)
(2)
(3)，，，
【分析】（1）将B，C两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可求出直线的解析式，由可证明，作于H，则，设点D的横坐标为t，分别表达和，建立方程即可得出结论；
（3）若四边形为正方形，则是等腰直角三角形，且，根据题意画出对应图形，利用全等三角形建立方程，即可得出结论．
【详解】（1）经过点，点

解得
抛物线的函数解析式为：
（2）轴，
轴，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入得其解析式得，
，
解得，，
∴直线的解析式为
作于H，如图，则

设点D的横坐标为t，
则，，
，
解得（舍），
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为，
若四边形为正方形，则是等腰直角三角形，且，
设点D的横坐标为n，则，
如图2，过点D作于点M，设直线l与x轴交于点N，
则，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
当时，点D与点A重合，如图3，，则或，则；
当时，则；

如图4，过点D作于点M，设直线l与x轴交于点N，
同理可证，，
∴，
∴，
∴，
解得或，
当时，点D与点A重合，同上；
当时，，则；

综上，点Q的坐标为：或或或
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法，等腰三角形的性质与判定，正方形的性质与判定等相关知识，解题关键是利用转化思想对已知信息进行转化，将转化为，将正方形的存在性转化为等腰直角三角形的存在性．
20．(1)
(2)或
【分析】（1）根据对称轴求出，用待定系数法求出，即可求出二次函数的表达式．
（2）①当点在点与点之间运动时，进而求解；②当点在点与点之间运动时，同理可解．
【详解】（1）解：二次函数 图象的对称轴为直线 ，
，
解得：．
由点的坐标知，．
二次函数的表达式为．
故答案为：．
（2）解：令，即，
解得：或4，
点坐标为，点坐标为．
，设直线的表达式为：，
则，
解得：，
故直线AC的表达式为 ．
点的横坐标为，
点的纵坐标为．
，在直线上，
．
①当点在抛物线上点与点之间运动时，
，
时，随的增大而减小，
②当点在抛物线上点与点之间运动时，
，
，
当，随的增大而减小，
的取值范围为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质、待定系数法求函数表达式等，解题的关键是要注意分情况讨论．
21．(1)直线
(2)
(3)
【分析】（1）先根据交点式求出二次函数与x轴的两个交点坐标，再根据与x轴的两个交点关于对称轴对称即可求出答案；
（2）根据抛物线开口向上可得离对称轴越远，函数值越大，则当时，，据此代入解析式中进行求解即可；
（3）根据得到点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，由此列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数与x轴的两个交点坐标分别为，
∴二次函数对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴二次函数开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵二次函数对称轴为直线，，
∴当时，当时，函数有最大值，
∴，
解得或（舍去），
∴二次函数解析式为，
当时，，
∴二次函数顶点坐标为；
（3）解：∵点与点在抛物线上，且，
∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据直线与轴交于点，可求出一次函数的解析式，进而可求出点C的坐标；由抛物线经过点，可求出抛物线的解析式；
（2）过点作交于点，设点，建立四边形的积与点P坐标的关系即可求解．
【详解】（1）解：直线与轴交于点
，
，
∴点，
∵抛物线经过点，
，
，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图1，过点作交于点
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