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2.2有理数与无理数
素养目标
1.理解有理数的意义和会对有理数进行分类.
2.知道无理数是客观存在的，了解无理数的意义.
3.会判断一个数是有理数还是无理数、
4.经历数的扩充，在探索活动中感受数学的遇近思想，体会“无限”的过程，发
展数感.
考点关注
1.有理数、无理数的识别.（必考点）
2.有理数、无理数的分类.（必考点）
知识点1有理数的概念（重点；掌握）
我们把能写成分数形式 m n （m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数.如: 5 = 5 1 ，-4 =- 4 1 ，0 = 0 1 。即我们学过的整数（正整数、负整数、零）都是有理数。如: 0.3 = 3 10 ，-3.11 = - 311 100 ，0.333… = 1 3 ，0.2666… = 4 15 . 即有限小数和无限循环小数都可以化为分数，它们都是有理数.
例1（曲阜校级月考）①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数；③一个整数不是正的，就是负的；④一个分数不是正的，就是负的.
以上说法正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
针对性训练1
（2020·沈阳朝阳校级月考）在下列数中: - 1 3 ，11.1111，- 1 11，95.57，0，+2004，-2，1.1212212222，π。非负整数有 ___________________ ，有理数有 ___________________ .
知识点2有理数的分类（重点，掌握）
根据有理数的概念，有理数可以进行如下的分类:
1.按整数、分数的关系分类
2.按正数、0、负数的关系分类
例2（德州市德城区校级月考）①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称:③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零。以上说法正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
针对性训练2
下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤-π2 不仅是有理数，而且是分数；⑥ 237 是无限不循环小数，所以不是有理数；⑦无限小数不都是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数。其中错误的说法有（ ）
A.7个 B.6个 C.5个 D.4个
知识点3无理数的概念（难点；掌握）
1.无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数.如小学学过的圆周率π，它是无限不循环小数，不能写成分数形式 m n （m，n是整数，n≠0），它的值是3.141592653589…，π是无理数.此外，像 －0.1010010001…这样的无限不循环小数也是无理数.
2.目前我们学习过的无理数类型
（1）含有π的；
（2）小数形式无规律的；
（3）小数形式有规律但不循环的.
随着知识的增加，我们还会接触其他类型的无理数.如面积为2的正方形的边长就是一个无理数.
例3（江阴校级月考）下列各数:0.3333…，0，100， -1.5， π 2 ， 5 3 ，
- 0.121221222中，无理数的个数是（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
针对性训练3
（2020·南京鼓楼区期末）在3.14，22 7 ，0，π，1.6中，无理数的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
—— 多维解题方略 ——
题型1识别有理数和无理数
例1把下列各数分别填入相应的大括号内.
－5，0.05，－ 3 4 ，－4.2，26，－36，10.8，0，+ 1，10%，π，1.414，
－1.212212221…，－ π 2 .
正有理数集合: …；
负分数集合: …；
非正整数集合: …；
无理数集合: …；
针对性训练1
把下列各数填入相应的大括号内: －3，5，－ 1 3 ，－3.14，－0.4，0，
－1.2121121112…，2.5， 3 4 ， 4 5 ；3π。
正数集合: …；
整数集合: …；
分数集合: …；
无理数集合: …；
题型2理清两个集合交叉部分的集合问题
例2（2020·南京建邺区校级月考）如图所示，两个圈分别表示负数集合和分数集合，请将3，0， 1 2 ， －3 1 3 ， －5，3.4正确地填入圈中.
针对性训练2
（2020·珠海香洲区校级月考）把下列有理数填入相应的集合内.
3 4 ，1，－1.5， 4 5 ，0， 1 2 ，－8， －7，0.38， －2.2， －20%
整数集合: …；
负数集合: …；
分数集合: …；
题型3对无理数进行估值
例3（2020·厦门集美区期中）一个正方形的面积是7，估计它的边长大小（ ）
A.在2~3之间 B.在3~4之间 C.在4~5之间 D.在5~6之间
针对性训练3
（2020·兴化校级月考）写出一个比5大的无理数: 。
—— 能力培优训练 ——
能力通关
1.在0， π 2 ，－ 22 7 ，0.101001，－10%，5213中，分数的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
2.（2020·厦门思明区校级月考）对于－3.14，下列说法正确的是（ ）
A.是负数不是分数 B.是分数不是有理数
C.是负数也是分数 D.不是分数是有理数
3.（2020·徐州泉山区校级月考）在 1 12 ，0.16166166616666，3.1415926，1000π四个数中无理数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.在－ 1 3 ， 33 7 ，0，－1，0.4，π，2，－3，－6这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则m - n - k的值为（ ）
A.3 B.2 C.1 D.4
5.若a是一个无理数，且3 < a < 4，写出任意一个符合条件的值: _________ .
6.（2020·扬州邗江区校级月考）观察下列各数据，按规律在横线上填出下一个适当的数: 1 2 ，－ 2 5 ， 3 10 － 4 17 ， 5 26 ， _________ .
7.（2020·西安）在5，－2，－0.3， 1 4 ，0，－ 1 3 ，0.5，7，－1 1 6 ，102，－17这些数中，负分数有 ______ 个。
8.（六盘水中考）定义:A = { b，c，a }，B = { c }，AB = { a，b，c }，若M = { －1}，N = {0，1， －1}，则MN= { }.
9.（2020·龙岩长汀县校级月考）把下列各数分别填入相应的大括号内:
－7，3.5，－3.1415，π，0， 13 17 ，0.03，－3 1 2 ，10，－0.23，－ 4 2 .
自然数集合: …；
整数集合: …；
正分数集合: …；
非正数集合: …；
有理数集合: …；
巅峰训练
10.观察下列数: －1， 1 2 ， － 1 3 ， 1 4 ， － 1 5 ， 1 6 …
（1）请你推测第2019个数是 _________ ；
（2）如果这一列数无限排列下去，与哪个数会越来越接近
素养提升
11.已知有A，B，C三个数的“家族”.
A:{ －1，3.1，－4，6，2.1 }，
B: { －4.2，2.1，－1，10， － 1 8 }，
C:{ 2.1，－4.2，8，6 }.
（1）请把每个“家族”中所含的数填入图中的相应部分.
（2）把A，B，C三个数的“家族”中的负数写在横线上: _______________ .
（3）有没有同时属于A，B，C三个数的“家族”的数 若有，是什么

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